Factorizar

1. FACTORIZACION
Es el proceso
que consiste en transformar un polinomio como producto
de dos o más factores. Así por ejemplo el polinomio 3a + 3b tiene al 3 como
factor común, entonces, por la propiedad distributiva se puede transformar así:
3a + 3b = 3( a + b )
Existen diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas.
MÉTODO 1: FACTOR COMUN
Para factorizar una expresión algebraica por el método del factor común, se
busca el máximo común divisor de los coeficientes y la parte literal común con
el menor exponente.
Ejemplos
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1.
3x 2 − 7 x
El factor común de la parte literal es X altera cada término se divide por
x:
3x 2
7x
= 3 x;
=7
x
x
Ahora aplicando la propiedad distributiva tenemos:
3 x 2 − 7 x = x( 3 x − 7 )
2
3
4
2. 5 y −10 y + 20 y
Se busca el máximo común divisor de los coeficientes

2. 5
10
15
1
2
5
3
MCD ( 5,10,15) = 5
2
La parte literal común y con menor exponente es y , el factor común es
2y
?
5y2
10 y 3
20 y 4
= 1;
= 2 y;
= 4y
Ahora: 5 y 2
5y2
5y2
Ahora aplicando la propiedad distributiva la factorización queda finalmente:
5 y 2 − 10 y 3 + 20 y 4 = 5 y 2 (1 − 2 y + 4 y 2 )
2
2
3
3. 60 x y − 30 xy +15 y
El factor común de la parte literal es y.
Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes.
60
30
15
3
20
10
5
5
4
2
1
MCD ( 60,30,15) = 3 ×5 = 15
El factor común es 15 y .
Ahora:
60 x 2 y
30 xy 2
15 y 3
= 4 x;
= 2 xy;
= y2
15 y
15 y
15 y

3. Aplicando de nuevo la propiedad distributiva
60 x 2 y − 30 xy 2 + 15 y 3 = 15 y ( 4 x − 2 xy + y 2 )
TALLER
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas. Ejercicio 89 de Baldor:
1)
a 2 +ab
a ( a + b)
2)
b + b2
b(1 + b)
3)
x2 + x
b( x +1)
4)
3a 3−a 2
a 2 ( 3a −1)
5)
x 3 − 4x 4
x 3 (1 − 4 x )
6)
5m 2 + 15m 3
5m 2 (1 + 3m )
7)
ab − bc
b( a − c )
8)
x2 y +x2 z
z 2 ( y + z)
9)
2a 2 x + 6ax 2
2ax( a + 3 x )
2
10) 8m −12mn
3
3
11) 9a −18ax
3 2
2 3
12) 15c d + 60c d
2
13) abc + abc
2
2
2
4
14) 24a xy −36 x y
2 3
3
15) 35m n − 70m
3
2
16) a + a + a
2
17) 4 x − 8 x + 2
3
2
18) 15 y + 20 y − 5 y
3
2
2
19) a − a x + ax
2
2
20) 2a x + 2ax − 3ax
3
5
21) x + x − x7
2
2
22) 96 − 48mn + 144n
2
2
2
23) 34 x + 51a y − 68ay
2
2
3
4
24) 14 x y − 28 x + 56 x
4m( 2m − 3n )
9ax 2 ( a 2− 2 x )
15c 2 d 2 ( c + 4d )
abc (1 + c )
12 xy 2 ( 2a 2 − 3xy 2 )
35m 2 ( n 3 − 2m )
a ( a 2 + a + 1)
2( 2 x 2 − 4 x + 2 )
5 y (3 y 2 + xy − 1)
a ( a 2 − ax + x 2 )
ax( 2a + 2 x − 3)
X 3 (1 + x 2 − x 4 )
24( 4 − 2mn 2 + 6n 3 )
17 a ( 2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )
14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )

4. (
)
2 2 2
2 2 2
2 2
2
25) a b c − a c x + a c y
a 2c 2 b 2 − x 2 + y 2
2 3
2 3 2
2
3
26) 55m n x +110m n x − 220m y
55m 2 n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3
3 2
2 3
2
2
27) 93a x y − 62a x y −124a x
(
(
(
)
31a 2 x 3axy − 2 x 2 y 2 − 4
)
2
3
4
28) x − x + x − x
x 1 − x + x2 − x3
6
4
3
2
29) a − 3a + 8a − 4a
a 2 a 4 − 3a 2 + 8a − 4
7
5
3
2
30) 25 x − 10 x + 15 x − 5 x
)
5 x 2 5 x 5 − 2 x 3 + 3x − 1
15
12
9
6
31) x − x + 2 x − 3x
2
3 2
3
32) 9a − 12ab + 15a b − 24ab
3
2
2
4
2
4
3
33) 16 x y −8 x y − 24 x y −40 x y
2
3 2
4 3
5 4
34) 12m n + 24m n − 36m n + 48m n
2 3
2 2
3 3
2
35) 100a b c − 150ab c + 50ab c − 200abc
5
4
3
2
36) x − x + x − x + x
2
3
4
5
6
37) a − 2a + 3a − 4a + 6a
2
3 2
2
2
38) 3a b + 6ab − 5a b + 8a bx + 4ab m
20
16
12
8
4
2
39) a − a + a − a + a − a
(
(
)
)
(
)
3a ( 3a − 4b + 5a b − 8b )
8 x y ( 2 xy −1 − 3x y − 5 y )
12m n(1 + 2mn − 3m n + 4m n )
50abc( 2ab − 3bc + b c − 40 )
x( x − x + x − x + 1)
a (1 − 2a + 3a − 4a + 6a )
ab(3a + 6 − 5a b ) + 8ax + 4bm
a ( a − a + a − a + a − 1)
x 6 x 9 − x 6 + 2x 3 − 3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
4
3
2
2
3
3
2
2
2
2
3
4
2
2
18
14
10
6
2
Método 2: Factor común con agrupación de términos:
Es una aplicación del factor común a expresiones de términos pares mayores
que dos, de tal manera que los términos agrupados tengan algún factor común
y las expresiones dentro del paréntesis sean iguales. En caso que esto no
suceda la expresión no se puede factorizar por este método.
Ejemplos:
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. ay + by + az + bz
Los dos primeros términos tienen el factor común y y los dos últimos tienen
como factor común
forma:
z , por lo consiguiente se pueden agrupar de la siguiente

5. ( ay + by ) + ( az + bz )
y( a + b) + z( a + b )
( a + b )( y + z )
2. 8 x +16 xw −12 y − 24 yw
La expresión tiene 4 términos y se puede agrupar de dos en dos, teniendo en
o
o
cuenta que el 2 y 4 término tienen en como factor común: 8w y el 1 y 3
término tiene como factor común 4; por lo tanto.
(8 x −12 y ) + (16 xw − 24 yw)
4( 2 x − 3 y ) + 8w( 2 x − 3 y )
( 2 x − 2 y )( 4 + 8w)
4( 2 x − 3 y )(1 + 2 w)
8 x +16 xw −12 y − 24 yw
3
2
3. 3 x − 9bx − x + 3b
o
La expresión tiene un número par de términos y se pueden agrupar el 1 y el 3
o
término por que tienen el factor común x y el segundo y cuarto término por
que tienen el factor común 3b . Por lo tanto:
(3x − x ) + ( − 9bx + 3b )
x (3 x − 1) + 3b( − 3 x + 1)
x (3 x −1) − 3b(3 x −1)
(3x −1)( x − 3b )
3
3 x 3 − 9bx 2 − x + 3b
2
2
2
2
2
2
TALLER No. 2
Factorizar las siguientes expresiones:
2
1) a + ab + ax + bx
(a
2
)
+ ab + ( ax + bx )
a ( a + ab ) + x( a + b )
( a + b )( a + x )

6. 2) am − bm + an − bn
3) ax − 2bx − 2ay + 4by
2 2
2
2 2
2
4) a x − 3bx +a y − 3by
( am − bm ) + ( an − bn )
m( a − b ) + n( a − b )
( a − b )( m + n )
( ax − 2ay ) + ( − 2bx + 4by )
a ( x − 2 y ) + 2b( − x + 2 y )
a ( x − 2 y ) − 2b( x − 2 y )
( x − 2 y )( a − 2b )
(a
2
(
x 2 + a 2 y 2 ) + ( − 3bx 2 − 3by 2 )
)
(
a 2 x 2 + y 2 − 3b x 2 + y 2
( x 2 + y 2 )( a 2 − 3b)
4
4
5) 3m − 2n − 2nx +3mx
2
2
6) x − a + x − a x
)
( 3m − 2n ) + ( − 2nx 4 + 3mx 4 )
( 3m − 2n ) + n 4 ( − 2n + 3m )
( 3m − 2n ) − n 4 ( 2n − 3m )
( 3m − 2n ) (1 − n 4 )
(x
2
) (
+ x + − a2 − a2x
x( x + 1) + a ( −1 − x )
)
2
x( x + 1) − a 2 ( x + 1)
( x + 1) ( x − a 2 )
3
2
7) 4a − 1 − a + 4a
( 4a + 4a ) + ( − 1 − a )
4a ( a + 1) + ( − 1 − a )
4a ( 4a + 1) − ( a + 1)
( a + 1)( 4a −1)
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8) x + x − xy − y
( x + x ) + ( − xy
2
2
− y2
)
x(1 + x ) + y ( − x −1)
2
x ( x +1) − y 2 ( x + 1)
( x + 1) ( x − y 2 )
2
2
2
2
9) 3abx − 2 y − 2 x + 3aby
(3abx + 3aby ) + ( − 2 y − 2 x )
3ab( x + y ) + 2( − x − y )
3ab( x + y ) − 2( y + x )
( x + y )( 3ab − 2)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

7. 2
2
10) 3a − b + 2b − 6ax
( 3a − 6ax ) + ( − b 2 + 2b 2 x )
3a(1 − 2 x ) + b 2 ( −1 + 2 x )
3a(1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )
(1 − 2 x ) (3a − b 2 )
11) 6ax + 3a + 1 + 2 x
3
2
12) 4a x − 4a b + 3bm − 3amx
( 6ax + 3a ) + (1 + 2 x )
3a ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1)
( 2 x +1)( 3a +1)
( 4a
3
x − 4a 2 b ) + ( 3bm − 3amx )
4a 2 ( x − b ) + 3m( b − x )
4a 2 ( x − b ) + 3m( x − b )
( x − b ) ( 4a 2 − 3m )
3
2
13) 3 x − 9ax − x + 3a
(3x
3
)
− 4ax 2 + ( − x − 3a )
3 x ( x − 3a ) + ( − x + 3a )
2
3 x 2 ( x − 3a ) − ( x − 3a )
( x − 3a ) (3x 2 −1)
2
2
14) 2a x − 5a y +15by − 6bx
( 2a
2
x − 5a 2 y ) + (15by − 2bx )
a 2 ( 2 x − 5 y ) + 3b( 5 y − 2 x )
a 2 ( 2 x − 5 y ) − 3b( 2 x − 5 y )
( 2 x − 5 y ) ( a 2 − 3b )
2
2
2 2
3
15) 2 x y + 2 xz + y z + xy
( 2 x y + xy ) + (5 xz + y z )
xy ( 2 x − 5 y ) + 2 z ( 2 x + y )
( 2 x − y )( xy + 2 z )
2
3
2
2
2
2 2
2 2
2
17) n x − 5a y − n y + 5a x
2
2
2
16) 6m − 9n + 21nx − 14mx
2
2
2
( 6m − 9n ) + ( 21nx −14mx )
3( 2m − 3n ) + 7 x( 3n − 2m )
3( 2m − 3n ) − 7 x( 2m − 3n )
( 2m − 3n )( 3 − 7 x )
(n
2
(
x − n 2 y 2 ) + ( − 5a 2 y 2 + 5a 2 x )
)
(
( x − y )( n
+ 5a 2
n 2 x − y 2 + 5a 2 − y 2 + x
n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 ( x − y 2 )
2
2
)
)

8. 18) 1 + a + 3ab + 3b
3
2
19) 4m − 12amn − m 3n
(1 + a ) + ( 3ab + 3b )
(1 + a ) + 3b( a + 1)
( a +1)(1 + 3b )
( 4m
)
− m 2 + ( − 12mn + 3n )
3
m ( 4m −1) + 3n( − 4m + 1)
2
m 2 ( 4m −1) − 3n( 4m −1)
( 4m −1) ( m 2 − 3n )
20) 20ax −5bx − 2by +8ay
3
2
21) a + a + a + 1
( 20ax + 8ay ) + ( − 5bx − 2by )
4a ( 5 x + 2 y ) + 5b( − 5 x − 2 y )
4a ( 5 x + 2 y ) − 5b( 5 x + 2 y )
( 5 x + 2 y )( 4a − 5b )
(a
3
)
+ a 2 + ( a + 1)
a (a + 1) + ( a + 1)
2
( a + 1) + ( a 2 + 1)
2
22) 3 − x + 2abx − 6ab
( 2ab
2
)
− x 2 − x + ( − 6ab + 3)
x 2 ( 2ab −1) + 3( − 2ab +1)
x 2 ( 2ab −1) − 3( 2ab −1)
( 2ab −1)( x 2 − 3)
2
2
2
23) 3a − 7b x + 3ax − 7 ab
(3a
2
+ 3ax ) + ( − 7 ab 2 − 7bx
24) 2am − 2an + 2a − m + n − 1
25) 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b g
3
2
2
2
2
26) 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b
3
2
2
2
2
2
27) 2 x − nx + 2 xz − nz − 3ny + 6 xy
3
2
2
2
2
28) 3 x + 2axy + 2ay − 3 xy − 2ax − 3 x y
2 3
4
2 3 2
4 2
2 2
4
29) a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x =
)