1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 57
Dpto. de Matemáticas - Goretti
LA IGUALDAD: son expresiones numéricas o algebraicas que se encuentran en el primero y segundo
miembro de una igualdad, separadas por el signo de igualdad (=). Donde la igualdad puede ser falsa o
verdadera.
La igualdad es numérica si solo tiene números y la igualdad es algebraica (o literal) si tiene números y
letras.
Por ejemplo, son Igualdades Numéricas y Algebraicas
1. 3+2 = 5 Es una expresión numérica VERDADERA.
2 2 2
2. 4 -3 =1 Es una expresión numérica FALSA
2 2 2
3. (a+b) =a +2ab+b Es expresión algebraica VERDADERA, para cualquier valor numérico, que
tome las variables a y b.
4. Es expresión algebraica VERDADERA, solamente se cumple para x =21 y para to-
dos los valores que tome x diferentes a 21, la expresión algebraica es FALSA.
Por tanto hay dos tipos de igualdades a saber: La Identidad algebraica y La Ecuación algebraica.
LA IDENTIDAD ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple para todos los valores que tome la(s)
variable(s).
Ejemplo 1: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera
para todos los valores que tome x.
Ejemplo 2: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera para
todos los valores que tome x, y.
Ejemplo 3: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera para
todos los valores que tome x, y.
LA ECUACION ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple solamente para algunos valores que
tome la(s) variable(s).
Ejemplo 1: La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuación, ya que solamente es válida para x = 4
Ejemplo 2: La igualdad algebraica 4x – 3 = 2x +1 es una ecuación ya que solamente se cumple para x = 2
Ejemplo 3: La igualdad algebraica 4 = 2x(x – 1), es una ecuación, ya que se cumple solamente cuando la
variable x toma los valores de x = 2 y x = – 1
IDENTIDAD TRIGONOMETRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre dos expresiones que contienen funciones trigonomé-
tricas y es válida o verdadera para todos los valores permisibles que tome o se le asigne a la variable
angular.
Ejemplo 1: La igualdad es una Identidad trigonométrica, ya que se cumple para todos
los valores que tome el ángulo A.
Ejemplo 2: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera para
todos los valores que tome el ángulo A.
Ejemplo 3: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera para to-
dos los valores que tome el ángulo A.
Existen tres tipos de identidades llamadas Identidades fundamentales a saber: Identidades trigonométri-
cas por Cociente, Identidades trigonométricas Reciprocas e Identidades trigonométricas Pitagóricas.
RAZONES TRIGONOMETRICAS
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄

2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 58
Dpto. de Matemáticas - Goretti
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE:
Denominamos así a las siguientes identidades porque cada una de ellas representa la divicion o cociente
entre dos razones trigonometricas.
1. Tang A =
2. Cotag A =
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS
Las siguientes identidades se cumplen o son verdaderas para cualquier valor que se le asigne al ángulo
de la función trigonométrica, con la única excepción de que el denominador no debe ser cero. Las siguien-
tes expresiones se denominan identidades recíprocas:
1. Sen A = 4. Cotag A =
2. Cos A = 5. Sect A =
3. Tang A = 6. Cosec A =
Demostración:
1.- Por definición de razón trigonométrica del Sen A, es igual a:
Sen A =
El reciproco o inverso de Sen A, será igual a:
= Cosec A
De igual manera se efectúa, para demostrar a las demás identidades trigonométricas reciprocas.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGORICAS
Se denominan identidades Pitagóricas, porque son el resultado de la aplicación del teorema de Pitagóri-
cas con las razones trigonométricas.
1.
2.
3.
Demostración:
De acuerdo al teorema de Pitágoras se tiene que:
Al dividir cada uno de los términos de la ecuación entre
Se obtiene que:
( ) ( )

3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 59
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Pero:
Al remplazar en la ecuación anterior se obtiene que:
……..(1)
Ahora, al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtiene que:
De igual manera al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtiene
que:
EJERCICIOS CON LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Con las identidades trigonométricas fundamentales se puede realizar las siguientes tipos de ejercicios:
1. Tipo Simplificación.
2. Tipo Demostración.
1.- TIPO SIMPLIFICACION: En este tipo de ejercicios se busca reducir hasta la más mínima expresión, a
la expresión trigonométrica que se haya planteado.
Para la simplificación o reducción de la expresión trigonométrica que se haya plantado o dado, esta sim-
plificación se la obtiene mediante la ayuda de las identidades trigonométricas fundamentales (Identidades
trigonométricas por cociente, inversas y Pitagóricas) y con la realización de factorizaciones, como de la
elaboración de las operaciones que se encuentran en la expresión.
Ejemplos: Efectuar las operaciones indicadas, en cada de las siguientes expresiones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Solución
1. =
2. =
3. = .
4.
5.
6.
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones
1.
2.
3.
4.
5.
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.

4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 60
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. +
Solución:
1. ⁄
2. ⁄ ⁄ ⁄
3.
= ⁄
4. ⁄
5.
6. ⁄ ⁄
7. +
=
TALLER
Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. * +
10.
2.- TIPO DEMOSTRACION. Para demostrar (verificar) si una Identidad Trigonométrica es verdadera, se
elige a uno cualquiera de los dos miembros de la igualdad y por medio de operaciones algebraicas y de la
aplicación en cada paso que se efectué de las Identidades inversas, Identidades por cociente como de
las Identidades pitagóricas al miembro que se haya elegido, hasta llegar a demostrar que el miembro
elegido es igual al otro miembro de la igualdad.

5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 61
Dpto. de Matemáticas - Goretti
En general, se inicia con el miembro de la igualdad más complicado.
Para tener éxito en la demostración o verificación de la Identidad Trigonométrica se requiere tener:
 Una completa familiaridad con la Identidades fundamentales
 Una completa familiaridad con los procedimientos de factorización, y operaciones con fracciona-
rios, etc.
 Practicar.
Ejemplos: Demostrar las siguientes Identidades.
1.
2.
3.
4.
5.
Solución:
1.
Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
2.
Para verificar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
=
3.
Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
4.

6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 62
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así:
Dividimos cada termino entre Cos A
5.
Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así:
TALLER
Demostrar las siguientes Identidades.
1.
2.
3. ⁄
4.
5.
6.
7.
8.

7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 63
Dpto. de Matemáticas - Goretti
9. 1
10.
11.
12.
13.
LA ECUACION TRIGONOMETRICA: Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y es ver-
dadera solamente para algunos valores que tome la variable angular.
Resolver una ecuación trigonométrica, es determinar los valores del ángulo desconocido de una función
trigonométrica.
ECUACION TRIGONOMETRICA DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO.
El método para resolver una ecuación trigonométrica con una incógnita de segundo grado consiste en
reducirla a una ecuación algebraica, tomando a la funci ón trigonométrica como una incógnita auxiliar.
Luego se efectúa los siguientes pasos:
A) Se elige como incógnita a una letra cualquiera del abecedario, a la función trigonométrica cuyo
ángulo se desea encontrar.
Donde cada una de las raíces aceptadas, tiene una ecuación trigonométrica de las siguientes
formas:
B) Se remplaza en la ecuación donde se encuentra la función trigonométrica por la letra elegida
C) Por medio de los procedimientos ordinarios del algebra se resuelve la ecuación algebraica, con
relación a la incógnita auxiliar y se analizan las raíces teniendo en cuenta las condiciones de la
magnitud a las cuales está sujeta la función trigonométrica.
D) En este estudio únicamente se ofrecerán soluciones particulares que oscilen entre 0º grados y
360º grados. (Si se buscan todas las soluciones se tiene en cuenta (180º ) o
(360º ), de cada resultado obtenido dependiendo del cuadrante donde se encuentre el
ángulo y el signo que le corresponde a función trigonométrica en cada uno de los cuadrantes.
Ahora sí el ángulo es negativo para convertirlo en un ángulo positivo aplicamos la expresión
360º+ (-Angulo negativo))
Ejemplos: Determinar los valores del ángulo x entre 0º y 360º que satisfacen cada una de las siguien-
tes ecuaciones:
1.
2.
3.
4. √
5.
Solución:
1.
.
.
La función seno es positiva en el primero y segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo del segundo cua-
drante es igual a 180º- 30º = 150º. Respuesta: 30º y 150º
2.
.
.
La función coseno es positiva en el primero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en cuarto cuadrante
es igual a 360º - 0º = 360º. Respuesta 0º y 360º
3.
.
.

8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 64
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Como el ángulo negativo lo convertimos en un ángulo positivo mediante la ecuación: 360º + (-n), rempla-
zamos para obtener: 360º+ (-13,562151º) = 346,437849º
Ahora:
La función seno es negativa en el tercero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadrante
es igual a 180º+ 13,562151º = 193,562151º. Respuesta: 346,437849º y 193,562151º
4. √
. √ .
.
El ángulo negativo lo convertimos a un ángulo positivo mediante la expresión: 360º+(-n), remplazamos
para obtener: 360º - 79,97501214º = 280,0249879º
Ahora, la función tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en el se-
gundo cuadrante es igual a 180º - 79,97501214º = 100,0249879º. Respuesta: 280,0249879º y
100,0249879º.
5.
.
.
La función coseno es negativa en el segundo y tercer cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadran-
te es igual a 180º+ 60º = 240º. Respuesta: 120º y 240º
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Solución:
1.
. ⁄
.
.
√
..
.
a) .
.
. Convertimos a un ángulo positivo.
.
Ahora la función seno sus valores son negativos en tercero y cuarto cuadrante. Por lo tanto en el cuarto
cuadrante el ángulo que satisface a esta ecuación es:
b)
. Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno es
Respuesta: X=321,8275º y 218,1724º
2.
.

9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 65
Dpto. de Matemáticas - Goretti
.
.
√
..
.
a) .
.
. Convertimos a un ángulo positivo.
.
b)
.
.. Respuesta: A= 30º y 270º
3.
.
.
.
√
.
.
a) .
.
. .
b)
.
.. Respuesta: X= 0º y 60º
4.
.
.
. .
.
.
√
.
.
a) .
.
.

10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 66
Dpto. de Matemáticas - Goretti
b)
.
Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno es :
Respuesta: X=30º
5.
. 3( ) +5
. 3( ) +5
.
.
.
.
.
√
. =
a) ⁄
. (3)
. (3) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la función
coseno es .
b) ⁄
. (0,5)
. (0,5)
. .
Ahora la función coseno tiene un valor positivo, en el primero y cuarto cuadrante. Por lo tanto el ángulo
que satisface esta ecuación en el cuarto cuadrante es igual a 360º , remplazando se obtiene:
360º-60º= 300º
Respuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 60º y 300º
6.
.
.
√
. =
a) ⁄
. (2)
. (2) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la función
coseno es .
b) ⁄
. (1)
. (1)

11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 67
Dpto. de Matemáticas - Goretti
. . y 360º
Respuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 0º y 360º
TALLER.
Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.
1. Rta: 60º y 300º
2. Rta: 210º y 330º
3. Rta: 45º y 225º
4. √ ⁄ Rta: 65º
5. . Rta: 35º
6. Rta: 17º
7. Rta:0º, 90º, 360º
8. Rta: 90º
9. Rta: 45º, 225º
10. √ Rta: 60º, 120º
11. Rta: 90º,210º,330º
12. Rta: 30º, 150º, 210º, 330º
13. Rta:30º, 150º
14. Rta: 210º, 270º, 330º
15. Rta: 0º, 270º
16. Rta: 90º, 180º, 270º
17. Rta: 114,46º y 245,54º