triangulos

1. MIDAMOS Y CONSTRUYAMOS
CON TRIANGULOS.

2. TRIÁNGULOS.
DEFINICIÓN:
El triángulo es un polígono de tres lados que se cortan
entre sí.
Según la longitud de sus lados, los triángulos se
clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales,
isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los
tres lados son distintos.

3. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º.
Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El
tercero puede ser también agudo, o bien recto u
obtuso.
Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama
acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y
obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

4. TRIANGULOS RECTANGULOS.
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de
relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el
ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a,
(opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la
hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos: a2 = b2 + c2

5. Otra relación importante que se cumple en un
triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el
cuadrado de cada cateto es igual al producto de la
hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m,
b2 = a · n

6. ALTURAS DE UN TRIANGULO
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados.
El segmento perpendicular desde un vértice a la base
opuesta o a su prolongación se llama altura.
Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres
alturas correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura
sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos
segmentos en que la divide: h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.

7. Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones)
se cortan en un punto llamado ortocentro.
Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior
al triángulo.

8. En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser
considerado como base y como altura. El ortocentro es,
por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es
obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las
alturas, fuera del triángulo.

9. MEDIANAS DE UN TRIANGULO
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los
tres segmentos que unen un vértice con el punto medio
del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
punto que se llama baricentro.
El baricentro corta a cada
mediana en dos segmentos,
uno de ellos la mitad del otro:

10. CIRCUNFERENCIA INSCRITA.
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se
cortan en un punto que se llama incentro porque es el
centro de la circunferencia inscrita que es tangente a
los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor
circunferencia contenida en el triángulo.
Para dibujar las bisectrices, es necesario medir cuántos grados
tiene cada uno de los ángulos del triángulo, luego a esta
cantidad se le saca mitad y se dibuja una recta dividiendo el
ángulo en dos partes iguales.

11. La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos
bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto
llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia
(exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los
otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.

12. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan
en un punto llamado circuncentro porque es centro de
la circunferencia circunscrita que pasa por los tres
vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia
que contiene al triángulo.
AREA DE UN TRIANGULO
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas
correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a · ha = (1/2)b ·
hb = (1/2)c · hc

13. Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el
área se puede calcular mediante la siguente fórmula,
llamada fórmula de Herón:
en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del
triángulo.

14. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos
sus lados y ángulos respectivamente congruentes.

15. Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean
congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo
que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos.
A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan
los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.
La igualdad de triángulos cumple las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva.

16. Propiedades de la igualdad de triángulos
Carácter reflexivo:
Todo triángulo es igual a si mismo.

17. Carácter simétrico:
Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a
primero.

18. Carácter transitivo:
Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un
tercero, el primero es igual al tercero.

19. Criterios de igualdad de triángulos
Primer criterio:
Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo
comprendido respectivamente iguales, son iguales.

20. Segundo criterio:
Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado
respectivamente iguales, son iguales.

21. Tercer criterio:
Dos triángulos que tienen sus tres lados
respectivamente iguales, son iguales.

22. Cuarto criterio:
Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo
opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son
iguales.

23. Criterios de igualdad de triángulos rectángulos
Primer criterio:
Dos triángulos rectángulos que tienen sus catetos
respectivamente iguales, son iguales.

24. Segundo criterio:
Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo
agudo y un cateto respectivamente iguales, son iguales.

25. Tercer criterio:
Dos triángulos que tienen un cateto y la hipotenusa
respectivamente iguales, son iguales.

26. Cuarto criterio:
Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo
agudo y la hipotenusa respectivamente iguales, son
iguales.

27. Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si existe una relación
de semejanza o similitud entre ambos.
Una semejanza es la composición de una isometría (o sea,
una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con
una homotecia.
En la rotacion se puede cambiar el tamaño y la orientación
de una figura pero no se altera su forma.
Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar
forma.

28. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus
ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por
ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya
forma puede ser más o menos alargada, es decir que
depende del cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos
son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B
= B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y
DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el
orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B
y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

29. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza)
de multiplicar todas las longitudes por un mismo
factor.
Por lo tanto las razones
longitud imagen / longitud origen
son todas iguales, lo que da una segunda
caracterización de los triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los
lados correspondientes son congruentes.

30. Ecuación
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la
siguiente ecuación:
Corolarios
1. Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
2. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los
terceros también son iguales.

31. Propiedades de la semejanza
Propiedad reflexiva, refleja o idéntica
Todo triángulo es semejante a sí mismo.
Propiedad idéntica o simétrica
Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al
primero.
Propiedad transitiva
Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es
semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.
Estas tres propiedades implican que la relación de
semejanza entre dos triángulos es una relación de
equivalencia.

32. Teorema de Thales
Un caso particular es el que se da en el teorema de
Thales, donde los triángulos tienen dos lados (vistos
como rectas) comunes: (CA) = (CA') y (CB) = (CB'), y
los lados restantes son dos catetos paralelos:
(AB) // (A'B').
Triángulos semejantes según el teorema de Thales
Los lados son así paralelos dos a dos y, por lo tanto,
definen ángulos iguales. Por ello, los triángulos CAB y
CA'B' son semejantes (de hecho son homotéticos), lo
que implica la igualdad de los cocientes:

33. Otro teorema famoso de la geometría, el teorema de
Pitágoras, es también una consecuencia inmediata de
la doble caracterización de los triángulos semejantes.
Teorema fundamental de la semejanza de
triángulos
Toda paralela a un lado de un triángulo que no pase por
el vértice opuesto, determina con las rectas a las que
pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al
dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M

35. Podrán presentarse 3 casos:
I - r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a
ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los
ángulos, y la llamaremos (1):
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de
Tales se tiene:
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || BC, secante AB
por ser correspondientes entre r || BC, secante AC

36. Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca
al lado AC en un punto N, y nuevamente por el
corolario del Teorema de Tales tenemos:
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del
paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:
De y se obtiene la consideración que
llamaremos (2):

37. Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
II - r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos
exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que
los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y
BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la
demostración, es:
por carácter simétrico.

38. III - r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos
que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que
sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto
A, se construye BN=BL y por el extremo N del
segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la
recta de BC por O.
Quedan entonces por el caso I,
semejanza que llamaremos

39. Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se
observa:
BN=BM por construcción
α=α' por ser opuestos por el vértice.
β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer
corolario de la definición.
De y , y por carácter transitivo:
BAC ~ BLM BLM ~ BAC

40. TEOREMA DE PITÁGORAS
Teorema de Pitágoras, teorema que relaciona los tres
lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el
cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).
El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los
lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros
dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los
dos catetos:
o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el
otro cateto:

41. Ejemplo 1:
Un triángulo rectángulo miden 4 cm. de base y 3 cm. de alto.
Encuentre el valor de la hipotenusa.
SOLUCIÓN:
Fórmula a utilizar: a2 = b2 + c2
b = base
c = altura
a = hipotenusa = ?
a2 = (4) 2 + (3)2
a2 = 16 + 9
a2 = 25
a = √25
a = 5
Por lo tanto la hipotenusa será igual a 5 cm.
a
b
c