Solución de Modelos de Programación lineal utilizando TORA

1. AUTORES
Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística
Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística
DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE
2010
ACARGO DE LA ASIGNATURA DE:
INVESTIGACION DE OPERACIONES I

2. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
2
1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin
mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50%
de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del
grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000
galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5,
mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca
debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?
MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD
REGULAR 50% 50% $ 5
SÚPER 75% 25% $ 6
Solución:
MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD
REGULAR 50%*3000 =1500 50%*2000 =1000 $ 5
SÚPER 75%* 3000 =2250 25%*2000 =500 $ 6
GALONES
DISPONIBLES
3000 2000
 Variable s de Decisión:
x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones
x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones
 Función Objetivo:
Maximizar sus utilidades
 Restricciones:
R1. 1500x1 + 1000x2 < 3000
R.2. 2250x1 + 500x2 < 2000
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 5x1 + 6x2
Sujetos a:
1500x1 + 1000x2 < 3000
2250x1 + 500x2 < 2000
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando el Sofwared Vbtora98 , para darle su solución en forma grafica:
1.- Declaramos, el titulo del problema, el número de variables, el número de restricciones, como se
muestra en la siguiente pantalla.

3. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
3
2.- Al hacer enter, se muestra la siguiente pantalla que es donde se inscribe el Modelo de
Programación Lineal.
3.- Hacemos clic en Solve Menu, aparece la siguiente pantalla:
Si usted desea guardar su archivo la clic en la opción si, en caso contrario clic en la acción no.
4.- Clic en solución grafica y aparece la siguiente pantalla:

4. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
4
5.- Para encontrar un reporte de la solución por el método simplex, clic en solución del problema,
clic en método algebraico se puede seleccionar que le de la tabla final o iteración por iteración,
como se muestra:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
La compañía para obtener una utilidad máxima de 18 dólares, debe producir 3 galones wisqui
Super y ningún galón del wisqui Regular

5. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata
contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene 50% de
cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces
de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de
maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de
$ 15 por cada kilo de la mezcla más cara?
MEZCLA CACAHUATE NUEZ
GANANCIA POR
SEMANA
BARATA 80% 20% $10 POR KILO
CARA 50% 50% $ 15 POR KILO
Solución:
MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA
POR SEMANA
BARATA 80%*1800
14400
20%*1200
240
$10 POR KILO
CARA 50%*1800
900
50%*1200
600
$ 15 POR KILO
DISPONIBILIDAD EN Kg. 1800 1200
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos
x2 = Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos
 Función Objetivo:
Maximizar sus utilidades
 Restricciones:
R1. 1440x1 + 240x2 < 1800
R.2. 900x1 + 600x2 < 1200
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 10x1 + 15x2
Sujetos a:
1440x1 + 240x2 < 1800
900x1 + 600x2 < 1200
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Grafica:

6. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
6
2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad máxima de 30 dólares semanales, se debe hacer una mezcla de 2
kilogramos de la marca cara y no se debe realizar mezcla con la marca Barata.

7. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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3.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 hectáreas en los cuales puede
sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero
puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y
en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea:
CULTIVOS COSTO DE
PLANTAR
DEMANDA HORAS-
HOMBRE
UTILIDAD
MAIZ $20 5 $ 100
ARROZ $40 20 $ 300
Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero.
Solución:
CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE
PLANTAR
DEMANDA
HORAS-HOMBRE
UTILIDAD
MAIZ 1 $20 5 $ 100
ARROZ 1 $40 20 $ 300
RECURSO
DISPONIBLE
100 $3000 1350
 Variable s de Decisión:
x1 = Producción de Maíz por hectárea.
x2 = Producción de Arroz por hectárea.
 Función Objetivo:
Maximizar sus utilidades
 Restricciones:
R1. x1 + x2 < 100
R.2. 5x1 + 20x2 < 1350
R.3. 20x1 + 40x2 < 3000
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 100x1 + 300x2
Sujeto a:
x1 + x2 < 100
5x1 + 20x2 < 1350
20x1 + 40x2 < 3000
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:

8. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60
hectáreas de Arroz.

9. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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4.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de
dos productos, A y B, que contienen:
 al menos 0.5 miligramos de tiamina
 al menos 600 calorías
PRODUCTO TIAMINA CALORIAS
A 0.2 mg 100
B 0.08 mg 150
Solución:
PRODUCTO TIAMINA CALORIAS
A 0.2 mg 100
B 0.08 mg 150
REQUERIMINETOS MINIMOS 0.5 600
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad mas Barata del producto A
x2 = Cantidad mas Barata del Producto B
 Función Objetivo:
Minimizar Recursos
 Restricciones:
R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5
R.2. 100x1 + 150x2 > 600
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Min Z = x1 + x2
Sujeto a:
0.2x1 + 0.08x2 > 0.5
100x1 + 150x2 > 600
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica, como el tora no admite los valore de la primera restricción entonces a la
primera restricción lo multiplicamos por 100.

10. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simplex utilizando el Método M:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para Minimizar los costos a $4.41 se deben Adquirir 1.23 mg. Del producto A, y 3.18 mg. Del
producto B.
5.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal produce una
utilidad de $4.50 y las halógenas $ 6.00. La producción está limitada por el hecho de que no se
pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende
toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima
ganancia?
Solución:
BOMBILLAS Producción
1
Producción
2
Producción
diaria
Utilidad
$
Normal 1 0 1 5
Halógenas 0 1 1 6
Producción Máxima diaria 400 300 500
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de bombillas Normales a producir diariamente.
x2 = Cantidad de bombillas Halógenas a producir diariamente.
 Función Objetivo:
Maximizar utilidades.
 Restricciones:
R1. x1 < 400
R.2. x2 < 300
R.3. x1 + x2 < 500

11. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z =5x1 + 6x2
Sujeto a:
x1 < 400
x2 < 300
x1 + x2 < 500
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:
2.- Reporte de la solución por el método simplex:

12. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad Máxima de $2800 dólares diarios se producir 200 bombillas normales
y 300 bombillas de halógeno.
6. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un departamento, de química industrial, almacena, al
menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total
de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine las cantidades posibles de estos dos
tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con una gráfica.
Solución:
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de vasos de primer tamaño que deben almacenarse.
x2 = Cantidad de vasos de segundo tamaño que deben almacenarse.
 Función Objetivo:
Maximizar el número de vasos almacenados
 Restricciones:
R1. x1 > 300
R.2. x2 > 400
R.3. x1 + x2 < 1200
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = x1 + x2
Sujeto a:
x1 > 300
x2 > 400
x1 + x2 < 1200
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:

13. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simples, como el modelo es mixto para la solución
utilizamos el método M (Método de penalñización):
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para Maximizar la capacidad de almacenamiento se deben almacenar 800 vasos del primer
tamaño y 400 vasos del segundo tamaño,
7.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para
hacer la carrocería de un camión, se invierten 8 días – operario, para fabricar la de un coche se
necesitan 2 días – operario. En la nave B se invierten 3 días – operario tanto en carrocerías de
camión como de coche. Por las limitaciones de mano de obra y maquinaria la nave A dispone de
300 días – operario, y la nave B de 270 días – operario. Si los beneficios que se obtienen por
cada camión son de 4 mil dólares y por cada automóvil 2 mil dólares ¿cuántas unidades de
cada uno se deben producir para maximizar las utilidades las ganancias?
Solución:
NAVE AUTOMOVILES CAMIONES Dias-operario
A 2 7 300
B 3 3 270
UTILIDAD 2 4
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de carrocerías para automóviles a fabricar.
x2 = Cantidad de carrocerías para camiones a fabricar.
 Función Objetivo:
Maximizar utilidades
 Restricciones:
R1. x1 + x2 < 8
R.2. 2x1 + 7x2 < 300
R.3. 3x1 + 3x2 < 270

14. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 2x1 + 4x2
Sujetos a:
x1 + x2 < 7
2x1 + 7x2 < 300
3x1 + 3x2 < 270
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:
2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad Máxima de 32 mil dólares se deben producir 8 carrocerías de
camiones.

15. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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8. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina
asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia
por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad
Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia
1 10 6 8 $2
2 5 20 15 $3
Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita
maximizar las Ganancias.
Solución:
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día.
x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.
 Función Objetivo:
Maximizar las Ganancias.
 Restricciones:
R1. 10x1 + 5x2 < 10(60)
R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60)
R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 2x1 + 3x2
Sujetos a:
10x1 + 5x2 < 600
6x1 + 20x2 < 600
8x1 + 15x2 < 600
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:

16. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55
unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día.
9.- En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora
dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa
de 30 y 20 millones, respectivamente. El condominio exige que el número total de casas no sea
superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4
millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿ cuántas casas deben construirse de cada tipo para
obtener el máximo beneficio?.
Solución:
TIPO DE
CASAS
COSTO MILLONES
DE $
CASAS
BENEFICIO
MILLONES DE $
A 30 1 4
B 20 1 3
RECURSO
DISPONIBLE
$1800 80
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de casas tipo A a construir.
x2 = Cantidad de casas tipo B a construir
 Función Objetivo:
Maximizar los Beneficios.
 Restricciones:
R1. 30x1 + 20x2 < 1800
R.2. x1 + x2 < 80
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

17. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 4x1 + 3x2
Sujeto a:
30x1 + 20x2 < 1800
x1 + x2 < 80
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución por el método gráfico:
2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una ganancia máxima de 260 millones de dólares se deben construir 20 casas tipo A y
60 casas tipo B.

18. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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10.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a cierta empresa a pescar
como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel, además, en total, las
capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza
es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué cantidades debe pescar para
obtener el máximo beneficio?.
Solución:
TIPO DE
PESCADO
PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $
MERLUZA 1 0 1 1000
JUREL 0 1 1 1500
RECURSO
MAXIMO
2000 2000 3000
 Variable s de Decisión:
x1 = Tonelada de Merluza a pescar.
x2 = Tonelada de Jurel a pescar.
 Función Objetivo:
Maximizar los Beneficios.
 Restricciones:
R1. x1 < 2000
R.2. x2 < 2000
R.3 x1 + x2 < 3000
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 1000x1 + 1500x2
Sujeto a:
x1 < 2000
x2 < 2000
x1 + x2 < 3000
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:

19. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una ganancia máxima de 4000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y
2000 toneladas de Jurel.

20. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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11.- Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.-Si
siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto
es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también
existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre,
según se indica:
Mes Consumo m3 /
Hcta
Trigo
Consumo m3 /
Hcta
Cebada
Disponibilidad
m3
Octubre 900 650 57900
Noviembre 1200 850 115200
Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. Los precios
vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el método
gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el
agricultor para que maximice su beneficio.
SOLUCION
 Variable s de Decisión:
x1 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Trigo.
x2 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Cebada.
 Función Objetivo:
Maximizar los Beneficios.
 Restricciones:
R1. x1 + x2 < 70
R.2. 30x1 + 40x2 < 2500
R.3 900x1 + 650x2 < 57900
R.4. 1200 x1 + 850x2 < 115200
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = [30(45) - 30] x1 + [25(6) - 40] x2
Max Z = 105 x1 + 110 x2
Sujeto a:
x1 + x2 < 70
30x1 + 40x2 < 2500
900x1 + 650x2 < 57900
1200 x1 + 850x2 < 115200
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Solución Gráfica:

21. Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco
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2.- Reporte de la solución por el método simplex:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener un beneficio máximo de 7550 dólares se debe destinar a la siembra 30 hectáreas de
Trigo y 40 hectáreas de cebada. .