Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.

1. UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
PROGRAMAS DE EDUCACIÓN
ABIERTA Y A DISTANCIA CREAD
PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
SEMESTRE: II
AÑO LECTIVO 2010
TUTOR:
INTEGRANTE
JOSE FELIPE RHENALS ALMANZA

2. INTEGRACIÓN POR PARTES
Como ya hemos visto, algunas integrales pueden hallarse de manera inmediata
aplicando las propiedades básicas. Otras las hemos desarrollado haciendo un
cambio de variables y sustituyendo la integral original. Este último proceso
indica que la integral debe poderse convertir a la forma ʃ f(g(x)g´(x)dx para
hacer la sustitución adecuada. Sin embargo, muchas integrales no pueden
resolverse por ninguno de los métodos anteriores.
A continuación deduciremos un método de integración, llamado integración
por partes, que nos ayudara a solucionar otras integrales.
Sea u y v funciones derivables de x. en estas condiciones,
d (uv) = u dv + v du
u dv= d (uv) – v du
Para aplicar en la práctica, se separa el intervalo en dos partes; una de ellas
se iguala a u y la, junto con dx, a dv. (Por esta razón este método se
denomina integración por partes.)Es conveniente tener en cuenta los dos
criterios siguientes:
(a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable
(b) no debe ser más complicada que
Ejemplo calcular
Hacemos u=x2 y dv =
Fórmulas de reducción: las formulas de reducción permite simplificar el
cálculo se haya de aplicar la integración por partes varias veces
consecutiva. En general una formula de reducción es aquella que da lugar a
una nueva integral de la misma forma que la original pero con un exponente
mayor o menor. Una formula de reducción es útil si, finalmente conduce a
una integral que se pueda calcular fácilmente. Algunas de las formulas más
corrientes de reducción son:
a)
b)
c)

3. EJEMPLO 1
Halla ʃ x cos x dx
Solución
Si hacemos u=x y dv = cos x dx, entonces:
Du = dx y v= sen x, ya que la integral de cos x dx es sen x
Por tanto ʃ x cos x dx, se puede expresar de la forma:
ʃ udv = uv -ʃ vdu
Entonces ʃ x cos x dx = x sen x - ʃ sen x dx
Pero ʃ sen x dx = -cos x +c
Por tanto ʃ x cosx dx = x sen x + cs x +c
EJEMPLO 2
Halla ʃ sen x dx
Si hacemos u= x y dv = sen x dx entonces:
Du = dx y v = -cos x
Por tanto ʃ x sen x dx se puede expresar de la forma
ʃ udv = uv -ʃ vdu
Entonces ʃ x sen x dx = x –cos x - ʃ - cos x dx
Pero ʃ - cos x dx = sen x + c
Por tanto ʃ x sen x dx = -x cos x + sen x + c
EJERCICIOS PROPUESTOS:




4. 

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





INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Antes de comenzar a calcular las integrales de las funciones
trigonométricas debemos recordar cuales son las funciones:
PRIMER TEOREMA
Ejemplos.

5. SEGUNDO TEOREMA
Ejemplos.
TERCER TEOREMA
Ejemplos.
CUARTO TEOREMA
Ejemplos.
QUINTO TEOREMA
Ejemplos.
SEXTO TEOREMA
Ejemplos.

6. EJERCICIOS PROPUESTOS
- ∫ cos x sen x dx
- ∫ sec x. tan x – csc² x dx
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
En este tipo de integradas se presentan tres casos:
1. a2 − x2 ⇒ x = a.senθ
2. a2 + x2 ⇒ x = a. tan θ
3. x2 − a2 ⇒ x = a. sec θ
Algunas identidades a utilizar:
1
 sen2θ = senθ . cos θ
2
1 1
 sec θ = sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ
3
2 2
Ejemplos:
Primer Caso
9 − x2
∫ dx sea x = 3sen θ
x2
dx = 3 cos θdθ
9 − x = 9 − 9 sen
2 2
= 9(1 − sen 2θ )
= 3 1 − sen 2θ
= 3 cos 2 θ = 3 cos θ

7. 3 cos θ
∫ (3senθ ) 2
(3 cos θ dθ )
3 cos θ
= ∫ (9sen θ ) (3 cos θ dθ )
2
cos 2 θ
∫ sen 2θ dθ ⇒ ∫ cot θ dθ
2
=
∫ ( csc θ −1)dθ
2
=
= ∫ csc θ dθ − ∫ 1dθ
2
= − cot θ − θ + c
Segundo Caso
x = a tan θ
a 2 + a 2 tan 2 θ
a 2 (1 + tan 2 θ )
a 1 + tan 2 θ
Identidad
1 + tan 2 θ = sec 2 θ
a sec 2 θ
a sec θ
∫ x 2 + 5 dx
Sea x = 5 tan θ
dx = 5 sec 2 θ dθ
Reemplazamos
x 2 + 5 = 5 tan θ + 5

8. = 5(tan 2 θ + 1)
= 5 tan 2
= 5 sec 2
= 5 sec θ
∫ x 2 + 5 dx = ∫ 5 sec θ ( 5 sec 2 θ dθ )
=∫ ( 5) 2
sec3 θ
= 5∫ sec 3
1 1 
= 5 sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ  + c
2 2 
5 5
= sec θ . tan θ + Ln sec θ + tan θ + c
2 2
Tercer Caso
x2 − a2 ( x = a sec θ )
dx
∫x 3
x2 − 9
Sea x = 3 sec θ
dx = 3 sec θ tan θ
x2 − 9
Reemplazamos
(3 sec θ ) 2 − 9
9 sec 2 θ − 9
Factorizamos
9(1 − sec 2 θ = 3 1 − sec 2 θ = 3 tan θ
⇒ 3 tan θ
Reemplazamos
3 sec θ tan θ dθ 3 sec θ tan θ dθ
∫ (3 secθ ) (3 tan θ ) ⇒ ∫ 27 sec
3 3
θ (3 tan θ )

9. 1 1 1 1
⇒∫ dθ ⇒ ∫ sec 2 θ dθ ⇒ 27 ∫ cos θ dθ
2
27 sec θ
2
27
1 1
27 ∫ 27 ∫
⇒ (1 + cos 2θ )dθ ⇒ 1dθ + ∫ cos 2θdθ
1 1
⇒ θ + sen2θ + c ⇒
27 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
dx
1. ∫x 2
4 − x2
dx
2. ∫x x2 − 4
x
3. ∫ x − 25
− dx
INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
La integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de integración más
fácil, donde la forma a seguir está dada por unos criterios.
Se llama función racional a toda función de tipo donde son polinomios con coeficientes
reales y grado.
CASO: 1= FACTORES LINEALES DISTINTO:
A cada factor lineal, AX+B de denominador de una fracción racional propia, el
denominador se puede descomponer, le corresponde a una fracción de la forma siendo
una constante para determinar.
EJEMPLO: NOS QUEDA UNA IGUALDAD 1=(A+B) X+2 A- 2B
A+B=0 2 A – 2 B =1
CASO: 2= FACTORES LINEALES IGUALES
FACTOR LINEAL: AX+B QUE FIGURE N DE VECES EN EL DENOMINADOR
DE UNA FRACION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE A UNA SUMA DE
N FRACCIONES DE LA FORMA.
EJEMPLO: CALCULEMOS LA SIGUIENTE INTEGRAL PERO TENDREMOS
AMPLIFICANDO POR LAS SOLUCIONES.
CASO: 3= FACTORES CUADRATICO DISTINTO ACADA FACTOR
CUADRATICO REDUCIBLE, QUE FIGURE EN EL DENOMINADOR DE UNA
FRACCION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE UNA FRACCION DE LA
FORMA SIENDO AYB CONSTANTE A DETERMINAR
VALORES A ENCONTRAR SON: A=0, B=1, C=1,D,=0

10. CASO: 4 = FACTORES CUADRATICO IGUALES: A CADADFACTOR
CUADRATICO IRREDUCIBLE, QUE SE REPITA N VECES EN EL DENOMINAR
DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA LE CORRESPONDE LA SUMA DE N
FRACCIONES DE LA FORMA.
SIENDO LOS VALORES DE A Y B CONSTANTE REALES.
MULPTIPLICANDO A AMBOS LADO DE LA IGUALDAD POR EL MINIMO
COMUN DENOMINADOR.
DONDE LOS VALORES DE LAS CONSTANTE SON: A = 0+B=2, C=0, B=1 DE
DONDE REMPLAZANDO E INTEGRANDO A PRIMITIVAS.
ES EL COCIENTE DE LO POLINOMIO SE DENOMINA FUNCION RACIONAL
LA DERIVACION DE UNA FUNCION RCIONAL CONDUCE UNA NUEVA
FUNCION RACIONAL QUE PUEDE OBTENERSE POR LA REGLA DERIVADA
DE UN COCIENTE. POR OTRA PARTE.
LA INTEGRACION DE UNA FUNCION RACIONAL PUEDES CONDUCIRNOS A
FUNCIONES QUE NO SON RACIONALES, LA INTEGRACION RACIONAL
PUEDE EXPRESARSE SIEMPRE POR MEDIOS POLINOMIO FUNCIONES
RACIONALES, ALGO TANGENTES Y LOGARITMOS. LA FUNCION RACIONAL
ES DESCOMPONERCE EN FRACCIONES SIMPLE.
Q= ES UN POLINOMIO
R(X)=ES EL COCIENTE DE LA DIVISION
G(X)=GRADODEL RESTO ES MENOR QUE EL DIVISOR
SE PUEDE DECIR DE TODA FORMA ES UNA FRACCION RACIONAL SE
PUEDE ESCRIBIR COMO LA SUMA DE UN POLINOMION CON UNA FUNCION
RACIONAL PROPIA.
TODA FUNCION RACIONAL PROPIA SE PUEDE DESCOMPONER EN SUMA
DE FRACCIONES DE LA FORMA.

11. Integral indefinida de una función. Propiedades.

12. Propiedades de la integral indefinida:
Primera propiedad ∫ f ( x )dx + g ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx
Ejemplo 1
∫ [ 2x + cos x ] dx = ∫ 2xdx + ∫ cos xdx = x + senx
2
Ejemplo 2
∫ (x ) x6
5
+ cos x − e x dx = ∫ x 5 .dx + ∫ cos x.dx − ∫ e x .dx = + senx − e x + c
6
Demostración de la propiedad:
Por la definición ∫ f ( x )dx = F(x) + C ⇒ ( ∫ f ( x )dx ) ' = ( F ( x ) + C ) ' = F'(x) = f(x)
Por otro lado, queremos demostrar que ∫ [ f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx es
decir, que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir f ( x) + g( x) , por
lo tanto:
[ ] [ ] [ ]
∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ' = ∫ f ( x )dx ' + ∫ g ( x )dx ' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
Segunda propiedad ∫ k.f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx
Ejemplo 1
1 1
∫ 5. x dx = 5.∫ x dx = 5.Lnx
Ejemplo 2
4 • sen 4 x 1 1
∫ sen 4 xdx = ∫ 4
dx = ∫ 4 • sen 4 x dx = ( − cos 4 x )
4 4
Demostración de la propiedad:
Queremos demostrar que ( k • ∫ f ( x )dx )' = k • f ( x)
( k • ∫ f ( x )dx )' = k · ( ∫ f ( x )dx )' = k · F'(x) = k· f(x)
Tercera propiedad. Para todo número real n ≠ 1 entonces
x n +1
∫ kx n dx = k ∫ x n .dx = k
n +1
+c

13. Ejemplo 1
3x 6
∫ 3.x dx = 3∫ x dx = 6 + c
5 5
Ejemplo 2
x −3 1
∫ x dx = −
−4
+c = − 3 +c
3 x
Ejemplo 3
3
1 x2 2 3
∫ x dx =
2
3
2
+ c = .x 2 + c
3
k dx
Cuarta propiedad ∫ x .dx = k ∫ x
= k . ln x + c
Ejemplo 1
9 dx
∫ x .dx = 9∫ x
= 9. ln x + c
Integración de Funciones Trigonométricas:
En esta etapa veremos como se pueden integrar potencias y productos
de potencias de funciones trigonométricas, para ello recordaremos algunas
expresiones básicas de la trigonometría.-
cos 2 x + sen 2 x = 1 cos 2 x − sen 2 x = cos 2 x
Si sumamos estas dos expresiones tendremos:
1 + cos 2 x
2 cos 2 x = 1 + cos 2 x ⇒ cos 2 x =
2
Si restamos las dos expresiones dadas en
1 − cos 2 x
2 sen 2 x = 1 − cos 2 x ⇒ sen 2 x =
2

14. Veremos cuatro casos que se pueden presentar:
1° Caso: Potencia Impar de Seno o Coseno
Ejemplo 1:
∫ sen 3 x.dx =
∫ senx.sen 2 x.dx =
∫ ( )
senx 1 − cos 2 x .dx =
∫ ∫
senx.dx − senx. cos 2 x.dx
  
 
I1 I2
Vemos en este caso que la integral I1 es de integración inmediata, pero la
integral I 2 no lo es y podemos resolverla por otro método:
I1 =
∫ senx.dx = − cos x + C1
I2 =
∫ senx. cos 2 x.dx En este caso podemos resolver por sustitución
adoptando:
u = cos x

 du Reemplazando tendremos:
du = − senx.dx → dx = − senx

u3
∫ ∫
du 2 2
I 2 = − senx.u . = − u .du = − + C2 Retornamos a la variable original:
senx 3
cos 3 x
I2 = − + C2
3
Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de de I1 y I 2 obtendremos
como resultado final:
cos 3 x
∫ 3
sen x.dx = − cos x +
3
+ C Donde adoptamos: C = C1 + C 2

15. Ejemplo 2:
∫ sen 5 x.dx =
∫ senx.sen 4 x.dx =
∫ ( )2 ∫ (
senx. sen 2 x .dx = senx 1 − cos 2 x .dx = )2
∫ sen 5 x.dx =
∫ ( )
senx. 1 − 2 cos 2 x + cos 4 x .dx =
∫ ∫ ∫
senx.dx − 2 senx. cos 2 x.dx + senx. cos 4 x.dx
 
   
I1 I2 I3
Resolvemos cada una de estas integrales:
I1 =
∫ senx.dx = − cos x + C1
cos 3 x
I2 =
∫ senx. cos 2 x.dx = −
3
+ C2 (Resuelta en el ejemplo anterior)
I3 =
∫ senx. cos 4 x.dx Se resuelve por sustitución:
u = cos x

 du
du = − senx.dx → dx = − senx

u5 cos 5 x
∫ ∫
du 4 4
I 3 = − senx.u . = − u .du = − + C3 → I3 = − + C3
senx 5 5
Si rearmamos la integral original tendremos:
cos 5 x
∫
2
sen 5 x.dx = − cos x + cos 3 x − +C
3 5
2° Caso: Potencia par de seno o coseno:
Ejemplo 1:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 − cos 2 x  1 cos 2 x  1 cos 2 x 1 1
sen 2 x.dx = .dx =  − .dx = .dx − .dx = dx − cos 2 x.dx
2 2 2  2 2 2 2
 
 
I1 I2
∫
1 1
I1 = dx = x + C1 (Es una integral inmediata)}
2 2

16. ∫
1
I2 = cos 2 x.dx Resolvemos por sustitución haciendo:
2
u = 2 x

 du
du = 2.dx → dx = 2

∫ ∫
1 du 1 1 1
I2 = cos u. = cos u.du = .senu + C 2 → I 2 = .sen2 x + C 2
2 2 4 4 4
Luego:
∫
1 1
sen 2 x.dx = x − sen2 x + C
2 4
Ejemplo 2:
(cos 2 x )2 .dx =∫  1 + cos 2 x  ∫( )
2
∫ ∫
1
cos 4 x.dx = .dx = 1 + 2. cos 2 x + cos 2 2 x .dx
2 4
∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1
cos 4 x.dx = dx + cos 2 x.dx + cos 2 2 x.dx
4 2 4
 
  
 
I1 I2 I3
∫
1 1
I1 = dx = .x + C1 (Es de integración inmediata)
4 4
u = 2 x
∫
1 
I2 = cos 2 x.dx Por sustitución, adoptamos:  du
2 du = 2.dx → dx = 2

∫ ∫
1 du 1 1 1
I2 = cos u. = cos u.du = senu + C 2 → I 2 = sen2 x + C 2
2 2 4 4 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1  1 + cos 4 x  1  1 1
I3 = cos 2 2 x.dx =  .dx =  dx + cos 4 x.dx  = dx + cos 4 x.dx
4 4  2  8

 8
 8
1 1
I 3 = .x + sen4 x + C 3
8 32
Reemplazamos en la integral original:
∫ ∫
x sen2 x x sen 4 x 3 x sen2 x sen 4 x
cos 4 x.dx = + + + +C cos 4 x.dx = + + +C
4 4 8 32 8 4 32

17. ° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:
∫ ∫ ∫ (
sen 2 x. cos 3 x.dx = sen 2 x. cos x. cos 2 x.dx = sen 2 x. cos x. 1 − sen 2 x .dx = )
∫ sen 2 x. cos 3 x.dx =
∫ ∫
sen 2 x. cos x.dx − cos x.sen 4 x.dx
 
I1 I2
u = senx
∫ 2 
I1 = sen x. cos x.dx Por sustitución:  du
du = cos x.dx → dx = cos x

u3 sen 3 x
∫ ∫
du
I1 = u 2 . cos x. = u 2 .du = + C1 → I1 = + C1
cos x 3 3
u = senx
∫ 4 
I2 = cos x.sen x.dx Por sustitución:  du
du = cos x.dx → dx = cos x

u5 sen 5 x
∫ ∫
du
I4 = u 4 . cos x. = u 4 .du = + C2 → I2 = + C2
cos x 5 5
sen 3 x sen 5 x
∫ sen 2 x. cos 3 x.dx =
3
+
5
+C
4° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con los dos exponentes
pares
∫ ∫ ∫( )
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x  1
sen 2 x. cos 2 x.dx =   .dx = 1 − cos 2 2 x .dx
 2  2  4
∫ ∫ ∫
1 1
sen 2 x. cos 2 x.dx = dx − cos 2 2 x.dx
4 4
 
 
 
I1 I2
∫
1 1
I1 = dx = .x + C1
4 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1  1 + cos 4 x  1  1 1
I3 = cos 2 2 x.dx =  .dx =  dx + cos 4 x.dx  = dx + cos 4 x.dx
4 4  2  8

 8
 8
1 1
I3 = .x + sen4 x + C 2
8 32
Finalmente la integral a calcular queda:

18. ∫
1 1
sen 2 x. cos 2 x.dx = x− sen4 x + C
8 32
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) ∫ (2 )
x − 3 x − x 4 dx
2)
3) 4)
3 x
5) ∫  x − 3 dx
 
6)
cos( ax + b ) dx
7) ∫ 8)
9) ∫
tgx dx
10)
11) 12)
13)