geometría básica

2. ESTUDIO
DE LOS
POLIGONOS

3. Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas
rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están
conectadas).

4. Polígono
(lados rectos)
No es un polígono
(tiene una curva)
No es un polígono
(abierto, no
cerrado)

5.  En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:
 Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
 Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
 Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
 Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
 Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
 Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados
consecutivos.
 Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la
prolongación de un lado consecutivo.

6.  Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que
están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El
interior es un abierto del plano.
 Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están
en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto
del plano.
 Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo,
este constará de varios fragmentos conexos
llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es
ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se
llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.
 En un polígono regular se puede distinguir, además:

7.  En un polígono regular se puede distinguir, además:
 Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
 Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta
que parten del centro a los extremos de un lado.
 Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el
centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
 Diagonales totales , en un polígono de lados.
Intersecciones de diagonales , en un polígono de vértices.

9.  Los polígonos se nombran mediante letras
mayúsculas situadas en lo vértices del
mismo, después de la palabra “Polígono”.

10.  Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación
basada en su número de lados, vea la tabla.
 Clasificación de polígonos según la forma de su contorno.
regulares
simples convexos
Polígonos irregulares
complejos
Cóncavo

12.  Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar la siguientes
clasificaciones.
 Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene
un solo contorno.9
 Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.10
 Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en
el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es
convexo.
 No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al
exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
 Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
 Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
 Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.

13.  Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
 Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
 Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del
polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
 Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes
cartesianos o .11
 Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
 Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos
regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión
de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
 Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace
exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este
caso funciona la fórmula de Pick)

14. Polígono simples, côncavo irregular
Polígono complejo, cóncavo e irregular.

15. Polígono convexo y regular
(equilátero y equiángulo
Polígono estrellado

16.  Nombres de polígonos según su número de lados
Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres
más comunes están en la siguiente tabla:

17.  1. Un polígono con n lados, tienen como suma de sus
ángulos interiores 180° (n – 2)
Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n
– 2) triángulos en el polígono.
la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.
Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del
polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

18. A + B + C + D + E = 190° (n – 2)
Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor
del Angulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre
el numero de lados del polígono.

19. Angulo interior=
2. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a
360°
La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del
polígono es de 180°.
La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es
180° n.
Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores
180° (n – 2).
180° n – 180° (n – n + 2) = 360°

20.  Suma de ángulos exteriores = 360°
3. El total de diagonales que se pueden trazar
en un polígono de n lados, se obtiene con
la expresión

21. (n – 3) son las diagonales que se pueden trazar de cada
vértice porque siempre habrá tres vértices a los que no
se pueda trazar diagonal, el vértice de donde se traza y
los dos contiguos.
Cada diagonal toca dos vértices, entonces se cuenta
doble cada diagonal por lo tanto:
Numero de diagonales =

22. ESTUDIO DEL TRIANGULO

23.  Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que
determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado
pertenece a dos segmentos. Los puntos comunes a cada par de
segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de
recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados
contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un
triángulo es una figura estrictamente convexa.

24. Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes
de ángulos exteriores , tres lados y tres vértices entre otros
elementos.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo,
o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos.
Si está contenido en una superficie esférica se
denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía,
sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

25.  Vértices
 Un vértices es cualquiera de los tres puntos, no coloniales a la vez, que determinan un triángulo.
Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas
mayúsculas: A, B, C,.... Si no existe triángulo que determinasen A, B, C.
 Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus
vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier
orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA),
corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más
vértices.
 Lados[editar]
 Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No
interesa el orden de los vértices para nombra un lado de modo AB, BA nombran a un mismo
lado.
 Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

26.  Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del
vértice opuesto, convertido a minúscula
latina: para BC, para AC, para AB.
 La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro,
denotado por p o 2s; cumple la ecuación
 Ángulos
 Cada par de lados y raros con origen común el vértices de un triángulo y
que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del
triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior-
 La notación general para el ángulo entre dos
segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es

27.  También es posible utilizar una letra minúscula -
habitualmente una letra griega- coronada por un acento
circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por
letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a
menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el
fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el
ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en
ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del
vértice común, coronado por un acento circunflejo. En
resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

28.  EL ángulo cuyo vértice coincide con uno de los
vértices del triángulo y sus lados: son la
prolongación de un lado triangular y el otro lado
angular contiene a un lado triangular, se llama
ángulo externo. En cada vértice triangular hay
dos ángulos externos.

29.  Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por
la amplitud de sus ángulos.
 Por las longitudes de sus lados
 Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
 Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o radianes).
 Triángulo isósceles
 Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos
piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a
estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un
triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre
longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ).

30.  Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que
los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea
isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.
 Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos
son iguales, i.e B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los
ángulos externos. Además se cumplen las igualdades
 A + 2B = A +2C = 180º;
 A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C
donde
son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opuesto.
 Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados
tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que
tengan la misma medida).

31.  Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se
clasifican en:

32. Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A
los dos lados que conforman el ángulo recto se les
denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos
interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y
acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es
rectángulo o bien oblicuángulo.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es
obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de
90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son
menores de 90°.

33. RECTANGULO OBTUSANGULO ACUTANGULO
OBLICUANGULOS

34.  Los triángulos acutángulos pueden ser:
 Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo
dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su
altura.
 Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos
diferentes, no tiene eje de simetría.
 Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son
iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos
triángulos iguales).
 Los triángulos rectángulos pueden ser:
 Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos
iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los
lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico
respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

35.  Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo
recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.
 Los triángulos obtusángulos pueden ser:
 Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un
ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los
que forman el ángulo obtuso; el otro lado es
mayor que éstos dos.
 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un
ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

36.  El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene
diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto
en el plano como en el espacio).
 Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene
un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la
figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no
coplanario y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el
poliedro más simple y está conformado por 4 caras triangulares.


37.  Todo polígono puede ser dividido en un número finito de
triángulos, esto se logra por triangulación. El número
mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2,
donde n es el número de lados del polígono. El estudio de
los triángulos es fundamental para el estudio de otros
polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema
de Pick.
 En geometría euclidiana11 la suma de los tres ángulos
internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale
a π radianes:

38.  Euclides había demostrado este resultado en
sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una
paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y
la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en
color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del
mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales
(ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos
del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del
ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180°
(o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo
es 180°.
 Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se
verifica en general en la geometría no euclidiana.

39.  Otras propiedades
 La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo
es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
 El valor de la base media de un triángulo (segmento que une
dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado
paralelo.
 Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos
polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado
que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados
o radianes.
 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que
establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos»:

40.  Todo polígono convexo de n lados se puede descomponer en n-
2 triángulos con interiores disjuntos, considerando un vértice del
cual se trazan n-3 segmentos a los vértices no contiguos.12
 El teorema de Pitágoras gráficamente.
 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que
establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de
estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

41.  Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos
catetos miden a y b, y cuya hipotenusa
mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras

42.  De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas
de aplicación práctica:

 Mediante rotación, traslación, simetría axial y simetría
puntual la imagen de un triángulo es un triángulo
congruente al propuesto.13
 Dado un triángulo en el plano cartesiano se puede hallar
la ecuación de una parábola circunscrita de eje horizontal
o vertical

44.  Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los
cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen
cuatro vértices y dos
 diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre es 360°.
 Un cuadrilátero se llama convexo si se encuentra en un mismo
semiplano respecto a la recta que contiene cualquiera de sus lados.
Los segmentos que unen los vértices opuestos del cuadrilátero se
denominan diagonales.1
 Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se
aplica a los polígonos de cuatro ángulos

45.  Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:
 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el
cuadrilátero.
 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos.
 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no
contiguos.
 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos.
 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los
lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

46.  Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan; cuando el cuadrilátero no es
convexo, las diagonales no se intersecan.
 La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º o 2π radianes.
 Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos triángulos con
lado común una de la diagonales.
 Un segmento que pasa por la intersección de las diagonales de un cuadrilátero y
une dos lados opuestos determina dos cuadriláteros con un lado común.2
 En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la suma de sus ángulos opuestos
es igual a 180º.
 Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de
sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.

47.  Si 2α es la suma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero circunscrito, A su
área, a,b, c, d sus lados entonces cabe la fórmula
 A2 = (abcd)sen2α
 Si las diagonales de un cuadrilátero convexo lo divide en cuatro triángulos y los
radios de la circunferencias en estos triángulos son iguales, entonces dicho
cuadrilátero es un rombo.
 Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un
cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
 Si en el cuadrilátero ABCD los radios de las circunferencias inscritas en los
triángulos ABC, BCD, CDA, DAB son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un
rectángulo.
 Si las diagonales de un cuadrilátero lo dividen en cuatro triángulos de igual
perímetro, entonces el cuadrilátero original es un rombo.
 Si un cuadrilátero está inscrito entonces la suma de sus ángulos opuestos es 180º.

48.  Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:
 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el
cuadrilátero.
 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos.
 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no
contiguos.
 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos.
 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los
lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

49.  Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y
sus ángulos interiores:
 1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.
 Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus
diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.
 Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son
iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y
menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrices, su circunferencia es inscrita.
 Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos
interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares
entre si y su circunferencia es circunscrita.
 Romboide sus lados son iguales dos a dos (dos lados menores iguales y dos lados
mayores iguales).

51.  Un círculo, en geometría elucídena, es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que
una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región
del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.1 En
castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y a veces se utiliza
indistintamente círculo por circunferencia siendo esta última una curva
geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo
posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).2 "Aunque ambos conceptos
están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el
círculo (superficie)."

52.  Los elementos relevantes del círculo coinciden con los de la circunferencia con la
única precisión que si dichos elementos están dentro del círculo entonces forman
parte de él.
 Puntos relevantes
 El Centro del círculo coincide con el centro de la circunferencia que lo determina.
 Segmentos relevantes
 Se llama Radio al segmento que une el centro con un punto de la circunferencia
perimetral, y por extensión también se dice de la longitud de éste.
 Se llama Diámetro al segmento que une dos puntos de la circunferencia
pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales.
También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º.

53.  Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su
centro. Una cuerda define un arco.
 '" Segmento meridiano"': línea que hace parte y sobresale del círculo .
 Rectas características
 Recta secante: Es la recta que corta al círculo en dos partes, con la propiedad de
que toda recta secante, que pasa por el centro, es un eje de simetría. Hay una
infinidad de ejes de simetría.
 Recta tangente: Es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular
al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
 Recta exterior: Es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.
 Ángulos
 Ángulos en el círculo.
 Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son
iguales.
 Ángulo central: cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

54.  Ángulo inscrito: los extremos y el vértice están sobre la
circunferencia.
 Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una recta tangente.
 En un círculo de radio uno, la amplitud de un ángulo central coincide
con la longitud del arco que subtiende, así, un ángulo central recto
mide π/2radianes, y la longitud del arco es π/2; si el radio mide r, el
arco medirá r x π/2.
 La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados
sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.
 Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar
la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco
que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

55.  Curvas
 Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la
circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo
de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
 Superficies
 El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
 Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus
extremos.
 Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
 Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
 Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
 Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
 llamada invención circular de superficie limitada

56.  Perímetro del Círculo
 El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:
(en función del radio).o
(en función del diámetro).donde es el perímetro, es la
constante matemática pi (
Y r es el radio y d es el diámetro del círculo.
 Área del círculo
 Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio ,
tendrá un área:

57. en función del radio (r).
en función del diámetro (d), pues
en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
pues la longitud de dicha circunferencia es

58.  Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados
 El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier
polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perímetro de
 este polígono, es decir:
Si se considera la circunferencia como el polígono regular de
infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la
circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia.
Por tanto el área interior es:

60.  Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en dicha
circunferencia o también la circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo los puntos de
la circunferencia están a una distancia igual al radio y los demás puntos a menor distancia que
el radio.
 Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son
iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una
superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados,
cuya apotema coincide con su radio.
 La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío
(plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano
secante pasa por el centro, se llama ecuador1
 La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia
unidad o circunferencia goniométrica.2 3

61.  Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
 Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la
circunferencia;
 Radio. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a
la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
 Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos
puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del
radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
 Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
 Recta secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Recta tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

62. .
 Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta
tangente con la circunferencia.
 Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las
partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un
arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las
letras de los puntos extremos del arco.
 Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos
delimitados por los extremos de un diámetro.

63.  PROPIEDADES
 Diámetros conjugados
 Par de diámetros conjugados en una elipse
 Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando
toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos
diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente
conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la
tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al
segundo extremo.
 Punto interior
 Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la
circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores
se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente, se
distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la
respectiva circunferencia.
 Posiciones relativas

64. Otras propiedades:
Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos
formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra
cuerda,
El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un
triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados
el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado
es un ángulo recto (véase arco capaz).

65.  Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que
contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo
definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano
ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la
determinante matricial:

66.  Circunferencias de Cardanus
 Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una
sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas,
originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano
 Circunferencia directriz
 Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas
el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la
llamada circunferencia directriz .
 Circunferencia oscilatriz
 Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de
contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la
curvatura, llamada circunferencia osculatriz

67.  Centro de la circunferencia
 El centro es el punto del que equidistan todos
los puntos de la circunferencia.
 Radio de la circunferencia
 El radio es el segmento que une el centro de
la circunferencia con un punto cualquiera de la
misma.

68.  La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de
la circunferencia.
El diámetro mide el doble del radio.

69.  Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
 Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que
abarca un diámetro.

70.  LONGUITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
 La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.
 La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

71.  Para realizar el trazado de circunferencia se debe proceder
de la siguiente manera:
1. Se abren las patas del compás y tomándolo por el cabezal con los dedos del índice y el
pulgar, se lleva la punta de acero con la otra mano hasta colocarlo en el centro
establecido.
2. Se inclina ligeramente el compás en el sentido de avance, haciendo girar el cabezal
entre los dedos para iniciar y concluir el trazado de la circunferencia.
3. La mina debe permanecer perfectamente afilada. Se recomienda afilarla en forma de
bisel.
4. Las puntas de metal y la de grafito deben quedar del mismo largo al usarse, ya que la
punta de metal penetrará el pape

72.  Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia

73. Área del círculo
Área del sector circular
Área de la corona circular

74. Área del trapecio circular
Área del segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del
sector circular AOB − Área del triángulo
AOB
Área de la lúnula

75.  Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una
plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a
2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma
ha dado 50 vueltas.

76.  Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo
un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando
el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.