Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias b. makarenko

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
SOLUCIONARIO
A. KISELION - M. Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PERÚ
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IMPRESO EN EL PERU
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3a EDICIÓN
Eduardo*Espinoza Ramos
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y editor.
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Biblioteca Nacional del Perú
con el número N° 2007-12593
PROLOGO
La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su
3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos
fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como
sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no
homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales
de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias,
sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por
medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por
medio de Transformada de Laplace.
El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los
futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos
científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de
matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han
contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor
Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,
a fin que el beneficiado sea el estudiantado.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
Eduardo Espinoza Ramos

INDICE
Pag.
1. Conceptos Fundamentales. i
2. Ejercicios de Verificación. 2
3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14
4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48
5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72
6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100
7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto
a la derivada. 130
8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143
9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de
curvas, problemas de Trayectorias. 154
10. Soluciones Singulares 166
11. Diversos Problemas 175
12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden
de la ecuación. 196
13. reducción del orden de la Ecuación 210
14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245

15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes
16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes
17. Ecuación de Euler
18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables
19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema
Fundamental de Soluciones
20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series
21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes
22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n
23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de
Ecuación Diferencial
24. Propiedades de Transformada De Laplace
25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con
Transformada de Laplace).
26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada
de Laplace
27. Apéndice
í
j
nói38U33 «i 3b ksé
260
272
333
345
394
396
430
431
454
455
470
489
510
ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!
Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función
incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la
forma.
Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la
ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en
la ecuación.
Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = |/(x), determinada en el
intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al
hacer la sustitución y = |/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una
identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).
La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la
ecuación.
La forma general de una ecuación de primer orden es:
F (x ,y;f) = 0
Si en la ecuación (1) es posible despejar y ', resulta;
... (2)
Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.
1

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son
soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.
sen*
11.- y = -------, xy'+y = eos*
x
Solución
y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.
jceos jc-sen* sen* x 2 cosx-xsenx sen*
2 y v2X * *
senx senx
= eos X---------+ ------- -- eos X
X X
.*. xy'-Hy = cosx
12.- >>= ce“2jr+ — , y + 2j = e*
Solución
_ ce ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.
i "lpfii-
X ex
y'+2y = -2ce~lx +— +2ce~Zr +2 — =ex
3 3
y'+2y =ex
13.- >>= 2 + c V l-x 2 , (l-jc 2)y+xy = 2x
Solución
y = 2 + cV i- * 2 => y=
-ex
2
(l-jr2).y'+jrv = - ( l- x 2)— ^ = r +x(2+ cV l-x2) = -V l-x 2cc +VT
V l-J ’-x2
(1- j t 2)j^'+jcv = 2jc
14.- j = x V l-x 2", >y’= x - 2 x 3
Solución
.y = W l- * 2 => / = V l- x 2 — í ------= —T2*
V i- * 2 V i- * 2
r. 5". 1—2jc ,
= W l-s (■,----- - ) = s -2 x 3
>y' = JC-2:c3
15.- , = , x/=>;tg(lnj;)
Solución
aresenex
j; = ^aresener ^ l=
'Jl-(cx)2
X c e « * m cx x c y
xy - r - ■- = ^ = tg(ln_v).^
V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2
x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex =>
tg(lny) = —
v h ^ F
f* 2
16.- ^ = e J0 dt+ceX > y'-y = e
- x 2cx +2x
3

Solución
y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando
y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~*.e*1
y '-y = ex+j;2
f* sen t
17.- y = x — ~ d t , x y = y +
Jo t
xsenx
Solución
ex Sen t Cx sen i sen x r >sen t .
v —xl ------ dt ^ y' = I dt +x - Idt+senx
y J0 t 7 Jo t X Jo t
r* sen t r*sení
xy’=x( ------<*+ senx) = x -------dr + xsenx
* Jo t Jo t
xy'=y +x senx
te*
18.. v = x( — dx +c), xy'-y = xe
J x
Solución
X m¿>X
y _ J dx + c)=>/ = J — dx +c +e* reemplazando en la ecuación dada.
x f €*
xy'-y = x( í — dx +x +ex) - x ( | — dx +c)
J x J x
Í ex f ex
— dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc
X J X
xy'-y =xex
4
X = COSÍ
19.- L x+yy' = 0
y = sen /
20.-
Soiución
,_ / (O _ eos/ cosí
* '(0 sení ^ sen/
, , eos/
* + = cos/ +sen/(---------) = cos/-cos/ = 0
sen/
JC+ J>/=0
x = íe t
y = e
(l +xy)y'+y2 =0
Solución
... y - e "
y =—r = —--------------7 =>y'=—-, reemplazando en la ecuación
' - ' e (1+t)
_ -/
(l + xy)/+j>2 =(l + í)(-----------)+ e~2' = - e “2' + e 2' =0
e' 0 +0
(1 + xy)y'+y2 =0
x = e »rctg(f)
21.- L y + xy’=0
^ = e -arctg(,)r*
jx =esrctg<')
|y = e-««8(0 ^
I eX = —x t
Solución
arctg(/)
1 +r
>!=-
e -arctg(/)
1+ / 2
5

22.-
23.-
y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')
y + jcy’=É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0
y + xy' = 0
x = t ln í y’
2 f> y in — = 4x
y = í (21n í + l)j 4
Solución
jt = /ln / => jcJ = ln f+ 1
y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n/ + l) + 2f = 4í(ln/ + l)
y [= 4 r(ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4,
' x1 ln í+ 1
y in — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x
4 4
jc = ln / + sen í
y = r(l + senO + cosíJ
y' ln— = 4x
4
, x = ln v’+senj'’
Solución
, 1 1+/COS/
x = iní + sen t=>x = - + cos / = -----------
y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl +t eos/—sen / = l + f eos/
6
, >>} 1 +íeosr
= ----------- = t=>y'=t
r ‘ 1+ ícosí_____ _
ln y + s e n /= ln í + sení = .
x = lny+ seny’
x = t + aresen í
, x = y + aresen /
x = í + aresení x; = 1+
Solución
1
1
í(l+
/ . i -
1+
1
=t=>y'=t
y'+ aresen y' = t +aresen r = x
x = y '+ aresen/
x = t 2 +er
2í 3
y = — + ( r - i y
y +ey' = x
Solución

x = t 2 +e'
x =2t +e'3 s *
y = * - + ( ,- l) e ‘ y'(t) =2t2+e' + (í-l)e ' =t(2t +e‘)
, y t(2t+e') , ,
y = - —---- — - = /= > / = í
x 2t +e‘
y ’2+ey' = t2 +el = x
y'2+ey = x
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de
diferenciales indicadas.
las ecuaciones
26.- y = -------, y'-tgx.y =0
cosx
Solución
y -------y''= csec x. tg x , reemplazando en la ecuación
cosx
Q
y'-tgx.y =csecx.tgx-tgx.------ = c.secx.tgx-csecx.tg.t = 0
cosx
y -tg x .^ = 0
27.- = y '= 3 y2
3x +c
Solución
y = -
/ =
i
3x +c
3
y =
(3x + c)
= 3(——— ) 2 = 3(-y)2 = 3y2
(3x +c) 3x+ c
••• y'= 3 y2
8
28.- y = ln(c+ex), y '= ex~y
Solución
y - ln(c+ex)=t>y ’=--------, además y=ln(c +ex)=>c +ex =ey
c+ex
e x ex
y'-.---------- -- ---- = e '-' => y ’=ex~y
c+ ex ey
29.- y = -Jx2 -e x , (x2 + y 2)d x -2 x y d y -0
Solución
y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx
x 1 -e x
(2x-c)dx-2^Jx2 -cxdy = 0 , dedonde (2x2 -xc)dx-2xydy = 0
(x2 - x c + x 2)dx-2xydy = 0 entonces (y 2 + x2)dx-2xydy = 0
30.- j = x(c-ln|j:|) , (x - y) dx + x dy = 0
Solución
y = x(c—lnjxj) => dy = (c-vx)dx-dx
xdy = x(c-n jfy d x-x d x, como y - x{c- lnjx|) entonces:
xdy = y d x - x d x => (x -y )d x +xdy = 0
31) x = y e * * / =
x (ln x -ln ^ )
Solución
9

x - y e <y+1 => n x -n y =cy + => ln—= cy +, dedonde
x = y e V +l => e ^ 1 = -
jc = <ye^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 0 0 / = ~ (in x -ln .y )y
1 = —(ln jc-ln y )/ entonces: y '= -
^ x (ln x -ln y )
32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V
Solución
x e y
x =yhicy => —= lncy => — = c , derivando se tiene:
y y
y e h * ^ f ) - ¿ y '
y y _ x y '
-------------------------= 0 simplificando - -----—- / = 0 => y-xy'-yy'= 0
y y
'(x + y )y '= y
La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución
general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.
La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor
determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial.
El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en
hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además,
se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la
integral particular que satisface a la condición inicial considerada.
Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación
— = f(x ,y ) se considera también la ecuación — = - *
dx dy f(x ,y )
10
( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales
indicadas o no lo son (c = constante).
33) e~y -e x = 1, jty'+l = ey
Solución
e~y - 1
e y - ex - 1 => ---------= c derivando
x
-xe~yy'-(e~y - ) n _v , _v . „
------------ ------------= 0 => -x e yy - e y +1 = 0
x
xy'+ l-ey = 0 => xy'+l = ey
, a 3 1 c 2 j 3 f dx
*4) y , xy dy +y dx = —
X X ó X
Solución
>>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene:
x x 3
3x2y 3dx +3x3y 2d y -2 x d x = 0 => xy2dx +x 2ydy =
3y
Luego no es integral de la ecuación.
35) x3 - 4 x 2y+ 2 x y2 - y 3 = 0, (3x2 -8xy + 2 y 2)dx-(4x2 -4xy + 3y2)dy = 0
Solución
x3 —4x2y +2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:
3x2dx - Sxydx - 4x 2dy+ 2 y 2dx+ 4xydy - 3y2dy - 0
11

(3x2 - i x y +2 y2) d x - ^ x 2 -4 x y +3y2)dy = O
Si es integral de la ecuación diferencial.
36) y 2 +2cx - c2y yy'2+2xy'=x +1
Solución
y 2 + 2cx = c2 => c = x ± tJx 2 +y 2 derivando se tiene:
0 = 1±—^ M = => <Jx2 + y 2 = ±(x +yy')
J x 2 + y 2
x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y'2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y '2
No es integral de la ecuación diferencial.
37) arctg—- n(cJx2 + y 2) = 0, (x + y)d x~ (x-y)d y = 0
x
Solución
arctg~ - lnc J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene:
x
xdy - ydx
x 2 c.(xdx +ydy)
^ | y 2 J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y
x 2
xdy - ydx xdx + ydy
= 0 , simplificando
x 2 + y 2 x 2 + y 2
= 0 de donde xdy-ydx - xdx-ydy = 0
(x - y)dy - (x +y)dx = 0 entonces (x + ^ ) á r - ( x - <y)rfy =
= 2xy'+yy'2
0
12
38) x = yj^ sent2d t, ^ = Ay'+y2 senjc2
Solución
x = y ¡ sení2dt => f sent 2dt = —, de donde
»0 Jo y
x=yj0sen12^ *=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene:
l = /y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2
Cx sen t
39) —-—d í - y n y , xy'+xiny = x senx +ylny
Solución
f*senr f*senr y ln v
x —— dt =y n y => ------di =------—
t Jo t X
cx sen t cx sen t J
xJo —-—dt = y ln y => ——tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:
y ln y
— ----hsenx - (lny + l)y' => y n y +xsenx = x(ny + l)y'
No es integral de la ecuación diferencial.
13

ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y
ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
dy
Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g(x, y)
dx
se reduce a la forma:
donde M es una función solo d
conoce con el nombre de “Ecm
solución general se obtiene por
M(x)dx + N(y)dy = 0
le x, y N es una funci'
ición Diferencial Ordin
integración directa, es c
ón sola de y, a esta ecuación sé
aria de Variable Separable” y la
lecir:
j M (x)dx + J[ N(y)dy = c
Donde c es una constante cualquiera.
La ecuación diferencial de la forma:
— = f(a x +by +c)
dx
donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo
la sustitución z = ax + by + c.
Integrar las ecuaciones:
81) ( +y 2)dx +{ +x 2)dy = 0
Solución
(1+ y 2)dx + (1+ x 2)dy = 0 , separando la variable
dx dy „ . ,
------r- + ------—= 0 integrando
1 + x 1+y 2
14
f dx f dy
J7 7 7 r + J7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c
Nota.- tg(A +B) =
x +y = c(l-xy)
tgA +tgB
1-tgA.tgB
82) (l +y 2)dx+xydy = 0
Solución
(1 + y )dx +xydy = 0. Separando la variable.
dx y dy ?
— + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+v ) = A:
X l +y 2 ° 2
21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x2(l +y 2)=¿
83) (y 2 +xy2)y’+x2 - y x 2 = 0
Solución
( y 2+xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando
y 1( +x) - ~ +x 2( l - y ) = 0. Separando la variable.
^-+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c
1 - y 1+x j 1- y i 1+ X
( x + y ) ( x - y - 2) + 21n-
y
l +x
1- y
= c
=> x(l +y 2)= c
. De donde se tiene:
15

84) (1+y 2)dx =xdy
Solución
(1+ y 2)dx = xdy separando las variables
dx dy
— = ------ y , integrando ln xk = arctg y
x 1+y
y = tg(ln(fcc))
85) x j l +'y2 +yy'yfl +x 2 = 0
Solución
x ^ l +y 2 + y^l +x 2 ^ = 0 . Separando las variables.
xdx ydy
r+ -jrr-r = 0 , integrando
Vl + * 2 +y 2
r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c
86)x - J l - y 2dx +y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1
Solución
X i j l - y 2dx +y j l - x 2dy = 0, separando las variables
ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd
- = = = + - = = = 0 , integrando —
a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT
dé donde, -fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1
>2
•= c
16
V i- * 2 + V i-.v 2 = i
87) < r'(l + / ) = l
Solución
e - * ( i+ /) = i => i + y = ^ => y = ^ - i
v r ^ + v n = * => * = i
— = - 1, separando las variables, -— -- = d:
dx ey -1
t dy c c e ydy
i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:
ln ( l- e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡
/. ex =£(1 - 0
88) >>ln.y<&+ ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1
Solución
y ln y dx + x dy = O, separando las variables
dx dy . . c dx r dy
---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = k
x y n y * x J yin y
ln(x ln(>>)) = k => xln y = c de donde ln y = -
para x = 1, y = 1 => l =ec => c = O
x ln y = O => lny = O => y = 1
, integrando se tiene:
e * =- L ( l - e-y)
e
=> lnx + ln(lny) = k =>
=> y = e x

89) y '= a x+y(a > O, a * )
Solución
dy +
— = a x y = a x .ay separando las variables
dx
a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k
ax +a~y =c
90) e y ( +x 2)dy-2x( +ey )dx = 0
Solución
e y (1+ x 2)dy - 2x(l +ey )dx - 0 . Separando las variables.
eydy 2xdx f eydy r 2xdx
----------------- —= 0 , integrando ------7 - ------7 = k ,
l +ey 1+ x 2 J l +ey J 1+x 2
ln(l +ey)-ln (l +x 2) = k
. l +ey , l +ey
ln------T = k => ------t~—c
1 + x 1+ x
l +ey =c(l +x 2)
91) (l +ex)yy'= ey , yx=0 = 0
Solución
dy
(1+ex)y — = ey , separando las variables
dx
dx r _v , c dx
- + c
de donde:
ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í -
l +ex J J 1
de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x
18
Solución
(1+ >>2)(e2xdx - eydy) - (1+ y)dy = 0 , separando
92) (1+ y 2)(e2xdx - eydy) - (1+ y)dy = 0
e 2xdx - dy = 0 , integrando
l +>>2
j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c
e2x
^ - e y -a rc tg y -ln^l +y 2 = c
93) (xv2 - y 2 +x-l)dx + (x2y - 2xy +x 2 +2y - 2x + 2)dy = 0
Solución
(xry2 - y 2 + x -l)¿ * + (x2jy -2;*7+ x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando
[y1(* -]) +(x-V¡dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x +2)]dy = 0 , factorizando
(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable
( x -1 )dx y + 1 ,
-------------- + -------- dy - o , integrando
x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l
f ( x -1 )dx f 7 + 1
I —I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde
J x - 2x + 2 J y +1
1 9 1 ?
~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k
ln(x2 -2 x +2){y2 +l) = - 2 arctgy +k=>(x2 - 2 x +2)(y2 +1) =e-2tICX*y+k
entonces: (x2 - 2 x +2)(y2 + l)e2arct8y = c
19

94) y= sen(x-j> )
Solución
_ dz ( , . . dz
Sea z = x - y => — = 1- y entonces y = 1-----
dx dx
Como y= sen (jc-y ) reemplazando se tiene:
- — = senz => 1- senz =— , separando las variables:
dx dx
dz dz
— = 1- sen z => ---------- = d x, integrando
dx 1- sen z
í — —— = [dx +c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces
J 1-se n z J J
tgz + secz = x +c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x +c
95) y' = ax +by +c, a,b,c constantes
Solución
Sea z = ax + by + c => — = a +by’
dx
y - i.- a) reemplazando en y'= ax +by +c entonces
b dx
- ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variable
b dx dx dx
= dxintegrando í ---- ---= f dx + k ,de donde
a + Z>z J 0 + ¿?z J
~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a +bz) = bx +bk => a+bz = cebx
b
+ c) + a =
20
96) (x +y )2y' =a 2
Solución
dz
S eaz = x + y => — = 1+y' entonces:
dx
dz "y
/ = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces
2 dz 2
z (— - 1) = a separando las variables:
dx
z Z
— —dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x +k
a +z a
y
simplificando x + y = a.tg(—+ c)
2
97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0
xn x
Solución
(1- y)ey — + — — = 0 separando las variables
dx x ln x
( l - y ) e y d x .
----------- d y + ---------- 0 , integrando
y L x l n x
r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y
----------- dy+ —— =c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c
j y ¿ J x l n x J y 2
r e y e y
- J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c
ey
ln(lnx) = — +c
y
21

Solución
(1- y 2)dx = (y - J l +y 2)(1 + x 2)%dy separando las variables
98) ( l - y 2)dx =(y--J +y 2)(l +x 2)'/idy
dx y - y i + y 2
------- = ---------------- ñ----dy integrando
( 1 + X 2 ) A l + y 2
f dx ,
------- —rr = ----------^— dy +c entonces
J (1+ *2)X J l +y 2
Irf(7 = r ) =I{r h - ~ r =^ )dy+c
vi+x 1+^ V1+^
* - ln
'l + y 2
J + x 2 _y + -jU y 2 _
+ c
ioo) jty2(V + > O = 02
Solución
dz
x ----- z2"
Sea z = xy => y = — => y' = — —
Como x y 2(xy' +y) = a 2, reemplazando se tiene
z
X
dz z
X ------- ZH-----
dx x
=a , simplificando
z 2dz = a 2xdx, integrando se tiene:
22
Z3 Q2X2 ~ 3 3 >%2 2 i
— = -------- + c=> 2x y =3a x +k
3 2 '
100) (x2y 2 +l)dx +2x2dy = 0
Solución
0 z , xdz - zdx
Sea z =xy => y =— => dy =------ ------
x x 2
(x2y 2 +1)dx + 2x2dy = 0 , reemplazando
(z2 +l)dx +2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + )dx + 2xdz —2z¿/z = 0
x
(z2 - 2 z +V)dx+2xdz =0 => — + — - Z—-= 0 , integrando
2x (Z- l )2
1—m x --------- = c
2 x y - 1
101) (1+ x y )y +(x y -l) xy'=0
Solución
dz
x ----- z
Sea z = xy => / = —— — , reemplazando
x
dz
x ---- z
(1+ z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando
* x 2
(1+ z 2)z + (z - 1)2x — - (z - 1)2z = 0 entonces
dx
23

( z - l ) 2xdz +2 z2dx = O => —— + dz = O integrando
x z ¿
2nx +z - 2 n z ~ —=k => - 21ny = — - x v +k =>
Z JCJ>
lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl.3ty
*y
102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0
Solución
dz
x ------z
Sea z = xy => / = — — entonces
2 3 3 2
* y + j>+ jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene:
dx
dz
3 JC--------Z
Z Z 1 d x
— + —+ x - 2 + (xz +*)(
-
— ) = 0 , simplificando
X X x 2
dz
3 Z --------Z
— + —+ x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entonces
X X X
(z 2 +l ) - +x - 2 =0 dedonde (x-2)dx +(z2 +l)dz = 0
dx
integrando - - + z + - - 2 x =c
3x2 - l 2 +2x3y 3 +6xy = c
24
103) (x6 - 2 x 5 +2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0
Solución
Sea y = tx => dy = tdx + xdt entonces reemplazando se tiene:
(x6 - 2 x 5 +2x4 - f V +4txi )dx +(xi í2 - 4jc3){tdx + xdt)
x3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t* +4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0
(jc3 - 2 x 2 + 2 x - ti +4t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando
(x3 - 2x + 2)dx+(t2 - 4)dt = 0 , integrando
X3 2f3
------x +2x-------- 4t = c por lo tanto:
3 3
* 3 - y 3 4 y
------x+ 2x+ — ,------—= c
3 3x x
104) y + i= (x + ^
(x+.>>)'’ +(*+>')'’
(c
Solución
Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial
dx
dz z n z n + zp
(— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando
z"+ z* z m
r z n + z ' r
J ------— dz =jd x +c , de donde
= x + c , n m * -1, p - m ^-1
n - m + 1 /7-/W + 1
25

105) (ln x + y 3)dx-3xy2dy = 0
tí Solución
i dz 1 ^ 2 .
Sea z = ln x + y => — = —+ 3y y
dx x
3xy2y %= - 1 reemplazando en la ecuación diferencial:
dx
lnx + y 3 -3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0
áx ¿x
ln|z + lj-ln x = lnc => ln ^ - ^ = lnc =>
z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1
106) (xy+2xyln2 y + ylny)dr + (2x 2 ny +x)dy = 0
Solución
Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlx
x
Reemplazando en la ecuación diferencial dada:
, tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xdí-ídx
(xe 1x + ----------+ -------)dx + (2xí +x)e (-r— ) = 0
x x x
simplificando
26
/ r xdt-tdx_ ^
(x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0
x x x
(x 2 +2t2 +t)dx +(2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx +(2t+ l)xdt = Q
x 2 ,
xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces:
2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1)2 = c por lo tanto:
/. 2x 2 + (2xln y + 1)2 - c
107) y - x y ' =a( +x 2y')
Solución
y - x y ' =a +ax2y' => y - a = (x +ax2)-^- separando las variables
dx
— Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entonces
ax +x y - a J x ax +l J y - a
xc 1 . . ex=y - a por lo tanto y = a +
ax+ ax+l
I0K) (a2+y 2)dx+2x^Jax-x2dy =0, }x=a=0
Solución
Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene:
dx dy
+ —------- = 0 integrando
2 x ^ a x - x 2 a 2 +y
dx r dyf dx r dy
27

Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral
f * . - f .
2x^ox--x^
dt 'Jat-l
* - 1
-2 J ly fa t-l a
reemplazando (2 ) en (1 )
- (2)
- - 1 .y i y
— —+ —arctg— =c, x = a , y = 0 entonces
a a a
0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0
a a a
* -1
a a
=> y = a. tg
--1
109) y %+sen(“ “ ) = sen(^y^)
Solución
— + sen(—) cos(—) + s e n A c o s¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) co s¿ )
dx 2 2 2 2 2 2 2 1
2 sen(^) cos(™) separando las variables
^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c
y 2 4 2
sen —
2
28
110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente
angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del
mismo punto, aumentada tres veces.
Solución
El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a
dx
las condiciones del problema se tiene:
dy dy 's
= 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke como
dx
pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x
III) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos
ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y.
Q = a 2 ln —
a
Solución
y = f(x)
Q = = a 2 ln(—), derivando se tiene:
a dy J a 1 a 1
y - — •— , entonces dx---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c
ay dx y y
de donde : y =-
c - x
(hipérbola)
29

112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la
ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado
desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto.
En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a
4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del
movimiento?.
Solución
t 2
Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg
v
t = 10 seg.
v = 50 cm/seg.
1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - =>
50 dt v
v2 = 2012 + c, para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg.
502 =20(10)2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _,
para t = 60 seg. v = ? de donde:
v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg
k ''t -Vv> *v v ' ^ , * ‘ ^
113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales
pasan por un punto constante es una circunferencia.
Solución
Sea Ln : y = b x, de donde mLN =b
Además mL, = — , y como LNIX ,, entonces:
dx
1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £>= - —
N mL, dy dy
30
X
b , l =,Como y = bx
x x
Separando las variables se tiene:
dy
y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k
114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad
VQ= 200 m/seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m/ seg. suponiendo
que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al
cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la
tabla.
Solución
F = ma = m
dv
dt
condición del problema:
d^ . 2
m — =kv
dt
integrando:
m dv
----- T = dt
k v
m rvi dv _ r'
k Jvf2 V
-r*Jo
k vj v0
* V,
31

k v0v.
... (1)
dv
además m — = m
dt
d 2x
dt2
2 dv dv dx
entonces: kv = m — = m —r •"
dt dt dx
r dv dx dv
kv2 = m — = mv-
dx dt dx
m dv
dx = —.—
k v
* 1» A >
v0
reemplazando (2) en (1)
... (2)
j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es.
ln(— )
v0
V0V1
í =
40 ln(2.5)
seg.
115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la resisten cia del a g ^ que
es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es,
10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg.
Solución
La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “
tiene: V = Ae
-kt
Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para
t = 5 seg., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e
F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5
-5k 1 8
k = — ln(— ) entonces:
5 10
32
Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier
punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola.
Solución
Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene
mLt =k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,
que es una parábola.
Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura
T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20
minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura
descenderá hasta 30°C.
Solución
Sean T = temperatura del cuerpo.
Tm= temperatura del aire = 20°C.
T0= temperatura inicial.
La descripción matemática es:
dT
— = ~k(T - T m), de donde la solución es: T = Tm + (r0 - T m)e~kt
para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°*
40 = 80e 20A => k =^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í
r = 20 + 80.2'//2°

para t = ? , T = 30°C
30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’
8
118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n
veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de
coordenadas.
Solución
dx
te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx, de donde
dx x x
— =—dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y —ln x nc , por lo tanto:
y x
y - e x
119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su
velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P
recorre lOOm. y en 15 seg., 200m.
Solución
34
Sean s = el camino recorrido
t = el tiempo en seg.
v = ~ = velocidad del cuerpo
ds
la descripción matemática es: — = k s, de donde la solución general es:
dt
s = Aeh , para t = 10 seg. , s=100m . => 100 = Áei0k
de donde = ...( 1)
e
para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15*
de donde se tiene : A = ... (2)
15Ae
a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2
comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡^7- => k =-
e
reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será:
s =25.2r,s
120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal.
Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la
diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la
disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de
agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal
que contendrá la disolución al cabo de una hora.
Solución
Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el
instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua.
x
La concentración de la disolución saturada = -----;
300
35

— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es:
dt
— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación
dt 3 300
diferencial se tiene:
jc = 100(-A ek,'m ), encontraremos la constante A parat = 0, x = 0 =>
A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para
1 1 299
t= lm in ., x = -k g . se tiene - = 100-100«*'300 => fc = 3001n(——)
3 3 3UU
x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)'
para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto:
x = 18.1542 kg.
121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de
sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la
mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si
se duplicase la cantidad de agua?
La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a
la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la
disolución saturada (1 kg. para 3 litros).
Solución
Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución
— = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del
dt
dx 1 0-x 1
problema la descripción matematica es: — =
De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados
se tiene que: x = 5.2 kg.
36
122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la
curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el
punto de contacto.
Solución
2 y
Como mLt = -------= -----, entre los puntos P y A
x x
----- X
2
Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0
dx dx xy x
Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c
123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una
habitación de 100 mi de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de
humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad
por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su
humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día?
Solución
Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia
(3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.
37

12 = humedad del aire saturado para 100 m3
ds
La descripción matemática es: — = -ks(-s + 6-12) = ks(s + 6)
de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kt
s + 6
para t = 0, s = 3 => A = para t —1, s —1.5 entonces:
k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg.
6 7.5
Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg.
de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5minutos se
disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempose disolverá el 99% de la
cantidad inicial de sal.
Solución
Sea s = cantidad de sal por disolverse.
ds
La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la
proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es:
s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2
Luego s = 2ekt, determinaremos k.
Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - ln —
Por lo tanto: s = 2e(í/5)lnl/ 2 => s = 2(~)r/5
Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,
entonces: 1.98 = 2( - ) '/5 => 0.99 = (-)v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL
2 2 1
ln —
2
125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la
temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la
temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior
a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al
exterior durante un día.
Solución
Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de
una superficie A, perpendicular al eje OX, es:
de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el
tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015).
dT O
Luego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante
dx kA
Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene:
2
T =—x ; 864000 cal/día.
3
126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene
dx x 1•r_u ’
infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición
inicial jyjx=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales.
Solución
dy y dy dx . J t
— —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex
dx x y x
39

para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se
satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para
} x=o = * 0 => = 0 > cua^contradice por lo tanto:
cuando x = 0, y =y 0 * 0 no tiene solución alguna.
Demostrar que el problema ~~ = y a , y x=o —0, tiene al menos dos
soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para
Solución
. i-«
— = y a => y~ady = dx integrando ------ =x +c
dx 1-a
gl-a
si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a >0
3 1- a
ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones.
Si a = 1 => — = dx => ln y =x +c
y
De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.
128) Hallar la solución de la ecuación — = y n y a , (a>0) que satisface a la
dx
condición inicial >'jx=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.
Solución
~~ ~ y Iln y |° => — —— = dx integrando
dx | ln |a
| ln v |1_a i ,
— --------=x +c => y = 0 , x =0 => -------1ln v | “ = 0 + c
1- a I - «
ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0
El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única.
129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación
diferencial y ’+ ytgx = xtg+ 1, en los puntos de sus intersecciones con el eje
OY son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las
curvas integrales con el eje OY.
Solución
-Stgxdx r ftgjratr
y = e [Je (x tg x +1)dx + c], por ser ecuación lineal.
y =eln (tg x sec x+sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral,
y = eos x[x sec x +c] = x+ c eos x entonces:
y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c)
= (1-e s e n x)p = 1 => mL, = 1
L, : y - c =l(x -0 ) de donde L,: x - y +c = 0
41
mL, = —
' dx

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.
130) cosyf= 0
Solución
K
Como y eos y '=0 => / = arccosO = —(2n + l)
— = —(2« + l) => dy =— (2n +l)dx, integrando.
dx 2 2
y = ^(2n + l)x +c, n e Z.
131) ey =l
Solución
dy
ey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c
dx
donde c es constante.
132) s e n /= x
Solución
s e n /= Jt => /= arcsen jt + fl7r entonces:
— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x
dx
integrando Jdy = J(aresen x + nn)dx + c
y = jtarcsenx-V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l,± 2,.
133) l n / = x
Solución
lny'=x => y'= ex
dy = exdx => j dy =J e xdx => y =ex +c
134) t g / = 0
Solución
t g / = 0 => y ’=arctgO = nn
dy
— = nn=> dy =nn dx integrando y = nrc + c
135) =jc
Solución
e ~ x ^ y =nx de donde dy = lnxdx, ahora integrando
jd y = Jlnxdx => y = x ln x - x + c
136) tgy'=x
Solución
tgy' =x => y'= aictgx+nn , n = 0, ±1, ±2,...
dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene
y = ^{ttctgx +njz)dx+c entonces: y = x2xctgx-^n( +x 2) +njtx +c
43

En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones
diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo.
, 16
137) x y 'eos>>+ 1= 0 , y - > — n => x-»+°o
Solución
x 2 v’cosy+ l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable
x
dx 1
eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— +c
x x
16 16» . 1 l6ncuando y -* — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y-—-sen ^
10
138) x 2 /+ co s2 ^ = l , y-+ — n => x->+*>
Solución
x 2/+ c o s 2y = 1 => x 2y = l- e o s 2>', separando la variable
___= — => — — =—j integrando
l- c o s 2 >' x 2 2 sen y x
f ——— = l —^r~ c de donde ctgy= —+c
J sen2 y x x
10 1
cuando y -* — n , x —H-ao => c - —j~
2 1 2 1
Luego ctgy =—+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'*
44
139) jr3y -sen y = 1, y-*5it => x-H-oo
Solución
x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variable
dx
dy dx r dy r dx
--------- = —r integrando -— -----= — + c
1 +sen.y x * l+senj> J x
para y-+5n , x -H-oo => c = 1
por lo tanto y =2 arctg(l — i—)
2x
140) (l + x2)y -|c o s22y = 0 , y ~^~ti , x->-oo
Solución
(l + x2)y --co s22^ = 0 , separando la variable se tiene:
dy dx
= 0 integrando =k
eos 2y 2 (1 + x ) 2 2
y
tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = —
2 2
tg 2y - arctgx = — => tg 2y = —-+ arctgx => y = —arctg(—+ arctg x)
2 ¿ 2 2
141) ey =e4yy'+1, y es acotada para x —>+oo
Solución
45

eAydv
ey = e4yy'+ l; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx
ey -1
r e4y f
integrando J —----dy = J dx + c entonces:
í ^ y + e 2y + ey + — -— )dy = x +c y calculando la integral
J ey -1
e3y e2
-----+ — +ey + ln(l + e y) = x + c,
3 2
como y es acotado y x ->oo entonces y = 0.
(x +)y' =y - , y es acotada para x —>+oo
Solución
(x + 1) / = y - 1; (x +)dy = ( y - 1)dx separando la variable
dy _ dx
y - Jt+ 1
integrando se tiene: ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c
i i y - iln------= ln c => -------= c
y + 1 x +1
cuando x —>oo entonces —— — >0 por lo tanto c = 0
JC+ 1
t í . o =» y . 1
* + 1
y ' —2x(n +y ) , y es acotada para x-H-oo
Solución
y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando
y +n
Í y +n = J ent°nces ln(y+n) = x 2 +c entonces:
jr2
y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0
Luego y+ n= 0 => y = -n
2 11
144) x y'+ sen 2y = 1, y -* — rc => x-M-oo
4
Solución
2 • 5
x / + sen 2 ^ = 1 => x dy =l-sen2ydx separando la variable
dy dx
=> integrando se tiene:
1 - sen 2y x 2
f dy (• dx 2y sec2v 1
J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — +ci2 y J x 2 2 2
cuando y —>— ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(—x)
X
47

[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la
identidad.
Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f(x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y)
dx
es una función homogénea de grado cero.
La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:
H
dx x
... (1)
Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la
ecuación con variable separable:
du , x
x -— =¡/(u)-u
dx
Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas
a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
dy _ ^ axx--bxy +cl ^
dx a2x +b2y +c2
... (2)
se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de
intersección de las rectas: axx +bxy + c, = 0 y a 2x +b2y +c2 = 0 ; y esto se consigi|
haciendo la sustitución de las variables x = z.+x0, y = w + y
48
El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x +b{y +cx = 0 y
a2x +b2y +c2 = 0 son p
puede escribir en la forma:
a2x +b2y +c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se
ax bx
dy _axx +bxy +cx x ^ f x
— ~ ------- r -------) = F(axx +bxy)
dx Á(axx +bxy) +c2
... (3)
que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable.
Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:
P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0
Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.
A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la
variable y = za , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo
grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1
a la derivada — .
dx
Integrar las Ecuaciones:
145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0
Solución
Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:
Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así:
(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:
(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando
(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando
49

(2u2 -6 u+4)dx +x(2u - 3)du =O, separando la variable
dx 2 u -3 , , „f dx f, 2 « -3 NJ
2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 -----1-1 (—=---------- )du = c
x u -3u +2 J x J u -3u + 2
entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => n x 2(u2 -3u +2) = c, levantando el
logaritmo se tiene: . y 2 - 3 xy +2x2 =k
146) xy' = y +-yjy 2 - x 2
Solución
A la ecuación escribiremos así: xdy = (y +^ 2 -x " ) d x , es homogénea.
Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx +xdu) = (ux +J u 2x 2 - x 2)dx,
simplificando xdu =J u 2 -d x separando las variables -------
V« 2 -1
integrando se tiene: ln |u+Vu2- 11= lnx +lnc entonces:
du dx
9
X
ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo
x
u +^Ju2 -1 - e x => y +^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy =c 2x 2 +1
147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y +4 y2) =0
Solución
La ecuación diferencial (4x2 - xy +y 2)dx +(x2 - x y +4 y2)dy = 0, es
homogénea
sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación.
(4x2 - u x 2 +u2x 2)dx +(x2 - u x 2 +4u2x 2)(udx +xdu) = 0
50
simplificando (4u 3+ 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 )du = 0, separando las variables
dx 4u 2 —u + 1 .cdx c 4u2 —u +
4 — 4*------------- du =0, integrando: 4 — 4- -— -------- du=c entonces:
X u3 + 1 J X J u3 +1
41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c
J u+l u - u +
lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u +l=c => lnx4(w4 l)2(u2 - u 4 l) = c
x*(u +l)(u3 +)= k donde w= — por lo tanto: (x4y)(x3 + y 3) =k
148) 4x2 + x y -3 y 2 + y'(-5x2 +2xy +y 2) =0
Solución
(4x + xy—3 y2)dx +{—5x2 +2xy +y 2)dy = 0, es homogénea entonces:
y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación
(4x2 4 x 2w—3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando:
(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0, separando las variables se tiene:
dx u 2 + 2 u - 5 J ^ .
+ —^-----1-----------du = 0, integrando
* W -W -4W4-4
c dx f u 2 + 2 u - 5
" + -----5-----------du= c , integrando por fracciones parciales se tiene;
J x J u - u - 4^ 4-4
••• ( y - x ) * ( y - 2 x f =c(y +2x)5
51

Solución
9 2'
Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces:
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx +xdu) = 0 => (u3-u)dx +(u2 -3)xdu = 0
separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du
x u 3 - u J x J u 3 ~u
f — + f (—---- ---------— )du =c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2)
J x J u u - 1 w+ 1
150) 2xy'(x2 + y2) =y (y 2 +2x2)
Solución
2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea
2x(x2 +x 2u2)(udx +xdu) =ux(u2x 2 +x 2)dx
2(1 + w2)(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1)dx f simplificando
(u3 + w)rfx+ 2(1 +u2)xdu = 0 , separando las variables
dx 2(u2 + l ) , . c dx c 2(u2+ 1) _ r dx du
-+
¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx
—--------du = 0 9integrando — + — ------- d u - c => — + 2 —
u3+u J x J u3+u J x J u
2 y 2
entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — =c porlo tanto: y
x
151) x y '= jy 2- x 2
Solución
xdy =^ y 2 - x 2d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du
ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando
udx+xdu = ¡u2-1dx, separando la variable
¿/w <¿x f du Cdx
integrando ..¡— ..........= — + c
J J..2 1 _ J x^|li2 - l - U x ^Ju1 - l - u
- J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene:
y +^ y 2 - x 2 = cx3e
y(y+Jy2~x2)
152) ax2+2bxy +cy2 + y (fox2 + 2cxy + fy 2) = 0
Solución
(ax2 +2bxy +cy2)dx +(bx2+2cxy +fy 2)dy = 0, es homogénea
(ax2 +2bx2u+cx2u2)dx+(bx2+2c2u+fx 2u2)(udx+xdu) = 0 , simplificando
(a + 2ftw+ cu2)dx + (b + 2cu +fu 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable
dx b+2cu + fu2 ,
---- 1--------------- —--------—d u - 0 , integrando
* <2+ 3¿w+ 3ck + yi*
53

r dx C b +leu +f u 1
— + 1 ---------------- --------- du =c entonces
J x J a +3bu +3cu + fufu
i 2 3 y
nx +—na +3bu +3cu + fu |= c , donde para u =— se tiene:
3 x
f y 3 +3cxy2 +3bx2y +ax3 - c
153) (y 4 - 3 x 2)dy = -xydx
Solución
y = z a => dy - aza ld z, reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx
(z4a - 3 x 2)aza~1dz = -x zadx => (z5a~l - 3 x 2z a l )odz = -x z adx
para que sea homogénea debe cumplir:
1 2 2
5 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = -Ixzd z, es homogénea
x = uz => dx = u dz + z du entonces:
(z 2 - 3u 2z 2 )dz = -2z 2u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w)
(w2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando
* w2 - l
* ¿z r 2u
54
f — = — ^—du +c => lnz = ln(w2 - l) + c
J ^ J w2- i
para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6
z
154) y 3dx +2(x2 - x y 2)dy =0
Solución
Sea y = za => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación
z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando
z 3adx +2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir:
1 2 2
3 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x -x)dz = 0 , es homogénea,
x = uz => dz = u dz + z du, simplificando
zdu +u2dz = 0 , separando la variable + — = 0
u 2 z
1 X 2
integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tiene
w z
1 2 1
reemplazando en - —+ ln z = c por lo tanto: y = x ln ky
u
155) (y-xy')2 =x2 +y 2
Solución
( y - x y ') 2 = x 2 + y 2 => y -x y '= ^ jx 2 + y 2 , es homogénea
y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:
(u -^|l--u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando
r T , dx du
-V l + w dx - xdu = 0 => — + —-■___ : = 0 , integrando
-Y Vl + t/2
55

í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c
J * J
x(u + 4~+u2) = k , para w= — se tiene: y + J x 2 + v2 = &
x v
156) 3* + >,- 2 + j>,(jt-l) = O
Soiución
Z1 :3x + ^ - 2 = 0l
Sean ^ LX^ L 2 entonces existe un punto
L2 :x - J
/>(*o>J o ) GA n ¿2 YPara encontrar el P(x0,y {)) se resuelve el sistema:
3 x + y -2 = Oj x0 =1
x _ 1= 0j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l)
Sean x = z+ 1 , y = w - 1 => (3x + y-2)dx + (x- l)dy =0
(3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu
(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando
(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:
dz du „ . r dz r dudz du . r dz r
— + --------= 0 , integrando — + -
z 2u +3 J z J 2u +3
entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k
157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0
Solución
= c
(2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:
56
dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces
(u + 1)dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando
u -1
u 2 2x+y
Jdx + J - —- d u - c => x +y +l =ce 3
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0
Solución
Lx : 3 y - l x + l = 0l
Sean > => entonces
L2 : 3 x - ly - 3 = 0 ¡ 1 2
3v-7jc + 7 = 0l Xq —
3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n
3 x-7 > '-3 = 0J J>0 =0
x = z + l, y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy
(3w—7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea,
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:
(7w2 -l)d z +(lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:
_ dz l u - 3 . . , _f dz c l u - 3 .
7 — + ——— du = 0, integrando 7 — + I —----du = c
Z U2 - i J Z J u 2 +1
dedonde: . (x + y - ) 6( x - y - l ) 2 - c
(y +y ^ 2y 4 +l)dx +2xdy = 0
Solución

c z , xdz - zdx
aea xy - z => y =— => dy =----------- , reemplazando en la ecuación
x x 2
(—+ —J —T-+l)dx +2x(— Z ZC^X) =0 9 simplificando
X x j x 2 * 2
, Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx)
(—+ —y ^ z +x )dx +2 --------------= 0 entonces:
X X2 X
z(Vz4 + x 2 -x)dx--2x2dz = 0 sea x =u 2 => dx = 2udu
z(y]z4 +u 4 - u 2)2udu +2u4dz =0, simplificando
z(*J~z^+u 2 -u)du +u}dz = 0 , es homogénea
sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación
z(>/z4 + z4w2 - z 2w2)(zchi’+ wdz) +z 3w3dz = 0
wyjl + w4dz -i-z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable
dz 4l + w4 - w 2 r dz f 1 w
---- h---- ..... —dw = 0 integrando — + I (---------=====?)dw = c
Z W l + VV4 ZW^/1+w4
lnz + lnw — ln w 2+ ^ l+ w 4 =c => ln zw - —nw 2 + ^l + w4 |=<
2 2
para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: . ^ x 2^ 4 =cy2x 2-
4xy2dx + (3jc2jk-l)dy = 0
Solución
Sea y = z a => dy = ctza d z, reemplazando en la ecuación
4xz2adx +(3x2z a -)a z a~ldz = 0, agrupando
4jcz2of¿£c+ (3jc2z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir:
2a + 1 = 2a + 1 = a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación
4xz~4dx +(3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando
2jcz dtc- (3jc2 - z 2)tfz = 0 , es homogénea
sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
2uz2(udz +zdu)-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando
(-u 2 +1)dz + 2wz¿fw= 0 => — ---- du =0 y integrando
z u -1
■dz C 2u
í — - ídu =c => ln z - ln(u 2 - 1) = c
J Z J w2 -1
Jlf 1 ^ 2
de donde para w= —, z = - p r se tiene: . y (x ^ y -l) =£
161) (jc+ y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0
Solución
y = za dy =aza~ld z, , reemplazando en la ecuación
(x + z3a )¿£c+ (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando
(x+z3a)dx+(3z6a~1- 3 z 3a~1x)a dz =0 para que sea homogénea debe cu nplir:
59

1 - 3a - 6a —l = 3 a => a = ' reemPlazan<^° en *a ecuación
(x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du
(uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando
(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando
(u 2 + 1)dz + z(u + )du = 0 , separando las variables
dz u + 1
z
~Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du =c
U2 +1 J z J u 2 +1
1 2 x
lnz + —ln(w + 1) + arctgu = c , para u = —, z = y 3
2 z
y 3 1 ? ¿
se tiene: arctg-—= —ln(x +y ) +k
x 2
162) 2(x2y+ ^+ x4y 2)dx +x 3dy = 0
Solución
Sea z= x2y => x2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial:
2(z +Vl + z2)dx +x(dz - 2zdx) - 0, simplificando
2{z+ 4ü-z2)dx + xí/z - 2z¿/x = 0
de donde 2^1 +z 2dx +xdz = 0, separando las variables
dx dz _
2 — + —= ■■■■■■■■■, = 0, integrando
* Vi +z2
J 2— + f — = lnc => x 2(x2y +^ l +x 4y 2) = c
x Vl + z2
60
163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0
Solución
Lx : 2 x -4 y = 0 1
Sean > => Lx4fL2 =>3 P(xQ,y 0) e L x n L 2de donde
L2 : x +y - 3 = 0J
2x - 4y = 0 | * o = 2sea x = z + 2 , y = w +1, reemplazando en :
x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0
(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea
sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:
(w2 - 3« + 2)dz + (m+ 1)zdu = 0, separando la variable
— 4- . “ + *---- du = c => (j;-2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2
z t/ - 3w+ 2
164) (x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0
Solución
Sea z = x —2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación
(x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene:
(z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando
(z —l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables
(1- —)dz + 5dy = 0 ; integrando
z
z - ln z + 5 y - c , como z = x -2 y entonces: x + 3 y -ln |x - 2y| = c
61

165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
Solución
Lj : x - y + 3=0 1
L2 - 3x+y+l =0 ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿2 de donde
x - y + 3 = 0 ] x0 = - l
-» 1 * r =* ^ » sea x = z —1 , y = w + 2
3x + y + l= 0 J .Vo =2
(x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
(z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación
(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando
(1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando
(w2 + 2w+ Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables
dz u —3 r dz r u —1
— + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —-----------¿w = c
z w + 2w+ l J z J u2 + 2w+ l
2 2
ln z + ln(w+ 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde
«+1 «+1
2x+2
w y - 2 ------
w= — = ------ setiene y = 1- x + ce r+>’
z x + 1
166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0
Solución
Sea z = x + y dy = dz —dx, reemplazando en la ecuación
62
z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variable
dx + (z—l)dz = 0 , integrando J dx + J (z -)dz = c entonces
2
x +- - ~ - - =c porlotanto: 2x + (x + y - l )2 =k
167) y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0
Solución
Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación
y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene:
y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea
sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación
uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificando
u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando
dz 2u - J , r dz c 2u - 1 , , ,
---- h---- -—du = 0 , integrando — + —du■= c de donde
z 2u2 J z J 2u
2y ln y + sen x = 2cy
y y168) ((x-y)cos —)¿/x+ xcos —dy = 0
x x
Solución
y
Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
x
(x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0
63

(1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando
dx + x eos u du = 0, separando las variables
— + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c
x J x J
V V
In x + sen u = c, como u =— => ln x + sen —= c
x x
por lo tanto x =ke~SQnylx
y 3dy +3y2xdx +2x3dx =0
Solución
y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando
u3(udx + xdu) + (3u2+ 2)dx = 0, agrupando
(u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables
dx u3 ,
---- 1_—__——-----du - 0 , integrando
x u4+3u2+2
— U— -----du = c de donde c Jx2 + y 2 = y 2 +
J x J u4 +3u +2
ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0
Solución
udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =*0 , simplificando
2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables
2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du
-----h-------j=—du = 0 , integrando I — + ------—— = c
X u^lu J x J u J u3 2
2 [x
21nx + 21ni/H—j=r =c de donde lny - c - — entonces
Vw vy
y = entonces y e = k
171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular
bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto
de contacto.
Solución
Por dato del problema d = x0
Además mLt| = y' (x0) y la ecuación de la tangente es:
Lt : y - y o = mLt ( x - x 0)
65

Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y '(*o) = O por distancia de punto a recta
d ( 0 , L , ) J ^ =
VO’(
por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x0
y<t>xo/(xoÍ J
F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene:
- M * o))2+i
y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ simplificando
>’2 ~ * 2 —2xv;v'=0 de donde (y 2 —x 2)<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(u2x~ —x ‘’)dx —2x2u(udx +xdu) = 0> simplificando
(u -1 )dx —2u(udx + xdu) = 0 , agrupando
—(u ~ + l)¿¿r —2uxdu = 0 , separando las variables.
2w ^ a • * ^ f ,— + ---- du = 0 , integrando — + -------¿fa=lnc
* u 2 +l i x J u2 + 1
lnx+ln£/2-+1) = lnc => x(u2+ 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2+y 2 =cjc
x
Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente
en el eje OY, el radio vector es una cantidad constante.
Solución
o/(*o)|
o))2 +l
La ecuación de la recta tangente es: Lt y - y0 = m(x- x0), de donde
Lt : y =y'(x0) x - y '( x 0Kx0) +y 0
parax = 0, se tiene d1 = y Q- y '( x 0)(x0)
r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn)
además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene:
4 xo + y ¡
v - y 'x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx +y
i * 2 +jV2
(c-jx1 + y2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea
sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
(cJx2 +x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,
(c^l +u 2 -u)dx +udx + xdu = 0 , agrupando
67

c^l +u2dx+ xdu = O, separando las variables
= 0 , integrando cln x + ln(w + •/l+M2 ) = ln&
dx duc--4- - ^ ^
* é +u2
xc(u+*K+u2) =k dedonde y +^Jx2+y 2 - k x l c
x 2+y 2 =k 2x 2^~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde
. 1 / 1—(T 1 1+C
.. y = —k v ----x
2 * k
173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos
que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada.
Solución
dy , Á t a O -* ) + 4 7 2 + (i- * ) 2
— = tg^ = c tg 0 = -----------2-----------------
dx y
ydy-(l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7
--p— ■. ... = dx integrando ^ y + (l-jt)~ = jt + c, parax = y = 0, 1 = <
4 y 2 +(l - x ) 2
y = 4cjc
68
174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de
ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde
este punto al origen de coordenadas.
Solución
Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es:
L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)
ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0)
y x o)
J J X *0
de donde y = ----------- + ---------- 1-y 0
/ ( * 0) /(* » )
parax = 0, dx =—^-—+y0 además d2 =Jxo +
y'(x 0)
y l
como dx =d2 => ———+y0 =Jxo+.Vo »generalizando + y = -jx2+
y * 0) ' dy
xdx +(y--Jx2+y2)dy = 0 , es homogénea
y = ux => dy = u dx + x du , simplificando
(1+ w2 -u ^l +u2)dx+x(u-^ +u2)du = 0
69

dx U -V l + M2
x 1 +u2 -uV l + W^
du= O, integrando y reemplazando
y 1 / 2 Ku = —se tiene: y =—(cx — )
x 2 c
175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus
puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento
interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la
distancia desde este punto al origen de coordenadas.
Solución
Condición del problema x{)d = 2 d , la ecuación de la recta tangente es:
Ly - y - y o = y x 0)(x-x0)
ecuación de la normal es: LN : y - y 0 =— 7 7 — ( x - x 0)
/(* o )
x *o
l n '■y = — 77—
y (Xfí) y (*0)
para x = 0 => d, = ——— i-y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto:
y'(x0)
70
x0d 1 = 2d => x n( -X° +y(i) = 2(Jx¿ +y l )2, generalizando
v (jc0)
2 dx „ , 2 2
x — +xy = 2(x +y )
dy
x 2dx +( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
x 2dx +(x2u - 2 x 2-2 x 2u2)(udx +xdu) = 0 , simplificando
dx +( u - 2 - u 2)(udx +xdu) =0, agrupando
(u2- 2u - u3+)dx +x(u - 2- u2)du = 0 , separando la variable
dx u - 2 - u 2 „ . A t , y
— + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:
* u2- 2 u- u3+ x
71

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN:
ECUACIONES DE BERNOULLI
^ - +P(x)y = Q(x)
dx
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de
primer orden.
Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de
variable separable y su solución es dada por:
- f p(x)dx
y = ce J
si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su
solución es dada por la expresión.
Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma:
^ + p(x)y = Q(x)yn
dx
..(2)
donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial
lineal, mediante la sustitución.
i-«
72
Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes:
176) y ’+2y = x 2 +2x
Solución
La solución es:
y = e ^p{x]d ^ e ^ pix)dxQ(x)dx +c] ...( 1)
donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2)
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
- í 2dx r ' f 2dx 2
y = e J [ eJ (x +2x)dx +c] , efectuando la integral
y = e~2x[j e2x(x2+ 2x)dx +c]
y = e~2x[—— —- e 2x +—
-
1-c] por lo tanto:
2 4
2x2 + 2x
V= 4
177) {x2 + 2x-)y'-{x +)y =x -
Solución
/ 2 n , / , x + l JC—1
(x¿ + 2x-l)y'-(x +l)y =x - => y '— ----------= —----------
x + 2x-l x + 2x-
-p(x)dx r (p(x)dx
y = e J [ e J Q(x)dx +c]
-2 v
— + ce
- la solución es:
1
73

donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene:
x + 2 x -l x 2 + 2x -
- - — ^ ± — dx , - x -
y = e } x +2x-l r e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C]
J x + 2 x -l
iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , ..
y = e 2 [ e “i-------¿fo+ c]
x + 2x -1
y = V*2 + 2 * -l[f <X ^ ..y y dx + c]
J (x2+2x-l)
y =*Jx2 + 2x - l [ | ¿( X ; = )+ c], integrando
j ^ x 2 + 2x - l
y = a/ t 2 -4-?r -1 (— *
.
—- + <") por lo tanto: y = x +c ^ x 2 + 2 x -l
4 x 2 + 2 x -l
178) x ln xy'-y = x3(3 ln x - 1)
Solución
, 1 x2(31nx-l)
xlnx.y'-y = x (31nx-l) => y ---------v = -----------------
xlnx mx
p(x)dx f [p(x)dx T i j
como la solución es: y = e J [I eJQ(x)ax +c] donde:
1 x 3(31nx-l)
P(x) = — -— y Q(x) =
x ln x ln x
dx r dx
x '(:
Inx
_f— - f— x 2(31nx-l)
reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx +c]
74
y =e mnx)[j e -‘n(ln*> jr2(31nx Udx+c]
y = lnx[fí/(-^--) + c] => y = lnx(-^— + c)
J lnx lnx
por lo tanto: y = x 3 -f-clnx
(a2- x 2)y'+xy- a 2
Solución
/ 22^ » 2 . * # ^(a -jc Xy+xy = a- => y +—------ y =
a 2 _ x 2
como la solución es: y =e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c]
x a2
donde p(x) =— -----— y Q(x) =— -----—, reemplazando se tiene:
a - x 2 a2- x 2
-J -r -i* f ~2
y = e a x r 1*[ I V *2- '2 - - — dx +c]
J a - x
Un(a2-x2) r
y = e 2 [e 2— - -dx +c]
J a - x
y = ^ja2 - x 2[a2 f— -—— — +c] entonces
J (a2- x 2)3/2
y = 4 a 2^ x 2 ([d( ^ L = ) +c) => y = V«2 - x 2( ^ j L - ^ +c)
Va - x -la~ - x
por lo tanto: y = x + c ^ a 2 - x 2

180) 2xy'-y = 3x2
Solución
^ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = —
2 x ' 2
como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx +c]
1 3x
donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene:
2x 2
f dx r dx
= e 2x[je 2x — dx +c
1,—lnx ^ — lnx r— j r r—•
y =e 2 [Je 2 xdx +c] => y =^Jx(—j^ x d x +c)
y =-Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx
181) (x +)dy-[2y +{x +)*]dx =ti
Solución
(x +)dy ~[2y +(x +)A]dx - 0
dy 2
dx Jt+ l
V= (jc-hl)3, como la solución es:
’=e ~ ^ x)Jx[ J P^ dxQ(x)dx +c]
donde P(x) = — — y Q(x) = (.v+ 1)3
x + 1
76
f 2</r r 2¿r
reemplazando se tiene: y =e x+l[je x+l (x +l)3dx+c]
y =e2ÍBix+l)[je-mx+l)(x+l)i dx+c]
y = (x+ 1)2[J (x+)dx+c] = (x+1)2 +c)
, (x + 1)^ t
por lo tanto: y =— ■— +c(x +l)2
182) / = ---------- L -----
xsen>> + 2sen 2y
Solución
1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = -----------------------------
x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2sen 2^
- ¿/je
— = x + sen>>+ 2sen2y = > ----------------(sen y)x = 2sen 2v
«V úfv
la solución es: x = e
de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene:
f sen v’rfv f f sen yrfy
x = e J [J e J 2 sen 2ydy +c]
x =e cos>'[4j ecos>’sen ycosydv +c]
x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s e * * y + c ] => x = 4 ( l -e o s >■) + « > -cosv
por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1'
77

183) y'-2xy = 2xe*2
Solución
y =e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx +c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex
- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2
reemplazando se tiene: y - e J [ei 2xe dx +c]
y =exl [^2xdx +c] =e * x 2+c) por lo tanto:
y - (x2 +c)ex
2
x 3 —2
184) x(x3+ l)y'+(2x3 -l)y = --------
Solución
x 2—2
x(x3+ l)/+ (2x3+ l)y = -------- dividiendo entre x(x3+ 1) entonces:
y'+ — -r——y = , ecuación lineal en y, la solución es:
x(x +1) X (x +1)
y =e p<x)d* d e p{x)dxq(x)dx+c] donde />(x)=-^y— y ?(*) = 2 3
J x(x +1) x (x + 1)
f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3
reemplazando se tiene: y = e +1) [fe r(< " * • ^— dx +c]
J x 2(x3+l)
y = e
, jr3+l . , *3+l. , 3
-ln------- r ln(-------) (x - 2) ,
[i e x ~ 2— í----- dx +c]
J x 2(x3 +l)
78
* r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c] = - y — (x + — + C)
x J +l J x3 x 3+l x 2
ex
por lo tanto: y = ——- + —
x +1 X
185) y'+y eos x = sen x eos x , y x_0 =1
Solución
y =e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx +c] donde: p(x) =cosx y q(x) =sen x eos x
. . . - Ieos xdx f í eos xdx
reemplazando se tiene: y = e J [ e J senx eosxdx + c]
y = e~*enx[J esenx sen x eos xdx +c]
y = e~'senA[senxesenv- esenA + c] y = se n x -l + céTsenK
para x = 0 , y = l = > 1 = 0 —1+ c entonces c = 2, por lo tanto:
y = 2e~scnx + sen x -l
186) x ln * /-(l + ln x)y +^ ~Jx(2 + ln x) = 0
Solución
xlnx.y'-(+lnx)y+~ (2+lnx) = 0 , dividiendo entre xlnx entonces se tiene:
1+ lnx (2 + lnx) .. i i
y _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es:
xlnx ' 2^¡xlnx
79

y = e ^p{x)<L e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - —
J xnx 2-Jxlnx
r l+ln.v f 1+ln.r
_j — d.x r I—— dx 2+lnx
reemplazando se tiene: v = e ' lnt [- e vlnx — j=-----
J 2Vxlnx
y =eln(vln-*,[- fe [n{xAnx) .dx+c]
J 2^1x Inx
^ = x.ln x[- f —^ ^n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—=------)+c]
J 2V xxlnx J 4 x n x
y =x. In x(-jJ--+ c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x
-v/xln*
187) 3xy'~2y =—
y
Solución
x 3 , 2 x 2
y
3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli
•2 3x 3 v
¿/v 2x 2 _2 w. r , , 2
—--------y = — y multiplicidad por y
dx 3 x ' 3
2 __3 = * 2
dx 3 x ’ 3
sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene:
' dx dx
L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal .
3 dx 3x 3 dx x
1 dz 2 x dz 2 _ i
dx +c]
80
- f --dx c f -dx
cuya solación es: z - e x [e x x~dx +c] entonces:
'[Jífr + c]z =e 2lnx[ dx+c] => v3 = x y +cx2
188) 8xy'-y = - 1
yl)x +
Solución
o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p=^L_1 entonces —--------v = ----------y^— , ecuación de Bernoulli
y^Jx + 1 títe 8x %xylx + l
multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v4 = - - *
dx 8x ‘ 8xa/x+T
seaz = y 4 entonces — = 4^ 3— , reemplazando en la ecuación se tiene:
¿/x ' dx
dz 1 dz 1 1 ., ..
— —— — z = ------7= = -~ => —--------z =
-
7= , ecuación lineal
4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l
f ^ f ¿r ^
cuya solución es: z = e 2*[ - 1e 2* -----........+ c]
J 2xvx + l
—lmr /• ln.r
z - e 1 [ - e 2 ----- - + c] entonces
J 2xVx+l
z = V x [-f—j J ^ j = +c] => Z= -Vx[frf(^ ^ )+ c]
J 2V*W*+1 J V*
’= V^(—7=~ +c) = por lo tanto:v4=4x++c^fx
Vx
81

189) (Jty+ x 2y 3)y'= l
Solución
(xy + x 2y 3)y'= l => (xy +x 2y 3) ~ =
dy 1 dx 2 3
— = --------—— entonces — =xy +x y
dx xy + x y dv
-xy = x2y 3 multiplicidad por x-------- ->
dy
-2 dx - 1 3 -1 v-2 dx
x ----- yjc =y , sea z =x => — = -x —
dy dy dy
— - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es:
dy ^y
r f , zi
^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e '2 [-Je V ^ + c l =>
_zl ¿ ¿
z = c 2 [- y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:
190) / - y = 2*e*+x2
1 2 "T—=2- y +ce 2
Solución
Como y = e ^/(r)í/r[ |e ^ (v)í/X^(jc)dx+ c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*
Reemplazando se tiene: y = e ^ [Je^ 2xev+v dx +c]
82
y = ex[j2xex dx+c] entonces y =ex(ex +c)
por lo tanto: y = ex x + ce
191) xy' =y + x2senx
Solución
2 dy 1 .,
xy = y +x sen x => —----- y = xsen x , ecuación lineal
dx x
la solución es: y = e
r dx r dx
y - e x [f e x xsenxdx +c]
y = elnx[j e~lnxx sen x dx+c] = x(- eos x +c)
por lo tanto: y = -x eos x + ex
192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)
Solución
x2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli
x
multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~x
x 2
sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando
dx
+2xz=— -— =>-----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es:
dx x2 dxx2
83

- f - 2 xdx f [-2 xdx (l + 2 x 2 )
Z —e J I—I pj ------ 4----
r r -2xdx (l + 2x~) , _
[ - U J ----- -dx +c]
J X
= ^ [- j dx +c] = e"2[J r f ( ^ - ) + c]
1 1 *2por lo tanto: —+ —+ ce
y *
2 2 2
x - y - a
Solución
2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx1__ y 2 +a2,
y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x
x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y
. . dx 2 v2 + ¿z2
multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ -----
y dy 2y 2y
0 dz dx . dz y 2+ #2 , A A
sea z - x => — = 2x— , reemplazando ——— ——z = ----- ----- de donde
dy dy 2 dy 2y 2y
1 cuya solución es: J « y'*«,)dy+c] donde
dy y y J
1 2 + a 2
p (y) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene:
r J v y +a
[-le y - -------- dy +c]
J v
2 2 2
:= eln;l'[-1 —
-
—- dv +c] = y ( - y +— +c) entonces
J y 2 ' ' y
84
z = - y 2 +a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy
194) 2 senx.y'+y eosx = y 3(x eosx - sen jc)
Solución
2 sen x ./+ y eos x =y 3(jc eos x - sen x) de donde
dy c tg x 3, x eo s*-sen* ..,
— + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli
dx 2 2 sen*
multiplicando por y 3 se tiene: y 3— + c ^ x y 2 —j [cosx_senx
dx 2 2 sen x
sea z = >,-2 =* — = -2y~3— reemplazando - 1 ^ +£ÍMÍZ=£ £ £ ? Í Z ^
dx dx 2 dx 2 2senx
dz
—— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es:
dx
--cX%xdx f f-rtgjr dx
z - e f J e (xctgx —X)dx+ c]
_ lnsenjc«- f -ln sen jr/ . n
z - e [- e (xctgx-l)ax + c]
_2 r fx c o sx -sen x ,
y = sen x[-1 --------- -------- dx +c] entonces:
J sen x
—2 XX
y = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) por lo tanto:
sen x sen x
l
— = x + c sen x
85

Solución
3x2 dx x3+y + l , , ,
y'=----------- => — = -------— de donde
x3+y +1 dy 3x
- —x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli
dy 3 3
2 . 2 <^X 1 2 V+1
multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = —
2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 V+ l
sea z = x => — = 3x — reemplazando -- - z = ——
tfy dy 3 dv 3 3
de donde-----z = y +1, ecuación lineal cuya solución es:
dy
z =e ^ dy[je^ dy(y + l)dy +c]
z =ey[je y(y +l)dy+c] => x3 =e-'[~e v(y +l)-e y +c]
por lo tanto: x3 = - y - 2 +cey
■ X+ 2 _ d - * V
^ je2H-a:-I-1 (x2+Jf+ l)3/2
Solución
Multiplicando por y 2 se tiene:
•*+ — /t 2
y“V + ^ — — y ~ l = — — * 3/2 —d)
JC + *+1 (JC + *+ l)3 2
1
sea z = y 1 => — = -y 2yV reemplazando en (1)
dx
dz 2x + l - x 2
dx 2 (jc 2 + jc +1) ( x 2 + jc +1)
dz 2x +l x2 -1
3/2
^ = —i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es:
dx 2(x2+x +l) (x2 +x +l)3/2
r 2x+ c 2x+
z. (*2 -D ^ +c]
J (x2 + * + i )3/2
—lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2-l)
z —e * [e —i----------ttv dx +c]
J (x2 + x + d 3/2
2
z^-Jx2+jc+ l[f—— ----^-— dx+c] =^lx2^ x +l[[-d (———-----)+c]
J (x2+* +l)3/2 J JC2+JC+1
Z=4 x 2 +JC+1(----- ----- +C) = ----j-..* +Ca/x2+JC+1
jc + jc+ 1 V*2+x + l
-i x n
y = — p- 7+c^x +jc +1
^ x 2+x +l
m 3 y ^ ^ L - - L ^ - f >
X(x~ —ci^) y 2 x —a~
Solución
87

, 2 . x2+a2 1 *(3jc2 - g 2)
Multiplicando por y ¿ se tiene: 3y y + ^ >' “ ^2 _ a 2
sea z = y 3 => — = 3 y 2 y al reemplazar se tiene:
djc
ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es:
_r_£±5l_rf, , f x?fl ~<favnvJ-flJl
■ í *(**-*) [f e ^ -^ - d x +c]
j JC - f l
ln_ ^ f fln¿±íl) ^3,2- fl2)
z = e ¿ - ' [ W / 'dx +c]
J x - ax “- a
z =- ^ [ O x 2 - a 2)dx +c) =^ - T[xi - a 2x +c]
x 2 - a 2 3 x -a
2 2 CX
por lo tanto: y -x + _fl2
198) (l + x2)y' = xy + x 2y2
Solución
2 —2 , x—1 X
y__ £ _ y=— y2 multiplicando por y se tiene: y y - ^ r ~ i y— y — — — _ y u i u n i p u v a u u u p v i j o w i , v u v . y ./ 2 J 1 . y 2
1+JC2 1+x2 1 *
2
sea z = y -' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal.
dx d* l+x l+x
- [ - 1 —dx , f - A r * v;2
z = e ¡ ,+x2 [fe 1+jr (------- T)dx +c]
j 1+ JC
88
z = e 2
——ln(l-f-Ar2> r iln (l+ ^ 2)~ 2
M e 2 ---- 7¿*+c]
J 1 + jc2
1 r jc2
= .-■■■■■■.[-dx +c] por lo tanto:
4i+ 7 J
i i
(- —Vl + x2 + —ln[x + Vl + x2 ]+ c
A f - ±<*+»V1 + jc 2
Solución
_2 2 y 1 ?
Multiplicando por y se tiene: y" v'+—— = — (jc+1)
1 + jc 2
sea z = y “1 => — = - y ”2y', reemplazando en la ecuación:
dx
— = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3, ecuación lineal cuya solución e
¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2
¿x c dxr dx f dx
z= e J l+x[ je J ,+x ~ (x +l)3dx +c]
z = e ,n(,+*)[fe-'n(,+x>± (l +x)3dx +c]
z = (1 + x)[J + ^ dx + c] por lo tanto:
1 +— = — ——+ c(l + x)
V O

200)
201)
(x 2 + y 2 +1)dy +xydx =0
Solución
xy — + x2 + y2 +l = 0 =» — +—x = - x 1, ecuación de Bernoulli
dy dy y y
dx 1 2 y +1
multiplicando por x se tiene: x — + —x = ---------
dy y y
sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación
dy dy
1 dz 1 y2+1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------), ecuación lineal cuya solucion es:
2 ¿y y y dy y . y
¿/y+ c]
z = e- ^ y [_2 ¡e m y ( ^ - — )dy +c] => x2 = - ^ f " 2^ + + c]
J v v 4 2
por lo tanto:
/ =
2y lny + y-jc
Solución
¿/;t _ 2xlny +y - x
dy x
— + L x =2ny +l, ecuación lineal cuya solución es:¡
dy y
90
- J - f J -
z = e v fj e y (21n y +)dy +c] entonces:
,z ~ e ln) [J elnv(21n y +Vfdy +c] =$ x = —[J (2y ln y + y)dy + c]
Q
por lo tanto: x = y ln y + —
202) x(x - l)y’+y = x 2(2x - 1)
Solución
1 (2jc -1)
^+~ (--ñ^=---r x’ecuaci°nünealcuyasolución es:— 1J X ~ X
r dx r dx
y =e 4*4) [ í j ^ ) x< ^I± )d x + c]
J x - l
1/ x X , JC—1
jc-T rf T / 2 x ~ l wy = e x 1 [je x x(— — )dx +c]
J x - l
y = - ^ — [(2 x-l)d x +c] => y = - ^ —(x2 - x +c)
X - l J x - l
por lo tanto: y = x 2 +-
x - l
.2 , CX
x - l
•*W) y'-y tgx = sec;c, y|^=o=0
Solución
- f - t g xdx f f-tgjxdx
y = e e J sec xdx +c]
91

204)
205)
eos X
y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxdx +c] entonces:
Csec x
y = L .x x ( ------ dx +c) =secx(x +c ) , parax = 0 setienec = 0
l sec x
X
por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = -
y' eos y +sen y = x + 1
Solución
Sea z = sen y => — = eos y.y' , reemplazando en la ecuación:
dx
+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es:
dx
z - e ^ [je^ (x + l)dx +c] => z - e *[Je* (x + l)dx +c]
por lo tanto: sen y = x + ce'
y'+ sen y +x eos y + x = 0
-x
Solución
y y 2 y 2 y
Sea sen y = 2 sen —eos —, eos y = eos —- sen —
2 2 2 2
y y i y 2 y ^
y '+2 sen —eos —+x e o s ----xsen —+ x = 0
2 2 2 2
y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —-x ( l- e o s 2 —) + x = 0 , simplificando
2 2 2 2
92
/ + 2 sen —^os —+ 2xcos2 —= 0
2 2 2
2 y y
sec “ —y1’+2 tg —+ 2x = 0 entonces:
2 2
sea z = 2 tg— => — = sec2 —.y', reemplazando en la ecuación:
2 dx 2
dz
— + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es:
dx
z - e [-2^e^‘lXxdx +c] => z = e~x[-2(xex - e x) +c]
2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x +l
206) / - - ^ = é>*(l + x)'1
x + l
Solución
- f ——<¿r /• f——dx
y = e ' x+l [I e x+l ex(l +x)ndx +c]
y = e-ninu+DeX(i + Jc)»í¿c+ c] entonces:
>- = (x + l)"(c-t +c)
’07) |V(ctt)¿/a =ny/(x)
Jo
Solución
93

Jii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n¡/(x), derivando:
1 ex 1 f x V ( x ) ,/ x
— ir{z)dz = n¡f{x) => — •lf(z)dz + ny/(x)
x Jo X Jo x
como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x)
Jo X2
(1-« ) , y /'( x ) _ - n
¥{x)L - - =n¥ {x) entonces: —
integrando ln(y/tx)) = ln x.(-— ) + In c
n
i-n
ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) =c.x n
- x 2 2
y'+xsen2y = xe eos y
Solución
2
y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x
sea z = tg v => — = sec1 xy.y reemplazando se tiene J- + 2xz =
dy “X
z = e~i2xáx j J 2xdxXe~x~dx +c entonces tg y = e~x [Jxdx +c]
xe~x - x 1
por lo tanto: tg y = —-— + ce
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las
ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas.
209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo
Solución
-f-2xdx f f-2xdt
v = e J [I eJ (eosx-2xsenx)dx +c]
y = eA [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:
y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y =e x (e x senx + c)
. x2
y = 3sen x +ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando
x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x
210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo
Solución
, 1 senV*+cosV* ., ..
y -----t=y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es:
2v* 2V*
_e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e
f,l^ ~ V £ ± c o w «
1 i4 x
J 2Vjc
y = e^[J</(e“^cosVx) + c] => y - eos~Jx+c)
y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando
x-H -ao= >c = 0 por lo tanto >■= eos Vx
95

211) ln 2 = 2senx(eos x -1) ln 2, y es acotada cuando x -*+oo
Solución
y =e- - la2<lx[j J - ln2dx2senx(c o sx -l)ln 2 dx+c]
y = exln2[ je - xla22seBX(eos x -1) ln 2 dx + 1]
y = exla2[j d (e~x]n22ieax)+ c]
y = exln2(e~xln22senx + c) => y = 2senx +cexln2
como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0
por lo tanto: >' = 2sen'
212) 2x2y'-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo
Solución
1 2xcosx-3senx
y ------y = ------------ ---------
2x 2x
- f f f t 2xcosx-3senx ,
y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]
lnjr lnx
— r —t- 2xeosx-3senx
v = e 2 [ e 2 (--------------5--------)dx +c]
J 2x
/— r sen x /—^sen x sen x r~
y =J x []d (-jjY )+ c ] => y = 'Jx(—^jY+c)= - +cV*
como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0
96
por lo tanto: y = -~n *
, sen 2 x
y senx - y eosx -------- -— , y —>0 cuando x -> oo
x
Solución
. * sen x
y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es:
x
-j-ctgxdx f j-ctgxdx senxv ,
y = e J [ e } (-r~)dx +c]
J x ¿
.. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSX
y - e L“ J e (— Y~) * + entonces:
J x
„ f dx i senxy = senx[-J — c] => y = — — + csenx
como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0
por lo tanto: y =
senx
(1-fx 2) ln(l + x 2)y'-2xy = ln(l +x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo
Solución
dy 2x 1 2xarctfíc
//v ,1 . 2x, * 27^ — 2“ ~ ---------r »ecuación lineal, la solución es:
dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x )
f - 2 x d x f -2 a ¿v
v = í? MMbO+j:2) rf J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgx
J 1+x2 (l+ x2)ln(l + x2)

= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c tg y x + c,j
j (l + x 2)ln(l + x - ) (1+ x )ln(l + x )
y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c]
•> ln(l + x )
n,r arctgx ,
y = ln(l + x )[------^ + ^1
ln(l + x )
y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c
por lo tanto: y = arctg x
215) y' - exy = -y se n —-e* eos—, y —>2, cuando x —>-oo
x * x
Solución
= ^ f e dx[J e^ sen —-e* eos —)dx +c]
y = e€ [[e~e (-^-sen —-e* eos —)dx +c]
x 2 * x
y = keJ d ( e ~ eX cos^-) + c] => y =ee [ e e cos^ + e]
y = eos —+ ce6 cuando y ->2, x -> -oo
x
1
^ - eos —
c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto:
1
y = e -heos —
x
98
216) y '-y ln x = -(l + 21nx)x *, y -* 0 cuando x-»+qo
Solución
- f - ln.v f í-lnjrár
y = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx +c]
y =exlDX-x[ - ¡ e x~xln*(1+ 2 Inx)x Xdx+c]
y = x xe~x[-J e x(1+ 2 ln x)x~2xdx+c]
y - X xe~x[jd (exjc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)
y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0
por lo tanto: y - x~x
99

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR
in t e g r a n t e !
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1)
Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de
una función u(x,y)
du du
Mdx +Ndy = du = — dx +— dy
ox oy
la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial
exacta es que se cumpla la condición.
dM dN
dy dx
... (2)
La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien.
í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c
Jx0 Jy0
... (3)
En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación
diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer
miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:
du = u Mdx + u Ndy ... (4)
Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se
tiene:
duM d Ar A . . K1duA du.dM dN.
------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u
dy dx ox oy oy ox
consideremos los siguiente casos:
100
Primer Caso.- Si u es una función solo de x.
r: f ^u dM dN du
Entonces: — = 0 => u(------------) = N —
dy dy dx dx
du i M N du 1 dM dN J
— - — ( ) de donde — = — (—-----—
dx N y x u N dy dx

ln u = J f(x)dx => u = e¡ f {x)dx
Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:
dU . . ,dM dN ^ t r du
— = 0 luego m(—-------— ) = - M —
ox dy dx dv
du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , J
dedonde v = _ ¥ (1 7 “ &"Mv = g(v)^ ’ mtegrand0
lnu = g (y )d y =» u = J sWdy
Integrar las ecuaciones.
217) x(2x2 + y 2) +y(x2 + 2y2)y'=0
¡M = x (2x 2 + y 2)
[N =y (x 2 + 2y2)
Solución
dM
dy
dN
dx
= 2xy
= 2xy
Luego
dM _ dN
dy dx
la ecuación es exacta
101

218)
df(x,y) df(x,y)
» 3 f(x ,y ) tal que v. • =M y
Sx 5v
d/fo-jj. = x(2x2 + y2) integrando respecto a x.
cfcc
4 2 2
f( x ,y ) = j x ( 2x 2 +y 2)dx +g(y) = ^ + ~ - + g(v), derivando
- x 2y +g '(y) = N entonces x2>y+ g'(v) —y(x + )
5v
g ’(^) = 2^3 => g(y) = + c , reemplazando en la función
f( x ,y ) = — +^—^ +— +c porlotanto: x* +x~ y 2 +y
2 2 2
(3x2 + 6xy2)dx+(6x 2y +4;y3)dy = 0
Solución
m =3x2 +6xy2
[N = 6x 2y +4 y ì
= 12xy
d M _
dy
8N 10
— = 12xy
. dx
Luego = la ecuación es exacta
dy dx df(x,v) , , df(x,y)
Entonces 3 /(x , v) tal que — ^ - — =M y — = N
y) _ 2x 1 +6xy2 integrando respecto a x.
dx .
102
f( x ,y ) —-V3 +3x 2y 2 +g(y) derivando respecto a y
df(x,y) á 2 , , r
— ----= 6x y +g (y) = N
dy
6x y +g'(y) = 6x 2y +4 y3 entonces g'(y) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c
f( x ,y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x*+ 3x2y 2 + y 4 =k
2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - ('
V* + / x y 4* + y y y '
Solución
x 1 1
M = ■.— = + —+ —
^
y i X_____ i_ __
■yfx2T y 2 y y 1
xvdM
dy (x2 + y 2)3/2 y 2
xy
T dM dN 1
Luego ——= —- la ecuación es exacta
<7y dx
Entonces 3/(x,_y) tal que df{X' y) =M y Q B g É . = n de donde
ox dy
àf(x,y) _ x 1 1
3x Vx2 + y 2 * .V
integrando respecto a x.
f{x,y) f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ +y 2 +lnxH----------h g(y), derivando
J r + v¿ x y yJ Vx2+ y2 * >
3/(x,y) _ y
=— +g'(y) = N
103

220)
^jx2 + y 2 y
r +«'CK) =
1 X
r+ ------
J 7 + 7 y y
g'(y)
= i. => g(y) = lny + c', reemplazando en la función:
f(x ,y ) = J x ^ + y ^ +lnx+ —+lny+ c por lo tanto
J x 2 + y 2 +ln xy+— =k
v ' y
(3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0
Solución
2 2/M = 3x tg y -----—
x
1 3
N = x 3 sec2 y + 4y3 h
dM ~2 2 6y
-----= 3x sec y ------ r-
dy x
dN , 2 2 6.v2
----= 3x sec y ------ y
dx x
Lueg0 la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
Qf(*>y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x.
a* x3
f( x ,y ) = ( 3x 2t g v - ~ - ) d x +g(y) = x3 tg y + ^ y + g(y), derivando
¥ ( x ,y ) 3 2 3y,, „ Ar
— ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV
oy x
3 2 3 2
x3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces
g ’(y) = 4y3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:
/( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto:
x
3
3 4 V ,
x tgy + y + ~ =k .
x
221) (2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^
x 2y xy2
Solución
M =2x +
x 2 + v2
x 2y
N = -
x 2 + y 2
A^2
rW 1 1
■—+ —r
y x-dy
d N ____I_
ax " / + x 2
dM dN t
Luego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 / 0 , y) tal que—- = M y —■ = A/- de donde
ox
d/(x,y) x 2 + y 2 .
—------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene:
S* x y
/• ^ | y ^ y
f(x ,y )= (2x+ ---- —— )dx+g(y) = x 2+ -----—+ g(y), derivando
x y “y x
105

dy y x
X 1 X 1
•—r--------------------------------------------------------------------------------- f-g' (y) = ---- ----------entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando:
j '2 * v2 *
f( x ,y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto:
.V x
2 * V
x + ------- --=k
y x
sen 2x sen2x x , .
222) (—------ + x)dx +(y — —x— )dy = 0
y y
sen 2x
M = -------- + x
N = v -
sen2 x
Solución
dM sen 2x
dy y 1
dN _ 2 sen x. eos x sen2x
dx y 2 y 2
dM dN
Luego -----= ----- la ecuación es exacta.
dy dx
Entonces 3 /(x , y) tal que =M y ^ - = N de donde
dx dv
df (x, y) _ sen 2x
5x
+ x integrando respecto a x
sen 2x
+ x)ífr + g(.y) = -
cos2x x .
---- — + _ + g^y} ^ derivando
2y 2
dl ^ ^ + g<(y )= N
dy 2y 2
106
223)
— — +g W = y -------—
2y 2 y 2
eos 2x sen2 x
,, . sen2 * eos2 x sen2 x
g (y) = y -------- ^-------------- 5 -+ —
y 2 2y2 2y2
8'(.v) = y ------r => g(y) = +-^- +c, reemplazando en la función
2 v 2 2y
/( x , v)= - ^ +iL + X + > - + t;-=--COS X+ Sen~JC+ f _ ± Z l + _ L = ^
2_y 2 2>> 2 2y 2 2y
1 sen2 jc x 2 + y2 1
2 y + y
i---- 1-----= fc
2 2y
por lo tanto:
sen2 x x 2 + y2 . ,
--------+------ =---= k
(■•-— +2x y - —)dx +(-Jl +x 2 + x2 -nx)dy = 0
Vl + * 2
M = - A = +2xy - y
Vi + x
+ x 2 + x 2 -ln x
Solución
SM x
+ 2x-
^ ^/l + x 2
a v x , i
— = - 7= + 2 x —
^ “vi + x 2 x
dM dN ,
Luego ——= —— la ecuación es exacta, entonces :
dy ñr
3 /(x , tal que — ■*»^ = Af y = TV de donde
ese dy
107

ñ —— X_V----1-2xy—— integrando respecto a x se tiene
' *
f( x ,y ) = y-jl +x 2 + x2y - y ln x + g (y ), derivando
Qf(x' y ) =-y/l + x 2 + x 2 -ln x + g'(y) = N
dy
-Jl+~x* + x2 -ln x + g '(y ) = Vl + * 2 + x 2 -ln x
g'(y) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función:
/(x , y) = yV1+ x 2 + x 2y - y ln x +c , por lo tanto:
y j l +x 2 + x2v - y n x = k
xdx+ydy + xdy - vdx _
■p- + y 2 + *2
Solución
agnlpando
+.V2 *
d (J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término
v ' x
|d (^ /x 2 + y 2")+ Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c
(sen v+ ysenx + —)dx + (xcos y -co sx + —)dy = 0
r x y
Solución
226)
M = sen y + ysen x + —
x
N = x eos y - eos x + —
7
dy
dN_
dx
eos y + sen x
= cosy + senx
dM dN ,
Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces :
dy ¿k
3 /(x , y) tal que d^ x' y) =m y S Í J ^ I l = N de donde
dx dv
df(x,y) 1 .
= sen y + y sen x + — integrando respecto a x.
OX X
f ( x>y) - J(seny+y senx+ + g(y) =x seny —y cosx+lnx+g(y) derivando
df(x,y)
dy
= x co sy -co sx + g ’(y) = N
x co sy -co sx + g'(y) = x co sy -co sx + —
y
g'(y) =— => g(y) = lny +c reemplazando en la función:
f ( x ,y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto:
x sen y -y c o sx + ln(xy) = £
y + senxcos xv . , x
------------ -ax +(------------- -----+ seny)dy = 0
eos xyeos2 xy
Solución
109

M =
y + sen x. eos xy
eos xy
N = 2
eos xy
+ sen v
-----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xy
dy
SN 2 o 2 t
— = sec xv +2xy sec xy. tg xy
dx
dM dN , ., .
como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta
dy dx
entonces 3 f(x ,y ) tal que y ■ - N de donde
dx dy
df(x, y) y+ sen x.eos xy
dx eos2 xy
integrando
/(x,y ) = J(ysec2xy + senx)dx + g(y) = tgxy-cosx+ g(y) derivando
df(x,y)
dy
= xsec xy +g'(y)= N
xsec2 xy + g ’(>>) = -----:— + seny
eos2 xy
g ’(y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función:
f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto:
tg*y -c o sx -c o s y =k
228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1
y y>
X
Solución
110
. dM dN
Luego ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces:
dy dx
df (X y) y + sen x eos2 xy .
dx
integrando respecto a x se tiene:
eos xy
f ( x,y) =J (js e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -co sx + g(y) entonces:
¥{x,y)
dy
=x sec xy +g'(y) = N
9 X
x sec xy + g' (y) =---- -— + sen y
eos“ xy
g ,(j) = sen>; => g(y) = -c o sy +c reemplazando en la función
f(x , y) = tgxy-cosx-cos.y + c , por lo tanto:
tg xy - eos x - eos y =k
[n eos(nx +m y)-m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O
Solución
[dM
M = ncos(«x+ my) - msen(rax+ ny)
N =mcos(hx+ my) - nsen(wx+ny)
dy
dN
dx
■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny)
=-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)

230)
como = — - la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que dí ^ x,y) = M y - = JV de donde
cbc
— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i ene
dx
f(x , y) = J[n cos(mx + m y)-m sen(ms + ny )]dx +g(y)
= sen(nx + my) + eos(mx + ny) + g(y), derivando respecto a y se tiene
fo.Zl = cos(nx +my) - n sen(mx +ny) + g' (y) = N
dy
m eos(nx + my) - n sen(mx + ny) +g'(y) = m eos(nx + ny) - n sen(mx + wy)
g'(j;) =0 => g(y) = c reemplazando en la función
y ) = sen(nx + my) + eos(mx + «y) + c , por lo tanto:
sen(nx + wy) + eos(mx + wy) = k
xdx +ydv +( 1 + ^lL ).(yd x - xdy) = 0
^í(x2~+v2)( - x 2 - y 2) y J y 2 - x 2 -v"^í^?~+y2)^ l- x 2 - y 2) y j}
Solución
xdx+ ydy
J ( x 2 + y 2) ( l- x 2 - y 2) y j v 2 - x
+ (— __ + — r-).(ydx- - xdy) = 0
d(^x2+ y 2 ) [ ydx-xdy ^ _x/v (ydx-xdy)
-Ji—(x2 + y 2) y^Jy —* v2
112
d(arcsem/x2+ y 2)+ d(aresen—)+ e ' vd(—) = 0, integrando término a término
y y
d(arcsen J x 2 + y 2)+ fd(arcsen —)+ íe x/yd(—) =c
J y J y
aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ eJf'/<v = c
y
231) (—sen-------eos —+1)dv+ (- eos - -------- sen —+ -^r-)dv = 0
y y x 2 X X X v2 y y 2 ’
Solución
1 x v y . m 1 X
=—sen----- “ Cos—+1 ----= — -sen -
y y x 2 x dy y y
1 „ y X y 1 dN_ 1 X—cos------ -sen—+—
X X y 2 y y 2 dx~"
_sen
y v
y x2
1 y y y
eos—h——sen—
x x x
x x 1 y y y
— eos------- eos^ + -~ sen^
v y x x v3 jt
5M fflV
como ——= —— la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que =M y d^ * ' y) = N de donde
dx dy
dx
1 X y
—sen —
y y x 2
1 X y
í—sen—-- - ~ c
y y X2
,z.x
y
df(x,y) x x 1 y
---------- ~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = Ndy y y x x
113

x x 1 y . 1 y x x 1
---- -sen —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5-
v2 V x x x x v .V J'
g'(y) = -
y
g(y) =
-
+ c reemplazando en la función
x y 1
f(x, y) - - eos —+ sen —+ x ---- + c , por lo tanto:
y x y
V-------- x 1
sen---- eos —+x —- = k
232) y(x2 +y 2 + a2)dy+x(x2 + y 2 - a 2)dx =0
Solución
dM
M = x(x2 + y 2 - a 2)
N = y (x 2 + y 2 + a2)
dy
dN
dx
= 2xy
= 2xv
dM dN . .. ,
Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces:
dv dx
3 f(x,y) tal que = M y — = N de donde
dx
df(x,y)
dx
= x(x2 +y 2 - a 2) integrando respecto a x se tiene:
f x A x 2v 2 a 2x 2
f(x ,y ) = j x ( x 2 + y2 - a 2)dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando
df(x,.v)
dy
=x 2y +g'(y) = N entonces: x ¿y +g'(y) = y(x2 + y2 +a2)
114
y4 a 2v2
g'(y) =y + a2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función
. x 4 x 2y 2 a 2x 2 v4 a 2y 2
f( x ,y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c
4 2 2 4 2
por lo tanto: x 4 +y 4 +2x 2y 2 - 2a 2x 2 + la 2y 2 - k
233) (x 2 + y 2 +)dx-2xydy = ti, n =<p(y2 - x 2)
M - x 2 + y 2 +1
N = -2xy
dM
dy
dN
dx
Sk>lución
= 2y
= -2v
, dM dN ,
Luego ——* —— la ecuación no es exacta
dy dx
Sea = = =
N y dy dx - 2xy x
2dx
u = e
(x + y 2 +l)dx— —dx —0 ósea M = +~ - +-^— entonces:
* * x 2 x 2
dM 2y
dy x 2
dM dN ,
como——= —— la ecuación es exacta, entonces:
oy dx
115

234)
3 f(x,y) tal que íO ílZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando
dx dx x x
f( x ,y ) = x - —----- -+ g (v ) derivando - - = - — + g' (v) = N entonces:
x x dy x
-?^L+g'(y) = => g'(y) = o => g(y) =c reemplazando en la función
x x
y2 1
.f(x, y) = x - ~ --------+ c , por lo tanto:
x x
y 2 - x 2+1 =kx
( - x 2y)dx+x (y - x )d y - 0 , n = <p(x).
Solución
M = - x ly
U = x 2(y -x )
^ = - * 2
dy
dN . 2
— = 2.W-3.V
dx
dM dM ,
como -—- * ----- la ecuación no es exacta.
dy dx
_ n . 1 .dM dN
Sea f( x ) = — (— " — ) = 2
N dy dx x ' ( y - x ) x ( y - x )
, multiplicando a la ecuación diferencial
... , 2 ¡f(x)dx 1
f( x ) = — => y = eJ = —
X X
-¡j- (1- X2y)dx +(y - x)dy = 0
116
M = - y - V
x 2 ’ =>
N =y - x
dM dN
dM
dy
dN
dx
=-1
= -1
como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces
dv dx
3 f(x,y) tal que - m y = N de donde
dx dv
df(x,y) 1
dx x 2
■y , integrando respecto a x se tiene:
f(x , y) = - ~ - xy + g(y), derivando = -x + g' (y) = W
x dv
-*+£'00 = y - x g(y) = y => g(.V)=-~- + c reemplazando en la función
1 v
/(x ,y ) = ---- -xy + --------he , por lo tanto:
x 2
xy2 - 2x 2y - 2 -k x
235) (3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0
Solución
dM _ 2 2
-----= 3x +3v
dy
¿w
dt
= 3x2+3 v2
117

w-
236)
118
como ® L =P1L la ecuación es exacta, entonces
dy dx
df(x,y) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene:
dx
f( x ,y ) = x 3y +xy3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- +g'(y) = N
x 3 + 3y 2x +g ' ( y ) =x 3 +3y zx entonces g'(y) = 0 => g (y )-c reemplazando.3 , 1..2
f(x ,y ) = x3y + xy3 +c
por lo tanto: /. x*y + xy3 =k
xdx + y d y +x(xdy- ydx) = 0 , u -j/(x 2 +y )
Solución
A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente:
(x - yx)dx +(x 2 + y)dy = 0 entonces:
M *=.x-yx
U = x 2 +y
m
dy
dN
dx
-= - x
como ±,-£L la ecuación no es exacta.
dy ' dx
2 2 dz -> dz _ ?v
Sea z = * +y => ’ - >
Sx dy
u = y/(x2 +y 2) => u = |/(z) => lnu = ln|/(z)
31nw 3 lnu dz _ 31nw
— — = — — = 2x-------
dx dz dx dz
31nwdlnw dz . Slnw
r— = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene:
dy dz dy dz
dM dN xrdlnu dlnu
----------— = N —------ M -------
dy dx dx dy
dz dz
- 3 x = (2x3+ 2xy-2xy +2xy2)
d(nu)
dz
3 , 2 , 2x3(lnw) d(lnu) 3
- - . ( X + => - i — - z
2 dz dz 2
zn 3<*z t 3, 1 i
d(lnu) = —— => lnw = - —lnz entonces u - — rr r-=> u =
2z 2 z 3/2 ( j ’ + j,*)*'2
(x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante:
x 2 - x y x 2 +y J ^
T I ivv/T + ^----- TTrT = ®* poniendo bajo diferencial
( o r (x ¿ + y )
j / * “ 1 v „ . , y - 1
g(~7= = ) = () integrando — ^
f 2 2
237) (x2 + y)dx-xdy = 0, n = <p(x).
Solución
119

M = x 2 +y
N = - x
dM _
dy
8N_ = _ i
. dx
dM dN ,
como -----* — la ecuación no es exacta
dy dx
.. 1 m dN 1 2
sea /(* ) = — (—— -r-) = — (l-( -l)) -
N dy dx x x
u~-e - e 2 => W='T
x ¿ x
V 1
(x2 +y)dx-xdy = 0 => (1+—)dx — dy =0
X X
dM 1
dy oc2
é w = J _
Cbr " x 2
como=—— la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de donde
dx dy
d /(*..y) . y
dx x 2
f( x ,y ) = x - —+ g(y), derivando
x
—= --+ g '(y ) = N entonces: + g'O0 = - — => áf'OO = 0 => g(y)
dy x x x
120
/(x ,y ) = je- —+ c, por lo tanto:
x
x - l = k
238) {x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji = <p(x)
Solución
M =x +y 2
[TV= -2 xy
dM „
^ r = 2 -v
,a¡T *
dM dN ,
como ——* —— la ecuación no es exacta
dy dx
, 1 ,dM dN, 1 2
sea /(* ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ;+ 2 j) = -
N dy dx 2xy x
f f(*)d* Í ~ T
u =eJ =e x =e
(x + y )d* - 2xydy = 0 ■y (*+y 2>dx- — dy = 0
U - U ¿
* x 2
_2Z
dM __2y_
dy x 2
dN _ 2y
x2dx - 2
dM dN ,
como ——= —— la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que =M y = N de donde
dx dy
entonces
121

df(x,y) 1 y
= —+ -
dx x x
integrando respecto a x se tiene:
f i y 2 v2
f(x , y) = ( - + -^r)dx +g(y) = In x - — + g(y) denvando
J x x 1 x
dy x
— +g'(y)=~— => g'(y) =0, entonces g(y) = c reemplazando en la función
x x
y i
f( x ,y ) = ln x - - —+c, por lo tanto: x ln x - y =kx
239) (2x2y +2y+5)dx +(2x3 +2x)dy = 0, n = cp(x)
M = 2x2y + 2 y +5
n = 2x 3 +2x
Solución
dM
dy
dN_
dx
= 2x +2
= 6x 2 + 2
dM dN
corno -----* — no es exacta; entonces
dy dx
ri ^ .dM dN 1 2 o z - 2
sea /(x ) = — (—------ —) = — T-------(2x + 2 -6 x -2 ) =
N dy dx 2x2 +2x
- 4 x ¿ -2x
2x3+2x x 2 + 1
- r -2xdx
u = e ^ () =e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — -
x 2 +l
(2x y + 2y +5)dx + (2x3 +2x)dy = 0 entonces
122
jí— (2y (x 2 +1) + 5)dx +- X(X2 + 1*dy =0
x* +1 x '+ l
(2y-— -— )dx+ 2xdy = 0 entonces:
x 2 +1
M = 2y+
N = 2x
x 2 + l
dM
dy
dN
dx
= 2
= 2
dM dN ,
como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
ctr ay
df(x,y) 5 .
---------- = 2_v+ —----- integrando con respecto a x se tiene:
dx x 2 +1
/(x , y) = 2yx+ 5arctg x +g(y) derivando
¥ (x ,y )
dy
= 2x +g'(y) = N entonces: 2x + g'(y) = 2x=» = 0 => g(y) = c
/(x ,y ) = 2xy+5arctgx+c, por lo tanto:
2xy + 5arctg x - k
240) (x4 ln x-2xy3)<fe+3x2y 2</y= 0, n = <p(x)
Solución
123

m 2
-----= -6jcv
dy
dN 2
— = 6xy
dx
dM dN
como -----* — la ecuación no es exacta.
dy dx
m ~ x a l n x - 2xy3
[ j v = 3 * y
, 1 .dM SN. 1 , . 2 x 2x 12xy 4 4
sea f(x ) = — (-—— — (-6xy -to y )==-—— = — =>/(*)=—
N dy dx 3x v 3x2v x x
j / M d x f--d*
= — O X —u = e =e~ ' = e 4lnJr entonces w= —r factor de integración.
(x4 In x - 2xy^)dx +3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante
-7-(x4 n x - 2xyi )dx +^ — dy = 0 => (lnx--^-)< ic + ^ - a f v = 0
M = In x -
2 /
jV =
3 /
dM 6y¿
3y x3
AV 6y2
5« x 3
dM dN ,
com o-----= ----- la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de donde
dx dy
af(x,y) 2y3 .
-------— = ln x -----— integrando respecto a x se tiene:
dx x 3
2 v3 3
f(x ,y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + +g(y) derivando
J x x
124
— r — =~ + g ( y ) = N entonces: -± -+ g'(y) = J L . => g(y) = c
-y X X X
d/(x,y) 3y 2 3V2 í v2
f(x ,y ) =x n x - x +^ —+c, por lo tanto:
jc3(ln jc-l)+ y 3 =kx2
241) (*+senx+seny)<it+cosy<fr = 0, n = <p(x)
Solución
[dM
M = jr+sen x+seny
N =cosy
dy
dN
dx
= eos y
= 0
dM dN ,
como ——* —— la ecuación no es exacta.
dy dx
r . . 1 .dM dN, co sy -0
sea f(x ) = — ( _ _ ) = ---- L-------j =
N dy dx eos y
(xe* + sen x£x + sen y ¿ x)dx + ex eos ydy = 0
I M = xex +sen x e x + sen y.e
N =ex eos y
dM dN
=>
como
dy dx
=e cosy
= ex cosy
la ecuación es exacta, entonces:
dM
dy
dN[
dy
3 f(x,y) tal que 8^ * ' y) =A/ y = w de donde
dx dy
entonces u = e x
125

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