inducción matematica

1. Introducción a la informática 1
Inducción matemática
Mathematical induction
Manuela López Cardona
Ingeniería de sistemas, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia
Correo-e: manulc1199@gmail.com
Resumen— La inducción matemática es un método de
demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se
trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...)
cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos: Primero, se
demuestra que el 1 cumple la propiedad A continuación, se supone
que la propiedad es verdadera para un cierto número n
(arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.
Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para
todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas
de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha
(el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer
la siguiente(sies cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso).
La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y
si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo,
entonces todos los números lo cumplen.
Palabras clave— demostración, inducción, Matemáticas,
propiedades,
Abstract— Mathematical induction is a method of demonstration
that is usually very useful in problems in which it is tried to prove
that all natural numbers (1, 2, 3 ...) fulfill a certain property: it
consists of two steps: First, Proves that the 1 holds the property
Then the property is assumed to be true for a certain number n
(arbitrary) and is shown for the next number, n + 1.
If this is achieved, this demonstrates the property we wanted for
all natural numbers, similar to domino rows when they fall: we
have shown that the first chip (1st) falls (first step), and that if a
chip falls Tab should also drop the next (if true for n, should be
for n + 1, second step). The idea of induction is very clear: if a
number fulfills something, and if when one number fulfills it the
next one has to fulfill it, then all the numbers fulfill it.
Keywords - demonstration, induction, mathematics, properties,
I. INTRODUCCIÓN
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite
demostrar proposiciones que dependen de una variable n, que
toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la
inducción matemática consiste en elsiguiente razonamiento: El
número entero a, tiene la propiedad P, El hecho de que
cualquier número entero n, también tenga la propiedad P,
implica que n+1 también la tiene. Entonces todos los números
enteros a partir de a, tienen la propiedad P
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una
infinidad de proposiciones o una proposición que depende de
un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente
en el conjunto de los números naturales N
II. CONTENIDO
A. Historia
En el Parmenides, de Platón del 370 a.C, quizá se puede
identificar un temprano ejemplo de una explicación implícita
de prueba inductiva. La más antigua huella de la inducción
matemática se puede encontrar en la demostración de Euclides
en el s. iii a. C. sobre la infinitud de los números primos y en la
de Bhaskara I usando su «método cíclico».
Una técnica reversa, contando regresivamente en lugar de
ascendentemente,se puede encontrar en la paradoja sorites,en
donde se argumenta que si1 000 000 de granos de arena forman
un montón y removiendo un grano del montón a la vez, este
sigue siendo un montón, entonces,hasta un solo grano (incluso
ningún grano de arena) formaría un montón.
Una demostración implícita de la inducción matemática para
secuencias aritméticas fue introducida porAl-Karaji en su obra
Al-Fakhri escrita alrededor de 1000 d. C., usado para probar el
teorema del binomio y las propiedades del triángulo de Pascal.
Ninguno de estos antiguos matemáticos explicitó la hipótesis
inductiva. Otro caso similar fue el de Francesco Maurlico en su
Arithmeticorom libri duo (1575), que usó la técnica para probar
que la suma de los n primeros enteros impares es igual a n al
cuadrado.
La primera formulación explícita sobre el principio de
inducción fue establecida por el filósofo y matemático Blaise
Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).2 Otro
francés, Fermat, hace amplio uso de un principio relacionado
para una demostración indirecta del descenso infinito. La

2. Introducción a la informática2
hipótesis inductiva fue también empleada por el suizo Jakob
Bernoulli y a partir de entonces fue más conocida.
El tratamiento de carácter riguroso y sistemático llega solo en
el siglo xix con George Boole, Augustus De Morgan, Charles
Sanders Peirce, Giuseppe Peano y Richard Dedekind.
B. Demostraciones por inducción.
Llamemos P_n, a la proposición, donde n, es el rango.
Base: Se demuestra que P_1, es cierta, esto es el primer valor
que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
Paso inductivo: Se demuestra que, si P_n es cierta, esto es,
como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1} lo es también, y
esto sin condición sobre el entero natural n, (relación de
inducción. Indicado como n => n+1.
Luego, demostrado esto,concluimos por inducción, que Pn, es
cierto para todo natural
La inducción puede empezar por otro término que no sea P_1,
digamos por P_n_0. Entonces P_n será válido a partir del
número n_0 es decir, para todo natural n > n_0
C. La propiedad del buen orden.
La validez de la inducción matemática está basada en el
principio de buena ordenación de los conjuntos de números
enteros no negativos.
Todo conjunto de enteros no negativos tiene un elemento
mínimo.
A menudo se utiliza esta propiedad directamente en las
demostraciones. 3
Sabemos que el Principio de Inducción (PI) es equivalente al
Principio del Buen Orden (BO). Así, toda proposición que
puede ser demostrada con PI puede ser demostrada con BO y
viceversa. Sin embargo, puede serque la demostración con BO
sea más elaborada que una demostración con inducción;
o viceversa. Es la práctica la que nos ayudara a identificar que
demostración es más adecuada.
D. Los conjuntos inductivos
En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el
Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-
G-Q) se establece el Axioma de Infinitud
“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de
clases tales que contener un elemento implica contener a su
elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, como no vacía.
Los números naturales pueden serintroducidos con un conjunto
N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se
introduce el concepto de número ordinal y se prueba que
cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932)
introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema
consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de
Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que
permiten, pues,estructurar algébricamente el conjunto N. Así,
puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica
las siguientes condiciones axiomáticas:
1) Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y
designaremos por 0.
2) Existe una aplicación llamada aplicación siguiente que
aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado
sucesor o siguiente de n.
3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.
4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor,o sea,
la aplicación Siguiente es inyectiva.
5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que
contenga al cero, y que el sucesorde cualquier elemento de N’
está en N’, coincide con N. (Axioma de la Inducción
Completa).
E. Los números naturales
Para cada número natural n, existe un sucesor s(n)
Para demostrar que todos los elementos del dominio tienen una
propiedad P, se demuestra que el 0 (cero) tiene la propiedad P
y después se demuestra que si n tiene la propiedad P, entonces
s(n) también tiene la propiedad P.
Esto permite concluir que P es cierta para todos los elementos
de un dominio
F. Los axiomas del penao
• Introducidos por Giuseppe Peano en 1889
• Describen la forma de trabajar con los números naturales
Axioma 1: El 0 (cero) es un número natural
Axioma 2: Si n es un número natural, entonces también lo es
s(n)
Axioma 3: Para todo n, s(n) ≠ 0
Axioma 4: Si s(n) = s(m) entonces n = m
Axioma 5: ∀ m (m + 0 = m)
Axioma 6: ∀ m ∀ n (m + s(n) = s(m+n))
Axioma 7: ∀ n(n X 0 = 0)
Axioma 8: ∀ m∀ n(m X s(n) = mXn + m)
G. Web grafía

3. Introducción a la informática 3
https://es.slideshare.net/temi60/induccion-matematica
https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3
%A1tica#Historia
http://ende.cc/agujero/juegos/induccion.html
http://induccionmatematica.galeon.com/
http://www.itnuevolaredo.edu.mx/takeyas/apuntes/Matematic
as%20para%20Computacion/Apuntes/Induccion%20matemati
ca.pdf
III. CONCLUSIONES
El principio de Inducción Matemática es un método que se
utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y
probar que son verdaderas.
Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales
en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su
incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan
en el contenido del presente trabajo de investigación.