1. Se pide calcular derivadas y integrales de funciones. 2. Se pide demostrar que valores de funciones son constantes y que el valor absoluto de una función es menor o igual a la integral del valor absoluto de su derivada. 3. Se pide determinar la convergencia de integrales impropias y calcular límites. 4. Se pide calcular áreas de regiones delimitadas por funciones. 5. Se plantea un problema de caída libre y se pide hallar la posición y velocidad de un paracaidista en función del tiempo.

1. C´alculo Diferencial e Integral II
Tarea 2
1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x) =
x3
a
sen3
tdt
b) F(x) =
b
x
dt
1 + t2 + sen2 t
c) F(x) =
b
a
x
1 + t2 + sen2 t
dt
d) F(x) =
b
a
dt
1 + t2 + sen2 t
e) F−1, donde F(x) =
x
1
dt
t
f ) F−1, donde F(x) =
x
1
dt
√
1 − t2
2. Calcular las siguientes integrales:
a)
1
0
x3
+ 4x2
− 4x + 3dx
b)
e2
1
3
t
dt
c)
b
1
x6
2x3
+
1
x2
+
2
5x8
dx
d)
π/4
0
sec x(sec x + tan x)dx
e)
π
0
1 − 2 cos2 x
2
dx
3. Demostrar que los valores de las siguientes funciones son constantes.
a) F(x) =
x
0
dt
1 + t2
+
1/x
0
dt
1 + t2
b) F(x) =
sen x
− cos x
dt
√
1 − t2
4. Sea f : [0, 1] −→ R una funci´on derivable. Si f es integrable en [0, 1], demostrar que
|f(x)| ≤
1
0
|f (t)|dt, para toda x ∈ [0, 1].
5. Decidir si son convergentes o no las siguientes integrales impropias:
a)
∞
0
dx
√
1 + x2
b)
∞
0
x
1 + x3/2
dx
c)
∞
0
dx
√
1 + x
d)
1
0
dx
xr
, donde 0 < r < 1
6. Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım
x→0
ex − e−x
sen x
b) l´ım
x→0
sen x − x
x sen x
c) l´ım
x→π/4
tan x − 1
cos 2x
d) l´ım
x→2
ln (x/2)
x − 2
e) l´ım
x→0
sen 3x
x − 3
2
sen 2x
f ) l´ım
x→0
cos x arc sen x
sen x
g) l´ım
x→0
ln(1 + x) − sen x
x sen x
h) l´ım
x→0
1 + sen x − ex
(arctan x)2
i) l´ım
x→0
ln(1 + tan x) − ln(1 + sen x)
sen x
j) l´ım
x→0
ln x
csc x
1

2. 7. En cada caso, calcular el ´area de la regi´on sombreada.
a) f(x) = x3, a < 0 < b.
b) f(x) = x2, g(x) = x3
c) f(x) = x3 − x, g(x) = x2
8. Un paracaidista salta de un avi´on que se encuentra volando a 4410 m. sobre el suelo. Se sabe que al momento de saltar y
hasta antes de que se abra el paraca´ıdas, la aceleraci´on del hombre es de −9.8 m/s2 (con direcci´on hacia el suelo). Sabemos
adem´as que la derivada de su posici´on x al tiempo t es su velocidad v (al tiempo t)
x (t) = v(t),
y que la segunda derivada de su posici´on x es su aceleraci´on a
x (t) = v (t) = a(t).
Hallar la posici´on x y la velocidad v del paracaidista al tiempo t, y bosquejar las gr´aficas de x y de v.
2