Este documento presenta dos lecciones sobre la pendiente y la ecuación de la recta tangente a una curva. La primera lección define la pendiente de la recta tangente como el límite de la variación en y dividida por la variación en x. Proporciona un ejemplo para hallar la pendiente de la curva y=x^2+1 en el punto x=3. La segunda lección explica cómo usar la pendiente para determinar la ecuación de la recta tangente mediante la fórmula Y-y=m(X-x). Incluye un ejemplo para encontrar la e

1. LECCIÓN 1 DE LA UNIDAD<br />PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA <br />Podemos definir la pendiente de la recta tangente a una curva como: <br />Ejemplo:<br />Hallar la pendiente m de la curva en el punto x=3<br />Solución: <br />Utilizamos la definición de de límite para calcular la pendiente: <br />m=limΔx->0fx+Δx-f(x)Δx Para y=x2+1<br />Lo que se hizo fue lo siguiente <br />Definimos f(x) y fx+Δx así:<br />fx= x2+1 <br />Se reemplaza a x por x+Δx para definir a fx+Δx así:<br />fx+Δx = x+Δx2+1 <br />Luego reemplazamos en la ecuación de la pendiente de la recta tangente a una curva<br />limΔx->0x+Δx2+1-(x2+1)Δx<br />Solucionamos el cuadrado <br /> limΔx->0(x2+2xΔx+Δx2)+1-(x2+1)Δx<br />El signo menos, afecta la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis<br />limΔx->0x2+2xΔx+Δx2+1-x2-1Δx<br />Se realizan las operaciones indicadas <br />limΔx->0x2+2xΔx+Δx2+1-x2-1Δx<br />El resultado de las operaciones es:<br />limΔx->02xΔx+Δx2Δx<br />Factorizando en el numerador tenemos <br />limΔx->0Δx(2x+Δx)Δx<br />Un Δx multiplica y otro divide simplificamos<br />limΔx->02x+Δx<br />Aplicamos la definición de límites <br />2x+0<br />Por tanto el resultado es: <br />m=2x Es la pendiente de la curva y=x2+1<br />Para el punto x=3 la pendiente es m=2x esto es m=2*(3), m=6<br />LECCIÓN 2 DE LA UNIDAD<br />ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA<br />En la lección 1 determinamos la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto P. Ahora determinaremos la ecuación de dicha recta, definida como: <br />Y-y=m(X-x)<br />Ejemplo:<br />Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función fx=x3 en el punto (2,8).<br />Solución:<br /> Para la ecuación de la recta tangente, podemos hallar la pendiente m así:<br />m=limΔx->0fx+Δx-f(x)Δx<br />Definimos f(x) y fx+Δx así:<br />fx= x3<br />Se reemplaza a x por x+Δx para definir a fx+Δx así:<br />fx+Δx=x+Δx3 <br />m=limΔx->0x+Δx3-x3Δx<br />Solucionamos el cubo<br />m=limΔx->0(x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3)-x3Δx<br />Desaparecemos los paréntesis<br />m=limΔx->0x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3-x3Δx<br />Se realizan las operaciones indicadas <br />m=limΔx->0x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3-x3Δx<br />El resultado de las operaciones es:<br />m=limΔx->03x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx<br />Factorizando en el numerador tenemos <br />m=limΔx->0Δx(3x2+3xΔx+Δx2)Δx<br />Un Δx multiplica y otro divide simplificamos<br />m=limΔx->03x2+3xΔx+Δx2<br />Aplicamos la definición de límites <br />m=3x2+3x0+02<br />Por tanto el resultado es: m=3x2<br />Para el punto x=2 la pendiente es m=3x2esto es m=3*(2)2, m=12<br />Remplazamos en la ecuación de la recta con m=12 teniendo en cuenta el punto indicado (2,8), es decir, x=2 y y=8<br />Y-8=12(X-2)<br />Resolvemos la operación <br />Y-8=12X-24<br />Despejamos la variable Y<br />Y=12X-24+8<br /> Por ultimo resolvemos la operación <br />Y=12X-16<br />Y ESTE ES EL RESULTADO ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA<br />