1. SEMEJANZA Y
PROPORCIONALIDAD
SILVIA PEREZ
ANGIE MANTILLA
DANIELA BARON
MATEMÁTICA
GRADO 9

2. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario
que se cumplan dos condiciones:
Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices
con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

3. A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como
también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

4. Semejanza de triángulos.
A partir del teorema de Thales, se puede
enunciar el teorema fundamental de
semejanza de triángulos.
“Toda paralela a uno de los lados de un
triángulo, divide a los otros dos en
segmentos proporcionales, por lo que
forman un triángulo semejante al
primero”.

5. Obsérvese el triángulo PQR. Al trazar la recta TS paralela al lado RP,
se puede demostrar que:
Por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes.

6. Criterios de semejanza de
triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son
iguales, uno a uno, respectivamente y los lados
opuestos a dichos ángulos son proporcionales.
En los triángulos semejantes, los ángulos
congruentes y los lados proporcionales reciben el
nombre de homólogos.

7. Existen tres criterios, que son los siguientes:
1) Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus
ángulos respectivamente iguales.
2) Segundo Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son
respectivamente proporcionales.
3) Tercer Criterio: Lado - Ángulo- Lado (LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son
proporcionales respectivamente y el ángulo que forman
es congruente.

8. 1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
iguales (AA).

9. 2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados
proporcionales (LLL).

10. 3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos
igual (LAL) .

11. Congruencia de triángulos
 Dos triángulos son congruentes si sus ángulos
correspondientes tienen la misma medida, y sus
lados homólogos miden lo mismo.

12. Criterios de congruencia de
triángulos
 1. Criterio (L, L, L)
Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes:

13. 2. Criterio (L, A, L)
 Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
correspondientes y el ángulo comprendido entre
ellos congruentes.

14. 3. Criterio (A, L, A)
 Dos triángulos son congruentes si tienen dos
ángulos correspondientes y el lado comprendido
entre ellos congruentes.

15. 4. Criterio (L, L, A>)
 Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
correspondientes y el ángulo opuesto mayor de
estos lados congruentes.

16. Teorema de Euclides.
"Al trazar la altura desde el ángulo recto de un
triángulo rectángulo, los dos nuevos triángulos son
semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al
triángulo rectángulo original".

17. 1). En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de
esta última.

18. 2). Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella.
AC = b y BC = a

19. Teorema de Pitágoras
 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

20. congruencia (≅) : Dos figuras son
congruentes si al sobreponerse coinciden
en todos sus puntos, es decir don iguales.
semejanza (~) : Es cuando dos figuras
poseen una misma forma y sus partes (ya
sea ángulos o lados) guardan una misma
proporción.

21. Teorema de Thales.
Si tres o más paralelas son cortadas por
transversales, la razón entre las medidas de dos
segmentos cualesquiera, cortados por una
transversal, será igual a la razón de las medidas de
los segmentos correspondientes de la otra, es decir,
son proporcionales.

22. En la figura siguiente, el primer requisito es que, BD//
EC; entonces, se cumple que las medidas son
proporcionales:
1) 2) 3)
Una de las proporcionalidades importantes es la que relaciona las paralelas:
4) o bien 5)

24. Teorema de Thales en el triángulo