Schuster, Nicole. - La metrópolis y la arquitectura del poder ayer hoy y mana...
Ensayo teoria de la probabilidad
1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria.
Instituto universitario politécnico Santiago Mariño.
Ingeniería de Petróleo.
Ensayo de la Teoría de
Probabilidad.
2. Contenido
1. Introducción.
2. Espacio muestral.
3. Eventos.
4. Relaciones entre eventos.
5. La probabilidad y los axiomas en que esta se basa.
6. Probabilidad condicional.
7. Eventos independientes.
8. Eventos dependientes.
9. Probabilidad condicional
10. Ley de probabilidad total.
11. Teorema de Bayes.
12. Población.
13. Muestra.
14. Permutaciones.
15. Combinaciones.
16. Conclusión.
17. Bibliografía.
3. Introducción.
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza
los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la
época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos
muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de
nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio
de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los
cálculos
4. Desarrollo
1. Espacio muestral: En la teoría de probabilidades, el espacio
muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en
el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento
aleatorio. Existen tipos de espacios muestrales como lo son:
Espacios muestrales discretos: son espacios muestrales cuyos elementos
resultan de hacer conteos, por lo general resultan ser subconjutos de los
numeros enteros.
Espacios muestrales continuos: son espacios muestrales cuyos elementos
resultan de hacer mediciones, por lo general son intervalos de la recta real.
2. Un Evento es un resultado particular de un experimento aleatorio. En
términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. Tipos de
eventos:
Evento nulo: Es aquél que no tiene elementos. Se representa por φ.
Evento Seguro: Es el espacio muestral que puede ser considerado como un
evento.
3. Relaciones entre eventos:
Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral
su unión se representa por A∪B y es el evento que contiene los elementos
que están en A o en ambos. El evento ocurre si al menos uno de los dos
eventos ocurre.
Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio
muestral su intersección se representa por A ∩ B y es el evento que
contiene los elementos que están en A y B al mismo tiempo. El evento
ocurre cuando los eventos ocurren simultáneamente.
Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por A
y es el evento que contiene todos los elementos que no están en A. El
evento A ocurre si A no ocurre.
Propiedades de relaciones entre eventos: Sean A, B y C elementos de un
mismo espacio muestral S entonces:
5. A) Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A
B) Propiedad Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩
C
C) Propiedad Distributiva: A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B)∩(A ∪ C) , A ∩ (B ∪ C) = (A ∩
B) ∪ (A ∩ C)
D) Leyes de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B
4. Probabilidad y sus axiomas
Probabilidad: Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no
en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser
medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda
ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que
ocurra con certeza es de 1 (evento cierto). La probabilidad de que ocurra un
evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra
favorablemente, se determina principalmente de dos formas:
empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de
forma matemática).
Probabilidad empírica: Si E es un evento que puede ocurrir cuando se
realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que
a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la
probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:
6. Probabilidad teórica: Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son
igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la
probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le
denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su
famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para
que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente
sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
-Axiomas de Kolmogórov:
Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se
encuentra entre cero y uno.
0 £ p(A) ³ 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5
Segundo Axioma: La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de
ser:
o p(d) = 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado
es "1
Tercer Axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,
o p(AÈB) = p(A) + p(B)
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma
de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de
varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus
componentes.
7. Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2,
A3,.....An, entonces;
p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
5. Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-
ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia
del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el
muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de
nuevo a la población donde se obtuvo.
6. Eventos dependientes.
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de
uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
7. Probabilidad Condicional
Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió
el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son
dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B
es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)
8. El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de
un suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un
accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este
teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un
accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de
que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las
probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A
(probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la
probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace
falta cumplir un requisito:
8. Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen
todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
9. Teorema de Bayes: El teorema de Bayes se utiliza para revisar
probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.
Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de
Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la
probabilidad condicional. Comúnmente se inicia un análisis de
probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se
tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades
revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las
probabilidades a posteriori y es:
10. Población en estadística, también llamada universo o colectivo, es el
conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan unas de las
observaciones. Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos
interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es
demasiado grande para poder abarcarlo.
11. En estadística, una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una
población estadística. Las muestras se obtienen con la intención de inferir
propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser
representativas de la misma.
12. Permutaciones: En muchos casos se necesita saber el número de formas en
las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en
orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es
suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de
permutaciones. El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados
a la vez de n objetos en orden, es decir, el número de permutaciones de n
elementos tomados r a la vez es:
9. 13. Combinaciones: En muchos situaciones no interesa el orden de los
resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden
seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos
subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han
reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones.
El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n
objetos, sin considerar el orden, es decir, el número de combinaciones de n
elementos tomados r a la vez es:
10. Conclusión
De esta manera se puede concluir que la teoría de la probabilidad nace para responder
las incógnitas de los hombres sobre el azar o eventos futuros. Esta teoría se basa a
través de teoremas o principios aplicados a poblaciones o muestras para resolver
interrogantes que se presenten o sean necesarios conocer. Este estudio se puede
aplicar a diversas ramas y es utilizado por diversos especialistas.
