Método de integrales trigonométrica

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS
Primer caso: cosm n
sen u udu∫
con m o n entero positivo impar. Se puede presentar
sólo la función seno o la función coseno. La identidad que se
utiliza es:
2 2
cos 1sen u u+ =
Ejemplo. Resolver la integral
5
cos
sen x
dx
x
∫

2
32
0
cos 5x dx
π
∫
Segundo Caso:
cos cosm n m n
sen u du o u du o sen u u du∫ ∫ ∫
con m y n enteros positivos pares. Las identidades
trigonométricas utilizadas en este caso son:
2 21 1 1 1
cos2 cos cos2
2 2 2 2
sen u u y u u= − = +
4
3sen xdx∫

3
4 2
cossen x x dx∫
Tercer caso: cossenmx nx dx∫
con m y n enteros positivos. Las identidades utilizadas
aquí son:
2 cos
2 2
2cos
2 2
x y x y
senx seny sen
x y x y
senx seny sen
+ −
+ =
+ −
− =

4
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y sen sen
+ −
+ =
+ −
− = −
Y a partir de estas identidades se pueden presentar las
siguientes integrales:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
cos
2 2 2 2
1 1 1 1
cos cos
2 2 2 2
1 1 1 1
cos cos cos cos
2 2 2 2
senmx nx dx sen m n x dx sen m n x dx
senmx sennx dx m n x dx m n x dx
mx nx dx m n x dx m n x dx
= + + −
= − + + −
= + + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ejemplo. Resolver la siguiente integral
2 cos3sen x x dx∫
Cuarto caso: sec cscm m
u du o u du∫ ∫
con m entero positivo par. Las identidades utilizadas aquí
son:
2 2 2 2
sec tan 1 csc cot 1u u y u u= + = +

5
4
csc x dx∫
Ejemplo. Resolver la integral definida
64
6
sec x dx
π
π∫

6
Quinto caso: tan cotm m
udu o u du∫ ∫
con m entero positivo par o impar. Aquí también se utilizan
las identidades
2 2 2 2
tan sec 1 cot csc 1u u y u u= − = −
3
tan 4x dx∫
6
cot x dx∫

7
Sexto caso: sec tan csc cotm n m n
u u du o u u du∫ ∫
con m entero positivo par o con m y n enteros positivos
impares. En este caso se utilizan las identidades:
2 2 2 2
sec tan 1 csc cot 1u u o u u− = − =
3
6 5
sec 2 tan 2x x dx∫
3 5
sec tanx x dx∫

8
Nota. El único caso que no se trató fue el de secante y
cosecante elevadas a un exponente impar mayor que uno.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Este método considera tres tipos de integrales, junto con los
respectivos triángulos que se construyen, son los siguientes:
)i Cuando en el integrando el binomio es de la forma
( )
1
2 2 2
a u−
El triángulo que se construye y utiliza es:
)ii Cuando en el integrando el binomio es de la forma
( )
1
2 2 2
a u+
u
y
2 2
a u+
a
u
y
2 2
a u−
a

9
)iii Cuando en el integrando el binomio es de la forma
( )
1
2 2 2
u a−
Ejemplo. Resolver las integrales siguientes:
( )
2
2 2 2
32
2 2
) ; )
1 4 16 9
) ; )
64 25 8
x dx dx
i ii
x x x
dx dx
iii iv
x x x x
− −
+ −
∫ ∫
∫ ∫
u 2 2
u a−
a
y

10

11
z
2
1z +
1
2
x
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA DEL
ANGULO MEDIO
Existen integrales cuyos integrandos tienen binomios con las
funciones cossenx y x, las que se sustituyen por
funciones de una nueva variable " "z que se define como la
tangente del ángulo medio " "
2
x
como sigue:
tan
2
x
z =
22 2
1 2
2 2 cos 2
2 2 2 11 1
x x x z z
senx sen sen
zz z
⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ + +
2 2
2 2
2 2 2
1 1
cos cos2 cos
2 2 2 1 1 1
x x x z z
x sen
z z z
−⎛ ⎞
= = − = − =⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠
2
2
tan 2 tan
2 1
x dz
ang z x ang z dx
z
= ⇒ = ⇒ =
+

12
Ejemplo. Resolver las siguientes integrales:
2
) ; )
cos 5 3cos
dx dx
i ii
senx x x+ +∫ ∫

13
INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean dos funciones u y v de la misma variable
independiente " "x . La diferencial de su producto está dada
por:
( )d uv udv vdu= +
de donde
( )udv d uv vdu= −
Si se integran ambos miembros de esta expresión se obtiene:
udv uv vdu= −∫ ∫
( )
3
2 3 2
2
2
) 2 ; ) sec
) ln ; ) tan
) ; ) cos3
) sec tan ; ) ln
) ; )
1
x x
x
i x sen x dx ii x dx
iii x dx iv ang x dx
v x e dx vi e x dx
vii x x x dx viii x x dx
xe
ix x angsenx dx x dx
x
−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫

14

15

16
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES
RACIONALES
)i Cuando en el polinomio del denominador se tiene un
factor de la forma ( )
n
ax b+ , donde 1n ≥ , la
descomposición de fracciones racionales contiene la suma
de las " "n fracciones:
( ) ( )
1 2
2
n
n
A A A
ax b ax b ax b
+ + +
+ + +
con ; 1,2, ,iA i n= ∈…
)ii Cuando en el polinomio del denominador se tiene un
factor de la forma ( )2
n
ax bx c+ + , donde 1n ≥ y

17
2
4 0b ac− < , esto es, donde el polinomio
2
ax bx c+ +
tiene raíces complejas, la descomposición de fracciones
racionales contiene la suma de las " "n fracciones:
( ) ( )
1 1 2 2
2 2
2 2
n n
n
A x B A x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
+ + +
+ + +
+ + + + + +
con ; 1,2,i iA y B i n= ∈…
( )
4 3
2 3 2
3 2 2
4 3 2
5 4 3 2
3 2
6 2 1
) ; )
3 10 1
2 1 2 3 1
) ; )
1
2 8 3 21
)
2 8 4
x x x
i dx ii dx
x x x x
x x x x x
iii dx iv dx
x x x x
x x x x x
v dx
x x x
− − +
− − −
− + − − +
− − +
− + − − −
− + −
∫ ∫
∫ ∫
∫

18

19

20
INTEGRACIÓN POR RACIONALIZACIÓN
Ya se han realizado algunas integrales con expresiones
irracionales, pero existen muchas otras entre las cuales
algunas, mediante una sustitución adecuada, se pueden
resolver por alguno de los métodos ya tratados. Se
presentarán algunos casos.
Cuando en el integrando sólo hay potencias fraccionarias de
la variable o de una función f de la misma formada por un
binomio de la forma ax b+ , se puede convertir éste en
racional mediante la sustitución
( )n n
z x o z f x= =
en donde " "n es el mínimo común múltiplo de los
denominadores de los exponentes fraccionarios de
( )x o f x . Considérense los siguientes ejemplos, como
pueden existir muchos otros:

21
Ejemplo. Resolver las integrales:
( )
34
3
) ; )
2 1 2 1
)
3 3
dx dx
i ii
x x x x
dx
iii
x x
− − − +
− + −
∫ ∫
∫
Solución
( ) ( )
1 14
2 4
)
2 1 2 1 2 1 2 1
dx dx
i
x x x x
=
− − − − − −
∫ ∫
( ) ( )
1 3
4 4 4
1
2 1 2 1 2 1 2
4
z x x z x dx dz
−
= − ⇒ − = ⇒ − =
( )
3
4 4
3
4
2
2
z
dx dz dx z dz⇒ = ⇒ =
Se sustituye y se obtiene
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
1 1 1 1 2
4 42 4 2 4
2 2
2
1
2 1 2 1
dx z dz z dz z dz
z z z
x x z z
= = =
− −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Se efectúa la división y se llega a:
2
1
2 2 1 2 2 2
1 1 1
z dz dz
z dz zdz dz
z z z
⎛ ⎞
= + + = + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2ln 1z z z C= + + − +
( )
2
4 4
4
2 1 2 2 1 ln 2 1 1
2 1 2 1
dx
x x x C
x x
∴ = − + − + − − +
− − −
∫
3
)
dx
ii
x x+
∫

22
6 6 5
6z x x z dx z dz= ⇒ = ⇒ =
5 5 3
3 23 36 6
6
6 6
1
dx z dz z dz z dz
zz zx x z z
= = =
+++ +
∫ ∫ ∫ ∫
Se efectúa la división y
3
2 3 21
6 6 1 2 3 6 6ln 1
1 1
z dz
z z dz z z z z C
z z
⎛ ⎞
= − + − = − + − + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
( )
6
3 6 6
3
2 3 6 ln 1
dx
x x x x C
x x
∴ = − + − + +
+
∫
( )
3
)
3 3
dx
iii
x x− + −
∫
2 2
3 3 2 2z x x z dx zdz dx zdz= − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −
( ) ( )
33 3
2 2
2
2
3 3
dx zdz zdz
z zx x z z
−
= = −
+− + − +
∫ ∫ ∫
2
2 2 tan
1
dz
ang z C
z
= − = − +
+∫
( )
3
2 tan 3
3 3
dx
ang x C
x x
∴ = − − +
− + −
∫
Cuando en el integrando se presenta una expresión
irracional, ya sea sola o con alguna función de " "x elevada
a una potencia impar, se sustituye la expresión irracional por
una nueva variable y se procede como antes.
Ejemplo. Resolver las integrales:
2
9 1
) ; ) ; )
1 1x
x x dx
i dx ii dx iii
x x e
+ +
+ −
∫ ∫ ∫

23
3 2
3
1
) ; ) ; )
1 cos
x sen x x
iv dx v dx vi dx
xx x
+
+
∫ ∫ ∫
Solución
2
9
)
x
i dx
x
+
∫
2 2 2
9 9 2 2x u x u xdx udu xdx udu+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
2 2 2
2 2 2
9 9
9 9
x x u u
dx xdx udu du
x x u u
+ +
= = =
− −∫ ∫ ∫ ∫
Se efectúa la división y se obtiene:
2
2 2 2
9 9
1
9 9 9
u
du du du du
u u u
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
La primera integral es directa y para la segunda se realiza el
siguiente cambio de variables:
2
9
9
du
u −∫
2 2 2
; 9 3v u v u dv du a a= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =
( )
12 2
1 1
9
9 ln
2
9 3 3 3
ln ln
2 3 3 2 3
dv v a
C
a v av a
u u
C C
u u
−
= +
+−
− −
= + = +
+ +
∫
Finalmente se unen las integrales, se realizan las sustituciones
correspondientes y,
2
2
3 3
ln
2 39
u u
du u C
uu
−
= + +
+−∫

24
2 2
2
2
9 3 9 3
9 ln
2 9 3
x x
dx x C
x x
+ + −
∴ = + + +
+ +
∫
1
)
1
x
ii dx
x
+
+
∫
2
2 3
2
1 1 2 2
2
1 11
x u x u dx udu
x u u u
dx udu du
u ux
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
= =
+ ++
∫ ∫ ∫
Se efectúa la división algebraica y se tiene que:
3
2
2
2 2 4
2 2 4
1 1
2 2 4 4
1
u u
du u u du
u u
du
u du udu du
u
+ ⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= − + −
+
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Las primeras integrales son directas y la cuarta es
logarítmica. Así,
3 3
22 2 2
4 4ln 1
1 3
1 2
4 4ln 1
31
u u u
du u u u C
u
x x x
dx x x x C
x
+
= − + − + +
+
+
∴ = − + − + +
+
∫
∫
)
1x
dx
iii
e −
∫
2 2
1 1 1x x x
e u e u e u− = ⇒ − = ⇒ = +
( )2
2
2
ln 1
1
udu
x u dx
u
⇒ = + ⇒ =
+

25
x
2
u
1 4
1 u−
2
2
2
1 2 2 tan
11x
udu
dx duu ang u C
u ue
+= = = +
+−
∫ ∫ ∫
2 tan 1
1
x
x
dx
ang e C
e
∴ = − +
−
∫
)
1
x
iv dx
x +
∫
2 2
1 1 1 2x u x u x u dx udu+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =
( )
( )
2
2
3
2
3
1
2 2 1
1
2
2 2 2
3
2
1 2 1
31
x u
dx udu u du
ux
u
u du du u C
x
dx x x C
x
−
= = −
+
= − = − +
∴ = + − + +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
3
)
cos
sen x
v dx
x
∫
2
cos cos 2x u x u senx dx u du= ⇒ = ⇒ − =
4
2 2
1
udu u du
dx dx
senx u
⇒ = − ⇒ = −
−

26
( )
( )
3
4 2
3 4
4
2
1
1 2 1
cos
udu
u
sen x udx u du
ux
−
−= − = − −∫ ∫ ∫
5
4 2
2 2 2
5
u
du u du u C= − + = − + +∫ ∫
( )
3
5
2
2
2 cos cos
5cos
2 cos
cos 5
5
sen x
dx x x C
x
x
x C
∴ = − + +
= − +
∫
2
3
1
)
x
vi dx
x
+
∫
2 2 2 2 2
1 1 1x u x u x u x dx u du+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =
( ) ( )
2 2 2
3 4 2 2
2 2
1 1
1 1
x x u u du
dx xdx udu
x x u u
+ +
= = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Se resuelve por sustitución trigonométrica y
( )
2
2 2 4
sec sec tan
1 tan 1 tan
u y du y y dy
u y u y
= ⇒ =
− = ⇒ − =
u 2
1u −
y
1

27
( )
2 2
2 4
2
3 3
3 3
3
sec sec tan
tan1
1
sec cos
tan
cos
u du y y y dy
yu
y dy y
dy
y sen y
y
=
−
= =
∫ ∫
∫ ∫
3 2
3
1
csc csc cscdy y dy y y dy
sen
= = =∫ ∫ ∫
Se resuelve por partes y,
2
csc csc cot
csc cot
v y dv y y dy
dw y dy w y
= ⇒ = −
= ⇒ = −
( )
3 2
3 2
3 3
3
3
1
3
csc csc cot csc cot
csc csc cot csc csc 1
csc csc cot csc csc
2 csc csc cot csc
2 csc csc cot ln csc cot
1 1
csc csc cot ln csc cot
2 2
y dy y y y y dy
y dy y y y y dy
y dy y y y dy y dy
y dy y y y dy
y dy y y y y C
y dy y y y y C
= − −
= − − −
= − − +
= − +
= − + + +
∴ = − + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
De la sustitución trigonométrica se tiene que:
( )
2
2 2 2 2 22
1 1 1 1
ln
2 21 1 1 11
u du u u
C
u u u uu
= − + + +
− − − −−
∫

28
( ) ( )
2
2 2 22
1 1
ln
22 1 11
u du u u
C
u uu
+
= − + +
− −−
∫
Y, finalmente se llega a:
2 2 2
3 2
1 1 1 1 1
ln
22
x x x
dx C
xx x
+ + + +
∴ = − + +∫
FUNCIONES NO INTEGRABLES CON LOS MÉTODOS TRATADOS
Existen funciones que no son integrables en términos de las
funciones conocidas, llamadas elementales, que se tratan en
el Cálculo. La mayoría de las funciones elementales no
tienen antiderivadas elementales. Algunas de ellas son:
2
2 3
; ; 1
;
ln
x
sen x dx e dx x dx
senx dx
dx
x x
+∫ ∫ ∫
∫ ∫
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
APLICACIONES GEOMÉTRICAS
CÁLCULO DE ÁREAS
Sea una función f, continua y valuada positivamente en un
intervalo cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦, tal como se muestra en la siguiente
figura. El cálculo del área limitada por su gráfica, el eje " "x y
las rectas x a y x b= = , conocida como “área bajo la
curva”, se obtiene, como ya se estudió, mediante la integral
definida señalada.

29
Si la función es continua y negativa:
Si la función en estudio es continua y tiene una parte positiva
y otra negativa:
( ) ( )
c b
a c
A f x dx f x dx= −∫ ∫
Ahora bien, si lo que se pretende es calcular el área limitada
por dos curvas, que son la representación gráfica de las
funciones f y g, continuas en el intervalo cerrado
x
y
f
a b
( )
b
a
A f x dx= ∫
A
a b
x
y
f
( )
b
a
A f x dx= −∫A
x
y
f
a
bc
( ) ( )1 2 1 2;
c b
a c
A A A A f x dx y A f x dx= + = =∫ ∫
1A
2A

30
,a b⎡ ⎤⎣ ⎦, el cálculo de esta área, comprendida por las
curvas y las rectas x a y x b= = , se hará mediante la
integral:
( ) ( )
b
a
A f x g x dx⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
no importando cualquiera de las situaciones mostradas en
las siguientes figuras:
g
f
ba
x
y
A
f
g
x
y
ba A
g
f
x
y
b
a
A

31
Ejemplo. Calcular el área de la región comprendida por la
curva
2
8 12y x x= − + , el eje de las abscisas y las rectas de
ecuaciones 3 5x y x= = .
Ejemplo. Calcular el área limitada por la gráfica de la función
( ) 1f x x= +
el eje de las abscisas y las rectas:
0.5 4.5x y x= =
x
y
ba
f
g
( ) 0f x >
( ) 0f x <

32
Ejemplo. Calcular el valor del área limitada por la gráfica de
la función
( )f x senx=
el eje de las abscisas y las rectas
3
0
2
x y x π= = .

33
Ejemplo. Calcular el área limitada por el eje de las
abscisas, la gráfica de la función ( ) lnf x x x= y las rectas
0 3.5x y x= = .
Ejemplo. Calcular el área limitada por las gráficas de las
funciones
( ) ( ) cosf x senx y g x x= =
en el intervalo de
5
4 4
x a x
π π
= =

34
Ejemplo. Calcular el valor del área de la región limitada
por las curvas:
2
4 1.5 1.5y x y x y= − + + =
Ejemplo. Calcular el área limitada por las gráficas de la
curva ( )2
4 2y x= − y por la recta 2 8x y+ =

35
Ejemplo. Calcular el área limitada, en el primer cuadrante,
por las gráficas de las curvas:
2
2 2 2
; ; ; 8
8
x
y x y y x y x= = = =
Solución
( )
2
4 3
2
0 1 0
0 0
1 1
y x
x x x x
y x
x y
x y
⎧ =
⇒ − = ⇒ − =⎨
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩
( )
2
4 3
2
8 8 0
8
0 0
2 4
y x
x x x x
y x
x y
x y
⎧ =
⇒ = ⇒ − =⎨
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩
( )
2
4
3
2
64 08
64
0 0
4 2
x
xy
x x x
y x
x y
x y
⎧
=⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩
( )
2
4
3
2
8 512 08
64
8
0 0
8 8
x
xy
x x x
y x
x y
x y
⎧
=⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩

36
( ) ( )
2 4
2
1 21 2
2
8
3 4
; 8
8
8
A x x dx A x x dx
x
A x dx
= − = −
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫
2
3
1 3 22
2 2
1 1
1
2
3 3
8 4 2 1 2 4 2
3
3 3 3 3 3
x x
A x x dx
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
2
1 1.114A u∴ ≈
x
( )4, 2
( )2, 4
y
( )8, 8
8
4
1
1 4 8
1A
2
8y x=
2
8
x
y =
2
y x=
2
y x=
( )1,1
3A
2A

37
( )
( )
4
3
1 1 24
2 2
2 2
2
2
2
8
3
1 2 328
2
3 4
4
2
3
2
2 2 2 2 1
3
16 4 2
2 2 1 6.303
3 3
4 2
2 2
8 3 24
128 64 32 2 8
8.915
3 3 3 3
x
A x x dx
A u
x x x
A x dx
A u
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
= − − ∴ ≈⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − − ∴ ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫
2
1 2 3 16.332T TA A A A A u= + + ∴ =
ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR
Como se observa, el área requerida se divide en " "n
subsectores no superpuestos, lo que equivale a una partición
0
α
1θ
2θ
iθ
1nθ −
β ( )r f θ=
2
π

38
del área. Primero se obtendrá la expresión para determinar
el área de un sector circular:
Área del sector circular
2
21
2 2
r
r
π
θ θ
π
= =
TEOREMA. Sea f una función continua y no negativa en el
intervalo cerrado ,α β⎡ ⎤⎣ ⎦. Entonces, el área de la región
limitada por la gráfica de la función ( )r f θ= entre las rectas
radiales yθ α θ β= = , está dada por:
( )
2 21 1
2 2
A f d r d
β β
α α
θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫
NOTA. Esta fórmula es válida si f es continua y negativa. No
es necesariamente válida si toma valores positivos y
negativos en el intervalo considerado.
Ejemplo. Calcular el área situada en el interior de la
cardioide de ecuación 2 2cosr θ= + y arriba del eje polar.
0
2
4
2
π
3
2
π
2 2cosr θ= +2
π
r
r
θ

39
Ejemplo. Calcular el área limitada por las curvas:
4 2r sen y r senθ θ= =
2
π
0π
3
2
π
2r senθ=
4r senθ=

40
LONGITUDES DE ARCO DE CURVAS PLANAS
Sea f una función continua en el intervalo cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦
Se pretende determinar la longitud de la curva del punto A
al punto B. Se hace una partición con " "n celdas, cuya
norma se denota con Δ . La amplitud de la i-ésima celda es
igual a:
1i i ix x x −Δ = − ≤ Δ
0 1 1 2 2 3 1 1 1
1
n
i i n n i i
i
L P P PP P P P P P P P P− − −
=
≈ + + + + + + = ∑
La longitud de la cuerda 1i iP P− es:
( ) ( )
2 2
1 1 1i i i i i iP P x x y y− − −= − + −
Se hace 1 1i i i i i ix x x y y y y− −Δ = − Δ = − se obtiene:
x
1P
2P
3P
1iP−
iP
1nP −
0a x= 1x 2x 3x
1ix − ix 1nx − nb x=
( )y f x=y
( )( ),nP b f b=
A B
( )y f x=
1i iy y −−
( )1 1 1,i i iP x y− − −
( ),i i iP x y
( )( ) 0,A a f a P=
1i ix x −−

41
( ) ( )
2 2
1i i i iP P x y− = Δ + Δ
Se multiplica el radicando por el cociente
( )
( )
2
2
i
i
x
x
Δ
Δ
y,
( )
( )
2 2
1 12
1 1i i
i i i i i i
ii
y y
P P x P P x
xx
− −
Δ ⎛ ⎞Δ
= + Δ ⇒ = + Δ⎜ ⎟
ΔΔ ⎝ ⎠
Como la función f es continua en el intervalo 1,i ix x−⎡ ⎤⎣ ⎦, si es
derivable en el intervalo abierto ( )1,i ix x− , entonces se
satisface el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial
por lo que existe un valor ( )1,i i ix xα −∈ para el cual se
cumple que:
( ) ( ) ( )( )1 1'i i i i if x f x f x xα− −− = −
Como
( ) ( )1 1i i i i i if x f x y y x x x− −− = Δ − = Δ
entonces es posible escribir
( ) ( ) 1' ' ;i
i i i i i i i
i
y
y f x f x x
x
α α α−
Δ
Δ = Δ ⇒ = < <
Δ
Por lo tanto
( )
2
1 11 ' ;i i i i i i iP P f x x xα α− −
⎡ ⎤= + Δ < <⎣ ⎦
Si se hace la sumatoria de las longitudes de los " "n
segmentos, se tiene que la longitud aproximada de la curva
en el intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ es:
( )
2
1
1 1
1 '
n n
i i i i
i i
L P P f xα−
= =
⎡ ⎤≈ = + Δ⎣ ⎦∑ ∑
Se toman límites y se obtiene el valor exacto de la longitud
de curva:

42
( )
2
1
0 0
lim lim 1 'i i i iL P P f xα−
Δ → Δ →
⎡ ⎤≈ = + Δ⎣ ⎦
Como la norma de la partición tiende a cero, entonces este
límite equivale a la integral definida, por lo que finalmente se
obtiene:
( )
2
1 '
b
a
L f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
De manera semejante se puede calcular esta longitud con
respecto al eje " "y mediante la fórmula:
( )
2
1 '
d
c
L g y dy⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
donde la función está definida por ( )x g y= y es continua
en ,c d⎡ ⎤⎣ ⎦ y derivable en ( ),c d .
Cuando la función está definida en forma paramétrica como
( )
( )
: ;
x f t
f a t b
y g t
⎧ =⎪
≤ ≤⎨
=⎪⎩
si se sigue un procedimiento semejante al anterior, es posible
llegar a la siguiente expresión que resulta de gran utilidad
cuando la función está definida de forma paramétrica:
2 2
dx dy
L d
d d
β
α
θ
θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
Ejemplo. Verificar que un círculo de radio igual a la unidad
tiene una circunferencia de longitud 2π :
a)Mediante la ecuación cartesiana de la circunferencia.
b)A partir de las ecuaciones paramétricas de la curva.

43

44
Ejemplo. Dada la función ( )
2
3
2 4f x x= − , determinar la
longitud de su gráfica entre los puntos ( ) ( )1, 2 8, 4y− .
x
( )8, 4
( )1, 2−
4−
2−
4
81
y
2
3
2 4y x= −

45
Ejemplo. Un cable eléctrico cuelga de dos torres separadas
una distancia de 80 m y como se observa en la figura, la
forma que adopta el cable es la de la catenaria de
ecuación:
60cosh
60
x
y =
Calcular la longitud de arco de esta catenaria entre las dos
torres en las que se apoya.
Solución
Se coloca la figura en un sistema coordenado y,
Como se vio al estudiar las funciones hiperbólicas, la
ecuación de esta catenaria también se pude expresar como:
60 60
60cosh 60
60 2
x x
x e e
y y
−⎛ ⎞
+⎜ ⎟= ⇒ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
40− 40
60
80 m
60 m

46
60 60
30
x x
y e e
−⎛ ⎞
⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
La derivada es:
2
60 60 30 30
1 1
2
2 4
x x x x
dy dy
e e e e
dx dx
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= − ⇒ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Entonces, tomando en consideración la simetría, la longitud
del cable se calcula como:
( )
402
30 30
0
1
1 ' 2 1 2
4
x x
b
a
L f x dx e e dx
−⎛ ⎞
⎡ ⎤= + = + − +⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫
( )
402
30 30
0
1
1 ' 2 1 2
4
x x
b
a
L f x dx e e dx
−⎛ ⎞
⎡ ⎤= + = + − +⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫
2
40 40
30 30 60 60
0 0
40
2 2
40
60 60 60 60 3 3
0
0
1
2 2
4
60 60
x x x x
x x x x
e e dx e e dx
e e dx e e e e
− −
− − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫
∫
( )
2
3
2
3
1
60 60 1.9477 0.5134 86.058e m
e
⎛ ⎞
⎜ ⎟= − ≈ − ≈
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Por lo tanto, la longitud del cable es de
86.058L m∴ ≈
Ejemplo. Calcular la longitud de un arco de la cicloide
cuyas ecuaciones paramétricas son:
; 0 2
1 cos
x sen
y
θ θ
θ π
θ
= −⎧
≤ ≤⎨
= −⎩

47
LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES
TEOREMA. Sea f una función con derivada continua en un
intervalo cerrado α θ β≤ ≤ . Entonces, la longitud de la
curva, gráfica de la función ( )r f θ= , desde θ α= hasta
θ β= , está dada por:
( ) ( )
2
2 2 2
'
dr
L f f d r d
d
β β
α α
θ θ θ θ
θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫
Ejemplo. Calcular la longitud de arco de la gráfica de la
función 4cosr θ= de
2
π
θ = − a
2
π
θ = .

48
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DE DISCOS CILÍNDRICOS
0π
3
2
π
4
2 4cosr θ=2
π
y
x
a b
( )0f x
( )y f x=
0x

49
Se efectúa una partición del intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ en " "n
subintervalos no superpuestos como se observa en la figura:
Si se toma el i-ésimo rectángulo, de base ixΔ y de altura
( )if α y gira alrededor del eje " "x , se genera un cilindro,
como se observa en la figura, de base ( )if α y de altura ixΔ ,
cuyo volumen es:
( )
2
i i iV f xπ α⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦
y
x
0a x= nx b=
( )y f x=
1x 2x 3x 4x
1ix − ix 1nx −
( )if α
ixΔ
x
y
ba
( )y f x=
0x
( )0f x

50
La suma de Riemann que da una aproximación del volumen
del sólido de revolución es:
( )
2
1
1
; ,
n
i i i i i
i
f x x xπ α α −
=
⎡ ⎤ Δ ∈ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∑
Y al calcular el límite de esta suma, se obtiene el valor
exacto del volumen del sólido de revolución. Así,
( )
( ) ( )
2
1
2 2
lim
n
i i
n
i
b b
a a
V f x
f x dx f x dx
π α
π π
→∞
=
⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑
∫ ∫
Si el eje de revolución es el eje " "y , entonces el volumen se
expresa a partir de la integral definida:
( ) ( )
2 2d d
c c
V f y dy f y dyπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Ejemplo. Verificar que el volumen de la esfera que se
genera, al girar la circunferencia de ecuación
2 2 2
x y r+ = ,
alrededor de uno de sus diámetros, es igual a
34
3
rπ .
x
y
ba
( )y f x=
( )if α
ixΔ

51
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
3 3 3
2 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2
2
3 3 3
b
a
r r
r r
r
r
V f x dx
r x dx r x dx
x r r
r x r r
r r r
r r r
π
π π
π π
π π
− −
−
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= − = −
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫ ∫
3 34
3
V r uπ∴ =
Ejemplo. Calcular el volumen del cono truncado que se
genera al hacer girar, alrededor del eje de las abscisas, a la
superficie limitada por las rectas:
5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x= − = = =
x x
yy
2 2
y r x= − esfera
r− r

52
Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al hacer girar la
superficie limitada por las gráficas de
2
4y x y y= = ,
alrededor del eje:
) 4 ; ) 5 ; ) 3i y ii y iii x= = =

53
Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al girar,
alrededor del eje 2x = , la superficie formada por las
gráficas de la curva
2
y x= y la recta 2x = . Graficar la
superficie que gira y el volumen que se obtiene.
Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al hacer girar,
alrededor de la recta 2x = , la superficie limitada por las
gráficas de ( )
2
2 4y x y y= − = . Graficar el área y el
volumen pedido.

54
Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al hacer girar,
alrededor del eje " "y , la región limitada por las gráficas de
las funciones
31
2
8
y x y y x= =
El volumen que genera esta región, al girar alrededor del eje
" "y está dado por:
2 21 2 2
8 8
3 3
0 0
8
5
33
0
2 4
2 4
4 384 512
5 12 5 12
3
y y
V y dy y dy
y y
π π
π π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎛ ⎞
= − = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
x
y
giro
1
3
2x y=
2
y
x =

55
3
107.233V u∴ ≈
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Sea f una función continua y derivable en un intervalo
cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦. Lo que se pretende es calcular el área de la
superficie que genera la curva, al girar alrededor del eje " "x
la región comprendida por ella, el eje de las abscisas y las
rectas x a y x b= = .
Como se observa en la figura, en el elemento diferencial, su
ancho dx se considerará igual a la longitud de curva dS
que se produce al cortar a la misma el elemento diferencial.
Al girar éste alrededor del eje " "x , dS genera una superficie
cuya área está dada por:
( )2dA f x dSπ=
Al efectuar una partición, después una sumatoria y obtener el
límite de ésta, se obtiene una integral que proporciona el
área total de la superficie de revolución:
( )2
b
a
A f x dSπ= ∫
Y el elemento de longitud de curva " "dS se obtiene con la
expresión ya estudiada
( )
2
1 'dS f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦
a b
x
y
f
dx
( )f x
dS

56
luego el área de la superficie de revolución considerada al
girar alrededor del eje " "x la región limitada por la curva,
gráfica de " "f , el eje de las abscisas y las rectas
x a y x b= = , está dada por:
( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A f x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
Se presenta una tabla para calcular el área de una superficie
de revolución:
Curva Eje de revolución Eje de revolución
" "x " "y
( )y f x
a x b
=
≤ ≤
( ) ( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A S f x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A S x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
( )x f y
c y d
=
≤ ≤
( ) ( )
2
2 1 '
d
c
A S y g y dyπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( ) ( ) ( )
2
2 1 '
d
c
A S g y g y dyπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
EJEMPLO. Calcular de dos maneras el área de la superficie
que se genera al hacer girar la gráfica de la función
( ) 3
y f x x= = , en el intervalo 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦, alrededor del eje de las
abscisas. Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la
curva y de la superficie que se genera.
y
3
y x=1
1 x

57
Ejemplo. Calcular, de dos formas, el área de la superficie
generada al girar la curva, gráfica de la función
( ) 2
y f x x= = , en el intervalo 0, 2x ⎡ ⎤∈
⎣ ⎦
, alrededor del eje
de las ordenadas. Hacer un trazo aproximado de la curva, así
como de la superficie que se genera.
Solución
La gráfica de la curva y de la superficie de revolución son:
Primera forma
( ) ( )
2 2
0
2 1 'A S x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
( )2, 2
x
y
2
y x=

58
( ) ( ) ( )
2
2 2
0
' 2 ; 2 1 4f x x f x x A S x x dxπ= ⇒ = = +∫
( )
2
3
32
2 2
1 4 8
2
1 4
4 4 3 6
u x du x dx
u
u du C x C
π π π
= + ⇒ =
= + = + +∫
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
2 2
0
1 4 27 1
6 6
A S x A S
π π⎡ ⎤
= + ⇒ = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( ) 213
13.614
3
A S A S u
π
⇒ = ∴
Segunda forma
( ) ( ) ( )
2 2
0
2 1 'A S g y g y dyπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
( ) ( ) ( )
2
0
1 1
' ; 2 1
42
g y y g y A S y dy
yy
π= ⇒ = = +∫
( )
1
2
4 1
2 4 1
4
y
A S y dy y dy
y
π π
+
= = +∫ ∫
( ) ( ) ( )
3
2
2
3 3
2 2
0
2
4 1 4 ;
4 4 3
4 1 ; 4 1
6 6
u
u y du dy u du C
y C A S y
π π
π π
= + ⇒ = = +
⎡ ⎤
= + + = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
( ) ( ) ( ) 2
27 1 13.614
6
A S A S u
π
= − ∴

59
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN EN POLARES
Ahora se tratará el caso de una superficie que genera una
curva al girar alrededor del eje polar o del eje copolar y se
sigue un proceso semejante a lo visto con anterioridad.
Sea f una función, en coordenadas polares, continua y
derivable en el intervalo cerrado α θ β≤ ≤ . Entonces el
área de la superficie generada al girar la gráfica de ( )θ=r f ,
desde θ α= hasta θ β= , alrededor del eje indicado, está
dada por:
eje polar ( ) ( ) ( )
2 2
2 'S f sen f f d
β
α
π θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
eje
2
π
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 cos 'A S f f f d
β
α
π θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
Ejemplo. Obtener el área de la superficie generada al girar,
alrededor del eje
2
π
θ = , el círculo dado por
( ) cosr f θ θ= = . Graficar la curva.
Solución
La curva, que es una circunferencia con centro en el punto
1
, 0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y de radio
1
2
, se muestra a continuación:
01
cosr θ=2
π
3
2
π
π

60
Para calcular el área de revolución pedida, se utiliza la
expresión:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 cos 'A S f f f d
β
α
π θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
de donde
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
0
2
0 0
2 2
0
cos ' '
2 cos cos cos
1 1
2 cos 2 cos2
2 2
2
2
f f sen f sen
A S sen d
A S d d
sen
A S A S u
π
π π
π
θ θ θ θ θ θ
π θ θ θ θ θ
π θ θ π θ θ
θ
π θ π
⎡ ⎤= ⇒ = − ⇒ =⎣ ⎦
= +
⎛ ⎞
= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤
= + ∴ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
∫ ∫
Ejemplo. Calcular el área de la superficie generada al girar,
alrededor del eje polar, la gráfica de la función 2 cosr θ= ,
en el intervalo
π
θ≤ ≤0
2
. Graficar la curva y la superficie de
revolución que se genera con el giro.
Solución
Se trata de la mitad de una circunferencia que tiene como
centro el punto ( )1, 0 y con radio igual a uno. Al girar esta
curva alrededor del eje polar, es evidente que se forma una
esfera cuya superficie es:
( )
22 2
4 4 1 4S r uπ π π= = =
Se comprobará este resultado con la expresión
correspondiente al cálculo de la superficie de revolución.

61
Para calcular el área de revolución pedida, se utiliza la
expresión:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 'A S f sen f f d
β
α
π θ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
Para ello,
( )
2 2
2cos ' 2 ' 4r f r sen r senθ θ θ θ= = ⇒ = − ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦
por lo que,
( ) 2 22
0
2 2cos 4cos 4A S sen sen d
π
π θ θ θ θ θ= +∫
( ) ( )
2 2
2
0
0
8 cos 8
2
sen
A S sen d A S
π
π
θ
π θ θ θ π
⎡ ⎤
= ⇒ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
( ) 2
4A S uπ∴ =
valor que efectivamente es el de la superficie de la esfera.
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
A PARTIR DE LA REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA
Para este caso, en el que la curva está dada por sus
ecuaciones paramétricas ( ) ( )x f t y y g t= = , se
procede de manera semejante.
02
2cosr θ=2
π
π
3
2
π

62
Sea una curva suave dada por sus ecuaciones paramétricas
( ) ( );x f t y g t= = , en el intervalo a t b≤ ≤ . Entonces,
el área de la superficie de revolución generada al girar la
curva alrededor de un eje coordenado, está dada por:
( ) ( )
2 2
2
b
a
dx dy
A S g t dt
dt dt
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ eje " "x ( ) 0g t ≥
( ) ( )
2 2
2
b
a
dx dy
A S f t dt
dt dt
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ eje " "y ( ) 0f t ≥
Ejemplo. Sea " "C el arco del círculo dado por las
ecuaciones 3cos 3x t y y sent= = , del punto ( )3,0 al
punto
3 3 3
,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Calcular el área de la superficie generada
al girar la curva " "C alrededor del eje de las abscisas.
Solución
La gráfica de la porción de círculo considerada, así como la
superficie que genera al girar alrededor del eje " "x se
muestra en la figura:

63
Como se observa en el triángulo formado por las
coordenadas del punto
3 3 3
,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se deduce que el ángulo
que limita al parámetro " "t es:
3 3
2tan tan 3
3 3
2
t ang ang
π
= = =
Para aplicar la expresión dada con la finalidad de calcular el
área de la superficie de revolución, se tiene que:
( )
( )
3cos ; ' 3
; 0
33 ; ' 3cos
x f t t x sen t
t
y g t sen t y t
π⎧ = = = −⎪
≤ ≤⎨
= = =⎪⎩
luego,
( ) ( )
2 2
2
b
a
dx dy
A S g t dt
dt dt
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
y
( )3,0
3 3 3
,
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
3cos
: ; 0
33
x t
f t
y sent
π=⎧
≤ ≤⎨
=⎩
3
2
x 3 3
2
3
π
3
π

64
( )
( )
( ) ( )
2 23
0
3 3
00
2
2 3 9 9cos
6 3 18 cos
1
18 1 9
2
A S sen t sen t t dt
A S sen t dt t
A S A S u
π
π π
π
π π
π π
= +
= = − ⎡ ⎤⎣ ⎦
⎛ ⎞
= − − ∴ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
Ejemplo. Las ecuaciones paramétricas de una curva son:
( )
( )
3cos 3
;
2 22
x f t t
t
y g t sent
π π⎧ = =⎪
≤ ≤⎨
= =⎪⎩
Determinar el valor del área que se genera, al girar esta
curva alrededor del eje de las ordenadas. Hacer un trazo
aproximado del área.
Solución
La gráfica aproximada de esta curva y el área que se genera
Para aplicar la expresión dada con la finalidad de calcular el
área de la superficie de revolución, se tiene que:
x
y
( )
( )
3cos 3
;
2 2 2
x f t t
t
y g t sent
π π⎧ = =⎪
≤ ≤⎨
= =⎪⎩
3
2

65
( )
( )
3cos ; ' 3 3
;
2 22 ; ' 2cos
x f t t x sen t
t
y g t sen t y t
π π⎧ = = = −⎪
≤ ≤⎨
= = =⎪⎩
luego
( ) ( )
( )
2 2
3
2 22
2
3
22
2
2
2 3cos 9 4cos
6 cos 5 4
b
a
dx dy
A S f t dt
dt dt
A S t sen t t dt
t sen t dt
π
π
π
π
π
π
π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
= +
∫
∫
∫
Se resuelve primero la integral indefinida
2 2 2
2
cos 5 4 5
5 5 cos
4 2
t sen t dt u sen t
u sent du tdt
a a
+ =
= ⇒ =
= ⇒ =
∫
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1
ln
2 25 5 5
1 5 1 4
5 4 ln 5 5 4
2 25 5
2
5 4 ln 5 5 4
2 5
u a
u a du u a u u a C
sent
sen t sent sen t C
sent
sen t sent sen t C
+ = + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
∫
por lo que
3
22
2
6 cos 5 1t sen t dt
π
ππ +∫

66
3
2
2 2
2
2
6 5 4 ln 5 5 4
2 5
sent
sen t sent sen t C
π
π
π
⎡ ⎤
+ + + + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) 2
89A S u≈
CENTRO DE MASA DE UNA BARRA O VARILLA
El objetivo de este tema es presentar una aplicación más de
la integral definida en el cálculo del centro de masa o el
centroide de una distribución de materia, lo que podría ser
una varilla o una lámina delgada.
Sea un conjunto de n masas 1 2, , , nm m m… y sus
respectivas distancias al origen 1 2, , , nx x x… , tal como se
muestra en la figura siguiente:
DEFINICIÓN. Sea una masa puntual " "m situada sobre el eje
de las abscisas a una distancia " "x del origen, esto es, del
eje de las ordenadas. El momento con respecto al origen se
define como el producto de la masa por su distancia al
origen, esto es,
oM mx= (“momento de masa”)
DEFINICIÓN. Si se considera un sistema con las " "n masas
de la figura, la masa total del sistema será la suma de todas
las masas, es, decir,
1x x
1mo
y
2x
2m nm
nx

67
1 2
1
n
n k
k
m m m m m
=
= + + + = ∑
y el momento del sistema con respecto al origen es la suma
de todos los momentos de las masas del mismo, lo que se
expresa como:
1 1 2 2
1
n
o n n k k
k
M m x m x m x m x
=
= + + + = ∑
Un sistema de masas se dice que está en equilibrio si el
momento del sistema con respecto al origen es cero, lo que
se expresa como:
1
0
n
k k
k
m x
=
= ⇒∑ sistema en equilibrio
CENTRO DE MASA O CENTRO DE GRAVEDAD DEL SISTEMA
DEFINICIÓN. El centro de masa o de gravedad del sistema
de masas sobre el eje de las abscisas se define como el
punto donde podrían estar concentradas todas las masas del
sistema y obtiene a partir de:
k ko
k
m xM
x
m m
= =
∑
∑
donde x es la distancia dirigida del origen a ese punto en el
que puede considerarse que está concentrada la masa total
del sistema.
Ejemplo. Se tienen tres puntos materiales cuyas masas son
9 , 5 ,15kg kg kg. Se localizan, respectivamente, en los
puntos del eje de las abscisas: 1 2 32; 4; 9x x x= − = = .
Se requiere localizar el centro de masa del sistema formado
por estas tres masas.
Solución.

68
Ahora la masa total y el momento del sistema son:
9 5 15 29m m kg= + + ⇒ =
( ) ( ) ( )0 09 2 5 4 15 9 137M M= − + + ⇒ =
Luego, el centro de masa es:
( ) ( ) ( )9 2 5 4 15 9 137
4.72
9 5 15 29
x x
− + +
= = ∴ ≈
+ +
VARILLA CON DENSIDAD VARIABLE
Considérese ahora el problema de localizar el centro de
masa de una varilla (con un número infinito de puntos
materiales) de longitud " "L que tiene densidad variable
" "ρ . Cabe recordar que la densidad " "ρ es una magnitud
referida a la cantidad de masa contenida en un determinado
volumen, pero también como se puede hablar de densidad
como la masa de una superficie o la masa de una
distribución lineal de materia como es en este caso. Luego, la
densidad se puede calcular a partir de expresiones como:
masa masa masa
; ;
volumen superficie longitud
ρ ρ ρ= = =
Considérese una varilla como la mostrada en la figura:
Entonces la masa de la varilla se calcula considerando
primero la masa de un elemento diferencial de la varilla que
2−
9 kg 15 kg
o
5 kg
4 9
x
y
L
x
y
0

69
es igual al producto de la densidad, que en este caso es
variable y por eso se denota con ( )xρ , por la longitud " "dx
del elemento diferencial, esto es,
( )x dxρ
Se puede hacer una sumatoria de todas las masas y después
sacar límite cuando la norma de la partición definida tienda
a cero, con lo que se obtiene la masa de la varilla o
distribución lineal de materia, que entonces es igual a:
( )0
L
m x dxρ= ∫
De manera semejante, el momento con respecto al origen
de un elemento diferencial es el producto de su masa por la
distancia al origen, es decir,
( )x x dxρ
Y, como en el caso anterior, se tiene que el momento de la
varilla con respecto al origen es igual a:
( )0
L
oM x x dxρ= ∫
Finalmente, el centro de masa de la varilla se obtiene a partir
del cociente del momento entre la masa, de donde:
( )
( )
0
0
centro de masa
L
o
L
x x dxM
CM x
m x dx
ρ
ρ
= = = =
∫
∫
Se conoce como perfecto equilibrio cuando al colgar a la
varilla de su centro de masa, ésta es paralela a la horizontal.
Cuando la densidad es constante entonces la distribución de
masa es homogénea y el perfecto equilibrio de dará al
suspender a la varilla de su centro de gravedad, al que se da
por llamar centroide.
perfecto equilibrio
centro de masa

70
Ejemplo. Demostrar que si una varilla tiene densidad lineal
constante, entonces el centro de masa se encuentra en su
centro geométrico (considérese " "L la longitud y kρ = la
densidad constante).
Solución.
Esta varilla se ilustra en la siguiente figura:
Sea la densidad lineal constante denotada por " "ρ . Como
es constante, entonces sale de las dos integrales que definen
la masa total y el momento con respecto al origen, luego:
( ) 00 0 0
L L L L
m x dx dx dx x m Lρ ρ ρ ρ ρ= = = = ∴ =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫
( )
2 2
00 0 0
0
2 2
L
L L L
o
x L
M x x dx x dx x dx Mρ ρ ρ ρ ρ
⎡ ⎤
= = = = ∴ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
Finalmente, el centro de masa se obtiene como:
( )
( )
2
0
0
2:
2
L
o
L
L
x x dxM L
CM x
m Lx dx
ρρ
ρρ
= = = =
∫
∫
y se verifica que está en el centro de la varilla.
Ejemplo. Una varilla de 24 cm de longitud tiene una
densidad lineal
gramos
centímetro
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dada por la ecuación
( ) ; 0 24x x xρ = ≤ ≤ . Localizar su centro de masa.
Solución.
L
x
y
0
constanteρ =

71
En este caso, la densidad es variable, lo que se puede
ilustrar obteniendo su valor en algunos puntos de la varilla.
Así,
0 0 0
4 4 2
10 10 3.16
16 16 4
24 24 4.9
g
x cm
cm
g
x cm
cm
g
x cm
cm
g
x cm
cm
g
x cm
cm
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= ⇒ = =
= ⇒ = =
= ⇒ = ≈
= ⇒ = =
= ⇒ = ≈
Se aplican las expresiones correspondientes y se obtiene:
( )
24
3
24
2
0 0
0
2
78.38
3
L
m x dx x dx x gρ
⎡ ⎤
= = = ≈⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
( )
24
5
24
2
0 0
0
2
1128.72
5
L
oM x x dx x x dx xρ
⎡ ⎤
= = = ≈⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
Por lo tanto el centro de masa se encuentra en:
( )
( )
0
0
1128.72
14.4
78.38
L
o
L
x x dxM
x x cm
m x dx
ρ
ρ
= = ≈ ∴ ≈
∫
∫
CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA
Sea un conjunto de n masas puntuales en el plano xy, tal
como se observa en la siguiente figura:

72
DEFINICIÓN. Supóngase que se tienen n masas puntuales en
el plano xy, entonces el centro de masa del sistema se
define como el punto ( ),x y en el cual:
1
1
1
1
momento del sistema con respecto al eje "y"
masa total
momento del sistema con respecto al eje "x"
masa total
n
k k
y k
n
k
k
n
k k
x k
n
k
k
m x
M
x
m
m
m y
M
y
m
m
=
=
=
=
= = =
= = =
∑
∑
∑
∑
El momento con respecto a un eje se obtiene al multiplicar la
masa por la distancia al eje, medida sobre la perpendicular
al mismo.
Ahora se tratará el caso de una lámina homogénea o
distribución plana de materia con densidad constante.
CENTRO DE MASA (CENTROIDE) DE UNA LÁMINA
Se trata de localizar el centro de masa de una delgada capa
bidimensional de materia, o lámina, que tiene densidad ρ
(masa por unidad de área) constante, por lo que se dice que
5m
3m
2m
4m
1m
km
kx
ky
y
x

73
la lámina es homogénea. En la figura siguiente se ve la
lámina ubicada en un cierto sistema coordenado y, por
conveniencia geométrica, se considera un segmento
diferencial rectangular de ella, cuya base es " "dx y cuya
altura es ( )" "f x .
Es importante ver cómo las coordenadas del centro de masa
del elemento diferencial son la distancia " "x de este centro
al eje de las ordenadas y la mitad del valor de la ordenada,
es decir, de la función, en dicho elemento diferencial.
Con lo dicho anteriormente, es posible establecer las
siguientes expresiones matemáticas con las que se resolverá
el problema:
( )
b
a
m f x dxρ= ∫
( ) ( )
21
;
2
b b
y xa a
M x f x dx M f x dxρ ρ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫
y el centro de masa de la lámina está entonces dado por:
( )
( )
( )
( )
21
2
b
y a
b
a
b
ax
b
a
x f x dxM
x
m f x dx
f x dxM
y
m f x dx
ρ
ρ
ρ
ρ
= =
⎡ ⎤⎣ ⎦
= =
∫
∫
∫
∫
a
( )
1
,
2
x f x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b
y
x
( )y f x=
dx

74
Cuando la densidad es constante, sale del proceso de las
integrales y se simplifica, con lo que las coordenadas del
centroide son:
( )
( )
( )
( )
21
2;
bb
ay a x
b b
a a
f x dxx f x dxM M
x y
A Af x dx f x dx
⎡ ⎤⎣ ⎦
= = = =
∫∫
∫ ∫
Ejemplo. Localizar el centroide de la región del primer
cuadrante limitada por la gráfica de la curva
2
16y x= − , el
eje " "x y el eje " "y .
Solución.
Primero se realiza la gráfica de esta región que podría ser la
de una distribución plana de materia o de una lámina con
densidad superficial constante. Así,
Se procederá a calcular las coordenadas del centroide y
para ello se utilizarán las expresiones antes vistas que son:
( )
( )
( )
( )
21
2;
bb
ay a x
b b
a a
f x dxx f x dxM M
x y
A Af x dx f x dx
⎡ ⎤⎣ ⎦
= = = =
∫∫
∫ ∫
y
x
2
16y x= −
( )
1
,
2
x f x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
16
4− 4
centroide

75
Primero se calculará el área:
( ) ( )
4
2
4
4
3
4
16
64 64 256
16 64 64
3 3 3 3
b
a
A f x dx x dx
x
x
−
−
= = −
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − = − + − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
2256
85.33
3
A u∴ = ≈
Se calcula el momento con respecto al eje " "y de donde,
( ) ( )
( )
4
2
4
4
4
2
4
16
8 128 64 128 64 0
4
b
y a
M x f x dx x x dx
x
x
−
−
= = −
⎡ ⎤
= − = − − + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
0yM∴ =
Este resultado es evidente ya que por simetría la abscisa " "x
del centroide es cero, lo que se verifica a partir de:
0
0
256
3
yM
x
A
= = =
Se calcula el momento con respecto al eje de las abscisas y,
( ) ( )
( )
242 2
4
4
2 4
4
1 1
16
2 2
1
256 32
2
b
x a
M f x dx x dx
x x dx
−
−
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
= − +
∫ ∫
∫
4
3 5
4
1 32
256
2 3 5
1 2048 1024 2048 1024
1024 1024
2 3 5 3 5
x x
x
−
⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞
= − + + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠

76
1 4096 2048 1 30720 20840 6144
2048
2 3 5 2 15
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
16024
531.133
30xM∴ = ≈
Por lo que:
16024
1602430 6.26
256 2560
3
xM
y
A
= = = ≈
Luego el centroide de la región dada es ( )0, 6.26C
Ejemplo. Determinar las coordenadas del centro de masa de
de la lámina de densidad homogénea " "ρ , cuya forma es la
de la región en el plano coordenado " "xy limitada por las
gráficas de:
( )= + = = = −21
2 ; 0 ; 3 ; 3
2
x y x y y

77
EJEMPLO. Localizar el centro de masa de la distribución
plana con densidad constante y que tiene la forma de la
región limitada en el plano cartesiano por las gráficas de:
( ) ( )2 2
1 24 4 2y f x x y y f x x x= = − + = = − −
Solución
Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las
parábolas y se tiene:
( )( )
2 2 2
2
4 4 2 2 4 6 0
2 3 0
1 ; 3
1 3 0
3 ; 5
x x x x x
x x
x y
x x
x y
− + = − − ⇒ − − =
⇒ − − =
= − =⎧
⇒ + − = ⇒ ⎨
= = −⎩
Si se analiza cada parábola se llega a:
( )2 2
4 4y x x y= − + ⇒ = − −
Vértice en ( )0,4 , abre hacia abajo y su eje de simetría es el
eje " "y .
( ) ( )
2 2
2 2
4 2 4 4 4 2
2 6 2 6
y x x y x x
y x x y
= − − ⇒ = − + − −
⇒ = − − ∴ − = +
Vértice en ( )2, 6− , abre hacia arriba y su eje de simetría es
la recta 1x =
Se grafica la región que representa a la distribución plana de
materia y se tiene:

78
En este caso, las expresiones que se utilizan para calcular el
centro de masa de esta lámina de densidad homogénea
son:
;y x
M M
x y
m m
= =
donde
( ) ( )
3
1 21
m f x f x dyρ
−
⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 21
3
1 2 1 21
1
2
1
2
y
x
M x f x f x dx
M f x f x f x f x dx
ρ
ρ
−
−
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
∫
Como la densidad es constante, sale del proceso de las
integrales.
x
y
2
4y x= − +
2
4 2y x x= − −
( )1, 3−
( )0, 4
( )3, 5−
( )2, 6−
( ) ( )1 2
1
,
2
x f x f x
⎛ ⎞
⎡ ⎤+⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
CM

79
( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2
1 1
4 4 2 2 4 6m x x x dy x x dxρ ρ
− −
⎡ ⎤= − + − − − = − + +⎣ ⎦∫ ∫
( )
3
3
2
1
2 2
2 6 18 18 18 2 6
3 3
2 64
22
3 3
x
x x
m
ρ ρ
ρ
ρ
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎛ ⎞
= + + = − + + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞
= − ∴ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( ) ( )
( )
3 3
2
1 21 1
3
4 3
3
3 2 2
1
1
2 4 6
4
2 4 6 3
2 3
81 1 4 4
36 27 3 20
2 2 3 3
yM x f x f x dx x x x dx
x x
x x x dx x
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
− −
−
−
⎡ ⎤= − = − + +⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − + + = − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + + − − − + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
64
3yM
ρ
∴ =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ }
( ) ( )
( )
3
1 2 1 21
2 23
2 2
1
2 2
1 2
3
4 2 4 2 3 2
1
3
3
3
3 2 4 2
1
1
1
2
1
4 4 2
2
1
2
1
8 16 16 4 8 4 16
2
1 1 20
8 20 16 12 2 8 12
2 2 3
1
162 180
2
xM f x f x f x f x dx
x x x dx
f x f x dx
x x x x x x x dx
x
x x x dx x x x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
−
−
−
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − + + − − +
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + = − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= −
∫
∫
∫
∫
∫
( )
20 1 20
72 36 2 8 12 36
3 2 3
ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + − + − − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

80
64
3xM
ρ
∴ = −
Por lo tanto, las coordenadas del Centro de Masa son:
64 64
3 31 ; 1
64 64
3 3
y x
M M
x y
m m
ρ ρ
ρ ρ
−
= = = = = = −
( )1, 1CM −
LA INTEGRAL DEFINIDA EN EL TRABAJO
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Si se aplica una fuerza " "F de magnitud constante que
ocasiona que un cuerpo se mueva una distancia " "d en una
cierta dirección, el trabajo realizado por la fuerza sobre el
cuerpo es igual a T Fd=
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
Si la fuerza es variable y actúa en una recta que podría ser el
eje " "x , en un determinado intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦, entonces, al
hacer una partición del mismo y escoger un punto en cada
uno de sus subintervalos, se podría aplicar en ellos la
expresión del trabajo como si fuera constante. Después se
construye la sumatoria correspondiente y se calcula su límite
con lo que se obtiene la siguiente integral definida que
equivale al trabajo " "T realizado por dicha fuerza variable
( )F F x= que actúa sobre un objeto y que lo mueve a lo
largo del eje de las abscisas, en la dirección de la fuerza y a
lo largo del intervalo. Este trabajo está dado por:
( )
b
a
T F x dx= ∫

81
Ejemplo. Calcular el trabajo que realiza una fuerza de
( ) 2
2
5F x x N
x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
a lo largo el eje de las abscisas, desde
1x m= hasta 12x m= .
Solución.
Se aplica la expresión vista y se tiene que:
12
2
12
21
1
2 5 2
5
2
720 2 5 2 715 1
2
2 12 2 1 2 6
x
T x dx
xx
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − = +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
355.67T Joules∴ ≈
Ejemplo. Supóngase que se tiene un resorte cuyo coeficiente
de elasticidad es de 4.8
N
k
m
= y de longitud inicial de
1.2 m.
)i ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte hasta
una longitud de 1.6 m?
)ii ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde
una longitud de 1.8 m hasta otra de 2.2 m?
Solución.
Se utiliza la Ley de Hooke que establece que la fuerza para
estirar un resorte una longitud " "x es proporcional a dicha
longitud, esto es:
F k x=
Se utiliza esta expresión y:
) 1.6 1.2 0.4i x m= − =

82
( )
0.4
2
0.4
0
0
4.8 0.164.8
4.8
2 2
0.384
x
T x dx
T joules
⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∴ =
∫
2.2 1.2 1.8 1.2 1
0 0 0.6
) 4.8 4.8 4.8ii T xdx xdx xdx
− −
= − =∫ ∫ ∫
( )
1
2
0.6
4.8
2.4 1 0.36 1.536
2
x
T joules
⎡ ⎤
= = − ∴ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejemplo. Determinar el trabajo realizado al levantar una
carga de 6,500 kg, desde la superficie de la Tierra, hasta
una altura sobre ella de 35,000 m. La masa de la Tierra es
de
24
6 10 kg× y su radio de
6
6.4 10 m× .
Solución.
Para resolver este problema se utiliza la fuerza de la
gravedad, dada por la expresión:
2
111 2
2 2
; 6.67 10
m m N m
F k k
r kg
− ⋅
= = ×
Y en este caso, los límites de integración son: la superficie de
la tierra, esto es,
6
6.4 10 m× , y la suma de ésta más los
35,000 m, es decir,
6
6.435 10 m× . Luego, el trabajo para
levantar la carga es:
6
6
6.435 10
1 2
26.4 10
m m
T k dr
r
×
×
= ∫
( )( )( )
6
6
6.435 10
11 24
26.4 10
6.67 10 6 10 6500
dr
T
r
×
×
= × × ∫

83
6
6
6.435 10
13
6.4 10
13
6 6
1
260130 10
1 1
260130 10
6.435 10 6.4 10
T
r
×
×
⎡ ⎤
= × −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞
= × − +⎜ ⎟× ×⎝ ⎠
13 10
9
260130 10 8.498446 10
2.21 10
T
T joules
−
= × × ×
∴ = ×
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN LA SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
En ingeniería y otras ciencias hay problemas que cuando se
formulan matemáticamente, requieren de una función que
debe satisfacer a una ecuación que contiene a dicha
función así como a derivadas de ella. Estas ecuaciones se
conocen como ecuaciones diferenciales.
EJEMPLO. Considérese la segunda ley de Newton
( )
( )
( )2
2
, ,
d s t ds t
m F t s t
dtdt
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Cuando en esta expresión F se debe a la gravedad, se
puede escribir como:
( ) ( )2 2
2 2
d s t d s t
m mg g
dt dt
= − ⇒ = −
Si se integra dos veces se obtiene:
( )
( ) 2
1 1 2
1
2
ds t
gt C y s t gt Ct C
dt
= − + = − + +
Como se puede intuir, para determinar ( )s t se necesitan dos
condiciones, la posición y la velocidad en algún instante.

84
Clasificación. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en
derivadas ordinarias y en derivadas parciales. Considérense
los siguientes ejemplos para ilustrar esta clasificación:
Ecuaciones diferenciales en derivadas ordinarias
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1d q t dq t
L R q t e t
dt Cdt
+ + =
donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia, C la
capacitancia y e el voltaje aplicado.
( )
( )
dR t
kR t
dt
= −
Decaimiento de una sustancia radioactiva como el radio en
función del tiempo.
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )2
2
2
, ,u x t u x t
tx
α
∂ ∂
=
∂∂
(ecuación del calor)
( ) ( )2 2
2 2
, ,
0
u x y u x y
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(ecuación del potencial)
( ) ( )2 2
2
2 2
, ,u x t u x t
a
x t
∂ ∂
=
∂ ∂
(ecuación de onda)
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Definición. El orden es igual al de la derivada de más alto
orden que aparece en la ecuación.
Ejemplo. La ecuación diferencial ordinaria
4
''' 2 '' 'x
y e y yy x+ + =
es de tercer orden para la función ( )y f x=

85
Definición. El grado es el exponente de la derivada de más
alto orden que aparece en la ecuación.
Ejemplo. La ecuación diferencial ordinaria
2
2
4
2
d y dy
x
dxdx
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
es de segundo grado.
Definición. La solución en el intervalo a x b< < es una
función ϕ tal que deben existir sus derivadas
( )
', '', ,
n
ϕ ϕ ϕ… y
satisfacer a la ecuación
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )1
, , ' ,...,
n n
x f x x x xϕ ϕ ϕ ϕ
−
⎡ ⎤=
⎣ ⎦
para cualquier valor de " "x en el intervalo a x b< < .
Definición. Una ecuación diferencial ordinaria es lineal sí y
sólo si su función solución es lineal en la variable
dependiente y en sus derivadas.
Es posible afirmar entonces que aquellas ecuaciones en las
que aparecen potencias de las derivadas, productos de la
derivadas por la función solución " "y , así como funciones de
" "y no lineales, son ecuaciones diferenciales ordinarias no
lineales.
EJEMPLO. Para ilustrar la linealidad y el orden, considérense
los siguientes casos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
2
) '' ' 3 cosi x y xy y x+ + = lineal / 2o orden
( )
2
3 2 2
2
) 1 1xd y dy
ii y x y e
dxdx
− + + = − no lineal / 2o orden
) ''' ''iii y y y senx+ + = lineal / 3er orden
2 3
) 0
dy
iv x y
dx
+ = no lineal / 1er orden

86
( )
2
2
) cos cos
d y
v x y x
dx
+ + = no lineal / 2o orden
( )
3 2
2 2
3 2
)
d y d y dy
vi x x sen x y x
dxdx dx
+ + + = lineal / 3er
orden
Ejemplo. Verificar si la función dada es solución general de
la ecuación diferencial ordinaria.
( )
2
2
sec ; 0 ; lncos
2
d y
y x x y cosx x xsenx
dx
π
+ = < < = +

87
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer
grado se puede escribir como:
0Mdx Ndy+ =
en donde M y N son funciones de las variables
x y y.
Definición. Toda ecuación diferencial ordinaria de primer
orden, que puede ser escrita como:
( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =
se denomina ecuación de variables separables.
Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias de este tipo son
tan simples que se pueden escribir de la siguiente forma:
( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =
Esto quiere decir que las variables pueden separarse junto
con su respectiva diferencial y entonces su solución general
puede obtenerse, en muchas ocasiones, de manera sencilla.
Mediante un proceso de integración, esta solución consiste
en determinar una función F cuya diferencial total sea
( ) ( ) 0f x dx g y dy+ = . Entonces resulta evidente que la
solución general de la ecuación diferencial ordinaria será
F C= , donde C es una constante arbitraria.
La aplicación de la integral indefinida para resolver algunas
de estas ecuaciones de variables separables consiste en lo
siguiente. Dada la ecuación diferencial ordinaria de primer
orden, se separan sus variables con su diferencial
correspondiente, llegando a una expresión como:
( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =
Después se integra por separado cada sumando con
respecto a su respectiva variable, es decir:
( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =∫ ∫

88
Finalmente se resuelven las integrales y se llega a una
función como
( ),F x y C=
que es la solución general de la ecuación, la que puede
darse de forma explícita o implícita. Cabe decir que las
ecuaciones diferenciales lineales siempre conducen a
funciones explícitas y las no lineales, generalmente a
funciones implícitas, como soluciones.
Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial
( )3 2 ' 0y xyy+ − =
Solución.
Se separa la derivada considerándola como un cociente de
diferenciales.
( ) ( )3 2 0 3 2 0
dy
y xy y dx xydy
dx
+ − = ⇒ + − =
Ahora se separa cada variable con su respectiva diferencial
y para ello se divide toda la ecuación entre ( )2x y + con lo
que queda:
( )
( ) ( )
3 2 3
0
2 2 2
y xy y
dx dy dx dy
x y x y x y
+
− = ⇒ −
+ + +
Antes de integrar, se realiza la división considerada en el
segundo término, de donde:
3 2
1 0
2
dx dy
x y
⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠
Se integra y se obtiene la solución general:
3 2
1 0
2
3ln 2ln 2
dx dy
x y
x y y C
⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠
⇒ − + + =
∫ ∫
Es posible escribir la constante arbitraria en forma logarítmica
como sigue:

89
13ln 2ln 2 ln 0x y y C− + + + =
donde 1lnC C= − . Se despeja ahora la variable " "y y se
aplican propiedades de la función logarítmica. Así,
( )
23
1 13ln 2ln 2 ln ln 2y x y C y C x y= + + + ⇒ = +
Se aplica la función exponencial y la solución general queda
como:
( )
23
1 2y
e C x y= +
que es más compacta que la inicialmente obtenida.
Ejemplo. Obtener la solución general de las siguientes
ecuaciones diferenciales ordinarias.
( ) ( )
( )
3 2 2
2
2
) 3 tan ; ) ln
) 1 ' 1 0
) cos 0
) 3 tan 1 sec 0
y
x x
dy dy
i y x ii y x x
dx dx
iii y x y x y
iv e senxdx xdy
v e ydx e ydy
= =
+ + + =
− =
+ − =

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