Aplicación de powerpoint a problemas de hipérbolas

1. 1
Hallar los elementos principales: Coordenadas
de los vértices del lado Real y Imaginario, las
coordenadas de los focos, los lados rectos, las
coordenadas de los extremos de los lados
rectos, las directrices, las asíntotas y las
gráficas de las siguientes ecuaciones:
2
3
4
SALIR
𝟏𝟔𝒙 𝟐 − 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟐𝟑𝟎𝟒
𝟑𝟔𝒚 𝟐
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎
𝟑𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟑𝟔𝟎𝒚 − 𝟔𝟒𝒙 𝟐
− 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟏𝟔𝟔𝟎 = 𝟎
𝑥2
+ 2𝑥 − 3𝑦2
+ 24𝑦 − 44 = 0

2. SOLUCIÓN 1
Datos del problema:
Dividimos ambos miembros entre el término
independiente, desarrollamos y operamos :
16𝑦2 − 20𝑥2 − 144 = 0 →
16𝑦2
144
−
20𝑥2
144
−
144
144
=
0
144
𝑦2
144
16
−
𝑥2
144
20
− 1 = 0 →
𝑦2
20
−
𝑥2
16
= 1 (𝑎)
La ecuación (a) es de la forma:
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 ; que
representa la ecuación de una Hipérbola Vertical
con centro C(0,0). Donde se tiene:
Semieje Real: 𝑎2
= 20 → 𝑎 = ±2 5
Semieje Imaginario: 𝑏2
= 16 → 𝑏 = ±4
A «c» que es la semidistancia focal lo obtenemos
con la aplicación del Teorema de Pitágoras para
Hipérbolas, es decir: 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
→ 𝑐2
= 20 +
16 → 𝑐 = ±6
Luego las coordenadas de los vértices son:
El Real es:
𝑉2 0, −𝑎 𝑦 𝑉1 0, 𝑎 → 𝑉2 0, −2 5 𝑦 𝑉1 0,2 5
El Imaginario es:
𝐵2 −𝑏, 0 𝑦 𝐵1 𝑏, 0 → 𝐵2 −4,0 𝑦 𝐵1 4,0
IR AL MENÚ SIGUIENTE
𝟑𝟔𝒚 𝟐
− 𝟐𝟎𝒙 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎

3. Las coordenadas de los focos son:
𝐹2 0. −𝑐 𝑦 𝐹1 0, 𝑐 → 𝐹2 0, −6 𝑦 𝐹1 0,6
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
6
2 5
→ 𝑒 =
3
5
≈1,34El lado recto es: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅 =
2(4)2
2 5
→ 𝐿𝑅 =
16
5
Longitud del Lado Real: 𝑉2 𝑉1 = 2𝑎 → 𝑉2 𝑉1 = 2 2 5 → 𝑉2 𝑉1 = 4 5
Longitud del Lado Imaginario: 𝐵2 𝐵1 = 2𝑏 → 𝐵2 𝐵1 = 2 4 → 𝐵2 𝐵1 = 8
Longitud de la distancia Focal: 𝐹2 𝐹1 = 2𝑐 → 𝐹2 𝐹1 = 2 6 → 𝐹2 𝐹1 = 12
Las ecuaciones de las directrices son:
Las Directrices: 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
→
𝑦1 =
𝑎2
𝑐
𝑦2 = −
𝑎2
𝑐
→
𝑦1 =
20
6
=
10
3
→ 𝑦1 =
10
3
𝑦2 = −
𝑎2
𝑐
→ 𝑦2 = −
10
3
Las Asíntotas son: 𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥 →
𝑦1 =
𝑎
𝑏
𝑥
𝑦2 = −
𝑎
𝑏
𝑥
→
𝑦1 =
2 5
4
𝑥 → 𝐴1: 𝑦1 =
5
2
𝑦2 = −
𝑎
𝑏
𝑥 → 𝐴2: 𝑦2 = −
5
2
Los extremos de los lados rectos son:
𝐿𝑅1 𝐴 −𝑐,
𝑏2
𝑎
y 𝐿𝑅1 𝐵 𝑐,
𝑏2
𝑎
𝐿𝑅2 𝐶 −𝑐, −
𝑏2
𝑎
y 𝐿𝑅2 𝐷 𝑐, −
𝑏2
𝑎
𝐿𝑅1 𝐴 −𝑐,
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 𝐴 −6,
8
2 5
→ 𝐿𝑅1 𝐴 −6,
4
5
𝐿𝑅1 𝐵 𝑐,
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 𝐵 6,
8
2 5
→ 𝐿𝑅1 𝐵 6,
4
5
𝐿𝑅2 𝐶 −𝑐, −
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 𝐶 −6, −
8
2 5
→ 𝐿𝑅2 𝐶 −6, −
4
5
𝐿𝑅2 𝐷 𝑐, −
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 𝐷 6,
8
2 5
→ 𝐿𝑅2 𝐷 6, −
4
5
ANTERIOR SIGUIENTE

4. La gráfica es la siguiente:
IR AL MENUANTERIOR

5. SOLUCIÓN 2
Datos del
problema:
𝟏𝟔𝒙 𝟐
− 𝟗𝒚 𝟐
= 𝟐𝟑𝟎𝟒 →
𝟏𝟔𝒙 𝟐
𝟐𝟑𝟎𝟒
−
𝟗𝒚 𝟐
𝟐𝟑𝟎𝟒
=
2𝟑𝟎𝟒
𝟐𝟑𝟎𝟒
𝒙 𝟐
𝟏𝟒𝟒
−
𝒚 𝟐
𝟐𝟓𝟔
= 𝟏, tiene la forma
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐 −
𝒚 𝟐
𝒃 𝟐 = 𝟏, que representa la
ecuación de una Hipérbola Horizontal con centro en C(0,0).
Donde:
𝑏2
= 256 → 𝑏 = ±16; 𝑎2
= 144 → 𝑎 = ±12
El término «c» se halla mediante la relación pitagórica, para
las hipérbolas, es decir: 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
→ 𝑐2
= 144 + 256 → 𝑐2
= 400; 𝑐 = ±20
Las coordenadas de los vértices Real y Imaginario son:
𝑉2 −𝑎, 0 𝑦 𝑉1 𝑎, 0 → 𝑉2 −12,0 𝑦 𝑉1 12,0
𝐵2 0, −𝑏 𝑦 𝐵1 0, 𝑏 → 𝐵2 0, −16 𝑦 𝐵1 0,16
Las coordenadas de los focos son:
𝐹2 −𝑐, 0 𝑦 𝐹1 𝑐, 0 → 𝐹2 −20,0 𝑦 𝐹1 20,0
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
20
12
=
5
3
→ 𝑒 > 1
Las Directrices es:
𝐷: 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
→
𝐷1: 𝑥1 = ℎ +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑥1 = 0 +
12
20
𝐷2: 𝑥2 = ℎ −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2: 𝑥2 = 0 −
12
20
𝐷1: 𝑥1 =
3
5
y 𝐷2: 𝑥2 = −
3
5
SIGUIENTEIR AL MENU
𝟏𝟔𝒙 𝟐 − 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟐𝟑𝟎𝟒

6. La distancia del eje Real es:𝑉2 𝑉1 = 2𝑎; 𝑉2 𝑉1=24
La distancia del Eje Imaginario es: 𝐵2 𝐵1 = 2𝑏; 𝐵2 𝐵1 =32
La distancia Focal es: 𝐹2 𝐹1 = 2c; 𝐹2 𝐹1 =40
Los lados rectos son:
𝐿𝑅1 𝐴𝐵 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 𝐴𝐵 =
128
3
𝐿𝑅2 𝐶𝐷 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 𝐶𝐷 =
128
3
Las coordenadas de los extremos del lado recto de arriba:
𝐿𝑅1 𝐴 −𝑐,
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 𝐴(−20,
64
3
)
𝐿𝑅1 𝐵 −𝑐, −
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 𝐵 −20, −
64
3
𝐿𝑅2 𝐶 𝑐,
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 𝐶 20,
64
3
𝐿𝑅2 𝐷 𝑐, −
𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 𝐷 20, −
64
3
Las asíntotas son: 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 →
𝑦1 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑦2 = −
𝑏
𝑎
𝑥
𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 →
𝐴1: 𝑦1 =
16
12
𝑥 → 𝐴1: 𝑦1 =
4
3
𝑥
𝐴2: 𝑦2 = −
16
12
𝑥 → 𝐴2: 𝑦2 = −
4
3
𝑥
SIGUIENTEANTERIOR

7. La gráfica es la siguiente:
ANTERIOR IR AL MENU

8. SOLUCIÓN 3
Datos del
problema:
𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 𝟐
+ 𝟐𝟒𝒚 − 𝟒𝟒 = 𝟎
𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟑(𝒚 𝟐
− 𝟖𝒚) = 𝟒𝟒
𝒙 𝟐
+ 𝟐 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 − 𝟑(𝒚 𝟐
− 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔) = 𝟒𝟒
𝐱 𝟐
+ 𝟐𝐱 + 𝟏 − 𝟏 − 𝟑 𝐲 𝟐
− 𝟖𝐲 + 𝟏𝟔 + 𝟒𝟖 = 𝟒𝟒
𝒙 + 𝟏 𝟐
− 𝟑 𝒚 − 𝟒 𝟐
= −𝟑 → 𝟑 𝒚 − 𝟒 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 𝟐
= 𝟑
Dividiendo ambos miembros por el término independiente
tenemos:
𝟑 𝒚 − 𝟒 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 𝟐
= 𝟑 →
𝟑 𝒚 − 𝟒 𝟐
𝟑
−
𝒙 + 𝟏 𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟑
𝒚−𝟒 𝟐
𝟏
−
𝒙+𝟏 𝟐
𝟑
= 𝟏
por tanto, la ecuación es de la forma
𝒚−𝒌 𝟐
𝒂 𝟐 −
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃 𝟐 = 𝟏,
que representa una ecuación de la Hipérbola vertical de
centro C(h,k), es decir C(4;-1), donde además tenemos que
los ejes Real y Imaginario son:
𝒂 𝟐
= 𝟏 → 𝒂 = ±𝟏; 𝒃 𝟐
= 𝟑 → 𝒃 = ± 𝟑 y «c» lo obtenemos
mediante el teorema de Pitágoras para hipérbolas:
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
→ 𝒄 𝟐
= 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 → 𝒄 = ±𝟐
Luego obtenemos los siguientes datos:
𝒂 = ±𝟏; 𝒃 = ± 𝟑; 𝐜 = ±𝟐, 𝒉 = −𝟏; 𝒌 = +𝟒
Lado Real: 𝑽 𝟐 𝑽 𝟏 = 𝟐𝒂 = 𝟐(𝟏) → 𝑽 𝟐 𝑽 𝟏 =2
Lado Imaginario: 𝑩 𝟐 𝑩 𝟏 = 𝟐 𝟑 : 𝑩 𝟐 𝑩 𝟏 = 𝟐 𝟑
La distancia focal: 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 = 𝟐𝒄 → 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 = 𝟐(𝟐); 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 = 𝟒
Desarrollamos y operamos, agrupamos términos de una
misma variable, se completa cuadrado perfecto y se
agrupan las constante hacia el otro miembro:
IR AL MENU SIGUIENTE
𝑥2
+ 2𝑥 − 3𝑦2
+ 24𝑦 − 44 = 0

9. Las coordenadas de los vértices reales e imaginarios son:
𝑉2 ℎ, 𝑘 − 𝑎 y 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎  𝑉2 1,3 y 𝑉1 1,5
𝐵2 ℎ − 𝑏, 𝑘 y 𝐵1 ℎ + 𝑏, 𝑘  𝐵2 −1 − 3, 4 y 𝐵1 −1 +
SIGUIENTEANTERIOR
Datos: 𝒂 = ±𝟏; 𝒃 = ± 𝟑; 𝐜 = ±𝟐, 𝒉 = −𝟏; 𝒌 = +𝟒

10. La gráfica del problema planteado es:
ANTERIOR IR AL MENU

11. SOLUCIÓN 4
Datos del
problema:Desarrollamos y operamos, agrupamos términos de
una misma variable, se completa cuadrado perfecto
y se agrupan las constante hacia el otro miembro:
𝟑𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟑𝟔𝟎𝒚 − 𝟔𝟒𝒙 𝟐
− 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟏𝟔𝟔𝟎 = 𝟎
36𝑦2
+ 360𝑦 − 64𝑥2
+ 256𝑥 = 1660
36 𝑦2
+ 10𝑦 − 64 𝑥2
+ 4𝑥 = 1660
36 𝑦2
+ 10𝑦 + 25 − 25 − 64 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 4 = 1660
36 𝑦2
+ 10𝑦 + 25 − 900 − 64 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 + 256 = 1660
36 𝑦 + 5 2
− 64 𝑥 + 2 2
= 1660 − 256 + 900
36 𝑦 + 5 2
− 64 𝑥 + 2 2
= 2304
36 𝑦+5 2
2304
−
64 𝑥+2 2
2304
=
2304
2304
→
𝑦+5 2
64
−
𝑥+2 2
36
= 1, que es de la
forma
𝑦−𝑘 2
𝑎2 −
𝑥−ℎ 2
𝑏2 = 1, que es una ecuación de la
hipérbola vertical y centro C(h,k)=C(-2,-5); h=-2, k=-5.
Además se tiene que:
𝑎2
= 64; 𝑎 = ±8; 𝑏2
= 36; 𝑏 = ±6; el valor «c» se obtiene
mediante la relación pitagórica para las hipérbolas, es decir:
c2=a2+b2. 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
; 𝑐2
= 100; 𝑐 = ±10; ℎ = −2; 𝑘 = −5
Los vértices principales o real y los vértices imaginarios son:
𝑉2 ℎ, 𝑘 − 𝑎 𝑦 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎 → 𝑉2 −2, −13 𝑦 𝑉1 −2,3
𝐵2 ℎ − 𝑏, 𝑘 𝑦 𝐵1 ℎ + 𝑏, 𝑘 → 𝐵2 −8, −5 𝑦 𝐵1 1, −5
Los focos son:
𝐹2 ℎ, 𝑘 − 𝑐 𝑦 𝐹1 ℎ, 𝑘 + 𝑐 → 𝐹2 −2, −15 𝑦 𝐹1 −2,5
Longitud eje real real:
𝑉2 𝑉1 = 2𝑎 → 𝑉2 𝑉1 = 2 8 → 𝑉2 𝑉1 = 16
Longitud Eje Imaginario:
𝐵2 𝐵1 = 2𝑏 → 𝐵2 𝐵1 = 2 6 → 𝐵2 𝐵1 = 12
Longitud Eje Focal:
𝐹2 𝐹1 = 2𝑐 → 𝐹2 𝐹1 = 2 10 → 𝐹2 𝐹1 = 20
SIGUIENTE
𝟑𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟑𝟔𝟎𝒚 − 𝟔𝟒𝒙 𝟐
− 𝟐𝟓𝟔𝒙 − 𝟏𝟔𝟔𝟎 = 𝟎
IR AL MENU

12. Las directrices de la Hipérbola Vertical son:
𝐷12: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
→
𝐷1: 𝑦1 = 𝑘 +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑦1 =
7
5
𝐷2: 𝑦2 = 𝑘 −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2: 𝑦2 = −
57
5
Las Asíntotas de la Hipérbola Vertical son:
𝐷12: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎
𝑏
𝑥 − ℎ →
𝐷1: 𝑦1 =
4𝑥−7
3
𝐷2: 𝑦2 = −
4𝑥−7
3
Los lados rectos son:
𝐿𝑅1 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅1 =
2(6)2
8
→ 𝐿𝑅1 = 9
𝐿𝑅2 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅2 =
2(6)2
8
→ 𝐿𝑅2 = 9
Los extremos de los lados rectos son:
𝐿𝑅1 𝑃1
ℎ + 𝑐, 𝑘 +
𝑏2
𝑎
y; 𝐿𝑅1 𝑃3
ℎ − 𝑐, 𝑘 +
𝑏2
𝑎
𝐿𝑅1 𝑃1
8, −
1
2
y 𝐿𝑅1 𝑃3
−12, −
1
2
𝐿𝑅2 𝑃4
ℎ − 𝑐, 𝑘 −
𝑏2
𝑎
y 𝐿𝑅2 𝑃2
ℎ + 𝑐, 𝑘 −
𝑏2
𝑎
𝐿𝑅2 𝑃4
−12, −
19
2
y 𝐿𝑅2 𝑃2
8, −
19
2
ANTERIOR SIGUIENTE

13. ANTERIOR IR AL MENU
La gráfica del problema planteado es: