El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones de optimización de funciones y hallar el valor de la función F(t). Primero se despejan las variables X, Y y Z resolviendo el sistema de ecuaciones. Luego se sustituyen sus valores en la función F(t) y se deriva para obtener un valor numérico de 1047,5.

1. Resolución de Ejercicios de
Optimización de Funciones

2. Hallar el valor de la función F(t). Para ello, se debe determinar
el valor de X, Y y Z empleando el método que se indica,
posteriormente, aplicar la respectiva derivada y luego sustituir.
F(t) = 2X´ + Z4” – 3Y2 ´
X + 3Y + Z = 4
2X + 2Y = -1
2X + 3 Y + -Z = -3

3. Despejamos X de la Ecuación
𝑿 + 𝟑𝒀 + 𝒁 = 𝟒
𝑿 = 𝟒 − 𝟑𝒀 – 𝟕
Sustituimos X (4 – 3Y – Z) en la Ec2
𝑬𝒄𝟐 = 𝟐𝑿 + 𝟐𝒀 = 𝟏
𝟐. ( 𝟒 – 𝟑𝒀 − 𝒁) + 𝟐𝒀 = 𝟏
−𝟔𝒀 − 𝟐𝒁 + 𝟐𝒀 = 𝟏 − 𝟖
− 𝟒𝒀 − 𝟐𝒁 = − 𝟕 => obtenemos la Ec4
Resolvemos

4. Sustituimos X en la Ec 3
𝟓 . ( 𝟒 – 𝟑𝒀 𝒁) + 𝟑𝒀 + (−𝒁) = −𝟑
𝟓 . ( 𝟒 – 𝟑𝒀 𝒁) + 𝟑𝒀 − 𝒁 = −𝟑
− 𝟑𝒀 – 𝒁 + 𝟑𝒀 – 𝒁 = −𝟑 − 𝟐𝟎
𝒀 – 𝟐𝒁 = −𝟐𝟑 => Obtenemos la Ec 5
Procedemos despejar Y de la Ec 5 y quedara de la siguiente manera:
𝒀 = −𝟐𝟑 + 𝟐𝒁
Resolvemos

5. Luego, Sustituimos el valor de Y en la Ec 4 para obtener el valor de Z
− 𝟒𝒀 − 𝟐𝒁 = − 𝟕
− 𝟒. (−𝟐𝟑 + 𝟐𝒁) − 𝟐𝒁 = − 𝟕
−𝟖𝒁 − 𝟐𝒁 = −𝟕 + 𝟗𝟐
− 𝟏𝟎𝒁 = 𝟖𝟓
𝒁 = 𝟖𝟓 / 𝟏𝟎 => Y así obtenemos el valor de Z
A continuación, Sustituimos el Valor Z en el despeje de Y para así obtener el valor de
Y
𝒀 = −𝟐𝟑 + 𝟐𝒁
𝒀 = −𝟐𝟑 + 𝟐. ( 𝟖𝟓 / 𝟏𝟎 )
𝒀 = −𝟐𝟑 + 𝟏𝟕
𝒀 = − 𝟔
Resolvemos

6. Procedemos a sustituir los valores de Y y Z en el despeje de X para obtener el Valor
de X
𝑋 = 𝟒 − 𝟑𝑌 − 𝟕
𝑋 = 𝟒 – 𝟑 . ( − 𝟔 ) – 𝟖𝟓 / 𝟏𝟎
𝑋 = 𝟒 + 𝟏𝟖 − 𝟖𝟓 / 𝟏𝟎
𝑋 = 𝟐𝟐 − 𝟖𝟓 / 𝟏𝟎
𝑋 = 𝟐𝟕/𝟐 => Y así obtenemos el valor de X
Una vez obtenidos los valores de X, Y y Z procedemos a hallar el valor de la función
F(t) = 2X´ + Z4” – 3Y2 ´ para ello debemos derivar dicha función y quedaría de la
siguiente manera:
𝐹(𝑡) = 𝟐𝑋´ + 𝑍𝟒” – 𝟑𝑌𝟐 ´
𝑭´ 𝒕 = 𝟐 + 𝟒𝑍𝟑 − 𝟔𝑌
Resolvemos

7. Obtenida esta función procedemos a hallar la segunda derivada de Z
𝑭´´(𝒁) = 𝟐 + 𝟒𝒁 𝟑
− 𝟔𝒀
𝑭´´(𝒁) = 𝟐 + 𝟏𝟐𝒁 𝟐
− 𝟔𝒀
Sustituimos los valores de X, Y y Z por los valores que arrojo la matriz y obtenemos
la siguiente función:
= 𝟐 + 𝟏𝟐.
𝟖𝟓
𝟏𝟎
𝟐
− 𝟔. (−𝟔)
Resolvemos

8. Luego, Resolvemos la función para hallar el valor de la misma
= 𝟏𝟒.
𝟐𝟖𝟗
𝟒
+ 𝟑𝟔
=
𝟐𝟎𝟐𝟑
𝟐
+ 𝟑𝟔
=
𝟐𝟎𝟗𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎𝟒𝟕, 𝟓
Y de esta manera obtenemos el valor de la función.
Resolvemos