1. Pontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ibarra
1. Datos Informativos
1.1. Escuela: Arquitectura
1.2. Nivel: 1
1.3. Nombre: Isabel Chiriboga
1.4. Materia: Lógica Matemática
1.5. Tema: Métodos de Demostración
1.6. Fecha: 19 oct 2010
2. Objetivo:
Demostrar según la definición de métodos de demostración, cuáles son,
sus características y ejercicios básicos.
3. Contenido:
MÉTODOS DEDUCTIVOS DE DEMOSTRACIÓN.
Según el sistema aristotélico, el método deductivo es un proceso que parte de
un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del método
deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta
cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS.
EJEMPLOS
 “ Todos las venezolanas son bellas” , (Este es el conocimiento general)
“Marta Colomina es venezolana”
Luego:
“Marta Colomina es bella”
 “Todos los mamíferos son animales”
“El perro es un animal”
Por lo tanto:
“El perro es un mamífero”
Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una
hipótesis general se llega a una conclusión particular. También es de hacer
notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser
falsas, y por consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o
falsa.
En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso
deductivo tiene un significado un poco diferente, pues está basado en
AXIOMAS, o proposiciones que son verdaderas por definición.

2. Por ejemplo, un axioma es:
“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”, otro axioma es
“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.
El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de
IGUAL.
El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a
una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea
inválido.
Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado
del tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D..." hasta llegar a una
conclusión.
Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina
TEOREMA.
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del
pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una
herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias.
DEMOSTRACIÓN POR EL MÉTODO DIRECTO.
Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:
P ⇒ Q
Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple Q”, esto lo
hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis más intensivos o
mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata.
Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una
asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es
la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”.
Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable. Así mismo en
una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la cual si
se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplirá la
consecuencia Q.
A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método
directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entonces su
consecuencia tampoco se verificará.
¬P ⇒ ¬Q

3. Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser
proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de
variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p.
Supóngase una implicación de la forma.
(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn) ⇒ Q
Es una tautología.
Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de
cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende
lógicamente de P1, P2,......, Pn. Se escribe.
El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal
usando el método directo. Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es
verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es
verdadera.
La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica:
(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q
Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la
conclusión.
“Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una tautología.
No se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es
demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son
verdaderas.
En conclusión podemos decir que:
Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:
a. Comenzar con las hipótesis.
b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias para...
c. Llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso
tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.
Sean
p: Trabajo
q: Ahorro
r: Compraré una casa
s: Podré guardar el automóvil en mi casa
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa,
entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo
guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p∧ q⇒ r; y r⇒ s; entonces s'⇒ q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p∧ q) ⇒ r]∧ [r⇒ s]; [s'⇒ q']

4. Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.
A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos
en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1. - (p∧ q) ⇒ r Hipótesis
2.- r⇒ s Hipótesis
3.- p ⇒ q Silogismo Hipotético
4.- q ⇒ r Silogismo Hipotético
5.- q ⇒ s
6. - ¬s ⇒ ¬q Conclusión
MÉTODO INDUCTIVO
Sirve para demostrar fórmulas o propiedades que son verdaderas para infinitos
números naturales. Es decir para demostrar que las propiedades de la forma
P(m) se cumple casi siempre para todo número natural m € N siendo n+ el
conjunto de los característicos sin el cero V n € N+ (Siendo N* = N-{0}) Se trata
de demostrar P(n), V n € N* El método de demostración inductivo consta de 3
pasos.
1. Paso Básico
Demostrar que la propiedad se cumple para el primer valor de de N que nos
digan, casi siempre será 1. Se trata de demostrar P(1).
2. Paso Inductivo
Consiste en demostrar que si se cumple para un cierto n entonces también se
cumple para n+1. Es decir que si se cumple para P(n) entonces se tiene que
cumplir P(n+1). Se trata de demostrar la implicación P(n)->P(n+1).
Supondremos como hipótesis P(n) (hipótesis de inducción).
3. Conclusión
Del paso básico y del paso inductivo se deduce que la proposición se cumple
para todos los n naturales mayores o iguales a 1 (n>=1).

5. MÉTODO REDUCCIÓN AL ABSURDO
Sólo sabremos si es una tautología. Supondremos que es una contradicción,
por tanto podemos suponer que puede ser falsa. Sin con esta suposición se
llega a una contradicción quería decir que esa falsedad supuesta nunca
podría darse, por tanto la proposición sería siempre verdadera es decir una
tautología.