El documento presenta una demostración matemática de que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La demostración utiliza el teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo formado por las rectas y el origen para derivar la ecuación m1m2=-1.

1. Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a – 𝟏.
Demostración:
Puesto que las rectas pasan por el origen (0, 0), donde la abscisa así como la ordenada
son cero, nos queda que:
y = mx+0 o lo que es lo mismo y = mx.
Sustituyendo el valor de x en 𝑚1 y en 𝑚2 tenemos que:
Para 𝒎 𝟏 Para 𝒎 𝟐
y = (𝑚1)(1)=𝑚1 y = (𝑚2)(1)=𝑚1
y = 𝑚1 y = 𝑚2
Ahora se calcula la distancia de ambos puntos al origen y la distancia de P1 a P2
DP1 0 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2
DP1 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚1)2
DP1 0 = √1 + 𝑚1
2
DP2 0 = √( 𝑦2 − 𝑦1)2 + ( 𝑥2 − 𝑥1)2
DP2 0 = √(0 − 1)2 + (0 − 𝑚2)2
DP2 0 = √1 + 𝑚2
2
X
Y
•
L = 1
𝐋 𝟐
𝐋 𝟏
𝐏𝟏= (𝟏, 𝒎 𝟏)
𝐏𝟐 = (𝟏, 𝒎 𝟐)
0
Se trazan las rectas
perpendiculares L1 y L2
y se traza la recta L =1
perpendicular al eje x
y = 𝒎 𝟐 𝒙 y = 𝒎 𝟏 𝒙
1
•
•

2. Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
DP1 p2
= √(y2 − y1)2 + (x2 − x1)2
DP1 p2
= √(1 − 1)2 + (m2 − 𝑚1)2
DP1 p2
= √02 + (m2 − 𝑚1)2
DP1 p2
= √(m2 − 𝑚1)2
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OP1P2
Tenemos que:
(DP1 p2
)
2
= (DP1 0)
2
+ (DP2 0)
2
(√(m2 − 𝑚1)2 )
2
= (√1 + 𝑚1
2 )
2
+ (√1 + 𝑚2 )
2
(m2 − 𝑚1)2
= 1 + 𝑚1
2
+ 1 + 𝑚2
2
(Se desarrolla el binomio m2 − 𝑚1)2
aplicando la regla del cuadrado de la diferencia
de dos cantidades
𝑚2
2
− 2 𝑚2 𝑚1 + 𝑚1
2
= 2 + 𝑚1
2
+ 𝑚2
2
Simplificando nos queda que:
− 2 𝑚2 𝑚1 = 2
Se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se divide por 2.
− 2 𝑚2 𝑚1
−2
=
2
−2
Luego de simplificar nos queda que:
𝒎 𝟐 𝒎 𝟏 = −𝟏