solucionario parte 1 cobeñas naquiche 5°secundaria

CAPITULO 1
sitivo) tenemos :
30x-30=180
30x=210
x=7
x
sitivo) tenemos :
x
igualando con ( II)
a
m + b
n + c
p
sitivo) tenemos :
a=m ; entonces a/m=1
b=n ; entonces b/n=1
c=p ; entonces c/p=1
a
m + b
n + c
p = 1 + 1 +1 = 3
sitivo) tenemos :

CAPITULO 1
minos de " "
O
O
el mismo residuo:
9 2 14
son coterminales : y
EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor que
toma " x "
o
o
sean : = 1k , = 7k y = 13k
entonces :
=
1k
7k
por lo tanto : =
nk
entonces :
+
valor positivo.
sean : = 19k y = 3k
entonces :
=
19k
3k
por lo tanto : = 19
3
como son coterminales de cumplirse:
- =
19
3
- =
=
= Z+
= 19
3
= 19
3
=

CAPITULO 1
EJERCICIO 10
- =
+
+
EJERCICIO 11
- =
+ =
resolviendo las dos ecuaciones :
=
=
0.56< n < 1.67
n = 1
- =
+ = } =
=
EJERCICIO 12
plemento de " x "
su signo tenemos :
-
EJERCICIO 13 En la figura se cumple que :
3x
O
resolviendo ( I) y (II)
}
EJERCICIO 14
sean : = 1k , = 5k
entonces :
=
1k
5k
por lo tanto : =
=
= } =
1.11< n < 2.22
n = 2 ; = =
EJERCICIO 15
3 6 10
,podemos afirmar que :

CAPITULO 2
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
NIVEL I
EJERCICIO 1 Si se cumple que :
g
calcular M = 3B - 4A
S
9 = C
10
Reemplazando valores :
36
9
= A
10
B
9
= 60
10
g
}
A = 40
B = 54
M = 3B - 4A
M = 3(54) - 4(40)
M = 2
EJERCICIO 2 Efectuar :
g
9
rad.
=E
S
180
= C
200
= R S
9
= 30
10
S
S
180
= 9
rad.
S
=E = 3,6
EJERCICIO 3
(2C + S)(2C-S)
400
=P
400
=P S
9
= C
10 = 100
C
200
= R
rad. =
400
=P
400
=
( 100 )
400
=P =
100
319
400
= 319
EJERCICIO 4
gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:
2S-9
3
= C+4
2
S
9
= C
10
C = 10S
9
2S-9
3
= C+4
2
2S-9
3
=
10S
9
+ 4
2
4S-18
3
= 10S +36
9
EJERCICIO 5
expresado en radianes,tal que : C - S = 3
C - S = 3
- S = 310S
9
S
180
= R
rad.
27
180
= R
rad.R = 3
20
rad.
EJERCICIO 6 Sabiendo que :
48
3
5
B
A
S
180
= R
rad.
S
180
= 48
} S
S S
S
3
5
B
A
= 3
5
(45)
3
=
3
27 = 3
EJERCICIO 7
[ 2R+ ]
( 10S-9C )
=E
10S-9C= 10S - 9
(10S
9 )= 0
[ 2R+ ]=E = 1
EJERCICIO 8
expresado en radianes tal que se cumple:
S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4
0

CAPITULO 2
S
9
= C
10
2(n + 1 )
9 =
3n - 4
10
20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )=
56 7n=
8 n=
S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18
S
180
= R
rad.
R = 18
180
rad.
R =
10
rad.
EJERCICIO 9
en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-
S
6
+ C
5
= 14
S
9
= C
10
C = 10S
9
S
6
+
5
= 14
10S
9 S = 36
S
180
= R
rad.
36
180
= R
rad.
R =
5
rad.
EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:
a + a1 n
n
2( )Sn =
nos en una P.A. es la siguiente :
( ) 360
2
S
180
= R
rad.
sustituyendo
361 x180
180 = R
rad.
R = 361
NIVEL II
EJERCICIO 1
cular : A + C
B
g m
g m g
S
9
= C
10
S
9
=
10
13,90 S =
S = =
S
S
S
Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36
A + C
B
= 12 + 36
30
= 1,6
EJERCICIO 2
U =
S
180
= C
200
= R
rad.
= n
U =
( 200 - 180 ) (200 + 180)
76
U = = 100
EJERCICIO 3 Determinar la medida de un
1
S + 1
C =19
72
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
1
9n + 1
10n
=19
72
19
90n
=19
72
10n=8
C
200
= R
rad.
}
C = 8
8
200
= R
rad.
R =
25
rad.
EJERCICIO 4
presada en radianes.

CAPITULO 2
A
B
C
x
debe cumplirse que : en
S
180
= R
rad.
48
180
= R
rad.
R = 15
4 rad.
EJERCICIO 5
A D
B
C
15)(
25( x + 1 )
g
gesimal.
S
9 = C
10
S
9
=
10
25(x+1)
S =
2
45(x+1)
*
*
S
180
= R
rad.
= rad.
S
180
15)( S = 12x
2
45(x+1)
+ + 90 = 360( 13x+10 ) + 12 x
26x+20+45x+45+24x+180 = 720
95 x = 475
x = 5
EJERCICIO 6
expresado en radianes si se cumple que :
4S - 3C + 10R = 12 +
S
180
= C
200
= R
rad.
4 - 3 + 10R = 12 +180R
( ) 200R
( )
720R - 600R + 10 R = (12 + )
120R + 10 R = ( 12 + )
10R ( 12 + ) = ( 12 + )
R =
10
EJERCICIO 7 Determinar la medida de un
=
2C + S
2C - S
5 + 9R
5 - 9R
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
= 5 + 9R
5 - 9R
2(10n) + 9n
2(10n) - 9n
= 5 + 9R
5 - 9R
29
11
145 - 261R = 55 + 99R
90 = 360R
EJERCICIO 8
S
9 = C
10 9
=
10
9x-2
10 -1 -1x
1 -8 -80x
-81x
(10x-1)(x-8) = 0
* 10x-1=0 ; x=0,1 Z
* x - 8 =0 ; x= 8 Z
S
180
= R
rad.
63
180
= R
rad.
7
20
EJERCICIO 9
gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .
R = 7
20
R =
rad.
41 4
B D E C
H
A
x
y

CAPITULO 2
( 7x- 25 )
g
S
9
= C
10
9
=
10
S 7x - 25
=
10
S 63x - 225
10
63x - 225 = 5x -3
63x - 225 = 50x - 30
13x = 195
1 15
x = 15
S
180
= R 36
180
= R
5
1
R =
5
EJERCICIO 4
vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un
del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.
sabemos por dato que la suma de estos es la
x + ( x+r)+(x+2r) = 4
=
3x + 3r =
4
1 1
1
+ x - x
2
2
2
*
*
S
180
= R 5
180
= R
36
1
R =
36
EJERCICIO 5
75x
4y
3
x
x+ r
x+
2r=
x2
r x - x2
2
x
y"m
O
x
- y"m
x = - y"m
y
x
=
9
-10
(100
3600)
5
18
y
x =
9 ( 18 )
-5
multiplicando ambos
miembros por :
4
75
4 y
75 x = 9. ( 18 )(4)
-5 ( 25)(3)
1
3
=
6
-5
3
3
75x
4y
3 3
=
6
-5
3
3 =
6
-5
EJERCICIO 6
2S
9
- C
10
- 1[ ]
( C - S - 1 )
= 1
S
9
= C
10
= n
} S = 9n
C = 10n
2(9n)
- - 1[ ]
( 10n - 9n - 1 )
= 1
9
10n
10
[ 2n - n - 1 ]
( n - 1 )
= 1
[ n - 1 ]
( n - 1 )
= 1
1
[ n - 1 ] = 1
n = 2
Reemplazando "n" :
18
180
= R
10
1
R =
10
EJERCICIO 7
a-5b
b
E =

CAPITULO 2
a' = b
g
a
60
= 9 b
10
a = 54 b
a = ( 5b + 49b)
{
a - 5b = 49 b
Dividiendo entre " b "ambos
miembros :
a - 5b = 49 b
b b
Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :
a - 5b =
b
a-5b
b
E = = 7
EJERCICIO 8
ple : 2
2
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
2
multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cam
biando el sentido de la desigualdad se tiene :
2
sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :
2
2
S
180
= R 18
180
= R
10
1
R =
10
EJERCICIO 9
-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
C O A
B
a
b
+
b
a( )
a
b
+
b
a( ) =
a
b
+
b
a( ) =
a
b
+
b
a( ) es negativa ; es decir : a
b
+
b
a( ) 0
que desarrollando es igual a decir : a + b
( ) 0
a.b
2 2
a.b es negativo y diferente de cero.
2 2
2
drado es mayor o igual a cero)
desarrollando el cuadrado de un binomio:
2 2
2 2
dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendo
presente que (a.b) es negativo por lo tanto el sen
tido de la desigualdad cambia.
2 2
a.b
a
b
+ b
a
- 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
a
b
+
b
a( ) =
}
=
6
EJERCICIO 10
S
36
+
C
40
+
5R
= 2 ( S + C + R )
5 5 5 4 4 4
S
180
= C
200
= R = n
S.S
36
+
C.C
40
+
R.5R
= 2 ( S + C + R )
4 4 4 4 4 4
180n.S
36
4
200n.C
40
4 4
+ + = 2 ( S + C + R )
4 4 4
5n.S + 5n.C + 5n.R
4 4 4
2 ( S + C + R )
4 4 4
=
5n ( S + C + R ) =
4 4 4
2 ( S + C + R )
4 4 4
5n = 2 ; n =
2
5
R = n
R = 5

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
NIVEL I
EJERCICIO 1 Hallar la longitud de arco de un
radio es de 9m.
L
r = 9m
S
180
= R 20
180
= R
R =
9
1
9
L =
9( ) 9m. =
EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "
2 rad. ( 3x + 4 )m
( 2x + 1 )m
O
A
B
3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )
2 = x
EJERCICIO 3
L
O A C
B
D
3rr
4
rad.
L =CD
4
L =
AB
= . r ; r = 2 m.
4
L
AB
= . 2 ;
4
L
AB
LAB = 2
m
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
S1
S2
( O centro )
S2
S1
O
A
B
C
D
2
2
Sea : OB = r ; OC = 2r
S1 =
2
2
S2 =
2
2
=S2
2
S1
S2
=
2
2
2
S1
S2
=
1
8
EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .
2x m
O
A
B
2x
rad.
2
2
= 2
2x
.( 2x ) 2
; = 2
2x
. 4 x2
x = 3
2
(

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 6
= 22
7( )
12 m
4 m
SO
A
B
D
C
4
rad.
S = S - SOCD OAB
4
( 16 ) 2
-
4
( 12 ) 2
2 2
S =
S = = 14 22
7( )
S = 44 m2
EJERCICIO 7 De la figura ,hallar : L + L (AOB
y CAD son sectores circulares).
1 2
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
OB = OA = 24m.
longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)
por lo tanto AC= 1x12 = 12m
12m
24m
3
< >
6
< >
Nota :
L =
3
.12m =1
4
1
L =
6
.24m =2
4
1
L1 + L2 =
EJERCICIO 8 S2
S1
A
B
D
C
S1O 5m3m S2
L =AB L =AB
3 m.
OA = 3 m
L =CD L =CD
5 m.
*
*
OC =
5 m
((
((
2
2
S =1
3
( ) = 9 m2
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S =2
n =
3 + 5
2[ ] 5 - 3( )
S =2
8 m2
Dividiendo : S entre S2 1
8
S2
S1
= =
16
9
S2
S1
=
4
3
EJERCICIO 9
9
A
B
D
C
O 4m2m
2m
L =AB L =AB
2 m.
OA = 2 m
L =CD L =CD
4 m.
*
*
OC = OA + 2
((
((

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
OC 2= 2 +
L =CD
(
4 = 22 + )(
4 = 2 +
A
B
D
C
O x+1x-1
x
EJERCICIO 10
9
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
=
( x- 1) + ( x+1)
2[ ]9
x
9 = x
2
x = 3
NIVEL II
EJERCICIO 1
O D
C
B
A
2L
3L
de radio OB , y que por pasar por el punto medio
B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L
O D
C
B
A
2L
3L
1,5L
H
Sea OA = R ; tenemos.
*
3,5 L = .R .....(II)* 2
3,5
1,5
=
2
7
3
=
=
14
R
De la figura hallar " x ".
EJERCICIO 2
coloreada.
O B D
C
A
O B D
C
A
R
r
5
rad.
*
* color
5
. R 2
5
. r 2
2 2
=S color -
=S color
5 ( R - r .....( II ))22
Reemplazando ( I ) en ( II ) :
=S color
5
( 5 )
=S color
2

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
A
D
F
C
EJERCICIO 3 L
r
r
3m
2m
4m L 14m
E
B
O
A
D
F
C
r
3m
2m
4m L 14m
E
B
De la figura se tiene:
L =AB L =AB
4 m.
*
(
(
L =CD L =CD L ; OC = ( r + 3 )*
(
(
L =EF L =EF 14m. ; OE = ( r + 5 )*
(
(
Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :
Reemplazando en ( II ) tenemos :
L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m
L
r = 10
5 = 2
EJERCICIO 4
D C A
B
D C A
B
4
=
* color
4
.
2 2
=S color -
=S color
( )
2
( )( )
4 -
EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de
O
A
B
C
L
o
A
B
C
L
r
r
(
a la vez tiene la mis
ma medida que el
nes tenemos :
S
180
= R
rad. 180
= R
rad.
R =
rad.
90
1
90
L =
90( ) r r = 90L
( )
EJERCICIO 6
lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-
pectivamente. Calcular : L2
L1

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O LL1 2
A
C
B
D
O LL1 2
A
C
S 3S
LS =
2
Reemplazando:
L ......... ( I )S =
2
1
4S =
2
2L .......... ( II )
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
4 =
2
2L
2
1L
2L
1L
= 2
EJERCICIO 7
S1
S2
3
O
A
D
F
C
1m
2m
3m
SS
E
B
1 2
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
Reemplazando:
O
A
D
F
C
1m
2m
3m
SS
E
B
1 2
2[ ]S = 2
1
S =1
2
2[ ]S = 3
2
S =2
27
2
2
Dividiendo : S entre S2 1
1
4S1
S2
= =
8
27
S1
S2
=
2
3
2
27
3 3 3
3
EJERCICIO 8
loreada.
B
D
O 10m8m
A
C
2m
B
D
O 10m8m
A
C
2m
r
L =AB L =AB
8 m.
*
(
(
L =CD L =CD
10 ; OC = ( r + 2 )
*
(
(
8
10
=
8
10
=
r+2
r
10r = 8r +16 ; r = 8 m.
S
=
8
8 1
1
= 1 rad.
2
2
S =
1 ( 8 )2
2
S = 32 m
2

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 9
damente el valor de " a " , si S = S21
B
D
O SS
A
C
a-1
a+1
1 2
2
Sea : OA = a+1
S1 = 2
B
D
O SS
A
C
a-1
a+1
1 2
Como S = S , entonces
tenemos :
=
2S1=
2
1
Igualando ( I ) y ( II )
2
=
a + 2a + 1 = 2a
a - 2a - 1 = 0
Completando cuadrados :
a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0+ 1 - 1 + 1 - 1
( a - 1 ) = 2Extrayendo raiz cuadrada.
a = 2,41
1 2
EJERCICIO 10
S = S
y
x
1 2
O E
D
Cy
A
x
S1
S2
B
O
D
Cy
A
x
S1
S2
B
x
S1
2
Sea : OA = x
S1 = 2
Como S = S , entonces
tenemos :
2S1=
2
Dividiendo ( I ) entre ( II )
1 2
1
2 = 2
2
1
2 =
x
y
1
=
x
y
x
y = 0,71
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1
O B
A
C
12m.
12m.
O B
A
C
12m.
12m.
12m
.
P
12m.
3
< >
6
< >
Nota :
4
< >
12
< >
* color L +AC
(
L + APCP
(

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
colorP = L +AC
(
L + APCP
(P =color
3
12 +( ) 12
12 + 12( )
color
EJERCICIO 2
O A
B
C
O A
B
C
*
color
2
.
2
( )
2
= -
3
.
2
( )
2
S color
S color
EJERCICIO 3
B
D
O 5m2m
A
C
2m
para calcular L tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n ; L = 2m. ; S = 5 m1
n = 2 m. ; L = ?2
2
B
D
O 5m
A
C
2m
LL = 2m1
Reemplazando ,valores y calculando " L "
L + L1 2
2[ ]S = n
2 + L
2[ ]5 = 22 L = 3 m.
L =AB L =AB
r m.
*
(
(
L =CD L =CD
3 ; OC = ( r + 2 )
*
(
(
r m.
3
2
= 2r + 4 = 3r
r = 4 m.
Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :
EJERCICIO 4
reada.
O
1m
2m
C
B
A
tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
OA = r.
S
180
= R
rad.
rad.
180
=

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
O
1m
2m
C
B
A
r P
Q
S1
S2
[ 2 ] [ 2 ]S =1
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
S =1 2
S =1 2
[ 2 ][ 2 ]S =2
Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
*
*
S =2 2
S =2
1 2
S + S = 2 +1 2
S + S =1 2 2
= 9
2 180[ ]=
40
EJERCICIO 5
S = S
L
L
2
O E
D
C
A
S1
S2
B
1
2
1
L1
L2
O E
D
C
A
S1
S = S2
B
L1
L2
*
S =2S3
R
2
S =1
R
* 2
S =3 S 2 S=3 1
1
LS =
2
Reemplazando:
L ......... ( I )S = 1
1
1
S DOE = 3 S1
L ..... ( II )
= 2
DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )
LS = 1
1
1
L
= 23 S
1
3 =
2L1
L2
Extrayendo
L1
L2
=
1
=
6
EJERCICIO 6 1 2
S1
S2
A O D
B
C
1m
S1
S2
A O D
B
C
1m
2
Sea : OA = x
S1 = 2
S2 = 2
Igualando : S = 2 S
2 = 2
2
4 = 2
1 1
5

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O LL1 2
A
C
n
y reemplazando( ) tenemos :
L + L1 2
2[ ]S = n
S
n
P = L + L + 2n1 2
8 = L + L + 2n1 2
L + L = 8 - 2n1 2
L + L1 2
8 - 2n
2[ ]S = n
1
4 1
=0
EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m.
O O
rR
O O
rR
* color
B
S1
S2
A
D
C
1 2
R
r
2
.
2
R( )
2
*
S1 = - ( R)( R )
2
= 4
-
2
2
.
2
r(*
S2 = - ( r )( r )
2
= 4
-
2
)
2
S ABCD = = 2Rr
Reemplazando ,valores y calculando" S "color
S = S ABCD - ( S + S )color 1 2
4
-
2 )([ +
4
-
2 )( ]= 2Rr -colorS
R + r = 4
[ 4
- 1
2 )( ]= 2Rr -colorS
= 2(2) -colorS [ 4
- 1
2 )( ]12
=colorS
=colorS
EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un
O S L
r
r
2
S = L r
2 = L
2 2( )
S = 4 4
S = 8 4
-
4
+ 1
8( )
S =
1 - L
8 2
-
4(
}
}
L
2 4
=
L
2
=
EJERCICIO 10 De la figura hallar
S2
S1
B
D
O SS
A
C
1 2
L1 2
-

CAPITULO 3
LONGITUD DE ARCO
B
D
O SS
A
C
1 2
r
R
* S + SCODS = 1 2
r R
Reemplazando ,valores y calculando :
R ( R + r ) = r R + R + r r
2 2 2
( )
__
4+ __
4
{
R _r
2
- = ___
R _r
2
-( ___
4
R =
_____
R =
_______
2
2
__r
R =_______2
Racionalizando
__r
R =
_______2 x _______
2
Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valor
positivo :
__r
R =
_______
2
Completando
cuadrados.
S1 = Rr
2
S2 =
2
( ) rR + r
___S2
S1
= R + r
R = 1 + __r
R
Reemplazando el valor de
___S2
S1
= R + r
R = 1 + ______
2
___S2
S1
= ______
2
__r
R
" "
-

CAPITULO 4
NIVEL I
EJERCICIO 1 De la figura calcular :
C A
B
a-1
a+1
4
4a = 16
a = 4
ABC , tenemos :
C A
B
5
4
E = _3
4
+
_5
4
E = 2
3
, recto en B , se cumple que : Cotg A = __5
12
B A
C
H=13
5
12
Calcular M = Sen A - Sen C
H = 13
Reemplazando el valores :
M = Sen A - Sen C
M =
__12
13
-
__5
13
M = __7
13
A M B
C
13 5
E =
____
AB = 12
AM = MB = 6 A M B
C
13 5
6 6
E = ____
__5
6
__5
12
= 2
P =
A B
C
8
9 6
A B
C
8
9 6
H = 17
H=17
CP = 10
P
10

CAPITULO 4
P =
__17
8
- __8
15
__15
8
- __10
8
P =
_______225 - 64
120
__15
8
= =
____161
120
__5
8
=
___161
75
P = 2,2
Q =
5
3
A B
C
D
15
25
24
CB = 7
CD = 20
Q =
5
3
__7
25
+ __20
25
A B
C
D
25
24
15
20
7
5
Q =
3
____27
125
3
Q =
Q = __3
5
Q = 0,6
EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:
{
EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que:
=
____1
Nota :
1 = 1
=
=
____1
Nota :
__x
y =
___
= 4*
A B
H
x
C
a
=
__a
AB

CAPITULO 4
A B
H
x
C
a
=
______x
A B
C
a
x D
= ___BD
a
DBC:
A B
C
a
x
D
=
_______aABC:
= _____1
Nota :
_____1 =
_______a
NIVEL II
=
__4
9
A C
B
a
b
c
Sen A . Sen B = __4
9__a
c
. __b
c
=
__4
9
___a.b
=
__4
9
_____a.b =__4
9
__b
c
+ __a
b
_____
a.b
=__9
4
=
_____
a.b
= __9
4
= __3
2
E= = 1,5
D A
B
2 M
AB = 3 BM = AM =
__3
2
D A
B
M
__3
2
__3
2
En el MBD
=
__2
1
__3
2
=
4
32
EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal
A M B
C
2 1
Si CM es mediana entonces : AM = MB
A M B
C
2
lo ACB por lo tanto AM=MB=MC
1
_1
2
_1
2
H

CAPITULO 4
tos medios : MH =
AC
2 =
2
2 = 1
CHM: = 1 =
_1
2 _1
2
potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular
gulo.
D A
B
x
3x
=_____
x
=
Ordenando W :
W = 1.1 = 1
=K
=K = 1
__12
13
D A
B
12k
13k
5 k
AB = 5k
Por el T. P. ABD
Reemplezando :
P = 5K + 12K + 13K = 90
30K = 90
K = 3
Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.
Calcular : =K
1
=
=
=K =
0
= 0
=
____1
Nota :
A C
B
M

CAPITULO 4
A C
B
a
a
x
___a+x
a - _x
a=M
_a
a + _x
a - _x
a=M
=M 1
B C
DA
C
1
4
B C
DA
E
1
4
F
F
3
a
b = 3a
=
_1
aEAF:
=
_3
b
CDF:
_1
a =
_3
b
b = 3a}
b = 3a
En el EFB:
W =
__4
4a
. __3a
1
= 3
M
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C
C A
B
a
b
c
_a
b =
- __c
a
__b
c
3
a = a
=
Cosec C
3-Cotg A
Sen A
3 = ac
=U ac = 3
U = Tg A + Tg C =
__a
c
+ __c
a
= 4
2
= 4
2
2
3
2
= 2
2
3
2
2= = 4
3
4
3
3(9 - ( )4
=E
=E 7 - 4 = 3
__5
13
AD = 52 m. Hallar " AB "
A C
D
B

CAPITULO 4
A C
D
B
13k = 52
5k = 20
12k=48
P
52
a b
AC = 12k
___5k
13k
=
___DC
AD
=
___DC
52
13k = 52
k = 4 DC = 5k = 20
AC = 12k = 48
prolongamos CD ,por el
punto D una longitud igu
al a AD osea 52 ,forman
ADP, y como el < D exte
=
__48
72
=__2
3
=
__20
b
=__2
3
b = 30
AB = a = 18
cuadrado de la hipotenusa es al producto de los
catetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-
A C
B
c
b
a
___
a.b
=
___13
6 menor ( a < b ).
=
_____13a.b
6
_____13a.b
6
=
2a
3a - 2b
- 3b
( 3a - 2b ) = 0
( 2a - 3b ) = 0
=
___a
b
=
___2
3
=
___a
b
=
___3
2
; ( a< b ) ok
; ( a> b )
( no cumple)
= _3
7
A C
B
86
A C
B
86
3k= 30
7k
H
k = 10
HC = 7k = 7(10) = 70
AH = 86 - 70 = 16
BH = 3k = 3(10) = 30
16
Reemplazando :
M =
__16
30
+
__34
30
AB = 34 34
=
__50
30
M =
__5
3
S = OA + OB + OC + OD + .................
O
E
D
C
B
A
1

CAPITULO 4
O
E
D
C
B
A
1
En el ABO
=
__OB
1
*
En el BCO
=
__OC
*
OB
En el CDO
=
__OD
*
OC
4
S = OA + OB + OC + OD + .................
4
S
S =
_______1
4
A B
C
1
D4
A B
C
1
D
4 a
Sea : BD = a
En el ABC
=
____1
4 + a
*
En el CBD
=
__a
1
*
Igualando ( I ) y ( II )
____1
4 + a
= __a
1
EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de
A D
3
G
CB
E
E1
A D
3
G
CB
F
E1
2
H
3,5
1,5
En el trapecio ABCG
FH es mediana ,por
lo tanto :
FH = ( AB + CG ) /2
FH = ( 5 + 2 ) / 2
FH = 3,5
=
__3
7
En el EHF*
1
O B
A
O1
O B
A
r
r
r
O1
H
P
Sea " r " el radio de la
circunferencia de cen-
tro O ; trazamos OH ,
en la cual se cumple
O H = O P = OP = r ;
En el BPO
=
____
r
*
=
1 1
1
1

CAPITULO 4
EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:
P=
A C
O
B
12
5
A C
O
B
12
5
H
Por el T. P. OAC
OC = 13
gulo BHC ,los cuales
sus lados son propor
cionales a : 5k,12k,13k
Si AC = 13 ,entonces
HC = 12k y OH=(13-12k)
BH = 5k y la figura que
manera:
13-12k
12k
12
5k
13k
P=
4 +A=
_1
2
______13-12k
5k
( ) _1
1(
13(12) - 12(12k)
P=
13-12k
12 ( 13 - 12k )
P=
13-12k
P 12.=
13
NIVEL I
Calcular : A + B
k
k
k
2k
3A=
B=
_2
1( ) 2 _2
1( )
2B=
EJERCICIO 2
1_
2
= _____1
Nota :
__1
2
1
2
2 .E =
_
1( ) _
2( )
5E =
EJERCICIO 3
k
2k
1
13 - 12 ___12k
5k
)(__12
5k
)(
P=
M = 2

CAPITULO 4
3k
2k2k
4k
A B
C
de lados proporcionales a 3k,
4k y 5k
En el MBC
=
__3
2
EJERCICIO 5 De la figura,calcular __b
a
B
C
A
a
B
C
D
a= 5k
3k
4k3k
D
b
A
b=
__b
a
=
____
5k = ___
5
EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "
A P B
Q
C
38
Q
C
38
7k
24k25 k
Sea k = 2
14
4850
10
104
14
A BP
EJERCICIO 7 Calcular el valor de :
1P = 4
A C
B
10
P
A C
B
P
10=5k
k=2
k =6=3k112=2k
H
1
A C
C
P
4
2

CAPITULO 4
A C
B
P
4
2
H5 1
___
5
EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.
A B
C
D
E
12
A B
C
D
E
4k=12
k= 3
915
15
=x
NIVEL II
B C
A
10
B C
A
10
H
B
A
H C
A
10
H
8
2k=8
4
8
ente manera.
C
10
H
8
4
A
B
Resolviendo ( I ) y ( II )
N _
2( _
1(1 1
+= = 0,25 +1 = 1,25

CAPITULO 4
EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :
=
_
2
1 =
_
2( )1x + 1
_
2( )1x - 1
_
4
5 =
x + 2
x - 2
x = 18
B C
A
O
B C
A
O
1
1
1
1
H
1
BC=
A C
B
D
28
A C
B
D
28
28
4k
3k4k
5k
AC = 7k = 28 k = 4
CD = 5k = 5(4) = 20
B A
C
P
a
B A
C
P
a
BP
a
aBP =

CAPITULO 4
A B Q
C
P
D
En el QAD
Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,
entoces BQ = K
A B Q
C
P
D
3k
4k
k3k
3k
4
=
__
3k
__3k
4
= __1
4 = 0,25
En el QBP
El lado BQ ha sido
dividido por 4,por lo
divido por 4
A C
B
H
M
A C
B
H
M
12
9
6
8 8P
En el AHB
Sea BH = 12 = 4(3)
AH = 3 (3) = 9
En el BHC
Sea BH = 12 = 3 (4)
HC = 4 (4) = 16
Por el teorema de los
puntos medios tene -
mos : MP=12/2=6 ;
HP=PC=16/2=8
lo APM ,para aprove
char el punto medio
= __6
17
En el AMP
EJERCICIO 9 De la figura,hallar :
A C
B
M
A C
B
M
5 5
x
P = 5 .
H P
___
x( ) __x
5( )
P =
A M Q C
N
B
P

CAPITULO 4
A M Q C
N
B
P
11
Sea el lado del cuadrado
PQC , QC
forma para el AMN
= ____
En el AQP
= ____ __
( ) = ____
3
A H P D
C
B
64
48
80
100
75
En el CHP ( sea CP = 80 )
H P
C
4k
3k
5k
H P
C
4
3
5
H P
C
64
48
80
En el BCP
C P
B
60
80
100
C P
B
3
4
5
En el BPC
P C
B
100
75
125
P C
B
4
3
5
H P D
C
64
48 75
En el CHD
= _____
64
48+75
= ___
64
123
A E B
D C
F
A E B
D C
F
20
12
16
20
15
1
En el DAE ( sea DE = 20 )
A E
D
4k
3k
5k
A E
D
4
3
5
A E
D
16
12
20
En el FBE ( EB = 20 )

CAPITULO 4
E B
F
4
3
5
E B
F
20
15
25
Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1
En el DCF
=
___
1
32
= 32
D C
F
32
1
5 37
4
8
34
A D C
B
H
P
En el BPD
= __
8
3
EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.
B C
A
P
7
7
B C
A
P
7
7
H
3
34
5
gulos PHC y PHB los
Sea PH = 3 ,comple
quedando la figura
de la siguiente manera.
En el PHB
BP = 5
= 1
=
___1
= 1
Calcular E = Sen 4x - Cos 5x
E = Sen 4x - Cos 5x
E = 0
B C
A
P
b
a

CAPITULO 4
B C
A
P
b
a
x
x(a - x ) H
En el PHB
= .....( I )
____
(a-x)
x
En el ACB
= .....( II )
__
a
b
Igualando ( I ) y ( II ) tenemos :
____
(a-x)
x = __
a
b ax = b(a-x)
a.x = a.b - b.x
x ___
a+b
a.b
=
PC
_____
a+b=
centro )
O
B C
A
20
O
B C
A
20
20
20
15
P
H
Trazamos OH y
OP perpendicular
a BC y AB respec
tivamente forman
notables OHC y
APO.
OH = 20 ( radio de
la circunferencia )
OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-
fica sigiente.
B C
A
D
B C
A
D
4
4 3
3
H
Trazamos DH
formandose el
Completamos
notabes quedan
En el DHB
____
3
4+3
= =
__
3
7
O N B
M
P
A
O N B
M
P
A
H
1
1
Sea OB=OA=2 ,en-
tonces ON=HN=1 ,
Por el T. P. PNO
En el PHM
____
1= =
2
1

CAPITULO 4
B C
A
N
M
B C
A
N
M
2
2
1
1
H
sectandola en el punto " H ".
AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativa
a la hipotenusa ).
Sea AM=MC=BM=2.
En el CHN
___2
= 2

CAPITULO 5
NIVEL I
EJERCICIO 1
(-2;1)
O
x
y
(-2;1)
O
x
y
-2
1
A
__1
( ) __-2
( )5=M
=M -2
EJERCICIO 2
(-3;-1)
O
x
y
A(-3;-1)
O
x
y
-3
-1
=
___
-1( )
=
EJERCICIO 3
(-4;3)
(-7;-24)
O x
y
A(-4;3)
B(-7;-24)
O x
y
-4
-7
-24
3
25
5
OA = 5
OB = 25
__3
5( ) ___25
-24( )8
=E -5 + 20 = 15
__-4
5( ) ___25
-7( )7+=E
EJERCICIO 4
O
x
y(-5; y)
13
y = 12

CAPITULO 5
O
x
y(-5; y)
13
-5
12
__12
-5( )=
__12
5
= -
___
2
-=
hallar :
O x
y
(-2; y)
-2
y = -3
-3
__-3
-2( )4 ___
-3( )9+=E
2
=
E 6 + 13
=E 19
___
25
9
= 4
O
y4
___
25
9
=
__
5
3
=
3
5 -4
( 3 ; y)
y = 4
A = __3
-4( )- __5
-4( ) 0,5=
x
2
=E
O x
y
+ +
-
-
+
=E =
( + ) + ( + )
( - ) . ( + )
=
( + )
( - )
=( - )
EJERCICIO 8 Indicar el signo de la expre-
=B
y
+ +
-
-
+
+
+
-
+
+
=B
( + ) . ( - ) . ( - )
( + ) . ( - ) . ( - )
=B
( + )
( + )
= = ( + )

CAPITULO 5
____
3
2n -1
=
____
3
2n -1
2n -1
EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el
coseno tienen signos diferentes.
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
NIVEL II
EJERCICIO 1 Siendo A ( 60;-11) un punto del
O x
y
A(60;-11)
60
-11
OA = 61
61
__-11
60( ) ___61
60( )+=K
__50
60
=K
__5
6
=K
EJERCICIO 2
O x
y
-1
__
-1( ) ___
( )2 ___
( )+=M
=M -
=M 0
EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :
(-12;-5)
O x
y
(7;24)
B(-12;-5)
O x
y A(7;24)
25 24
7
-5
-12
13
OA = 25
OB = 13
__25
24( ) ___13
-12( )+=K 2 = 1

CAPITULO 5
EJERCICIO 4 Si
1 +
O x
y
A(-1; -8)
-1
- 8
__-8
-1
=
__
-1
= =
2
__3
5
= 2
__-4
5
= 2
O
x
y(-5; y)
5
- 4
3
__3
5=M - __-4
5
+ __3
-4
__7
5=M - __3
4
__13
20=M = 0,65
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
__3
5=
EJERCICIO 6
1
2
__-2
-1
=
O x
y
A(-1; -8)
-1
- 2
__-2
=P __-1
( )( )10
P = 4
=E
O
y
+
+ -
x
4
=E
( + ) - ( - )
( - ) . ( - )
=E
( + )
( + )
=E

=x
CAPITULO 5
EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede
tomar " a " si cumple que :
2A
1 1
2a + 1 = 0
a __-1
2
=
2a - 1= 0
a
__-1
2
=
__1
2
+-+
__1
2
[__-1
2
; __1
2 ]
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
}
O x
y
-1
___
-1= }
minales entonces :
__
=G + +( ) 2 __
( ) 3 __
( )
___
=G
___
=G __
( )
___
=G
3
=G
EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :
x
y
(3; -1)
x
y
(3; -1)
(-3; 1)
3
-1-3
1
___
=E -( )-1 ___
( )-3
[
=E 0,4

CAPITULO 5
EJERCICIO 1
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
} Se presenta en el Q
___
1= }
4
4
O
y
x1
4
A
H
___
=A __1
( )( )4
16
4
=A
[ ]
[ ]2 =
1
2
[ 2 ]
1
2 = 3
= 6
= 5
= ___
-1
-5
O
x
y
A(-5; -1)
-5
- 1
___
-1= =
__
n=
1
+ 1
EJERCICIO 4
el signo de : =R
Tangente
Seno
Coseno
+
Cotangente
Secante
Cosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cuadrante
F.Trigono.
=R
( + ) - ( - )
=R
( + )
=R
{
+
( + ) ( - )
( - )
= ( - )
__
n
1
+ 1
__
n
1
que cambia el sentido de la desi
gualdad y como son valores ne-
gativos proximos a cero la divisi
on entre cero tiende al infinito ne
gativo
n __
2
-1
n __
2
-1__
0
1
-
]__
2
-1

CAPITULO 5
(2a-1;a+4)
O
x
y
(2a-1;a+4)
O x
y
2a-1
a+4
5a - 11
a + 3
a =
___
5
11
a = - 3
consigue cuando : a = -3
(-7; 1)
O x
y
- 7
1
= ___
1
=
EJERCICIO 6 En que cuadrante se encuentra
< 0
< 0
negativo y esto se da cuando
4
EJERCICIO 7 Si ( a+1; a-1 ) es un punto del
posible ,calcular :
2
a =
{
2
= 0
=R
a 0=
O
y
x1 H
-1
___
1
( ) ___
-1
( )E =
E = -2
A(-7;-5)
O x
y
B(-1; 7)
N
M

CAPITULO 5
AM = __
3
1
AB
Sea " M " de coordenadas ( x;y)
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]__
3
1
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 2 ; 4)]
x = -5 ; y = -1 M ( -5 ; -1 )
AN = __
3
2
AB
[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]__
3
2
[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 4 ; 8)]
x = -3 ; y = 3 N ( -3 ; 3 )
Sea " N " de coordenadas ( x;y)
O
x
y
B(-1; 7)
N(-3;3)
M(-5;-1)
-5
-3
3
-1
__3
( )-3
__-5
( )-1K =
K = - 5
EJERCICIO 9 De la figura ,calcular
O x
y
B(0; 12)
A(-5; 0)
D
C
O x
y
B(0; 12)
D
C
1213
-5H 12
5
13 13
12
5
P
17
Los AHD , AOB y BPC son congruentes,es
decir sus lados tienen medidas iguales
A
___-17
( )5
-12
( )17E =
___
___12
5E = = 2,4
O x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
m n
9 1
3 10
m n
9n
3
10m
m
90
3n
S ___1
2= ( m+90+3n) - (9n+3+10m)
60 ___1
2=
120 =
40 =
40 = -3m -2n + 29
-11 = 3m + 2n ......( I )

CAPITULO 5
O x
(3;10)
y
(9;1)
(m ; n)
n
m
__n
( )m
__m
( )n
E = 2m 3n+ + 12
E = 2n + 3m + 12
E = -11 +12
E = 1
{
-11
-1 10
0
LINEA COSENO
LINEA TANGENTE
LINEA SENO
0
1
-1

CAPITULO 6
NIVEL I
EJERCICIO 1
no es positiva y decreciente ?
LINEA SENO
En Q es positiva y decreciente2
EJERCICIO 2
coseno y tangente son creciente ?
0
1
-1
-1 10
LINEA COSENO
Cuadrante Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
1 a 0
0 a -1
-1 a 0
0 a 1
Decreciente
Decreciente
Creciente
Creciente
+
+
-
-
1
2
3
4
0
LINEA TANGENTE
Cuadrante Comportamiento Signo
Q
Q
Q
Q
Creciente
Creciente
+
-
+
-
1
2
3
4
Creciente en Q ,de 0 a 14
Creciente
Creciente
EJERCICIO 3
cas son decrecientes en el Q ?4
Son decrecientes en Q :4
EJERCICIO 4
reada. B
A
O
C.T.

CAPITULO 6
B
A
O
C.T.
1
AREA = ___1
2
EJERCICIO 5
reada.
B
A
O
C.T.
T
B
A
O
C.T.
T
1 1
S = ___1
2
EJERCICIO 6
reada.
B
A
O
C.T.
T
B
A
O
C.T.
T
1
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 7
reada.
B
AO
C.T.
Q
P
M
B
AO
C.T.
Q
P
M
1

CAPITULO 6
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 8
loreada.
B
A
O
C.T.
P
Q
B
A
O
C.T.
P
Q
1
1
S = ___1
2
S =
EJERCICIO 9 ;__
2
Por dato tenemos que :
__
2
CosCos __
2
2
1 ; 3
3=EJERCICIO 10 Si
;__
6
__
3
__
6
__
3
__
3
__
3
< <
3
___
3
< < 3
< <2 a 4
< <a 2
; 2
NIVEL II
EJERCICIO 1
nes verdaderas y con ( F ) las falsas :
0
1
-1
LINEA SENO

CAPITULO 6
0
LINEA TANGENTE
-1 10
LINEA SECANTE
EJERCICIO 2
( V ) las proposiciones verdaderas y con ( F ) las
falsas :
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
C.T.
A'
B
A
O
0

CAPITULO 6
EJERCICIO 3
reada.
B
A
O
C.T.
B'
P Q
B
A
O
C.T.
B'
P Q
1
1
OPQAS = ___1
2
OPQAS = ___1
2
EJERCICIO 4
coloreada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
A
O
C.T.
B'
P
S
1
1
S = ___1
2
S = ___1
2
EJERCICIO 5
coloreada.
B
AO
C.T.
B'
P
T
B
AO
C.T.
B'
P
T
1
S = ___1
2
S = ___1
2
M
M
EJERCICIO 6
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
_
3

CAPITULO 6
B
AO
C.T.
B'
P
_
3 =
1 1
1
* S + SA'PAS = A'OP OAP
___1
2
+___1
2
___1
2
( 1 )( ) + ___1
2
__
2
_
3
_
3
12
A'PAS =
A'PAS =
A'PAS =
EJERCICIO 7
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
AO
C.T.
B'
P
S
1
1
OPSB'S = _1
2
_1
2
OPSB'S = _1
2
EJERCICIO 8
LINEA SENO
0
1
-1
-1 10
LINEA COSENO
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :

CAPITULO 6
EJERCICIO 9
_
2
;
_
2
_
2
< <_
4
_
2
_
2
-1 10
LINEA COSENO
< <
_
2
__
2
< <0 ; multip. por (4)
_
2
Cos __
2
< <0 _
2
4 Cos
< <
_
2
4 Cos
;
EJERCICIO 10 ;
_
3
_
2
( )E = Tg _
4
0
LINEA TANGENTE
_
2
_
3
_
4( )
_
2
_
3
- _
4
- _
4
- _
4
_
4
__
12
- _
4
- _
4
__
2
O
- _
4( )Tg
- _
4( )Tg
<- 2 - 2- 2
- _
4( )Tg <- 2 -1
1
1
; -1
EJERCICIO 1
reada.
A'
B
-
O
C.T.
1
1
B'OP
S =
P
___1
2
B'OP
S =
_1
2
A'
B
O
C.T.
P

CAPITULO 6
EJERCICIO 2 ;0 _
2
valor que puede tomar " a " en :
+
_
4( )Sen =
2
_
2
_
4( )0
_
2
_
4( )0 +
_
4( ) +
_
4( )
__
4
_
4 +
_
4( )
+
_
4( )Sen
__
2 1
2
__
2 1 ......multip. por ( 2 )
2 ......restando ( )
a0
}
EJERCICIO 3
reada.
B
AO
B'
M
C.T.
Q
P
B
AO
B'
M
C.T.
Q
P
1
PQB'
S =
___1
2
PQB'
S =
EJERCICIO 4
reada.
B
AO
C.T.
B'
P
S
B
AO
C.T.
B'
P
S
1
_
3 =
PAS
S =
___1
2
PAS
S =
___1
2
( 2 - 1 ) __
2( )
PAS
S = __
4
EJERCICIO 5 ;
__
3
_
6
__
6
__
3
LINEA SENO
0
1
_1
2

CAPITULO 6
_1
2
1 .......multip. por ( 2 )
2 ....sumando ( + 1)1
2
2 ; 3 ]
EJERCICIO 6 ;
__
3
_
3
x + 1
3
x - 1
4
-=
__
3
__
3
-1 10
LINEA COSENO
1
2
__
2
1
x + 1
3
x - 1
4
-__
2
1
x + 76
x + 7
12
__
2
1
x- 1
EJERCICIO 7 ;
__
2
_
2
M = 1+ Cotg _
4( )+
__
2
__
2
-1 ; 5 ]
0 .......sumando__
2
__
4( )
__
2
__
4
+0 __
4
+ __
4
+
__
4
__
4
__
4
+
0-1 1
-1 __
4
+( )Cotag 1 ...sumando ( 1 )
0 __
4
+( )Cotag 21 +
0 ; 2 ]
EJERCICIO 8
Sabemos que :
__
2
Entonces : Sen __
2( ) = 1
}

CAPITULO 6
NIVEL I
A =
Reemplazando valores del cuadro anterior :
A =
10
5
A =
A = 2
EJERCICIO 2 Hallar el valor de :
__
2
4Sen __
2
9 Cos+
B =
5 ( 0 ) - 2
B =
4 ( -1 ) + 9 ( 0 )
B = 2
__
4
-( )C =
__
4( )C =
8 + 5 ( 1 ) - 3 ( 1 )__1
2( )C =
C =
C = 0
EJERCICIO 4 Hallar el valor de " x " , si :
= Sen __
2
3 x + 2 ( -1 )
2 x + 3 ( -1 )
= -1
3 x - 2 = - 2 x + 3
5x = 5
x = 1
EJERCICIO 5
E = (a + 1) Sen x + ( b + 1) Cos 2x + (a + b) Tg _x
2
Siendo x = _
2
_
4
_
2
E = (a + 1) ( 1 ) + ( b + 1) ( -1 ) + (a + b) ( 1 )
E = a + 1 - b - 1 + a + b
E = 2a
EJERCICIO 6 Calcular los valores de " x " en:
3 x - 1
2 x + 1
{ _1
3
_-1
2
{ _-1
2
; _1
3 }
EJERCICIO 7 Hallar " x " en :
4 x = - 4
x = - 1

CAPITULO 6
[ ( _
2 ) ]
E = Cos [ Tg ( 0 ) ] + Sec [ Sen ( 0 ) ]
E = 1 + 1
E = Cos ( 0 ) + Sec ( 0 )
E = 2
EJERCICIO 9
[ a + b ]Sen x +
a - b[ ]
2
P =
[ a + b ] a - b[ ]
2
P =
[ a + b ] -
a - b[ ]
2
P =
[ a + b ]- (a - b ) ( a + b )
a - b[ ]
2
P =
P = - 3 ab
EJERCICIO 10 Calcular el valor de A+ B. Sien-
999 cifras
1000 cifras
B = Cos 0 = 1
A + B = 0
NIVEL II
f ( x ) = [ Sen ( cos x) + Cos ( Sen x ) ] . Tg ( 2 x )
10
10
10
}
# par
{
0
+
}
# par
# impar
}
# par o impar
{
{Tg 0 = 0 ; Si K # par
E = 0 - 1 + 0 = -1
EJERCICIO 3 Hallar la suma de los valores de
" x " que verifiquen la siguiente igualdad.
__
4( )|| - __
4( )-
__
4( ) || __
4( )
|| __1
2
__1
2( ) __1
2( )
x =
__3 x =
__-1
Suma = __1

CAPITULO 6
EJERCICIO 4
R = Sen [ f ( 1 ) ] + Cos [ f ( 2 ) ]
como :
f ( Tg x )
Tgx
=
f ( 1 )
1
= =
f ( 2 )
2
=
{
R = 0 + 0 = 0
2
| 2
Sen + x |= 4
Calcular
| 2
Sen + x |= 4
| + x |= 4-1
{ + x = 4-1
+ x = - 4-1
x = 5
x = -3
| 1 - y | = 5
{ 1 - y = 5
1 - y = - 5
y = - 4
y = 6
=
( 5 - 3 )
( 6 - 4 )
= 1
Sen x - Sen y Sec= __
3( )-
Calcular N = Cos x + Cos y
Sen x + Sen y = 0 ........( I )
Sen x + Sen y Sec= __
3( )-
Sen x - Sen y 2 ......( II )=
Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :
Sen x + Sen y = 0
Sen x - Sen y 2=
2 Sen x = 2
Sen x = 1 Sen y = -1
N = Cos x + Cos y
N = 0 + 0 = 0
EJERCICIO 7 Resolver :
__
6( )- __
2
__
6( ) __
2
__1
2( )
x + 3
x - 2
{ =x - 3
=x 2
{ -3 ; 2 }
EJERCICIO 8
2
Senx |y = +|
2
Senx |y = +|

CAPITULO 6
| x + ( -1 ) | + | x - ( - 1 ) |y =
| x -1 | + | x +1 | ......... ( I )y =
- 1 < x < 1 .........Restando ( -1 )
- 1 - 1 < x - 1 < 1 - 1
- 2 < x - 1 < 0 .....entonces ( x -1 ) es un
| x - 1 | = - ( x - 1 ) ........( II )
- 1 < x < 1 .........Sumando ( 1 )
- 1 + 1 < x + 1 < 1 + 1
0 < x + 1 < 2 .....entonces ( x + 1 ) es un
| x + 1 | = x + 1 ........( III )
Reemplazando ( II ) y ( III ) en ( I )
| x -1 | + | x +1 |y =
- ( x -1 ) + ( x +1 )y =
- x + 1 + x +1y =
y = 2
EJERCICIO 9
2
Sen1 - xE = ( )
[ 1 - x ( 1 ) ]E = [ 1 + x ( - 1 ) ]
( 1 - x )E = ( 1 - x )
E =
E =
{ ( 1 - x ) .....( I )
- ( 1 - x ) ......( II )
1 < x < 2 .....multiplicando por ( - 1 )
- 2 < - x < - 1 ......sumando ( 1 )
- 2 + 1 < 1 - x < - 1 + 1
no puede ser negativo
1 < x < 2 .....restando ( 1 )
1 - 1 < x - 1 < 2 - 1
0 < x - 1 < 1 ; esta respuesta se toma
( x - 1 ) ......( II )
EJERCICIO 10 Sabiendo que " Sec 0 " y
Tg __
4( )-" "
Sec 0 = 1
}
x 1
x -1
{ m = 0
n = ( - 1 )(1) = -1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES RECIPROCAS
=
1
=
1
=
1
=
1
2{ }
=
1
=
1
n
2{ }

CAPITULO 7
IDENTIDADES POR DIVISION
=
2{ }
=
IDENTIDADES PITAGORICAS
=
=
=
2{ }
=
IDENTIDADES AUXILIARES
4 4
6 6
NIVEL I
EJERCICIO 1 Simplificar :
E = 2
EJERCICIO 2 Reducir :
4
4
4
4 4
M = 1
Desarrollando el cuadrado de un binomio
A = 1 + Cos x
Sen x
+ Cotg x
A = 1 + Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
Sacando m.cm.(1+ Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
A = ( 1 + Cos x ) Sen x

CAPITULO 7
= 4
= 4
Igualando ( 1 ) y ( 2 )
=
( b - a )
2
Multiplicando ( 1 ) y ( 2 )
Reemplazando ( 3 ) en ( 4 )
ab + ( b - a ) = 2 +
( b - a )
2 2
[ ] ( b - a )
2
[ ] ( b - a )
2 2
[ ]
ab
( b - a )
2 2
[ ] =
( b - a )
2 2
[ ]
ab = 1
NIVEL II
EJERCICIO 1 Hallar " m " en la identidad :
=
1 - m
1 + m
( Cosec x - Sen x ) ( Cosec x - Sen x )
( Cosec x - Sen x )( Cosec x + Sen x )
= 1 - m
1 + m
( Cosec x - Sen x )
( Cosec x + Sen x )
= 1 - m
1 + m
( Cosec x + Sen x )( 1 - m ) = ( 1 + m ) ( Cosec x - Sen x)
Cosecx - mCosecx + Senx - mSenx = Cosecx - Senx + mCosecx - mSenx
2 Sen x = 2 m Cosec x
Sen x = m
Sen x
1
* Tg x .Cotg x = 1
Recordar :
A = Tg x - Cotg x + Cotg x - Tg x
A = 0
6 4 4 62
6 6
Recordar :
2 4 4
2 4 4 4
4 4
Recordar :
2 4
2 4
2 4
=
2 4
4 4
B = 0

CAPITULO 7
1
Tg x + Cotg x + 2
Tg x + Cotg x
=P - Cos x
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
+ 2
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
- Cos x=P
Sen x .Cos x
Sen x .Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
=P - Cos x
Sen x + Cos x - Cos x=P
Sen x=P
1
- +=K
1
- +=K
1
1
- +=K
+
+
=K
=K
+=K 1
=K
1=K
1=K =
EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar
A = Tg x + Cotg x +Sec x + Cosec x
Cos x
Sen x
+ Sen x
Cos x
+ Cos x
1
+ Sen x
1
Sen x .Cos x=K
Sen x .Cos x
1 + Sen x + Cos x
=K
...........( I )
=K
Sabemos que :
Sen x + Cos x = a .....elevando al cuadrado
Sen x . Cos x
2= ........( II )
Sen x .Cos x
1 + a
=K
Reemplazando ( II ) en ( I )
Sen x .Cos x
1 + a
=K =
1 + a
2
( a + 1 ) ( a - 1 )
2 ( 1 + a )
=K =
( a - 1 )
2
4
de :
4 4
4 4=M

CAPITULO 7
=
4
4
=
4
=
4 4
Reemplazando ( I ) en M
4 4
4 4=M =
4 4
4 4
=M
4
4 = 3
EJERCICIO 8 Si Sen x.Cos x = 0,25,calcular
el valor de :
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=N
= 0,25 ( dato )
__3
2
Sen x + Cos x = ........( I )
__3
2
__
= 0,25 ( dato )
Sen x - Cos x = .........( II )__1
2
__
Reemplazando ( I ) y ( II ) en N
Sen x - Cos x
Sen x + Cos x
=N =
__3
2
__
__1
2
__ =
EJERCICIO 9 Si a
=
b , hallar
a
=
b
a
=
b
a
=
b
1
a
=
b
1
a
=
b
a
b
Reemplazando valores en " E "
=
a
( ) b
( )
E =
a.b
EJERCICIO 10 Eliminar " x " de :
1 + Tg x = a Sec x ........ ( 1 )
1 - Tg x = b Sec x ...........( 2 )
1 + Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
1 - Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )
Sumando ( I ) y ( II )
Sen x .Cos x
1 - Cos x
-
Sen x .Sec x
1 - Cos x
+ Sen x=E
m.c.m
= 1
= 1
Sen x .Cos x.Sec x
+Sen x=E

CAPITULO 7
Sen x
+ Sen x=E
Sen x
=E
= 1
Sen x
Sec x - 1 - Cos x + 1
=E
Sen x
Sec x - Cos x
=E
Cos x
1
Sen x=E
Cos x-
Cos x
Sen x=
=E
Cos x
Sen x
=
Cos x
Sen x
= Tg x
4
= 1
4 4
= 1
4 4
4 4
EJERCICIO 3
8 8 6 6 4
4 4 4 6 6 44
2 2 2 2 4 4 6 6 4
= 1 2 2
2 2 2 2 6 6 4
2 2 2 2 6 32 4
22 4 6 3 42
322 4 6 2 4 6 4
2 4 6 2 4 6 4
2 4 6 6 2 4 6 4
6
A = - 3 + 4
A = 1
4

CAPITULO 7
c
a + b - c = 1 + 2 - 2
a + b - c = 1
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
=E
Recordar :
Reemplazando:
( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=E
Cos x
1
=
1 ( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )
=E
Cos x
1
-( )
( 1 Cos x)( 1 - Sen x)
2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x ) Cos x
=E
-
E = 2 Cos x
1 + Sen x
1
+ Cosec x - 1
1
= a + b Tg x
c
Calcular : " a + b - c "
1 + Sen x
1
+ Cosec x - 1
1
=
Sen x
1
=
1 + Sen x
1
+
- 1
1
=
Sen x
1
1 + Sen x
1
+
Sen x
=
1 - Sen x
( 1 + Sen x ) ( 1 - Sen x )
=
= =
= =
1
+
=
a
b
__1
4
=
a
- __b
a = __1
4
= __a
4
= __a
4
= __
16
__ab
2
- __
16
=
__ab
2
___
16
=
__ab
2
__a
b =
__8
15
8
15
Reemplazando los valores en E:
E = 17 - 6__8
17( )
E = 2
Sen x + Tg x + Sec x = a ........( 1 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b .....( 2 )
Calcular " Tg x "

CAPITULO 7
Sen x + Tg x + Sec x = a
Sen x + + = a
Cos x
Sen x
Cos x
1
Sen x .Cos x + Sen x + 1 = a Cos x .......( 3 )
Cos x + Cotg x + Cosec x = b
Cos x + + = b
Sen x
Cos x
Sen x
1
Sumando ( 3 ) y ( 4 ):
0
= a + b
a + b = 0
Sen x .Cos x + Cos x + 1 = b Sen x .......( 4 )
Restando ( 3 ) - ( 4 ):
Sen x + 1 - Cos x - 1 = a Cos x - b Sen x
Sen x ( 1 + b ) = Cos x ( a + 1 )
Cos x
Sen x
=
b + 1
a + 1
Tg x =
b + 1
a + 1
2 - a=
1
2 - b=
1
EJERCICIO 9 Si Cotg x + Cos x = 1 ,hallar el
valor de : E = Cotg x + Cosec x2
Sen x
Cos x
+ Cos x = 1
Sen x
1
( )Cos x + 1 = 1
= Cosec x
Cos x ( Cosec x + 1 ) = 1
( Cosec x + 1 ) =
Cos x
1
= Sec x
Cosec x + 1 = Sec x
Cosec x - Sec x = -1 ....( I )
E = Cosecx ( Cosec x + 1 ) - 1
= Sec x
E = Cosecx .Sec x - 1 ...Elev. al cuadrado
= -1
E =

CAPITULO 7
EJERCICIO 10 A partir de la figura ,calcular
3
A B F
E
CD
A B F
E
CD a
a
a x
x
a
= , elevando al cuadrado
x + a
a
=
( x - a )( x + a )
=
a
( x - a )
=
a
( x - a )
x + a
a
= ( )3
a
( x - a )
=
Reemplazando los valores en K :
3
a
x + a
a
x - a-K =
a
x + a - x + aK =
K = 2
EJERCICIO 11 Si a Sen x + b Cos x = a , ha-
llar el valor de E = a Cos x - b Sen x
a Sen x + b Cos x = a
b Cos x = a - a Sen x
b Cos x = a ( 1 - Sen x ) ....mult. por ( 1 + Sen x )
b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen x )( 1 + Sen x )
b ( 1 + Sen x ) = a Cos x
b + b Sen x = a Cos x
b = a Cos x - b Sen x
E
E = b
EJERCICIO 12 6 4 2
6 4 2
6 4 2
2 4 2
2 2 2 2
2 4 22
2 2 4 2
2 2 4
2 2 4
2 4 2 4 6
6 4 2
KK = 6 - 2a
6
6
6
4 2
4 2
4 2
n
sea una identidad.
2 2 2
n
n
2
2
2 n
n
n
n = 2

CAPITULO 8
NIVEL I
EJERCICIO 1
_
2 }signo Funcion ( x ) ; si x es par
=
signo Cofuncion ( x ) ; si x es impar
E = Sen ( 2 - x ) + Sen ( 2 + x )_
2
_
2
par Sen x
2
+
par Sen x-
3
el seno es ( - )
E = Sen x - Sen x
E = 0
EJERCICIO 2 Calcular K =
K = =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )_
2
_
2
K =
Cotg ( 3 - x )
Tg ( 4 + x )_
2
_
2
1
3
=
Tg x
Tg x
= 1
_
2
_
2
Q ,Cotg + Q ,Tg +1 1
manera :
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )_
2
_
2
_
2
_
2
P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )_
2
_
2
Q ,Sec -3 Q ,Cotg -1
P = Sec x . Cotg x- -
P =
Cos x Sen x
Cos x1
P =
Sen x
1
= Cosec x
M = Tg( 2 + x ) Cosec ( 2
- x )
M = Tg( 2+ x ) Cosec ( - x )35
2
25
Q ,Tg -2 Q ,Csec -3
M =
Sen x Cos x
1Cos x
M = Cotg x . Sec x- -
M =
Sen x
1
= Cosec x
M = +

CAPITULO 8
manera :
M =
Sec
Sen
+
( 2
- x )1
( 2 + x)4 Cos( 2
- x)4
Cosec( 2
+ x)1
Q ,Sec +1 Q ,Cosec +2
Q ,Sen +1 Q ,Cos +4
M =
Cosec x
Sen x
+
Cos x
Sec x
M = 1
M =
M =
Tg
Sen
( 2
+ )1
( 2 + )1 Cos ( 2
+ )3
Cotg ( 2
+ )2
Q ,Tg -2 Q ,Cotg +3
Q ,Sen +2 Q ,Cos +4
+
+
M = =
1
2 +
1
2
+
1
= -
2
Sen( 2 + )20
Q ,Sen +1
.Sec ( 2 + )26
Q ,Sec -3
M =
M =
M =
2
. - 2
M = -
B =
Cos(-x)
Sen(-x)
+
Cotg(-x) = - Cotg x
Sec(-x) = Sec x
Cosec (-x) = - Cosec x
Sen(-x) = - Sen x
Cos(-x) = Cos x
Tg (-x) = - Tg x
Recordar :
B =
Cos x
- Sen x
+
B =
Cos x
- Sen x -
B =
Cos x
- Sen x - Tg ( 2
- x)2
Q ,Tg -2
B = - Tg x + Tg x = 0
Sen( 2 + )1
Q ,Sen +2
M = Cos( 2 + )2
Q ,Cos -3
NIVEL II
Sen (
2
+ )1
Q ,Sen +2
Cos(
2
+ )2
Q ,Cos -3
M = + Tg (
2
+ )3
Q ,Tg -4
+
M =
M = -
M =

CAPITULO 8
Tg (2
- x) Sen( 2
+ x)3
E =
Tg ( 2
- x). Sec Sen( 2
+ x)3
Cotg
E =
1 ( 2
- x)2
( 2
- x)2
Q ,Tg +2 Q ,Sec -2 Q ,Sen -4
Q ,Cotg -2
Cotg x . - Sec x . - Cos x
- Cotg x
E =
E = - 1
G = (a + b)Tg + (a - b) Cotg( 2
+ 45)28
Q ,Tg +1
( 2
+ 45)29
Q ,Cotg -2
G = (a + b) ( 1 ) - (a - b) ( 1 )
G = a + b - a + b
G = 2b
M =
M =
M =
M =
- Cosec
Cos ( 2
- x)1
( 2
- x)2
M =
- Cosec
Cos ( 2
- x)1
( 2
- x)2
Q ,Cos +1
Q ,Cosec +2
M =
- Cosec x
Sen x
Cos
7 +Cos
7+ Cos
7 = Cos
7
Cos
7 +Cos
7+ Cos
7 = Cos
7
Cos +Cos+ Cos = Cos
77
2
7
3
2
2
7
3-( )
Q ,Cos -2
Cos -Cos+ Cos = Cos
77
2
7
3
7
3
Cos = Cos
77
2
Cos = Cos
7
2
2
2
7
2-( )
Q ,Cos -2
Cos = - Cos
7
2
7
2
B =
Sen(-x)
+
Cos(-x)
+
Tg(-x)
B =
- Sen x
+
Cos x
-
Tg x
B =
Sen x
- Sen x
+
- Cos x
Cos x
-
- Tg x
Tg x
B = - 1 - 1 + 1
B = - 1

CAPITULO 8
Sen( 3 )Cotg ( 3 )J =
Q ,Sen -4 Q ,Cotg +1
-
2
J = . 1
-
2
J = 1
Q ,Tg -2
Sen( 2 )+x
( 2 )+x
E =
Sen
2
.Cos .Tg
Sec .Cotg .Sen
+ x
E =
( ) 2
+ x( )14
2
+ x( )16
2
+ x( )26
2
+ x( )34
2
+ x( )
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3 Q ,Tg +1
Q ,Sec -3 Q ,Cotg +3 Q ,Sen -4
Cos x . - Cos x . Tg x
- Sec x . Cotgx . - Cos x
E =
Cos x . - Cos x .
- . . - Cos x
E =
11
Cos x
Sen x
Sen x
Cos x
Cos x
1
EJERCICIO 1
Tg( 2 )+
( 2 )-
E =
11
Tg( 2 ) + Cotg
Cotg - Tg
+
( 2 )-
E =
11 ( 2 )-22
( 2 )-
Q ,Tg -4 Q ,Cotg -2
Q ,Cotg -4 Q ,Tg +1
E = = 1
( 2 )+ ( 2 )+
Q ,Cos -3 Q ,Cos -3
M = 1
2
. 1
2
. 1
2
= 1
8
EJERCICIO 3
M=
M=
Q ,Sen +1 Q ,Sen +2 Q ,Cos +4
Q ,Sen +1 Q ,Sec +1 Q ,Cos -3
Cos x.Sec x + Sen x . - Sen x
M=
M= =

CAPITULO 8
EJERCICIO 4 Calcular :
Q ,Cos -2
S = 0 - 1 = -1
EJERCICIO 5
entre " a " y " b " . Si se cumple :
Sen( 2a + 3b
6 ) Cos ( 2
+ ) = 0
Sen( 2a + 3b
6 ) Cos
2
+ ) = 0[ a - 2b
2
- ( ]
Q ,Cos -3
Sen( 2a + 3b
6 ) Sen- ) = 0
a - 2b
2(
Sen( 2a + 3b
6 ) Sen= )a - 2b
2(
2a + 3b
6
= a - 2b
2
4a + 6b = 6a -12b
18b = 2a
a = 9b
M=
M=
Q ,Sen -4 Q ,Tg +1 Q ,Cos +1
Q ,Sen +1 Q ,Tg -4 Q ,Cos +1
M=
ojo :
M=
1
M= = 3
a Sen( 2 )+ . Cos ( 2 )- = 1
a Sen( 2 )+ . Cos ( 2 )- = 1
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3
-1
a
- a = 1
- a
E = - a
EJERCICIO 8
Sen (12n + 1)[ 3 ].Cos (16n + 1)[ 4 ]
Sec (24n + 1)[ 4 ]
M=
Sen 8n +( 2 ) .Cos
M=
3
8n +( 2 )4
Sec 12n +( 2 )4
Sen 8n +( 2 ) .Cos
M=
3
8n +( 2 )4
Sec 12n +( 2 )4
Q ,Sen +1 Q ,Cos +1
Q ,Sec +1

CAPITULO 8
Sen .Cos
M=
3 4
Sec
4
=
M=
2 2
=
4
EJERCICIO 9
( A < B < C ) ; reducir :
Sen ( A + 2C + 3B )
=
Sen ( B - C )
Cos ( B + 2A + 3C)
+
Cos ( B - C )
P
A = x - r
B = x
C = x + r
{
Reemplazando valores en " P ".
=
Sen ( - r )
+
Cos ( - r )
P
=
Sen ( - r )
+
Cos ( - r )
P
Q ,Sen +1 Q ,Cos +1
Sen r
=
- Sen r
Cos r
+
Cos r
P
= - 1 + 1 = 0P
K=1
8
Q ,Cotg -2
= 0
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE
ANGULOS COMPUESTOS

CAPITULO 9
NIVEL I
Sumando m.a.m
EJERCICIO 2
12
13
=
4
5
=
12
5
13 3
4
5
12
13
4
5
- 5
13
3
5
48
65
15
65
-
33
65
EJERCICIO 3 1
4
1
2
+
1 -
1
4
1
2
1
4
1
2
.
3
4
7
8
6
7
6
7
EJERCICIO 4
1
2
. 3
5
+
2
. 4
5
3
10
+
10
10
EJERCICIO 5 Si Tg (x + y) = 4 ; y Tg (y - z) = 3,
Calcular : Cotg ( x + z )
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg [ ( x + y ) - ( y - z ) ] =
Tg( x + y ) - Tg( y - z )
1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )
Tg ( x + z ) =
4 - 3
1 + (4)(3)
Tg ( x + z ) =
1
13
Tg ( x + z ) =
Cotg ( x + z ) = 13
EJERCICIO 6 6
5
=
1 + Tg x
1 - (1).Tg x
=6
5
6 - 6 Tg x = 5 + 5 Tg x
11 Tg x = 1
=Tg x 1
11
EJERCICIO 7 Si Sen (x + y) = 3 Sen (x - y) ,hallar
el valor de : M = Tg x . Cotg y

CAPITULO 9
Sen (x + y) = 3 Sen (x - y)
Senx.Cosy + Seny.Cosx = 3 (Sen x.Cos y - Sen y.Cos x )
4 Seny.Cosx = 2 Sen x.Cos y
Sen x.Cos y
Sen y.Cos x
4
2
=
2 = Tg x.Cotg y
M = 2
Sabemos que :
=
1 =
=
Reemplazando ( I ) en " P "
P = 1
EJERCICIO 9
A B
N
C
2
3
A B
N
C
2
3
4
+
1 -
=
3
4
3
4
5
4
=
45
4
4
=
8
31
K =
=
= K
= K
= K
K
3
=
NIVEL II
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
R
Sen x.Cos y + Cos x.Sen y
Cos x.Cos y - Sen x.Sen y
=
= Cos ( x + y )
= Sen ( x + y )
R
Sen ( x + y )
Cos ( x + y )
= = Tg ( x + y )

CAPITULO 9
R = Tg ( x + y )
R =
R =
EJERCICIO 2 1
3= - 2
O
x
y
-3
1
A
Por T. P tenemos :
=
1
=
-3
Reemplazando valores:
1 . 1
+
1 -3.
-2 -1
= =
5
Sabemos que :
=
=
= 1
E = 2
EJERCICIO 4
=
=
( a + 1 ) - ( a - 1 )
1 + ( a + 1 )( a - 1 )
=
2
=
2
=
Escribiendo " P " de la siguiente forma :
= .......( I )P
Sabemos que :
=
= 1
1 + 1
=P
= 2P

CAPITULO 9
Escribiendo " K " de la siguiente manera :
2
2
2
2
1
2
1
2
2 2
1
M=
Escribiendo " M " de la siguiente manera :
M=
Q ,Sen +2 Q ,Cos -3
Q , Sen +2
M=
Recuerda :
M=
M=
M=
M=
1
M=
M = 2
4
4
1
BA
D C
P
4
4
1
BA
D C
P
N
N
M
M
3
2
H
3
4 B
M
2
A
2
4=
1
2=
4
H B
N
4
3=

CAPITULO 9
+
1 -
1
2
4
3
1
2
4
3
.
11
6
2
6
11
2
A B
2
3
D
C
A B
2
3
D
C
5
A B
2
D
5
2
5=
-
1 +
1 2
5
1 2
5
.
3
5
7
5
3
7
3
7
Desarrollando " E "
Asociando :
E = +
2 2
E =
2
+
E =
2
+( )W=
Desarrollando " W "
W = 0

CAPITULO 9
Sen ( x - y ) - Sen ( x + y )
2 Cos x .Sen y
E =
Desarrollando el seno de la suma y diferencia de
Senx.Cosy-Seny.Cosx-Senx.Cosy-Seny.Cosx
2 Cos x .Sen y
E =
-2 Sen y.Cos x
2 Cos x .Sen y
E =
E = - 1
EJERCICIO 3
valor de P =
=E
=E
=E -
=E -
=E -1
2 ( )
=E 1
2
= 4
=E 1
2
( 4 )
E = 2
Sen x + Sen y = a ........ 1
Cos x + Cos y = b ........ 2
Hallar Cos ( x - y )
Sen x + Sen y = a ........ 1 elev. al cuadrado*
Cos x + Cos y = b ........ 2 elev. al cuadrado*
Sumando m.a.m. ( I ) y ( II )
= 1 = 1
Sen x.Sen y+ Cos x.Cos y
2
=
Cos ( x - y )
2
=
= Cos( x - y )
EJERCICIO 5
Tg A
2
=
Tg B
3
=
Tg C
4
, calcular " Tg C ".
Tg A
2 =
Tg B
3 =
Tg C
4 = k
Tg A = 2k ; Tg B = 3k ; Tg C = 4k
Tg A + Tg B
1 - Tg A .Tg B
= - Tg C
2k + 3k
=
1 - 2k.3k
- 4k
=
9
24
=
3
8
=k =
4
Tg C = 4k
Tg C =

CAPITULO 9
EJERCICIO 6
Sen A + Sen B.Cos C = 0 , calcular : E = 2 Tg B + Tg C
E = 2 Tg B + Tg C
2 Sen B
Cos B
=E +
Sen C
Cos C
2 Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
Cos B.Cos C
=E
Sen A = Sen ( B + C )
Sen A = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B ......( II )
.......( I )
Sen A = - Sen B.Cos C......( dato) .......( III)
Reemplazando ( III ) en ( II )
- Sen B.Cos C = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B
- 2 Sen B.Cos C = Sen C.Cos B .......( IV)
Reemplazando ( IV ) en ( I )
2 Sen B.Cos C - 2 Sen B.Cos C
Cos B.Cos C
=E
Cos B.Cos C
=E
0
E = 0
M
A
B N C
M
A
B N C
6
4 4
MN = 3 ,por teorema de los
puntos medios
3
B N4
3
M
3
4
A
B N
6
4
6
4
+
1 -
3
4
6
4
3
4
6
4
.
9
4
-2
16
- 18
Reemplazando ( I ) en " M "

CAPITULO 9
EJERCICIO 9
2
2
2
2
1
2
1
2
2 2
1
= E
[ - 2 ; 2 ]
EJERCICIO 10
A C
N
B
M
A C
N
B
M
a
a b
b
A
N
B
M
a
a b2a
b
C
N
B
M
a b
b
a
2b
-
1 +
2a
b
a
2b
2a
b
a
2b
.
3a
2b
3ab 3
2
ab
( )
ab 1
2
1
2
3
2
. 1
2
3
4
Reemplazando en ( I ) :
3
2
ab
( )

CAPITULO 9
EJERCICIO 11
ABC con CM ( mediana ) .Calcular :
CA
B
M
CA
B
M
k
-
1 +
3 6
.
3 6
=
6
6
7
=
7
7
Reemplazando en " R "
7
)(
R = 5
M =
=
=
24
7
-
1 +
3
4
7
24
3
4
7
24
.
11
24
117
96
44
117
4 + 3
3 - 4
M =
)44
117(
)44
117(
=
600
175
M = 24
7
y " b ".
Expresando ( 1 ) y ( 2 ) de la siguiente forma :
+
2
=
2
=

CAPITULO 9
EJERCICIO 14 Si se cumple : Tg ( a+b+c ) 2
5=
Tg 2b 1
5= ,calcular Tg ( a - b + c )
Tg [ ( a + b + c ) - ( 2 b ) ] Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
= ( a - b + c )
Tg ( a - b + c ) Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )
1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)
=
Tg ( a - b + c ) =
-
1 +
2
5
1
5
2
5
1
5
.
1
5
27
25
5
27= =
EJERCICIO 15 Si :
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 )
+
2
=
2
=
2
=
EJERCICIO 16 Si Sen x + Sen y 6
5= ....(1)
Cos x - Cos y 2
5= ....(2)
Calcular : Cos ( x + y )
Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 ) y luego sumando
ambos miembros tenemos :
36
25=
4
25=
+
2 + 2 Sen x.Sen y - 2 Cos x.Cos y
40
25=
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
40
25= - 2
2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )
10
25= -
- ( Cos x.Cos y - Sen x.Sen y )
10
50= -
= Cos ( x + y )
Cos ( x + y ) 1
5=
DOBLE
Sen 2A = 2 Sen A.Cos A
Cos 2A =
{
2 Tg A
Tg 2A =
2 Cotg A
Cotg 2A =
2 Tg A
2 Tg A
Sen 2A =
Cos 2A =
2A

CAPITULO 10
NIVEL I
EJERCICIO 1 1
2
=
2
1
= 2 1 . 2
=
4
5
EJERCICIO 2
2 1
( )
2
- 1
2 - 11
6
- 2
3
EJERCICIO 3
hallar el valor de : " Tg 2x "
3
1
x
2 Tg x
Tg 2x =
Tg ( 2x) =
1 -
1
3( )2
1
3( )2
Tg ( 2x) = 3
4
=M
=M
1
( )
=M
( )
M = 1
EJERCICIO 5 Reducir : =M
=M =
=M = =
EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar
" Sen 2x "
Sen x + Cos x = a , elevando al cuadrado
Sen 2x
Aplicando diferencia de cuadrados :
= 1
W = 1 - 1
W = 0
EJERCICIO 8
el valor de " Tg 2x "

CAPITULO 10
= 2
1 + Tg x
1 - Tg x
= 2
1 + Tg x = 2 - 2 Tg x
3 Tg x = 1
Tg x =
1
3
EJERCICIO 9 Simplificar : 2 Tg 5x
=R
2 Tg 5x
=R
2
1 +
=
Sen 5x
Cos 5x( )
Sen 5x
Cos 5x( )
2
2
1 +
Sen 5x
Cos 5x( )
=R
2
Sen 5x
Cos 5x( )
=
=R
2
Sen 5x
Cos 5x( )
=
2 Sen 5x.Cos 5x
= 1
R = 2 Sen 5x.Cos 5x = Sen 10x
EJERCICIO 10 De la figura , hallar " x "
A B
2
3
D
C
x
=
1 -
2
x5
x
( )2
2
x( )2 =
4
x5
x
;=
4 x5
x
NIVEL II
Descomponiendo en factores :
EJERCICIO 2 Si Tg x + Cotg x = 8 ,hallar el
valor de : " Cos 4x "
de seno y coseno :
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
= 8
Sen x .Cos x
= 8
= 1

CAPITULO 10
1 = 8 Sen x.Cos x
1 = 4 ( 2 Sen x.Cos x )
1 = 4 ( Sen 2x )
Sen 2x =
1
4
Cos 4x = 1 - 2 1
4( )2
Cos 4x =
7
8
EJERCICIO 3 Calcular " m " en la igualdad :
= Cos mx
=
de seno y coseno .
-
Sen 4x
Cos 4x
=
1
2
2
+
Sen 4x
Cos 4x
1
2
2
Cos mx
Cos 4x - Sen 4x
Cos x
=
2
4
Cos 4x + Sen 4x
Cos x
2
4
Cos mx
2
2
Cos 4x - Sen 4x = Cos mx2 2
= Cos 2 ( 4x ) = Cos 8x
Cos 8x = Cos mx
m = 8
Sen x + Cos x = A + B Cos 4x4 4
Calcular : A + B
Sabemos que :
4 4
Sen x + Cos x + ( Sen x.Cos x) ( Sen x.Cos x) = 14 4 2 22
4
= Sen 2x = Sen 2x
Sen x + Cos x + ( Sen 2x) ( Sen 2x ) = 14 4 2
4
4 4 2
4
Sen x + Cos x = 1 -4 4 1
2
1 - Cos 4x
2( )
Sen x + Cos x = 1 - +4 4 1
4
Cos 4x
4
Sen x + Cos x = +4 4 3
4
1
4
Cos 4x
A + B Cos 4x = +3
4
1
4
Cos 4x
A + B = +3
4
1
4
A + B = 1
sabiendo que :

CAPITULO 10
Sec x4
E =
E = Sen x
Cos x( ) 4
E = 3
4 Sen x 1 - Cos xE = 3
( )
4 Sen x Cos xE = 3
( )
E =
= Cos 2x
2 . 2 Sen x.Cos x .Cos 2xE =
= Sen 2x
2 Sen 2x .Cos 2xE =
Sen 4xE =
EJERCICIO 9
A B
M
C
de seno y coseno
+ - 1 = 08
=
1
4
1
4
=
1 -
1
4( )2
1
4( )2
8
15
B
M
C
A
a
a
b
En el ABC :
=
b
2a
En el ABM :
=
a
b
2 Tg x
Tg 2x =
2 Tg x
Tg 2x
=
2 Tg 2x
Tg 4x =
2 Tg 2x
Tg 4x
=
2 Tg 4x
Tg 8x =
2 Tg 4x
Tg 8x
=
Reemplazando :
E =
2 Tg x
Tg 2x( ) 2 Tg 2x
Tg 4x( ) 2 Tg 4x
Tg 8x( )
E =
8 Tg x
Tg 8x
E = 8 Tg x.Cotg 8x

CAPITULO 10
b
2a =
a
b
Igualando las tangentes :
=
b
=
1
a
1
=
1 -
( )2
)2
1
1
(
=
2
1
2
=
Hallar el valor de " n " .
= Q , Cos +1
Sen 2x = n Sen x.Cos x
2 Sen x.Cos x = n Sen x.Cos x
n = 2
EJERCICIO 1 Simplificar : E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
E =
1 - Cos 8x
1 + Cos 8x
=
E = =
Sen x + Cos x = A + B Sen 2x , calcular :" A + B "6 6 2
6 6
Sen x + Cos x = 1 - ( 2 Sen x Cos x)( 2 Sen x.Cos x )3
4
= Sen 2x = Sen 2x
Sen x + Cos x = 1 - ( Sen 2x )( Sen 2x )3
4
3
4
6 6
6 6
6
6
6
6
A = 1
B = - 1
4
A + B = 1
4
EJERCICIO 3
Reemplazando ( I ) en ( II )
EJERCICIO 4

CAPITULO 10
=
1
8
W
=
1
8
EJERCICIO 5
=A
=W
- 2
2
- 1
=W
2
=
=W = =
=W
EJERCICIO 6
M = ( Sec x - Cos x ) ( Cosec x - Sec x )
M = ( - Cos x ) ( - Sen x )
1
Cos x
1
Sen x
))(( Cos x Sen x
=M
))(( Cos x Sen x
=M
= Sen x.Cos x ; ...mult. y div. por ( 2 )M
= Sen x.Cos xM 1
2
2
= Sen 2x
= Sen2xM 1
2
EJERCICIO 7 Siendo :
f ( x ) = ( Sec x + Cosec x ).Cos ; calcular(x +
4 )
el valor de : " f "
8 )(
1
Cos x
+
1
Sen x( )f ( x ) =
Sen x + Cos x
Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)( )f ( x ) =
2
Sen x + Cos x
2 Sen x.Cos x
(Cos x - Sen x)( )f ( x ) =
2 Sen x.Cos x( )f ( x ) =
Cos 2x
Sen 2x(f ( x ) =
f ( x ) =
)
1
( ) 1
( )
=P
=P
=P
( 1
2 2 )
=P
P = 4
EJERCICIO 9

CAPITULO 10
A B
C
D
a
b
A B
C
D
a
b
x
a + b
x
=
b
x
2
1 - ( b
x )2
a + b =
a - b
a + b
=
a - b
a + b =
b
x
a - b
a + b =
EJERCICIO 10
= 1 + Cos 2x
2
= 1 - Cos 2x
2
Recordar :
Reemplazando en " E "
E = 9 + 4 ( 2Sen x.Cos x) - 61 - Cos 2x
2( ) 1 + Cos 2x
2( )
9
2
= Sen 2x
E = -
9Cos 2x
2
4Sen 2x+ - 6
2
-
6Cos 2x
2
E = 4 Sen 2x + 3
2
-
15
2
Pero :
Cos 2x
-
15
2
+
15
2( )- +
15
2( )
Puesto que :
-
15
2
289
4
- 289
4
-
15
2
17
2
- 17
2
3
2( )
-
15
2
17
2
- 17
2
+
3
2
+
3
2
-
15
2
14
2
- 20
2
+
3
2
+
3
2
= E
- -
[ - 7 ; 10 ]

CAPITULO 10
TRIPLE
CUADRO DE FORMULAS IMPORTANTES:
=
=
NIVEL I
EJERCICIO 1 1
3
Sabemos que :
=
1
3( ) 1
3( )
=
4
27
=
23
27
EJERCICIO 2 Si se cumple que : Cos x = - ,1
5
hallar el valor de : " Cos 3x "
Sabemos que :
Cos 3x 4 - - 3 -=
1
5( ) 1
5( )
Cos 3x = +
- 4
125
Cos 3x =
71
125
3
5
EJERCICIO 3
Sabemos que :
12 - 64
1 - 48
- 52
- 47
=
52
47
EJERCICIO 4
4
5( ) 4
5( )
256
125
12
5
44
125
-
Dandole la siguiente forma :

CAPITULO 10
M =
1
2
K = -
K = -
K = -
K = +
= 1
K = 6 - 4
K = 2
EJERCICIO 7
Cos 3xW = 4 -
W = 4 -
W = 4 -
W =
W =
3
EJERCICIO 8 Reducir :E =
Reemplazando " Sen 3x " y " Cos 3x " :
E =
3 Cos x
E =
3 Sen x
E = Tag x
EJERCICIO 9 Hallar " A " en la identidad :
Sen 12x
Sen 4x
+
Cos 12x
Cos 4x
= 4 Cos Ax
Sen 3( 4x )
Sen 4x
+
Cos 3( 4x )
Cos 4x
= 4 Cos Ax
Sen 4x
+
Cos 4x
= 4 Cos Ax
= Cos 2 ( 4x )
4 Cos 8x = 4 Cos Ax
A = 8
9( )f
= Cos 3x
f ( x ) = Cos 3x + 1 , para x = , tenemos :
9( )f = Cos 3 + 19( )
9( )f = Cos + 13( )
9( )f
9( )f = + 1
1
2
9( )f =
3
2
9( )

CAPITULO 10
B
A H
1
x
B
H C
2
x
=
x
1 =
x
2
Sabemos que :
Reemplazando :
x
2 =
x
2 =
1
2 =
7
8=
7
8=
Sabemos que :
Reemplazando :
7
8( )
3
4
Hallar el valor de : " A + B "
= 1
2
1
2
1
8
3
4
1
8
3
4
A + B = -3
4
1
8
A + B = 5
8
EJERCICIO 8 Si
Sen 9x
Sen 3x
= A Cos Bx + C ,
hallar : " A.B.C "
Sen 3( 3x )
Sen 3x
= A Cos Bx + C
Sen 3x
= A Cos Bx + C
= Cos 2 ( 3x )
2 Cos 6x + 1 = A Cos Bx + C
A.B.C = (2)(6)(1) = 12
EJERCICIO 9
" Tg 3x "
Tg 3x =
1 - 6
Tg 3x =
5
Tg 3x =
Sabemos que :

CAPITULO 10
EJERCICIO 10
1 2
1 2
H
M
C
A B
Sea : CM = MH = x
x
x
Sabemos que :
1
H
C
A
2x
2
M
B
x
H
= 2x
1 = x
2
2x =
x
2( ) x
2( )
x
2( )
-
1 - 3
2 =
3
2 8
4
-
2 =
3
2 8
4
2 =
4
8
; 2 =
1
2
2 = ;
x =
2
2
M
BH
2
2
( )
MB = 48
11
48
11
Sabemos que :
Reemplazando :
( 48
11
2
)2
44
48( )
11
12( )
11
6
5
6
EJERCICIO 1 Si Tg x + Cotg x = 6 , hallar :
" Sen 6x "
y " Cos x "
Sen x
Cos x
+
Cos x
Sen x
= 6
Sen x .Cos x
= 6
= 1
1 = 6 Sen x. Cos x

CAPITULO 10
1 = 6 Sen x. Cos x
1 = 3 ( 2 Sen x. Cos x )
= Sen 2x
Sen 2x = 1
3
Sabemos que :
Sen 3x 3 - 4=
1
3( ) 1
3( )
Sen 3x 1 -=
4
27
=
23
27
EJERCICIO 2
x
3( )Tg (Tg x
3)- (Tg x
3)+K =
Recordar :
Reemplazando :
x
3( )TgK = 3
K = Tg x
Sen 3x - Cos 3x
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C , hallar " A + B + C "
gulo triple :
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
Sen x + Cos x
= A Sen Bx + C
= A Sen Bx + C
= 1
3 - 4 ( 1 - Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C
3 - 4 ( 1 - 2 Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C1
2
= Sen 2x
3 - 4 ( 1 - Sen 2x ) = A Sen Bx + C1
2
3 - 4 + 2 Sen 2x = A Sen Bx + C
2 Sen 2x - 1 = A Sen Bx + C
A = 2
B = 2
C = - 1
A + B + C = 2 + 2 - 1 = 3
M = 3Sen x - 4Sen x + 4Cos x - 3Cos x4 6 6 4
M = 3 ( Sen x - Cos x ) - 4 ( Sen x - Cos x )4 4 6 6
4 2 2 4
= 1
4 4
= Sen 2x
= Cos 2x
M = Cos 2x3
Sabemos que :

CAPITULO 10
E =
1 - Cos 3x
1 - Cos x
- 1
E =
1 - Cos x
- 1
E =
1 - Cos x
- 1
E =
- Cos x + 1
- 1
Dividiendo por Ruffini :
Cos x - 1 = 0
Cos x = 1
*
4 0 - 3 - 1
1
4
4
4
4
1
1
0
E =
Cos x - 1
- 1
E =
E =
E = 2 Cos x + 1 - 1
E = 2 Cos x
EJERCICIO 10
=
4
x3 5 62
Entonces :
MITAD
2( )Sen
2
2( )Cos
2
2( )Tg
2( )Cotg
F.T.en el cuadrante en el cual se ubica
2( )
2( )
2( )
2( )Tg
2( )Cotg
x
2( )2 Sen =n 2 - 2 + 2 + ..... 2 + 2Cos x
x
2( )2 Cos =n 2 + 2 + 2 + ..... 2 + 2Cos x
* n : # de radicales

CAPITULO 10
NIVEL I
EJERCICIO 1 =
3
8 1
x
2
" Sen "
x
2
Sen
2 1
x
2 1
x
2
Sen
1 -
2
= +
3
8
x
2
Sen 5
16
=
x
2
Sen
4
=
EJERCICIO 2 1
2
" Cos "
0
y
x
1
H
H = 8
2( )Cos = +
2
=
8
2
Cos
1 +
2
= +
1
8
2
Cos 9
16
=
2
Cos 3
4
=
EJERCICIO 3
2
Tg = +
1 -
2
1 +
2
= +
x =
4 - 2
x =
2
=
EJERCICIO 4
2
Cotg = +
1 + 4
5
1 -
5
4
=
9
1
3
EJERCICIO 5 5
13
= - 3
2
" Sen "
2
2 2
" " 2
2
Sen
1 -
2
= +
5
13
2
Sen 18
26
=
2
Sen =
)(-
9
13
=
13
EJERCICIO 6 4
2
" Cos "
2
2 2
" " 2
2
Cos
1 +
2
= -
1
6 )(

CAPITULO 10
2
Cos 7
12
= -
2
Cos = - x = -
6
EJERCICIO 7 Reducir M = -x
2
Cotg x
2
Tg
2( )Tg
2( )Cotg
Recordemos que:
Reemplazando :
M = ( Cosec x + Cotg x ) - ( Cosec x - Cotg x )
M = 2 Cotg x
EJERCICIO 8 Simplificar A = 1 - Sen x. x
2
Tg
Reemplazando :
A = 1 - Sen x ( Cosec x - Cotg x )
A = 1 - Sen x -1
Sen x )( Cos x
Sen x
A = 1 - 1 + Cos x
A = Cos x
EJERCICIO 9 Reducir : B = 1 + Cos x
Sen x
B = +1
Sen x
Cos x
Sen x
B = Cosec x + Cotg x
B = Cotg x
2
= 2 - 2 + 2 Cos 4xQ
= 2 - 2 + 2 Cos 4xQ 4x
2( )2 Sen 2=
2 Sen x=
NIVEL II
valor de : K = + 1x
2
2 Tg
3
0
y
x
x
- 2
- 1
H
x
2
x
2
" " 2
x
2
K = 2 ( Cosec x - Cotg x ) + 1
K = 2 - - + 1)( 1
22
EJERCICIO 2 60
61
= 4
A
2
" Cotg "
A
2
A
2
A
2
" " 2
A
2
Cotg
1 +
= -
60
61
A
2
Cotg 121
1
= -
A
2
Cotg = - 11
)(
1 - 60
61)(
2
Sen ( ) 2

CAPITULO 10
Sabemos que :
3
5
2
1 +
2
3
5
5
EJERCICIO 4
x
2
Tg x
2
x
2
x
2
M = Cosec x - Cotg x . Cos x
M = - . Cos x1
Sen x
Cos x
Sen x
M = = = Sen x
Sen x Sen x
K = Cotg x + Tg x - Tg . Cos x( x
2
)
K = Cotg x + [ Tg x - ( Cosec x - Cotg x ) ] . Cos x
K = Cotg x + Sen x - Cotg x +
Sen x
K = Sen x +
Sen x
K = Sen x
K = = Cosec x
1
Sen x
8
P = Cotg - Tg
8
4
P = ( Cosec + Cotg ) - ( Cosec - Cotg )
4 4 4
4
P = 2 ( 1 )
P = 2
24
" Cotg "
24
Cotg = Cosec + Cotg
12 12
24
24
24
2 + 2 + ......+ 2 + 2Cos 32xE =
8 radicales
2 + 2 + ......+ 2 + 2Cos 32xE =
8 radicales
E =
32x
2( )2 Cos 8
E = x
8
2 Cos
EJERCICIO 9
R = Cosec - Cosec - Cosec -Cosec x -Cotg xx
8
x
4
x
2
R = Cosec - Cosec - Cosec -(Cosec x+Cotg x)x
8
x
4
x
2
R = Cosec - Cosec - Cosec - Cotgx
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - ( Cosec + Cotg )x
8
x
4
x
2
x
2
R = Cosec - Cosec - Cotgx
8
x
4
x
4
R = Cosec - ( Cosec + Cotg )x
8
x
4
x
4
R = Cosec - Cotgx
8
x
8
R = Tg x
16

CAPITULO 10
B = + 1 -Sen x
Cos x
1
Sen x ( 1
Cos x )
B = Sen x.Cos x
B = Sen x.Cos x
B = Sen x.Cos x
B =
1 - Cos x
Sen x =
1
Sen x -
Cos x
Sen x
B = Cosec x - Cotg x
B = Tg x
2
EJERCICIO 1 Simplificar : A =
1 - Cos x + Sen x
1 + Cos x + Sen x
A =
x
2
x
2
A =
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 Cos ( Sen + Cos )
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
A = Tg x
2
EJERCICIO 2 2 ab
2
2ab
4 4
4 4
2
Tg
2
Tg = -2ab 2ab
2
Tg = 2ab
2
Tg = =
2ab
b
a
EJERCICIO 3
E =
Cosec x - 1
Cosec x + 1
- 1
E =
1
Senx
+ 11
Senx
=
1 - Sen x
1 + Sen x
1 - Cos - x
E =
2
= Tg - x
( )
1 + Cos - x
2( )
1
2 2( )
E = Tg -
4
x
2( )
EJERCICIO 4 2
A = 2 Cos
2
22 2
EJERCICIO 5 Sabiendo que
2 2
Hallar el valor de :
2 2
E = .
1 -
1 +
E = .
E = .
1
5
E =

CAPITULO 10
2 + 2 + 2 + 2Cos 8x
R =
x
2
8x
2( )2 Cos 3
R = x
2
R = x
2
2 Cos x
= x
2
2 x
2
R = 1
x
2
x
2
x
2
x
2
Calcular : " M.N "
x
2
x
2
1
2
M.N = 2 x = 11
2
EJERCICIO 8
2
E = =
2 2 2
2 2 2 2
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
2 2
=
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
Sen + Cos
2 2
2 2 2 2 2
2
4
2
Sen + Cos = -
2 2 (Sen + Cos
2 2 )
E =
2 Sen ( Sen + Cos )
2 2 2
- Sen + Cos
2 2( )
= - 2 Sen
2
Sabemos que :
2( )Tg
2( )Cotg
2( )Tg -
2( )Cotg =
2( )Cotg -
2( )Tg =
x
4
x
4
x
4
x
4

CAPITULO 10
x
2
Tg = Cosec - Sen ,....datox
4
x
2
x
4
x
2
x
2
Sen = Cotgx
2
x
2
Sen =x
2
Cos x
2
Sen x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
Cos =x
2 2(1)
Cos =x
2 2
x
2
x
2
( + )
2
2
x
4
x
2 )(
Reemplazando :
x
4 )( 2
x
Sen ( A+B ) + Sen ( A - B ) = 2 Sen A .Cos B ....I
1.Transformaciones de suma o diferencia a producto
Sen ( A+B ) - Sen ( A - B ) = 2 Cos A .Sen B ....II
Cos ( A+B ) + Cos ( A - B ) = 2 Cos A .Cos B ...III
Cos ( A - B ) - Cos ( A + B ) = 2 Sen A .Sen B ...IV
4
Siendo : A > B
Siendo : x > y
Sen x + Sen y = 2 Sen .Cos
x + y
2( ) x - y
2( )
Sen x - Sen y = 2 Cos .Sen
x + y
2( ) x - y
2( )
Cos x + Cos y = 2 Cos .Cos
x + y
2( ) x - y
2( )
Cos x - Cos y = 2 Sen .Sen
x + y
2( ) x - y
2( )
2.Transformaciones de producto a suma o diferencia
Siendo : A > B
2
2 Sen A . Cos B = Sen ( A + B ) + Sen ( A - B )
2 Cos A . Sen B = Sen ( A + B ) - Sen ( A - B )
2 Cos A . Cos B = Cos ( A + B ) + Cos ( A - B )
2 Sen A . Sen B = Cos ( A - B ) - Cos ( A + B )

CAPITULO 11
NIVEL I
( )2 ( )2
1
( )2
EJERCICIO 2 Simplificar : P =
P = =
P = 1
K = 0
Transformado a producto :
EJERCICIO 5 Reducir:
Sen 6x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4xA =
Transformando a producto el numerador y deno
minador :
2 Cos 5x. Sen x
2 Cos 5x.Cos xA = = Tg x
EJERCICIO 6 Transformar a producto :
2
2
}
2
Transformando a producto :
EJERCICIO 7 Expresar como producto :
Sen 2x
W =
Sen 2x
W = , Aplicando diferencia de
cuadrados
( Sen 7x - Sen 5x ).(Sen 7x + Sen 5x )
Sen 2xW =
Transformando la suma y diferencia a producto
( 2 Cos 6x.Sen x ).( 2 Sen 6x. Cosx )
Sen 2xW =
ordenando factores :
( 2 Sen x.Cos x ).( 2 Sen 6x. Cos 6x )
Sen 2xW =
W = Sen 12x
2 Sen 6x.Cos 2x - Sen 4x
2 Cos 5x.Cos x - Cos 6x
M =
Transformando de producto a suma :
Sen 8x + Sen 4x - Sen 4x
Cos 6x + Cos 4x - Cos 6x
M =
Sen 8x
Cos 4x
M =
2 Sen 4x.Cos 4x
Cos 4x
M =
M = 2 Sen 4x

CAPITULO 11
Sen 2x + Sen 4x + Sen 6x
Cos 2x + Cos 4x + Cos 6xY =
( Sen 2x + Sen 6x ) + Sen 4x
( Cos 2x + Cos 6x ) + Cos 4xY =
Ordenando :
2 Sen 4x.Cos 2x + Sen 4x
2 Cos 4x.Cos 2x + Cos 4xY =
Sen 4x ( 2 Cos 2x + 1 )
Cos 4x ( 2 Cos 2x + 1 )Y =
Sen 4x
Cos 4xY =
3
4Y =
EJERCICIO 10 Transformar a producto :
Ordenando y transformando a producto :
NIVEL II
Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x = Sen Ax.Cos Bx
calcular : " A + B "
( Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x) = Sen Ax.Cos Bx2 21
2
( Sen 5x+ Sen 3x + Sen 7x - Sen 3x) = Sen Ax.Cos Bx1
2
( Sen 5x + Sen 7x ) = Sen Ax.Cos Bx1
2
( 2 Sen 6x.Cos x ) = Sen Ax.Cos Bx1
2
Sen 6x.Cos 1x = Sen Ax.Cos Bx A + B = 7
Transformando el producto a suma :
2N =
EJERCICIO 3 Simplificar : Cos 8x
P =
Multiplicando y dividiendo por 2 :
Cos 8x
P =
1
2
Cos 2A ={
Reemplazando :
[ ( 1 + Cos 12 x ) - ( 1- Cos 4 x ) ]
Cos 8x
P =
1
2
[ Cos 12 x + Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
[ 2 Cos 8 x . Cos 4 x ]
Cos 8x
1
2
P = Cos 4x
Sen x + Sen ( nx ) + Sen ( 2n - 1 ) x
Cos x + Cos ( nx ) + Cos ( 2n - 1 ) xK =
2 2
P =
P =
Asociando y transformando a producto :
[ Sen x + Sen ( 2n - 1 ) x ] + Sen ( nx )
[ Cos x + Cos ( 2n - 1 ) x ] + Cos ( nx )K =
K =
2 Sen .Cos + Sen ( nx)(x + (2n - 1 ) x
)2 (x - (2n - 1 ) x
)2
2 Cos .Cos + Cos ( nx)(x + (2n - 1 ) x
)2 (x - (2n - 1 ) x
)2

CAPITULO 11
K =
2 Sen ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Sen ( nx)
2 Cos ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Cos ( nx)
Factorizando :
K =
Sen ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
Cos ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]
K = Tg ( nx )
Transformando la suma a producto :
2 Sen .Cos( )2 ( )2
K =
2
Reemplazando :
K =
Multiplicando y dividiendo por 2 :
2
1 2 2
R = ( Cos 6x + Cos 2x + 1 - Cos 6x )
2
1
R = ( 1 + Cos 2x )
2
1
2
1
EJERCICIO 7 Si x + y = , calcular :
4
Sen 2x + Sen 2y
Cos 2x + Cos 2yE =
2 Sen ( x + y ) . Cos ( x - y )
2 Cos ( x + y ) . Cos ( x - y )E =
E = Tg ( x + y )
E = 1
Ordenado :
S = Cos + Cos + Cos +........+ Cos
39 39 39 39
Cos + Cos + Cos +......+Cos =
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
1
2
Cos + Cos + Cos +......+ Cos = -
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
1
2
Propiedad :
+
S =
1
2
Multiplicando ambos miembros por 2 :

CAPITULO 7
A = ( 1 + Cos x ) Sen x
( 1 + Cos x )
A =
1
Sen x
= Cosec x
K =
K = =
K = =
K = =
Cos x
Sen x6
6 = Tg x6
EJERCICIO 6 Si Tg x + Cotg x = 5 , hallar
Tg x + Cotg x = 5 .....elevando al cuadrado
= 1 ( identidad reciproca )
EJERCICIO 7 =Sen x
1 - Cos x a , hallarSi
= Sen x
1 + Cos xP
= Sen x
1 + Cos xP
multiplicando y dividiendo por ( 1 - Cos x )
1 - Cos x
1 - Cos x
= Sen x ( 1 - Cos x )
P
= Sen x ( 1 - Cos x )
P
= ( 1 - Cos x )
Sen xP
=Sen x
1 - Cos x
a
........( I )
Sabemos que :
1 - Cos x
Sen x __1
a=
Reemplazando en ( I )
=P __1
a
EJERCICIO 8 S i Sen x = a ; Tg x = b , hallar
Reemplazando :
= 1 ..... I. Reciproca
N = 1
1 1
- = 4
= 4

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