CADENA

1. Matemáticas
1111
Tema 37
Regla de la cadena y de la potencia
Ejemplo
Encontremos la derivada de la función h x x( ) ( )= +50 11 100
.
Solución
Consideremos a h x( ) como la composición de las funciones
f x x( ) = 100
y g x x( ) = +50 11.
Como f x x'( ) = 100 99
y g x'( ) = 50 , entonces
h x'( ) = f g x g x' ( ) '( )( ) = f x'( )50 11 50+ ⋅ = 100 (50x + 11)99
50,
es decir que h x x'( ) ( )= +5000 50 11 99
.
Ejemplo
Encontremos la derivada de la función f x
x
( ) = 1 .
Solución
Para encontrar f x'( ) debemos resolver lím
h
f x h f x
h→
+
0
( ) – ( )
.
Si f x h
x h
( )+ =
+
1 , entonces
f x h f x
x h x
h
x x h
( ) – ( ) –
–
( )
+ =
+
=
+
1 1 ; por tanto:
f x h f x
h x x h
( ) – ( ) –
( )
+
=
+
1
, expresión que tiende a
–1
2
x
cuando
h → 0, es decir, f x
x
'( ) –= 1
2
, para todo x ≠ 0.
Ejemplo
Encontremos la derivada de la función F x
x
x
( ) =
+
10
12
.
Solución
La función F x
x
x
( ) =
+
10
12
puede escribirse como
F x x x( ) ( )( )–
= +10 12 1
.
Aplicando las reglas de derivación para un producto y una com-
posición tenemos:
F x'( ) = (10) ? (x 2
+ 1)–1
+ (10x) ? [–1(x 2
+ 1) –2
? 2x]
Efectuando las operaciones y simplificando la expresión para
F x'( ) tenemos:
F x
x
x
x
x x
x
'( )
–
( )
( ) –
(
=
+
+
+
=
+
+
10
1
20
1
10 1 20
2
2
2 2
2 2
2
11 2
)
.
Así, F x
x
x
'( )
( – )
( )
=
+
10 1
1
2
2 2
Pensamiento variacional