problemas resueltos

2. La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la
derivación,es decir, consiste en encontrar una función, que al ser
derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces,F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que
no existe una derivadaúnica para cada función. Por ejemplo,si G(x) =
x3+ 5, entonces es otra antiderivadade f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitivao laintegral
indefinida se expresade la siguiente manera:en donde: f(x) es el
integrando; dx, la variable de integracióno diferencial de x y C es la
constante de integración.
Las reglas de la derivaciónsonla base que de cada operaciónde integral
indefinida o antiderivada.
Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde
intervienen más de una operación,éstas han de invertirse pero en orden
opuesto.Por aclarar esto,si se consideralaoperaciónde ponerse el
calcetíny después el zapato, lo inverso seráprimero quitarse el zapato y
luego el calcetín. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el
exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será,
primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el
exponente, lo cual es el procedimiento que se tomaal resolver una
operaciónde antiderivada, también llamadaintegral indefinida o
primitivade una función.

3. PROBLEMAS:
FORMULA:1° ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
SOLUCION EJ.1°
∫ 3𝑋4
𝑑𝑥 = 3∫ 𝑥4
𝑑𝑥
3𝑥5
5
+ 𝐶 = 3𝑥5
+ 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫
𝑑𝑥
𝑥2 = ∫ 𝑥−2
𝑑𝑥
𝑥−1
−1
+ 𝐶 = −
1
𝑥
+ 𝐶
SOLUCION EJ.3°
∫(3 − 2𝑥 − 𝑥4) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
3𝑥 − 𝑥2
−
𝑥5
5
= 3𝑥 − 𝑥2
−
𝑥5
5
+ 𝐶
SOLUCION EJ.4°
°∫(𝑎 + 𝑥)3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑡3
𝑑𝑡
∫
𝑡4
4
=
(𝑎+𝑥)4
4
+ 𝐶
SOLUCION EJ.5°
∫ 1 0𝑥2
𝑑𝑥 − 8𝑥 + 2𝑑𝑥 = ∫ 10𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 8𝑥𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥
10𝑥3
3
− 4𝑥2
+ 2𝑥 =
10 𝑥3
3
− 4𝑥2
+ 2𝑥 + 𝐶
2° ∫× ᵑ𝑑𝑥 =
𝑥ᵑ+1
𝑛+1
+ 𝐶
SOLUCION EJ.1°

4. ∫(𝑥3
+ 2)
1
2 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥3
+ 2)
1
2 (3 𝑥2
)𝑑𝑥
12
33
(𝑥3
+ 2)
3
2 + 𝐶 =
2
9
( 𝑥3
+ 2)3
2
+ 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫ 𝑥5
𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥6
+ 𝐶
𝑥5+1
5+1
=
𝑋6
5+1
𝑋6
6
+ 𝐶
SOLUCION EJ.3°
∫ 𝑥2
(𝑥3
− 1)10𝑑𝑥 = ∫
𝑡10
3
𝑑𝑡 =
1
3
∫ 𝑡10
𝑑𝑡
1
3
∫
(𝑥3
−1)11
11
=
(𝑥3
−1)11
33
(𝑥3
−1)11
33
+ 𝐶
SOLUCION EJ.4°
∫ 𝑥3
(2-𝑥2
)12
dx
∫
𝑡13
−2𝑡12
2
𝑑𝑡 =
1
2
∫ 𝑡13
𝑑𝑡 − ∫ 2 𝑡12
𝑑𝑡
1
2
∫
(2−𝑥2
)14
14
−
2(2−𝑥2
)13
13
=
(2−𝑥2
)14
28
−
(2−𝑥2
)13
13
+ 𝐶
3° ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) =∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤
SOLUCION EJ.1°
∫(4 ×2
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 + 5𝑑𝑥 = 𝑥4
∫ 3𝑥²𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 + ∫ 5𝑑𝑥
= 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 + 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫(3 − 2𝑥 − 𝑥4) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
3𝑥 − 𝑥2
−
1
5
𝑥5
= 3𝑥 − 𝑥2
−
𝑥5
5
+ 𝐶
SOLUCION EJ.3°

5. ∫(2 − 3𝑥 + 𝑥3
)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑑𝑥 − ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
2𝑥 −
3𝑥2
2
+
𝑥4
4
= 2𝑥 −
3𝑥2
2
+
𝑥4
4
+ 𝐶
SOLUCION EJ.4°
(2𝑥2
− 5𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥2
𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥
=
2𝑥3
3
−
5𝑥2
2
+ 3𝑥 + 𝐶
4° ∫ 𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣
SOLUCION EJ.1°
∫(4 ×2
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 + 5𝑑𝑥 = 𝑥4
∫ 3𝑥²𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 + ∫ 5𝑑𝑥
= 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 + 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫(3𝑠 + 4)2
𝑑𝑠 = ∫(9𝑠2
+ 24𝑠 + 16)𝑑𝑠
9 (
1
3
𝑠3
) + 24(
1
2
𝑠2
) + 16𝑠 + 𝐶 = 3𝑠3
+ 12𝑠2
+ 16𝑠 + 𝐶
SOLUCION EJ.3°
∫(4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 5 𝑑𝑥
= 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥+C
SOLUCION EJ.4°
∫(4 − 𝑥2
)2
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫(4𝑥 − 𝑥3
)2
𝑑𝑥
∫ 16𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 8𝑥4
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥6
𝑑𝑥
16𝑥2
3
−
8𝑥5
5
+
𝑥7
7
+ 𝐶
SOLUCION EJ.5°
∫(1 − 𝑋3
)2
𝑑𝑥 = ∫(1 − 2𝑥3
+ 𝑥6
)𝑥𝑑𝑥
∫ 𝑥 − 2𝑥4
+ 𝑥7
𝑑𝑥

6. ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 2𝑥4
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥7
𝑑𝑥
𝑥
2
2
−
2𝑥
5
5
+
𝑥
8
8
+ 𝐶
5° ∫ 𝑣ᵑ𝑑𝑣 =
𝑣ᵑ+1
𝑛+1
+ 𝐶
SOLUCION EJ.1°
∫(3𝑥 + 5)8
𝑑𝑥 =
1
3
∫
(3𝑥+5)9
9
𝑣 = 3𝑥 + 5 𝑑𝑣 = 3𝑑𝑥
(3𝑥+5)9
9
=
(3𝑥+5)9
9
+ 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫ 𝑎2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑎2𝑥
(2𝑑𝑥)
=
1
2
𝑎2𝑥
𝑖𝑛𝑎
+ 𝐶
SOLUCIONEJ.3°
∫
8𝑋2
(𝑥3+2)3 𝑑𝑥 =
8
3
∫(𝑥3
+ 2)−3(3𝑥2) 𝑑𝑥
∫
8
3
(−
1
2
)(𝑥3
+ 2)−2
+ 𝐶 = −
4
3
1
(𝑥3+2)2 + 𝐶
SOLUCION EJ.4°
∫ 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑒3𝑥(3𝑑𝑥)
=
𝑒3𝑥
3
+ 𝐶
6° ∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝐼𝑛𝑣 + 𝐶 = 𝐼𝑛𝑣 + 𝐼𝑛𝑐 = 𝐼𝑛𝐶𝑣
SOLUCION EJ.1°
∫
𝑑𝑥
2𝑥−3
=
1
2
∫
2𝑑𝑥
2𝑥−3
V=2X-3 dv=2dx

7. =
1
2
𝑖𝑛 𝑙2𝑥 − 3𝑙 + 𝐶
SOLUCION EJ.2°
∫
𝑥+2
𝑥+1
𝑑𝑥 = ∫ 1 +
1
𝑥+1
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥 + 1 𝑑𝑣 = 1
𝑥 + 𝑖𝑛 𝑙𝑥 + 1𝑙 + 𝐶
SOLUCION EJ.3°
∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥2−1
=
1
2
∫
2𝑥𝑑𝑥
𝑥2 −1
𝑣 = 𝑥2
− 1 𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
1
2
𝑖𝑛 𝑙𝑥2
− 1𝑙 + 𝐶
SOLUCION EJ.4°
∫
𝑋3
+5𝑥2
−4
𝑥2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 5 − 4𝑥−2
)𝑑𝑥
1
2
𝑥2
+ 5𝑥 −
4𝑥−1
−1
+ 𝐶 =
1
2
𝑥2
+ 5𝑥 −
4
𝑥
+ 𝐶
SOLUCION EJ.5°
∫
𝑋2
𝑑𝑥
1−2𝑥3 =
1
6
∫
−6𝑥2
𝑑𝑥
1−2𝑥3
−
1
6
𝑖𝑛 𝑙1 − 2𝑥3
𝑙 + 𝐶