El documento explica los conceptos de conjunto potencia y subconjuntos. Un conjunto potencia contiene todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado, incluyendo el subconjunto vacío y el conjunto original. El número de elementos de un conjunto potencia es 2 elevado a la cantidad de elementos del conjunto original, debido a que cada elemento puede estar presente o ausente en los subconjuntos.
2. Un conjunto potencia es el
conjunto de todos los
subconjuntos de un conjunto.
¿Lo entendiste? A lo mejor un ejemplo te
ayudaría
3. Todos los subconjuntos
Si tenemos un conjunto {a, b, c}:
Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a, c}, o los demás
Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c}
Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}
De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de
S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}:
P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos
(el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.
4. ¿Cuántos subconjuntos?
¡Fácil! Si el conjunto original tiene “n” elementos, el
conjunto potencia tendrá 2푛 elementos
En el ejemplo {a,b,c} de antes hay tres elementos (a, b y c)
Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8
5. Notación
El número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|,
así que ahora escribimos:
|P(S)| = 2푛
Ejemplo: ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de
S={1,2,3,4,5}?
Bien, S tiene 5 elementos, así que:
|P(S)| = 2푛 = 25 = 32
Verás en un momento porqué el número de elementos es una
potencia de 2.
6. ¡Es binario!
Y esto es lo más sorprendente. Si quieres crear un conjunto
potencia, escribe la sucesión de números binarios de n cifras, y
con cada número haz un subconjunto: cuando haya un "1",
añade el elemento que corresponde.
Se entiende mejor con un ejemplo:
Bueno, no están ordenados,
pero están todos.
abc Subconjunto
0 000 { }
1 001 {c}
2 010 {b}
3 011 {b,c}
4 100 {a}
5 101 {a,c}
6 110 {a,b}
7 111 {a,b,c}
7. ¡Nota importante!
Para representar al conjunto vacío es
importante hacerlo de esta manera { } ó
bien Ø.
Nunca debemos representarlo de esta
manera {Ø} ya que de esta forma estamos
indicando un nuevo subconjunto que
debería estar dentro de la potencia
8. Ejemplo 3
¡Vamos a comer! Tenemos cuatro sabores de helado:
banana, chocolate, limón y fresa. ¿De cuántas maneras
podemos combinarlos?
¡Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f}. Algunos ejemplos de
combinaciones son:
{ } (ninguno, estás a dieta)
{b, c, l, f} (todos los sabores)
{b, c} (banana y chocolate van bien juntos)
Vamos a hacer una tabla: