SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 26
Descargar para leer sin conexión
PD Tema 3: Tableros semánticos




                          Lógica informática (2010–11)
                                 Tema 3: Tableros semánticos


                                  José A. Alonso Jiménez
                                   Andrés Cordón Franco
                                  María J. Hidalgo Doblado

                                Grupo de Lógica Computacional
                        Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
                                     Universidad de Sevilla




                                                                            1 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      2 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Búsqueda de modelos




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      3 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Búsqueda de modelos




Búsqueda exitosa de modelos
         Búsqueda de modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r ))
                    I |= ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r ))
              syss I |= {¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r ))}
              syss I |= {¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ r )}
              syss I |= {¬p ∨ ¬q, p ∧ r }
              syss I |= {p, r , ¬p ∨ ¬q}
              syss I |= {p, r , ¬p} ó I |= {p, r , ¬q}
              syss I |= {⊥} ó I |= {p, r , ¬q}
         Modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r )):
           Las interpretaciones I tales que I(p) = 1, I(q) = 0 e I(r ) = 1.




                                                                              4 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Búsqueda de modelos




Búsqueda exitosa de modelos por tableros semánticos
    ¬((¬p ∨ ¬q) → ¬(p ∧ r ))

         ¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ r )

             ¬p ∨ ¬q, p ∧ r

               ¬p ∨ ¬q, p, r

      ¬p, p, r                   ¬q, p, r


           ⊥


                                                      5 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Búsqueda de modelos




Búsqueda fallida de modelos
         Búsqueda de modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)).
                    I |= ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q))
              syss I |= {¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q))}
              syss I |= {¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ q)}
              syss I |= {¬p ∨ ¬q, p ∧ q}
              syss I |= {p, q, ¬p ∨ ¬q}
              syss I |= {p, q, ¬p} ó I |= {p, q, ¬q}
              syss I |= {⊥} ó I |= {⊥}
         La fórmula ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)) no tiene modelos (es
         insatisfacible).




                                                                 6 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Búsqueda de modelos




Búsqueda fallida de modelos por tableros semánticos
    ¬((¬p ∨ ¬q) → ¬(p ∧ q))

         ¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ q)

             ¬p ∨ ¬q, p ∧ q

               ¬p ∨ ¬q, p, q

      ¬p, p, q                   ¬q, p, q


           ⊥                        ⊥


                                                      7 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Notación uniforme




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      8 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Notación uniforme




Notación uniforme: Literales y dobles negaciones
         Literales
                Un literal es un átomo o la negación de un átomo (p.e.
                p, ¬p, q, ¬q, . . . ).
                I |= p syss I(p) = 1.
                I |= ¬p syss I(p) = 0.
         Dobles negaciones
                F es una doble negación si es de la forma ¬¬G.
                I |= ¬¬G syss I |= G.
         Reducción de modelos:
                I |= F ∧ G syss I |= F e I |= G.
                I |= F ∨ G syss I |= F ó I |= G.




                                                                         9 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Notación uniforme




Notación uniforme: Fórmulas alfa y beta
         Las fórmulas alfa, junto con sus componentes, son
             F               F1         F2
             A1 ∧ A2         A1         A2
             ¬(A1 → A2 ) A1             ¬A2
             ¬(A1 ∨ A2 ) ¬A1            ¬A2
             A1 ↔ A2         A1 → A2 A2 → A1
         Si F es alfa con componentes F1 y F2 , entonces F ≡ F1 ∧ F2 .
         Las fórmulas beta, junto con sus componentes, son
             F               F1            F2
             B1 ∨ B2         B1            B2
             B1 → B2         ¬B1           B2
             ¬(B1 ∧ B2 ) ¬B1               ¬B2
             ¬(B1 ↔ B2 ) ¬(B1 → B2 ) ¬(B2 → B1 )
         Si F es beta con componentes F1 y F2 , entonces F ≡ F1 ∨ F2 .
                                                                         10 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Procedimiento de completación de tableros




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      11 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Procedimiento de completación de tableros




Tablero del conjunto de fórmulas S
 Un tablero del conjunto de fórmulas S es un árbol construido mediante
 las reglas:
        El árbol cuyo único nodo tiene como etiqueta S es un tablero de S.
        Sea T un tablero de S y S1 la etiqueta de una hoja de T .
           1. Si S1 contiene una fórmula y su negación, entonces el árbol obtenido
              añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con {⊥} es un tablero
              de S.
           2. Si S1 contiene una doble negación ¬¬F , entonces el árbol obtenido
              añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con
              (S1 {¬¬F }) ∪ {F } es un tablero de S.
           3. Si S1 contiene una fórmula alfa F de componentes F1 y F2 , entonces
              el árbol obtenido añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con
              (S1     {F }) ∪ {F1 , F2 } es un tablero de S.
           4. Si S1 contiene una fórmula beta F de componentes F1 y F2 , entonces
              el árbol obtenido añadiendo como hijos de S1 los nodos etiquetados
              con (S1      {F }) ∪ {F1 } y (S1 {F }) ∪ {F2 } es un tablero de S.
                                                                                     12 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Procedimiento de completación de tableros




No unicidad del tablero de un conjunto de fórmulas
         Un tablero completo de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) es
                 (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

                      p ∨ q, ¬p ∧ ¬q

            p, ¬p ∧ ¬q                q, ¬p ∧ ¬q

              p, ¬p, ¬q                q, ¬p, ¬q


                    ⊥                         ⊥



                                                         13 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Procedimiento de completación de tableros




No unicidad del tablero de un conjunto de fórmulas
         Otro tablero completo de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) es
                (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

                    p ∨ q, ¬p ∧ ¬q

                      p ∨ q, ¬p, ¬q

            p, ¬p, ¬q                 q, ¬p, ¬q


                  ⊥                           ⊥



                                                           14 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Modelos por tableros semánticos




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      15 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Modelos por tableros semánticos




Modelos por tableros
        Def.: Sea S un conjunto de fórmulas, T un tablero de S.
              Una hoja de T es cerrada si contiene una fórmula y su negación o es de la
              forma {⊥}.
              Una hoja de T es abierta si es un conjunto de literales y no contiene un
              literal y su negación.
        Def.: Un tablero completo de S es un tablero de S tal que todas sus
        hojas son abiertas o cerradas.
        Def.: Un tablero es cerrado si todas sus hojas son cerradas.
        Reducción de modelos:
              I |= F ∧ G syss I |= F e I |= G.
              I |= F ∨ G syss I |= F ó I |= G.
        Propiedades:
          1. Si las hojas de un tablero del conjunto de fórmulas {F1 , . . . , Fn } son
             {G1,1 , . . . , G1,n1 }, . . . , {Gm,1 , . . . , Gm,nm }, entonces
             F1 ∧ · · · ∧ Fn ≡ (G1,1 ∧ · · · ∧ G1,n1 ) ∨ · · · ∨ (Gm,1 ∧ · · · ∧ Gm,nm ).
          2. Prop.: Sea S un conjunto de fórmulas, T un tablero de S e I una
             interpretación. Entonces, I |= S syss existe una hoja S1 de T tal que
             I |= S1 .
                                                                                            16 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Consistencia mediante tableros




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      17 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Consistencia mediante tableros




Consistencia mediante tableros
         Prop.: Si {p1 , . . . , pn , ¬q1 , . . . , ¬qm } es una hoja abierta de un
         tablero del conjunto de fórmulas S, entonces la interpretación I
         tal que I(p1 ) = 1, . . . , I(pn ) = 1, I(q1 ) = 0, . . . , I(qm ) = 0 es un
         modelo de S.
         Prop.: Un conjunto de fórmulas S es consistente syss S tiene un
         tablero con alguna hoja abierta.
         Prop.: Un conjunto de fórmulas S es inconsistente syss S tiene
         un tablero completo cerrado.




                                                                                        18 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Teorema por tableros




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      19 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Teorema por tableros




Teorema por tableros
         Def.: Una fórmula F es un teorema (mediante tableros
         semánticos) si tiene una prueba mediante tableros; es decir, si
         {¬F } tiene un tablero completo cerrado.
         Se representa por Tab F .
         Ejemplos:         ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)
                             Tab
                       Tab ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r )
         Teor.: El cálculo de tableros semánticos es adecuado y completo;
         es decir,
             Adecuado:      Tab F ⇒      |= F
             Completo: |= F         ⇒      Tab F




                                                                            20 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Deducción por tableros




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      21 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Deducción por tableros




Deducción por tableros
         Def.: La fórmula F es deducible (mediante tableros semánticos) a
         partir del conjunto de fórmulas S si existe un tablero completo
         cerrado de S ∪ {¬F }. Se representa por S Tab F .
         Ejemplo: {p → q, q → r } Tab p → r
                                 p → q, q → r , ¬(p → r )

                                    p → q, q → r , p, ¬r

                           p → q, ¬q, p, ¬r       p → q, r , p, ¬r

            ¬p, ¬q, p, ¬r               q, ¬q, p, ¬r       ⊥

                     ⊥                        ⊥
                                                                            22 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Deducción por tableros




Deducción por tableros
         Ejemplo: {p ∨ q}             Tab   p∧q
                                   p ∨ q, ¬(p ∧ q)

                  p, ¬(p ∧ q)                      q, ¬(p ∧ q)

            p, ¬p                p, ¬q        q, ¬p        q, ¬q


               ⊥                                             ⊥

         Contramodelos de {p ∨ q} Tab p ∧ q
            las interpretaciones I1 tales que I1 (p) = 1 e I1 (q) = 0
               las interpretaciones I2 tales que I2 (p) = 0 e I2 (q) = 1
         Teor.: S          Tab   F syss S |= F .                           23 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Tableros en notación reducida




Tema 3: Tableros semánticos

 1. Búsqueda de modelos

 2. Notación uniforme

 3. Procedimiento de completación de tableros

 4. Modelos por tableros semánticos

 5. Consistencia mediante tableros

 6. Teorema por tableros

 7. Deducción por tableros                      24 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Tableros en notación reducida




Tableros en notación reducida
         Ejemplo: {p ∨ q}             Tab   p∧q
                                      1. p ∨ q
                                      2. ¬(p ∧ q)

                        3. p (1)                    4. q (1)

            5. ¬p (2)             6. ¬q (2)   7. ¬p (2)   8. ¬q (2)

             Cerrada              Abierta     Abierta     Cerrada
             (5,3)                {p, ¬q}     {¬p, q}     (8,4)




                                                                      25 / 26
PD Tema 3: Tableros semánticos
  Bibliografía




Bibliografía
    1. Ben–Ari, M. Mathematical Logic for Computer Science (2nd ed.)
       (Springer, 2001)
                 Cap. 2: Propositional calculus: formulas, models, tableaux
    2. Fitting, M. First-Order Logic and Automated Theorem Proving
       (2nd ed.) (Springer, 1995)
                 Cap. 3: Semantic tableaux and resolution
    3. Hortalá, M.T.; Leach, J. y Rogríguez, M. Matemática discreta y
       lógica matemática (Ed. Complutense, 1998)
                 Cap. 7.9: Tableaux semánticos para la lógica de proposiciones
    4. Nerode, A. y Shore, R.A. Logic for Applications (Springer, 1997)
                 Cap. 1.4: Tableau proofs in propositional calculus
    5. E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martín Lógica computacional
       (Thomson, 2003)
                 Cap. 4.3: Métodos de las tablas semánticas
                                                                                 26 / 26

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicasEcuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicassitayanis
 
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...Mareli Rodríguez Ovalle
 
Función logarítmica
Función logarítmicaFunción logarítmica
Función logarítmicaJuliana Isola
 
S5 -equivalencia_y_minimizacion_af_ds
S5  -equivalencia_y_minimizacion_af_dsS5  -equivalencia_y_minimizacion_af_ds
S5 -equivalencia_y_minimizacion_af_dsdwonga
 
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...Clases Online Matematicas Fisica Quimica
 
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdf
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdfAlgebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdf
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdfscraily abg
 
Derivadas método de cuatro pasos
Derivadas método de cuatro pasosDerivadas método de cuatro pasos
Derivadas método de cuatro pasosalucardoxx
 
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesis
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesisEjercicios resueltos de pruebas de hipótesis
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesisronald gamarra rojas
 
Formulas fisica israel condori rocha
Formulas fisica   israel condori rochaFormulas fisica   israel condori rocha
Formulas fisica israel condori rochaIsrael Condori Rocha
 
Optimizacion con multiplicador de Lagrange
Optimizacion con multiplicador de LagrangeOptimizacion con multiplicador de Lagrange
Optimizacion con multiplicador de LagrangeMiguel Tinoco
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2Luciano Renteria
 

La actualidad más candente (20)

Ecuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicasEcuaciones logaritmicas
Ecuaciones logaritmicas
 
Matematica 2 do bimestre
Matematica 2 do bimestreMatematica 2 do bimestre
Matematica 2 do bimestre
 
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...
 
mapa conceptual termoquimica
mapa conceptual  termoquimicamapa conceptual  termoquimica
mapa conceptual termoquimica
 
Función logarítmica
Función logarítmicaFunción logarítmica
Función logarítmica
 
Taller2
Taller2Taller2
Taller2
 
S5 -equivalencia_y_minimizacion_af_ds
S5  -equivalencia_y_minimizacion_af_dsS5  -equivalencia_y_minimizacion_af_ds
S5 -equivalencia_y_minimizacion_af_ds
 
Algebra de Boole
Algebra de BooleAlgebra de Boole
Algebra de Boole
 
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...
Geometría molecular según la Teoría de Repulsión de Pares de Electrones de Va...
 
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdf
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdfAlgebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdf
Algebra lineal de Cueva,Navas y Toro cuaderno de ejercicios pdf
 
Prueba de hipotesis
Prueba de hipotesisPrueba de hipotesis
Prueba de hipotesis
 
Derivadas método de cuatro pasos
Derivadas método de cuatro pasosDerivadas método de cuatro pasos
Derivadas método de cuatro pasos
 
Problemas con matrices
Problemas con matricesProblemas con matrices
Problemas con matrices
 
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesis
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesisEjercicios resueltos de pruebas de hipótesis
Ejercicios resueltos de pruebas de hipótesis
 
Formulas fisica israel condori rocha
Formulas fisica   israel condori rochaFormulas fisica   israel condori rocha
Formulas fisica israel condori rocha
 
Optimizacion con multiplicador de Lagrange
Optimizacion con multiplicador de LagrangeOptimizacion con multiplicador de Lagrange
Optimizacion con multiplicador de Lagrange
 
Funcion racional
Funcion racionalFuncion racional
Funcion racional
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan. ...
 
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivadaAplicaciones de la derivada
Aplicaciones de la derivada
 
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2
CALCULO INTEGRAL DIFERENCIAL 2
 

Similar a Tableros semánticos para la búsqueda de modelos y consistencia

LMF-T3: Tableros semánticos
LMF-T3: Tableros semánticosLMF-T3: Tableros semánticos
LMF-T3: Tableros semánticosJosé A. Alonso
 
C4_Leyes Logicas_def.pdf
C4_Leyes Logicas_def.pdfC4_Leyes Logicas_def.pdf
C4_Leyes Logicas_def.pdfJasonZge
 
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivas
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivasLIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivas
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivasJosé A. Alonso
 
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdfJamesVillegas9
 
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesLI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesJosé A. Alonso
 
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)Videoconferencias UTPL
 
Estructuras discretas unidad1
Estructuras discretas unidad1Estructuras discretas unidad1
Estructuras discretas unidad1ysaacura
 

Similar a Tableros semánticos para la búsqueda de modelos y consistencia (17)

LMF-T3: Tableros semánticos
LMF-T3: Tableros semánticosLMF-T3: Tableros semánticos
LMF-T3: Tableros semánticos
 
C4_Leyes Logicas_def.pdf
C4_Leyes Logicas_def.pdfC4_Leyes Logicas_def.pdf
C4_Leyes Logicas_def.pdf
 
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivas
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivasLIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivas
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivas
 
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf
204041_213_James_Villegas_tarea2.pdf
 
borrador completo.pdf
borrador completo.pdfborrador completo.pdf
borrador completo.pdf
 
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. AplicacionesLI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
LI-T5b: Algoritmos para SAT. Aplicaciones
 
miercoles RV.docx
miercoles RV.docxmiercoles RV.docx
miercoles RV.docx
 
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
UTPL-LÓGICA MATEMÁTICA-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
 
Programa segundo grad1
Programa segundo grad1Programa segundo grad1
Programa segundo grad1
 
Bloque1 tercergrado
Bloque1 tercergradoBloque1 tercergrado
Bloque1 tercergrado
 
Ajuste de datos e interpolacion
Ajuste de datos e interpolacionAjuste de datos e interpolacion
Ajuste de datos e interpolacion
 
Estructuras discretas unidad1
Estructuras discretas unidad1Estructuras discretas unidad1
Estructuras discretas unidad1
 
UNIDAD 4
UNIDAD 4UNIDAD 4
UNIDAD 4
 
Mat 11 u4
Mat 11 u4Mat 11 u4
Mat 11 u4
 
Mat 9 u1
Mat 9 u1Mat 9 u1
Mat 9 u1
 
INTRODUCCION 2021 Y CLASE 1.pptx
INTRODUCCION 2021 Y CLASE 1.pptxINTRODUCCION 2021 Y CLASE 1.pptx
INTRODUCCION 2021 Y CLASE 1.pptx
 
Matrices y sus aplicaciones
Matrices y sus aplicacionesMatrices y sus aplicaciones
Matrices y sus aplicaciones
 

Más de José A. Alonso

Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.
Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.
Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.José A. Alonso
 
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmos
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmosTema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmos
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmosJosé A. Alonso
 
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsqueda
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsquedaI1M-T19: El TAD de los árboles de búsqueda
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsquedaJosé A. Alonso
 
I1M-T17: El TAD de los conjuntos
I1M-T17: El TAD de los conjuntosI1M-T17: El TAD de los conjuntos
I1M-T17: El TAD de los conjuntosJosé A. Alonso
 
Panorama de la demostración asistida por ordenador
Panorama de la demostración asistida por ordenadorPanorama de la demostración asistida por ordenador
Panorama de la demostración asistida por ordenadorJosé A. Alonso
 
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicional
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicionalLMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicional
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicionalJosé A. Alonso
 
LMF-T5: Resolución proposicional
LMF-T5: Resolución proposicionalLMF-T5: Resolución proposicional
LMF-T5: Resolución proposicionalJosé A. Alonso
 
LMF-T2: Deducción natural proposicional
LMF-T2: Deducción natural proposicionalLMF-T2: Deducción natural proposicional
LMF-T2: Deducción natural proposicionalJosé A. Alonso
 
I1M-T21: El TAD de los polinomios en Haskell
I1M-T21: El TAD de los polinomios en HaskellI1M-T21: El TAD de los polinomios en Haskell
I1M-T21: El TAD de los polinomios en HaskellJosé A. Alonso
 
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicionalLMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicionalJosé A. Alonso
 
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con Prolog
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con PrologLI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con Prolog
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con PrologJosé A. Alonso
 
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
Panorama del razonamiento automático
Panorama del razonamiento automáticoPanorama del razonamiento automático
Panorama del razonamiento automáticoJosé A. Alonso
 
LI -T5: Resolución proposicional
LI -T5: Resolución proposicionalLI -T5: Resolución proposicional
LI -T5: Resolución proposicionalJosé A. Alonso
 
I1M2010-T24: Programación dinámica en Haskell
I1M2010-T24: Programación dinámica en HaskellI1M2010-T24: Programación dinámica en Haskell
I1M2010-T24: Programación dinámica en HaskellJosé A. Alonso
 
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenLI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenJosé A. Alonso
 
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasLI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasJosé A. Alonso
 

Más de José A. Alonso (20)

Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.
Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.
Tema 12: Analizadores sintácticos funcionales.
 
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmos
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmosTema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmos
Tema 23: Técnicas de diseño descendente de algoritmos
 
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsqueda
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsquedaI1M-T19: El TAD de los árboles de búsqueda
I1M-T19: El TAD de los árboles de búsqueda
 
I1M-T17: El TAD de los conjuntos
I1M-T17: El TAD de los conjuntosI1M-T17: El TAD de los conjuntos
I1M-T17: El TAD de los conjuntos
 
Panorama de la demostración asistida por ordenador
Panorama de la demostración asistida por ordenadorPanorama de la demostración asistida por ordenador
Panorama de la demostración asistida por ordenador
 
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
 
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LMF-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
 
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicional
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicionalLMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicional
LMF-T5b: Aplicaciones de la lógica proposicional
 
LMF-T5: Resolución proposicional
LMF-T5: Resolución proposicionalLMF-T5: Resolución proposicional
LMF-T5: Resolución proposicional
 
LMF-T4: Formas normales
LMF-T4: Formas normalesLMF-T4: Formas normales
LMF-T4: Formas normales
 
LMF-T2: Deducción natural proposicional
LMF-T2: Deducción natural proposicionalLMF-T2: Deducción natural proposicional
LMF-T2: Deducción natural proposicional
 
I1M-T21: El TAD de los polinomios en Haskell
I1M-T21: El TAD de los polinomios en HaskellI1M-T21: El TAD de los polinomios en Haskell
I1M-T21: El TAD de los polinomios en Haskell
 
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicionalLMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
LMF-T1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional
 
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con Prolog
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con PrologLI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con Prolog
LI-T12: LI2011-12: Introducción a la programación lógica con Prolog
 
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer ordenLI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
LI-T6: Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
 
Panorama del razonamiento automático
Panorama del razonamiento automáticoPanorama del razonamiento automático
Panorama del razonamiento automático
 
LI -T5: Resolución proposicional
LI -T5: Resolución proposicionalLI -T5: Resolución proposicional
LI -T5: Resolución proposicional
 
I1M2010-T24: Programación dinámica en Haskell
I1M2010-T24: Programación dinámica en HaskellI1M2010-T24: Programación dinámica en Haskell
I1M2010-T24: Programación dinámica en Haskell
 
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer ordenLI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
LI2011-T11: Resolución en lógica de primer orden
 
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulasLI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
LI2011-T9: Formas normales de Skolem y cláusulas
 

Último

EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxEXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxPryhaSalam
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteRaquel Martín Contreras
 
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIARAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIACarlos Campaña Montenegro
 
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docx
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docxSesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docx
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docxMaritzaRetamozoVera
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptxFelicitasAsuncionDia
 
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADCALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADauxsoporte
 
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...JonathanCovena1
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxKarlaMassielMartinez
 
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADO
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADODECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADO
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADOJosé Luis Palma
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.José Luis Palma
 
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdfNeurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicacelula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicaFlor Idalia Espinoza Ortega
 
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMarjorie Burga
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxzulyvero07
 
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...Lourdes Feria
 
RETO MES DE ABRIL .............................docx
RETO MES DE ABRIL .............................docxRETO MES DE ABRIL .............................docx
RETO MES DE ABRIL .............................docxAna Fernandez
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 

Último (20)

EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptxEXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
EXPANSIÓN ECONÓMICA DE OCCIDENTE LEÓN.pptx
 
Historia y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arteHistoria y técnica del collage en el arte
Historia y técnica del collage en el arte
 
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIARAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
RAIZ CUADRADA Y CUBICA PARA NIÑOS DE PRIMARIA
 
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docx
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docxSesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docx
Sesión de aprendizaje Planifica Textos argumentativo.docx
 
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia GeneralRepaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
Repaso Pruebas CRECE PR 2024. Ciencia General
 
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptxRegistro Auxiliar - Primaria  2024 (1).pptx
Registro Auxiliar - Primaria 2024 (1).pptx
 
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDADCALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
CALENDARIZACION DE MAYO / RESPONSABILIDAD
 
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
La empresa sostenible: Principales Características, Barreras para su Avance y...
 
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptxTECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
TECNOLOGÍA FARMACEUTICA OPERACIONES UNITARIAS.pptx
 
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADO
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADODECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADO
DECÁGOLO DEL GENERAL ELOY ALFARO DELGADO
 
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
 
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdfNeurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
 
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamicacelula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
celula, tipos, teoria celular, energia y dinamica
 
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grandeMAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
MAYO 1 PROYECTO día de la madre el amor más grande
 
Medición del Movimiento Online 2024.pptx
Medición del Movimiento Online 2024.pptxMedición del Movimiento Online 2024.pptx
Medición del Movimiento Online 2024.pptx
 
Power Point: "Defendamos la verdad".pptx
Power Point: "Defendamos la verdad".pptxPower Point: "Defendamos la verdad".pptx
Power Point: "Defendamos la verdad".pptx
 
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptxACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
ACUERDO MINISTERIAL 078-ORGANISMOS ESCOLARES..pptx
 
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...
Caja de herramientas de inteligencia artificial para la academia y la investi...
 
RETO MES DE ABRIL .............................docx
RETO MES DE ABRIL .............................docxRETO MES DE ABRIL .............................docx
RETO MES DE ABRIL .............................docx
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
 

Tableros semánticos para la búsqueda de modelos y consistencia

  • 1. PD Tema 3: Tableros semánticos Lógica informática (2010–11) Tema 3: Tableros semánticos José A. Alonso Jiménez Andrés Cordón Franco María J. Hidalgo Doblado Grupo de Lógica Computacional Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. Universidad de Sevilla 1 / 26
  • 2. PD Tema 3: Tableros semánticos Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 2 / 26
  • 3. PD Tema 3: Tableros semánticos Búsqueda de modelos Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 3 / 26
  • 4. PD Tema 3: Tableros semánticos Búsqueda de modelos Búsqueda exitosa de modelos Búsqueda de modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r )) I |= ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r )) syss I |= {¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r ))} syss I |= {¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ r )} syss I |= {¬p ∨ ¬q, p ∧ r } syss I |= {p, r , ¬p ∨ ¬q} syss I |= {p, r , ¬p} ó I |= {p, r , ¬q} syss I |= {⊥} ó I |= {p, r , ¬q} Modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r )): Las interpretaciones I tales que I(p) = 1, I(q) = 0 e I(r ) = 1. 4 / 26
  • 5. PD Tema 3: Tableros semánticos Búsqueda de modelos Búsqueda exitosa de modelos por tableros semánticos ¬((¬p ∨ ¬q) → ¬(p ∧ r )) ¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ r ) ¬p ∨ ¬q, p ∧ r ¬p ∨ ¬q, p, r ¬p, p, r ¬q, p, r ⊥ 5 / 26
  • 6. PD Tema 3: Tableros semánticos Búsqueda de modelos Búsqueda fallida de modelos Búsqueda de modelos de ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)). I |= ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)) syss I |= {¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q))} syss I |= {¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ q)} syss I |= {¬p ∨ ¬q, p ∧ q} syss I |= {p, q, ¬p ∨ ¬q} syss I |= {p, q, ¬p} ó I |= {p, q, ¬q} syss I |= {⊥} ó I |= {⊥} La fórmula ¬(¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)) no tiene modelos (es insatisfacible). 6 / 26
  • 7. PD Tema 3: Tableros semánticos Búsqueda de modelos Búsqueda fallida de modelos por tableros semánticos ¬((¬p ∨ ¬q) → ¬(p ∧ q)) ¬p ∨ ¬q, ¬¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q, p ∧ q ¬p ∨ ¬q, p, q ¬p, p, q ¬q, p, q ⊥ ⊥ 7 / 26
  • 8. PD Tema 3: Tableros semánticos Notación uniforme Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 8 / 26
  • 9. PD Tema 3: Tableros semánticos Notación uniforme Notación uniforme: Literales y dobles negaciones Literales Un literal es un átomo o la negación de un átomo (p.e. p, ¬p, q, ¬q, . . . ). I |= p syss I(p) = 1. I |= ¬p syss I(p) = 0. Dobles negaciones F es una doble negación si es de la forma ¬¬G. I |= ¬¬G syss I |= G. Reducción de modelos: I |= F ∧ G syss I |= F e I |= G. I |= F ∨ G syss I |= F ó I |= G. 9 / 26
  • 10. PD Tema 3: Tableros semánticos Notación uniforme Notación uniforme: Fórmulas alfa y beta Las fórmulas alfa, junto con sus componentes, son F F1 F2 A1 ∧ A2 A1 A2 ¬(A1 → A2 ) A1 ¬A2 ¬(A1 ∨ A2 ) ¬A1 ¬A2 A1 ↔ A2 A1 → A2 A2 → A1 Si F es alfa con componentes F1 y F2 , entonces F ≡ F1 ∧ F2 . Las fórmulas beta, junto con sus componentes, son F F1 F2 B1 ∨ B2 B1 B2 B1 → B2 ¬B1 B2 ¬(B1 ∧ B2 ) ¬B1 ¬B2 ¬(B1 ↔ B2 ) ¬(B1 → B2 ) ¬(B2 → B1 ) Si F es beta con componentes F1 y F2 , entonces F ≡ F1 ∨ F2 . 10 / 26
  • 11. PD Tema 3: Tableros semánticos Procedimiento de completación de tableros Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 11 / 26
  • 12. PD Tema 3: Tableros semánticos Procedimiento de completación de tableros Tablero del conjunto de fórmulas S Un tablero del conjunto de fórmulas S es un árbol construido mediante las reglas: El árbol cuyo único nodo tiene como etiqueta S es un tablero de S. Sea T un tablero de S y S1 la etiqueta de una hoja de T . 1. Si S1 contiene una fórmula y su negación, entonces el árbol obtenido añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con {⊥} es un tablero de S. 2. Si S1 contiene una doble negación ¬¬F , entonces el árbol obtenido añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con (S1 {¬¬F }) ∪ {F } es un tablero de S. 3. Si S1 contiene una fórmula alfa F de componentes F1 y F2 , entonces el árbol obtenido añadiendo como hijo de S1 el nodo etiquetado con (S1 {F }) ∪ {F1 , F2 } es un tablero de S. 4. Si S1 contiene una fórmula beta F de componentes F1 y F2 , entonces el árbol obtenido añadiendo como hijos de S1 los nodos etiquetados con (S1 {F }) ∪ {F1 } y (S1 {F }) ∪ {F2 } es un tablero de S. 12 / 26
  • 13. PD Tema 3: Tableros semánticos Procedimiento de completación de tableros No unicidad del tablero de un conjunto de fórmulas Un tablero completo de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) es (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) p ∨ q, ¬p ∧ ¬q p, ¬p ∧ ¬q q, ¬p ∧ ¬q p, ¬p, ¬q q, ¬p, ¬q ⊥ ⊥ 13 / 26
  • 14. PD Tema 3: Tableros semánticos Procedimiento de completación de tableros No unicidad del tablero de un conjunto de fórmulas Otro tablero completo de (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) es (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) p ∨ q, ¬p ∧ ¬q p ∨ q, ¬p, ¬q p, ¬p, ¬q q, ¬p, ¬q ⊥ ⊥ 14 / 26
  • 15. PD Tema 3: Tableros semánticos Modelos por tableros semánticos Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 15 / 26
  • 16. PD Tema 3: Tableros semánticos Modelos por tableros semánticos Modelos por tableros Def.: Sea S un conjunto de fórmulas, T un tablero de S. Una hoja de T es cerrada si contiene una fórmula y su negación o es de la forma {⊥}. Una hoja de T es abierta si es un conjunto de literales y no contiene un literal y su negación. Def.: Un tablero completo de S es un tablero de S tal que todas sus hojas son abiertas o cerradas. Def.: Un tablero es cerrado si todas sus hojas son cerradas. Reducción de modelos: I |= F ∧ G syss I |= F e I |= G. I |= F ∨ G syss I |= F ó I |= G. Propiedades: 1. Si las hojas de un tablero del conjunto de fórmulas {F1 , . . . , Fn } son {G1,1 , . . . , G1,n1 }, . . . , {Gm,1 , . . . , Gm,nm }, entonces F1 ∧ · · · ∧ Fn ≡ (G1,1 ∧ · · · ∧ G1,n1 ) ∨ · · · ∨ (Gm,1 ∧ · · · ∧ Gm,nm ). 2. Prop.: Sea S un conjunto de fórmulas, T un tablero de S e I una interpretación. Entonces, I |= S syss existe una hoja S1 de T tal que I |= S1 . 16 / 26
  • 17. PD Tema 3: Tableros semánticos Consistencia mediante tableros Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 17 / 26
  • 18. PD Tema 3: Tableros semánticos Consistencia mediante tableros Consistencia mediante tableros Prop.: Si {p1 , . . . , pn , ¬q1 , . . . , ¬qm } es una hoja abierta de un tablero del conjunto de fórmulas S, entonces la interpretación I tal que I(p1 ) = 1, . . . , I(pn ) = 1, I(q1 ) = 0, . . . , I(qm ) = 0 es un modelo de S. Prop.: Un conjunto de fórmulas S es consistente syss S tiene un tablero con alguna hoja abierta. Prop.: Un conjunto de fórmulas S es inconsistente syss S tiene un tablero completo cerrado. 18 / 26
  • 19. PD Tema 3: Tableros semánticos Teorema por tableros Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 19 / 26
  • 20. PD Tema 3: Tableros semánticos Teorema por tableros Teorema por tableros Def.: Una fórmula F es un teorema (mediante tableros semánticos) si tiene una prueba mediante tableros; es decir, si {¬F } tiene un tablero completo cerrado. Se representa por Tab F . Ejemplos: ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q) Tab Tab ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ r ) Teor.: El cálculo de tableros semánticos es adecuado y completo; es decir, Adecuado: Tab F ⇒ |= F Completo: |= F ⇒ Tab F 20 / 26
  • 21. PD Tema 3: Tableros semánticos Deducción por tableros Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 21 / 26
  • 22. PD Tema 3: Tableros semánticos Deducción por tableros Deducción por tableros Def.: La fórmula F es deducible (mediante tableros semánticos) a partir del conjunto de fórmulas S si existe un tablero completo cerrado de S ∪ {¬F }. Se representa por S Tab F . Ejemplo: {p → q, q → r } Tab p → r p → q, q → r , ¬(p → r ) p → q, q → r , p, ¬r p → q, ¬q, p, ¬r p → q, r , p, ¬r ¬p, ¬q, p, ¬r q, ¬q, p, ¬r ⊥ ⊥ ⊥ 22 / 26
  • 23. PD Tema 3: Tableros semánticos Deducción por tableros Deducción por tableros Ejemplo: {p ∨ q} Tab p∧q p ∨ q, ¬(p ∧ q) p, ¬(p ∧ q) q, ¬(p ∧ q) p, ¬p p, ¬q q, ¬p q, ¬q ⊥ ⊥ Contramodelos de {p ∨ q} Tab p ∧ q las interpretaciones I1 tales que I1 (p) = 1 e I1 (q) = 0 las interpretaciones I2 tales que I2 (p) = 0 e I2 (q) = 1 Teor.: S Tab F syss S |= F . 23 / 26
  • 24. PD Tema 3: Tableros semánticos Tableros en notación reducida Tema 3: Tableros semánticos 1. Búsqueda de modelos 2. Notación uniforme 3. Procedimiento de completación de tableros 4. Modelos por tableros semánticos 5. Consistencia mediante tableros 6. Teorema por tableros 7. Deducción por tableros 24 / 26
  • 25. PD Tema 3: Tableros semánticos Tableros en notación reducida Tableros en notación reducida Ejemplo: {p ∨ q} Tab p∧q 1. p ∨ q 2. ¬(p ∧ q) 3. p (1) 4. q (1) 5. ¬p (2) 6. ¬q (2) 7. ¬p (2) 8. ¬q (2) Cerrada Abierta Abierta Cerrada (5,3) {p, ¬q} {¬p, q} (8,4) 25 / 26
  • 26. PD Tema 3: Tableros semánticos Bibliografía Bibliografía 1. Ben–Ari, M. Mathematical Logic for Computer Science (2nd ed.) (Springer, 2001) Cap. 2: Propositional calculus: formulas, models, tableaux 2. Fitting, M. First-Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd ed.) (Springer, 1995) Cap. 3: Semantic tableaux and resolution 3. Hortalá, M.T.; Leach, J. y Rogríguez, M. Matemática discreta y lógica matemática (Ed. Complutense, 1998) Cap. 7.9: Tableaux semánticos para la lógica de proposiciones 4. Nerode, A. y Shore, R.A. Logic for Applications (Springer, 1997) Cap. 1.4: Tableau proofs in propositional calculus 5. E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martín Lógica computacional (Thomson, 2003) Cap. 4.3: Métodos de las tablas semánticas 26 / 26