EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
SOLUCIONARIO
A. KISELION - M. Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ...
IMPRESO EN EL PERU
Fecha de publicación
Ejemplares impresos
Númáfo de edición
Autor*
0 9 - 0 2 - 2 0 1 0
1 0 0 0 libros
3a...
INDICE
Pag.
1. Conceptos Fundamentales. i
2. Ejercicios de Verificación. 2
3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones...
15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes
16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Consta...
Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son
soluciones de las ecuaciones diferenci...
Solución
y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando
y ’- y = e x J X e ,...
22.-
23.-
y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')
y + jcy’=É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e...
x = t 2 +e'
x =2t +e'3 s *
y = * - + ( ,- l) e ‘ y'(t) =2t2+e' + (í-l)e ' =t(2t +e‘)
, y t(2t+e') , ,
y = - —---- — - = /=...
x - y e <y+1 => n x -n y =cy + => ln—= cy +, dedonde
x = y e V +l => e ^ 1 = -
jc = <ye^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 +...
(3x2 - i x y +2 y2) d x - ^ x 2 -4 x y +3y2)dy = O
Si es integral de la ecuación diferencial.
36) y 2 +2cx - c2y yy'2+2xy'...
ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y
ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
dy
Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer or...
84) (1+y 2)dx =xdy
Solución
(1+ y 2)dx = xdy separando las variables
dx dy
— = ------ y , integrando ln xk = arctg y
x 1+y...
89) y '= a x+y(a > O, a * )
Solución
dy +
— = a x y = a x .ay separando las variables
dx
a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy ...
94) y= sen(x-j> )
Solución
_ dz ( , . . dz
Sea z = x - y => — = 1- y entonces y = 1-----
dx dx
Como y= sen (jc-y ) reempla...
Solución
(1- y 2)dx = (y - J l +y 2)(1 + x 2)%dy separando las variables
98) ( l - y 2)dx =(y--J +y 2)(l +x 2)'/idy
dx y -...
( z - l ) 2xdz +2 z2dx = O => —— + dz = O integrando
x z ¿
2nx +z - 2  n z ~ —=k => - 21ny = — - x v +k =>
Z JCJ>
lncy2 = ...
105) (ln x + y 3)dx-3xy2dy = 0
tí Solución
i dz 1 ^ 2 .
Sea z = ln x + y => — = —+ 3y y
dx x
3xy2y %= - 1 reemplazando en ...
Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral
f * . - f .
2x^ox--x^
dt 'Jat-l
* - 1
-2 J ly fa t-l a
reemplazando (2 )...
112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la
ecuación de una fiierza que es directament...
k v0v.
... (1)
dv
además m — = m
dt
d 2x
dt2
2 dv dv dx
entonces: kv = m — = m —r •"
dt dt dx
r dv dx dv
kv2 = m — = mv-
d...
para t = ? , T = 30°C
30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’
8
118) Hallar la curva para la cual la pendiente ...
— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es:
dt
— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad ...
12 = humedad del aire saturado para 100 m3
ds
La descripción matemática es: — = -ks(-s + 6-12) = ks(s + 6)
de donde resolv...
para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se
satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x...
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.
130) cosyf= 0
Solución
K
Como y eos y '=0 => / = arccosO = —(2n + l)
— =...
En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones
diferenciales con las condiciones indicadas p...
eAydv
ey = e4yy'+ l; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx
ey -1
r e4y f
integrando J —----dy = J dx + c entonces:
í ^ y + e...
[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la
i...
(2u2 -6 u+4)dx +x(2u - 3)du =O, separando la variable
dx 2 u -3 , , „f dx f, 2 « -3 NJ
2 -----1-—-----------du= 0 , integr...
Solución
9 2'
Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces:
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación
2x2...
r dx C b +leu +f u 1
— + 1 ---------------- --------- du =c entonces
J x J a +3bu +3cu + fufu
i 2 3 y
nx +—na +3bu +3cu + ...
í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c
J * J
x(u + 4~+u2) = k , para w= — se tiene: y + J x 2 + v2 = &
x v
156) 3* ...
c z , xdz - zdx
aea xy - z => y =— => dy =----------- , reemplazando en la ecuación
x x 2
(—+ —J —T-+l)dx +2x(— Z ZC^X) =0...
1 - 3a - 6a —l = 3 a => a =  ' reemPlazan<^° en *a ecuación
(x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz...
165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
Solución
Lj : x - y + 3=0 1
L2 - 3x+y+l =0 ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿2...
(1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando
dx + x eos u du = 0, separando las variables
— + eos udu = 0 ,...
Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y '(*o) = O por distancia de punto a recta
d ( 0 , L , ) J ^ =
VO’(
por condición del problema...
c^l +u2dx+ xdu = O, separando las variables
= 0 , integrando cln x + ln(w + •/l+M2 ) = ln&
dx duc--4- - ^ ^
* é +u2
xc(u+*...
dx U -V l + M2
x 1 +u2 -uV l + W^
du= O, integrando y reemplazando
y 1 / 2 Ku = —se tiene: y =—(cx — )
x 2 c
175) Hallar l...
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN:
ECUACIONES DE BERNOULLI
La ecuación diferencial de la forma:
^ - +P(x)y = Q(x)
dx
don...
donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene:
x + 2 x -l x 2 + 2x - 
-  - — ^ ± — dx , - x - 
y = e } x ...
180) 2xy'-y = 3x2
Solución
^ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = —
2 x ' 2
como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx +c]
1...
183) y'-2xy = 2xe*2
Solución
y =e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx +c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex
- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2
r...
y = e ^p{x)<L  e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - —
J xnx 2-Jxlnx
r l+ln.v f 1+ln.r
_j — d.x r I—— dx 2+lnx
reem...
189) (Jty+ x 2y 3)y'= l
Solución
(xy + x 2y 3)y'= l => (xy +x 2y 3) ~ = 
dy 1 dx 2 3
— = --------—— entonces — =xy +x y
dx...
- f - 2 xdx f [-2 xdx (l + 2 x 2 )
Z —e J I—I pj ------ 4----
r r -2xdx (l + 2x~) , _
[ - U J ----- -dx +c]
J X
= ^ [- j d...
Solución
3x2 dx x3+y + l , , ,
y'=----------- => — = -------— de donde
x3+y +1 dy 3x
- —x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli...
, 2 . x2+a2 1 *(3jc2 - g 2)
Multiplicando por y ¿ se tiene: 3y y + ^ >' “ ^2 _ a 2
sea z = y 3 => — = 3 y 2 y  al reemplaz...
200)
201)
(x 2 + y 2 +1)dy +xydx =0
Solución
xy — + x2 + y2 +l = 0 =» — +—x = - x 1, ecuación de Bernoulli
dy dy y y
dx 1 ...
204)
205)
eos X
y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxdx +c] entonces:
Csec x
y = L .x x ( ------ dx +c) =secx(x +c ) , parax = 0 s...
Jii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n¡/(x), derivando:
1 ex 1 f x V ( x ) ,/ x
— ir{z)dz = n¡f{x) => — •lf(z)dz + ny/(x)
x...
211) ln 2 = 2senx(eos x -1) ln 2, y es acotada cuando x -*+oo
Solución
y =e-  - la2<lx[j J - ln2dx2senx(c o sx -l)ln 2 dx+...
= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c tg y x + c,j
j (l + x 2)ln(l + x - ) (1+ x )ln(...
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR
in t e g r a n t e !
La ecuación diferencial de la forma:
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = ...
218)
df(x,y) df(x,y)
» 3 f(x ,y ) tal que v. • =M y
Sx 5v
d/fo-jj. = x(2x2 + y2) integrando respecto a x.
cfcc
4 2 2
f( x ...
220)
^jx2 + y 2 y
r +«'CK) =
1 X
r+ ------
J 7 + 7 y y
g'(y)
= i. => g(y) = lny + c', reemplazando en la función:
f(x ,y )...
dy y x
X 1 X 1
•—r--------------------------------------------------------------------------------- f-g' (y) = ---- ------...
ñ —— X_V----1-2xy—— integrando respecto a x se tiene
' *
f( x ,y ) = y-jl +x 2 + x2y - y ln x + g (y ), derivando
Qf(x' y ...
M =
y + sen x. eos xy
eos xy
N = 2
eos xy
+ sen v
-----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xy
dy
SN 2 o 2 t
— = sec xv +2xy sec xy...
230)
como = — - la ecuación es exacta, entonces:
dy dx
3 f(x,y) tal que dí ^ x,y) = M y - = JV de donde
cbc
— n cos(nx + m...
x x 1 y . 1 y x x 1
---- -sen —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5-
v2 V x x x x v .V J'
g'(y) = - 
y
g(y) =
-
+ ...
234)
3 f(x,y) tal que íO ílZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando
dx dx x x
f( x ,y ) = x - —----- -+ g (v ) de...
w-
236)
118
como ® L =P1L la ecuación es exacta, entonces
dy dx
df(x,y) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene:
dx
...
M = x 2 +y
N = - x
dM _
dy
8N_ = _ i
. dx
dM dN ,
como -----* — la ecuación no es exacta
dy dx
.. 1 m dN 1 2
sea /(* ) = —...
df(x,y) 1 y
= —+ -
dx x x
integrando respecto a x se tiene:
f i y 2 v2
f(x , y) = ( - + -^r)dx +g(y) = In x - — + g(y) den...
m 2
-----= -6jcv
dy
dN 2
— = 6xy
dx
dM dN
como -----* — la ecuación no es exacta.
dy dx
m ~ x a l n x - 2xy3
[ j v = 3 * y...
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias   b. makarenko
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias b. makarenko

2.897 visualizaciones

Publicado el

Buen listado.mercadolibre.com.co/eleccion-y-critica-de-los-metodos-de-explotaci...
Encontrá 1 publicación para Eleccion Y Critica De Los Metodos De Explotacion En Mineria en Valle Del Cauca - MercadoLibre Colombialistado.mercadolibre.com.co/eleccion-y-critica-de-los-metodos-de-explotaci...
Encontrá 1 publicación para Eleccion Y Critica De Los Metodos De Explotacion En Mineria en Valle Del Cauca - MercadoLibre Colombialistado.mercadolibre.com.co/eleccion-y-critica-de-los-metodos-de-explotaci...
Encontrá 1 publicación para Eleccion Y Critica De Los Metodos De Explotacion En Mineria en Valle Del Cauca - MercadoLibre Colombiavv

Publicado en: Ingeniería
0 comentarios
7 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
2.897
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
16
Acciones
Compartido
0
Descargas
720
Comentarios
0
Recomendaciones
7
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias b. makarenko

  1. 1. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SOLUCIONARIO A. KISELION - M. Krsnov - G. MAKARENKO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ www.mundoindustrial.net
  2. 2. IMPRESO EN EL PERU Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor* 0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICIÓN Eduardo*Espinoza Ramos Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor. DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 822 Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados RUC N° 20520372122 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número N° 2007-12593 PROLOGO La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos www.mundoindustrial.net
  3. 3. INDICE Pag. 1. Conceptos Fundamentales. i 2. Ejercicios de Verificación. 2 3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14 4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48 5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72 6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100 7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada. 130 8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143 9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias. 154 10. Soluciones Singulares 166 11. Diversos Problemas 175 12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación. 196 13. reducción del orden de la Ecuación 210 14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245 www.mundoindustrial.net
  4. 4. 15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes 16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes 17. Ecuación de Euler 18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables 19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones 20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series 21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes 22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n 23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial 24. Propiedades de Transformada De Laplace 25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con Transformada de Laplace). 26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada de Laplace 27. Apéndice í j nói38U33 «i 3b ksé 260 272 333 345 394 396 430 431 454 455 470 489 510 ICONCEPTOS FUNDAMENTALES! Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la forma. Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación. Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = |/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = |/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación. La forma general de una ecuación de primer orden es: F (x ,y;f) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ', resulta; ... (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada. 1 www.mundoindustrial.net
  5. 5. Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. sen* 11.- y = -------, xy'+y = eos* x Solución y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada. jceos jc-sen* sen* x 2 cosx-xsenx sen* 2 y v2X * * senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X X X .*. xy'-Hy = cosx 12.- >>= ce“2jr+ — , y + 2j = e* Solución _ ce ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada. i "lpfii- X ex y'+2y = -2ce~lx +— +2ce~Zr +2 — =ex 3 3 y'+2y =ex 13.- >>= 2 + c V l-x 2 , (l-jc 2)y+xy = 2x Solución y = 2 + cV i- * 2 => y= -ex 2 (l-jr2).y'+jrv = - ( l- x 2)— ^ = r +x(2+ cV l-x2) = -V l-x 2cc +VT V l-J ’-x2 (1- j t 2)j^'+jcv = 2jc 14.- j = x V l-x 2", >y’= x - 2 x 3 Solución .y = W l- * 2 => / = V l- x 2 — í ------= —T2* V i- * 2 V i- * 2 r. 5". 1—2jc , = W l-s (■,----- - ) = s -2 x 3 >y' = JC-2:c3 15.- , = , x/=>;tg(lnj;) Solución aresenex j; = ^aresener ^ l= 'Jl-(cx)2 X c e « * m cx x c y xy - r - ■- = ^ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2 x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => tg(lny) = — v h ^ F f* 2 16.- ^ = e J0 dt+ceX > y'-y = e - x 2cx +2x 3 www.mundoindustrial.net
  6. 6. Solución y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~*.e*1 y '-y = ex+j;2 f* sen t 17.- y = x — ~ d t , x y = y + Jo t xsenx Solución ex Sen t Cx sen i sen x r >sen t . v —xl ------ dt ^ y' = I dt +x - Idt+senx y J0 t 7 Jo t X Jo t r* sen t r*sení xy’=x( ------<*+ senx) = x -------dr + xsenx * Jo t Jo t xy'=y +x senx te* 18.. v = x( — dx +c), xy'-y = xe J x Solución X m¿>X y _ J dx + c)=>/ = J — dx +c +e* reemplazando en la ecuación dada. x f €* xy'-y = x( í — dx +x +ex) - x ( | — dx +c) J x J x Í ex f ex — dx •+■xc + xc —x I ——-dx —xc —xc X J X xy'-y =xex 4 X = COSÍ 19.- L x+yy' = 0 y = sen / 20.- Soiución ,_ / (O _ eos/ cosí * '(0 sení ^ sen/ , , eos/ * + = cos/ +sen/(---------) = cos/-cos/ = 0 sen/ JC+ J>/=0 x = íe t y = e (l +xy)y'+y2 =0 Solución ... y - e " y =—r = —--------------7 =>y'=—-, reemplazando en la ecuación ' - ' e (1+t) _ -/ (l + xy)/+j>2 =(l + í)(-----------)+ e~2' = - e “2' + e 2' =0 e' 0 +0 (1 + xy)y'+y2 =0 x = e »rctg(f) 21.- L y + xy’=0 ^ = e -arctg(,)r* jx =esrctg<') |y = e-««8(0 ^ I eX = —x t Solución arctg(/) 1 +r >!=- e -arctg(/) 1+ / 2 5 www.mundoindustrial.net
  7. 7. 22.- 23.- y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(') y + jcy’=É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0 y + xy' = 0 x = t ln í y’ 2 f> y in — = 4x y = í (21n í + l)j 4 Solución jt = /ln / => jcJ = ln f+ 1 y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n/ + l) + 2f = 4í(ln/ + l) y [= 4 r(ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, ' x1 ln í+ 1 y in — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4 jc = ln / + sen í y = r(l + senO + cosíJ y' ln— = 4x 4 , x = ln v’+senj'’ Solución , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x = - + cos / = ----------- y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1+ senl +t eos/—sen / = l + f eos/ 6 , >>} 1 +íeosr = ----------- = t=>y'=t r ‘ 1+ ícosí_____ _ ln y + s e n /= ln í + sení = . x = lny+ seny’ x = t + aresen í , x = y + aresen / x = í + aresení x; = 1+ Solución 1 1 í(l+ / . i - 1+ 1 =t=>y'=t y'+ aresen y' = t +aresen r = x x = y '+ aresen/ x = t 2 +er 2í 3 y = — + ( r - i y y +ey' = x Solución www.mundoindustrial.net
  8. 8. x = t 2 +e' x =2t +e'3 s * y = * - + ( ,- l) e ‘ y'(t) =2t2+e' + (í-l)e ' =t(2t +e‘) , y t(2t+e') , , y = - —---- — - = /= > / = í x 2t +e‘ y ’2+ey' = t2 +el = x y'2+ey = x Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas. las ecuaciones 26.- y = -------, y'-tgx.y =0 cosx Solución y -------y''= csec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx Q y'-tgx.y =csecx.tgx-tgx.------ = c.secx.tgx-csecx.tg.t = 0 cosx y -tg x .^ = 0 27.- = y '= 3 y2 3x +c Solución y = - / = i 3x +c 3 y = (3x + c) = 3(——— ) 2 = 3(-y)2 = 3y2 (3x +c) 3x+ c ••• y'= 3 y2 8 28.- y = ln(c+ex), y '= ex~y Solución y - ln(c+ex)=t>y ’=--------, además y=ln(c +ex)=>c +ex =ey c+ex e x ex y'-.---------- -- ---- = e '-' => y ’=ex~y c+ ex ey 29.- y = -Jx2 -e x , (x2 + y 2)d x -2 x y d y -0 Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1 -e x (2x-c)dx-2^Jx2 -cxdy = 0 , dedonde (2x2 -xc)dx-2xydy = 0 (x2 - x c + x 2)dx-2xydy = 0 entonces (y 2 + x2)dx-2xydy = 0 30.- j = x(c-ln|j:|) , (x - y) dx + x dy = 0 Solución y = x(c—lnjxj) => dy = (c-vx)dx-dx xdy = x(c-n jfy d x-x d x, como y - x{c- lnjx|) entonces: xdy = y d x - x d x => (x -y )d x +xdy = 0 31) x = y e * * / = x (ln x -ln ^ ) Solución 9 www.mundoindustrial.net
  9. 9. x - y e <y+1 => n x -n y =cy + => ln—= cy +, dedonde x = y e V +l => e ^ 1 = - jc = <ye^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 0 0 / = ~ (in x -ln .y )y 1 = —(ln jc-ln y )/ entonces: y '= - ^ x (ln x -ln y ) 32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V Solución x e y x =yhicy => —= lncy => — = c , derivando se tiene: y y y e h * ^ f ) - ¿ y ' y y _ x y ' -------------------------= 0 simplificando - -----—- / = 0 => y-xy'-yy'= 0 y y '(x + y )y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f(x ,y ) se considera también la ecuación — = - * dx dy f(x ,y ) 10 ( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33) e~y -e x = 1, jty'+l = ey Solución e~y - 1 e y - ex - 1 => ---------= c derivando x -xe~yy'-(e~y - ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => -x e yy - e y +1 = 0 x xy'+ l-ey = 0 => xy'+l = ey , a 3 1 c 2 j 3 f dx *4) y , xy dy +y dx = — X X ó X Solución >>3 = —+ —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3 3x2y 3dx +3x3y 2d y -2 x d x = 0 => xy2dx +x 2ydy = 3y Luego no es integral de la ecuación. 35) x3 - 4 x 2y+ 2 x y2 - y 3 = 0, (3x2 -8xy + 2 y 2)dx-(4x2 -4xy + 3y2)dy = 0 Solución x3 —4x2y +2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene: 3x2dx - Sxydx - 4x 2dy+ 2 y 2dx+ 4xydy - 3y2dy - 0 11 www.mundoindustrial.net
  10. 10. (3x2 - i x y +2 y2) d x - ^ x 2 -4 x y +3y2)dy = O Si es integral de la ecuación diferencial. 36) y 2 +2cx - c2y yy'2+2xy'=x +1 Solución y 2 + 2cx = c2 => c = x ± tJx 2 +y 2 derivando se tiene: 0 = 1±—^ M = => <Jx2 + y 2 = ±(x +yy') J x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y'2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y '2 No es integral de la ecuación diferencial. 37) arctg—- n(cJx2 + y 2) = 0, (x + y)d x~ (x-y)d y = 0 x Solución arctg~ - lnc J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x xdy - ydx x 2 c.(xdx +ydy) ^ | y 2 J x 2 + y 2 .c .J x 2 +y x 2 xdy - ydx xdx + ydy = 0 , simplificando x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0 de donde xdy-ydx - xdx-ydy = 0 (x - y)dy - (x +y)dx = 0 entonces (x + ^ ) á r - ( x - <y)rfy = Si es integral de la ecuación diferencial. = 2xy'+yy'2 0 12 38) x = yj^ sent2d t, ^ = Ay'+y2 senjc2 Solución x = y ¡ sení2dt => f sent 2dt = —, de donde »0 Jo y x=yj0sen12^ *=y'JQsenr2dt +y sen x 2, reemplazando se tiene: l = /y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2 Si es integral de la ecuación diferencial. Cx sen t 39) —-—d í - y n y , xy'+xiny = x senx +ylny Solución f*senr f*senr y ln v x —— dt =y n y => ------di =------— t Jo t X cx sen t cx sen t J xJo —-—dt = y ln y => ——tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene: y ln y — ----hsenx - (lny + l)y' => y n y +xsenx = x(ny + l)y' No es integral de la ecuación diferencial. 13 www.mundoindustrial.net
  11. 11. ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g(x, y) dx se reduce a la forma: donde M es una función solo d conoce con el nombre de “Ecm solución general se obtiene por M(x)dx + N(y)dy = 0 le x, y N es una funci' ición Diferencial Ordin integración directa, es c ón sola de y, a esta ecuación sé aria de Variable Separable” y la lecir: j M (x)dx + J[ N(y)dy = c Donde c es una constante cualquiera. La ecuación diferencial de la forma: — = f(a x +by +c) dx donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c. Integrar las ecuaciones: 81) ( +y 2)dx +{ +x 2)dy = 0 Solución (1+ y 2)dx + (1+ x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------r- + ------—= 0 integrando 1 + x 1+y 2 14 f dx f dy J7 7 7 r + J7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c Nota.- tg(A +B) = x +y = c(l-xy) tgA +tgB 1-tgA.tgB 82) (l +y 2)dx+xydy = 0 Solución (1 + y )dx +xydy = 0. Separando la variable. dx y dy ? — + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+v ) = A: X l +y 2 ° 2 21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x2(l +y 2)=¿ 83) (y 2 +xy2)y’+x2 - y x 2 = 0 Solución ( y 2+xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando y 1( +x) - ~ +x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. ^-+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c 1 - y 1+x j 1- y i 1+ X ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n- y l +x 1- y = c => x(l +y 2)= c . De donde se tiene: 15 www.mundoindustrial.net
  12. 12. 84) (1+y 2)dx =xdy Solución (1+ y 2)dx = xdy separando las variables dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y x 1+y y = tg(ln(fcc)) 85) x j l +'y2 +yy'yfl +x 2 = 0 Solución x ^ l +y 2 + y^l +x 2 ^ = 0 . Separando las variables. xdx ydy r+ -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 +y 2 r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c 86)x - J l - y 2dx +y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1 Solución X i j l - y 2dx +y j l - x 2dy = 0, separando las variables ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd - = = = + - = = = 0 , integrando — a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT dé donde, -fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1 >2 •= c 16 V i- * 2 + V i-.v 2 = i 87) < r'(l + / ) = l Solución e - * ( i+ /) = i => i + y = ^ => y = ^ - i v r ^ + v n = * => * = i — = - 1, separando las variables, -— -- = d: dx ey -1 t dy c c e ydy i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A: ln ( l- e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡ /. ex =£(1 - 0 88) >>ln.y<&+ ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1 Solución y ln y dx + x dy = O, separando las variables dx dy . . c dx r dy ---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = k x y n y * x J yin y ln(x ln(>>)) = k => xln y = c de donde ln y = - para x = 1, y = 1 => l =ec => c = O x ln y = O => lny = O => y = 1 , integrando se tiene: e * =- L ( l - e-y) e => lnx + ln(lny) = k => => y = e x www.mundoindustrial.net
  13. 13. 89) y '= a x+y(a > O, a * ) Solución dy + — = a x y = a x .ay separando las variables dx a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k ax +a~y =c 90) e y ( +x 2)dy-2x( +ey )dx = 0 Solución e y (1+ x 2)dy - 2x(l +ey )dx - 0 . Separando las variables. eydy 2xdx f eydy r 2xdx ----------------- —= 0 , integrando ------7 - ------7 = k , l +ey 1+ x 2 J l +ey J 1+x 2 ln(l +ey)-ln (l +x 2) = k . l +ey , l +ey ln------T = k => ------t~—c 1 + x 1+ x l +ey =c(l +x 2) 91) (l +ex)yy'= ey , yx=0 = 0 Solución dy (1+ex)y — = ey , separando las variables dx dx r _v , c dx - + c de donde: ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í - l +ex J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x 18 Solución (1+ >>2)(e2xdx - eydy) - (1+ y)dy = 0 , separando 92) (1+ y 2)(e2xdx - eydy) - (1+ y)dy = 0 e 2xdx - dy = 0 , integrando l +>>2 j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c e2x ^ - e y -a rc tg y -ln^l +y 2 = c 93) (xv2 - y 2 +x-l)dx + (x2y - 2xy +x 2 +2y - 2x + 2)dy = 0 Solución (xry2 - y 2 + x -l)¿ * + (x2jy -2;*7+ x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando [y1(* -]) +(x-V¡dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x +2)]dy = 0 , factorizando (y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable ( x -1 )dx y + 1 , -------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l f ( x -1 )dx f 7 + 1 I —I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ? ~-ln(x + 2x + 2) + —ln(j/ + 1) + arctg y = k ln(x2 -2 x +2){y2 +l) = - 2 arctgy +k=>(x2 - 2 x +2)(y2 +1) =e-2tICX*y+k entonces: (x2 - 2 x +2)(y2 + l)e2arct8y = c 19 www.mundoindustrial.net
  14. 14. 94) y= sen(x-j> ) Solución _ dz ( , . . dz Sea z = x - y => — = 1- y entonces y = 1----- dx dx Como y= sen (jc-y ) reemplazando se tiene: - — = senz => 1- senz =— , separando las variables: dx dx dz dz — = 1- sen z => ---------- = d x, integrando dx 1- sen z í — —— = [dx +c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1-se n z J J tgz + secz = x +c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x +c 95) y' = ax +by +c, a,b,c constantes Solución Sea z = ax + by + c => — = a +by’ dx y - i.- a) reemplazando en y'= ax +by +c entonces b dx - ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variable b dx dx dx = dxintegrando í ---- ---= f dx + k ,de donde a + Z>z J 0 + ¿?z J ~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a +bz) = bx +bk => a+bz = cebx b + c) + a = 20 96) (x +y )2y' =a 2 Solución dz S eaz = x + y => — = 1+y' entonces: dx dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces 2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx z Z — —dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x +k a +z a y simplificando x + y = a.tg(—+ c) 2 97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 xn x Solución (1- y)ey — + — — = 0 separando las variables dx x ln x ( l - y ) e y d x . ----------- d y + ---------- 0 , integrando y L x l n x r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y ----------- dy+ —— =c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c j y ¿ J x l n x J y 2 r e y e y - J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c ey ln(lnx) = — +c y 21 www.mundoindustrial.net
  15. 15. Solución (1- y 2)dx = (y - J l +y 2)(1 + x 2)%dy separando las variables 98) ( l - y 2)dx =(y--J +y 2)(l +x 2)'/idy dx y - y i + y 2 ------- = ---------------- ñ----dy integrando ( 1 + X 2 ) A l + y 2 f dx , ------- —rr = ----------^— dy +c entonces J (1+ *2)X J l +y 2 Irf(7 = r ) =I{r h - ~ r =^ )dy+c vi+x 1+^ V1+^ * - ln 'l + y 2 J + x 2 _y + -jU y 2 _ + c ioo) jty2(V + > O = 02 Solución dz x ----- z2" Sea z = xy => y = — => y' = — — Como x y 2(xy' +y) = a 2, reemplazando se tiene z X dz z X ------- ZH----- dx x =a , simplificando z 2dz = a 2xdx, integrando se tiene: 22 Z3 Q2X2 ~ 3 3 >%2 2 i — = -------- + c=> 2x y =3a x +k 3 2 ' 100) (x2y 2 +l)dx +2x2dy = 0 Solución 0 z , xdz - zdx Sea z =xy => y =— => dy =------ ------ x x 2 (x2y 2 +1)dx + 2x2dy = 0 , reemplazando (z2 +l)dx +2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + )dx + 2xdz —2z¿/z = 0 x (z2 - 2 z +V)dx+2xdz =0 => — + — - Z—-= 0 , integrando 2x (Z- l )2 1—m x --------- = c 2 x y - 1 101) (1+ x y )y +(x y -l) xy'=0 Solución dz x ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1+ z 2) —+ (z - 1)2x(— — ) = 0 , simplificando * x 2 (1+ z 2)z + (z - 1)2x — - (z - 1)2z = 0 entonces dx 23 www.mundoindustrial.net
  16. 16. ( z - l ) 2xdz +2 z2dx = O => —— + dz = O integrando x z ¿ 2nx +z - 2 n z ~ —=k => - 21ny = — - x v +k => Z JCJ> lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl.3ty *y 102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0 Solución dz x ------z Sea z = xy => / = — — entonces 2 3 3 2 * y + j>+ jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene: dx dz 3 JC--------Z Z Z 1 d x — + —+ x - 2 + (xz +*)( - — ) = 0 , simplificando X X x 2 dz 3 Z --------Z — + —+ x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entonces X X X (z 2 +l ) - +x - 2 =0 dedonde (x-2)dx +(z2 +l)dz = 0 dx integrando - - + z + - - 2 x =c 3x2 - l 2 +2x3y 3 +6xy = c 24 103) (x6 - 2 x 5 +2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0 Solución Sea y = tx => dy = tdx + xdt entonces reemplazando se tiene: (x6 - 2 x 5 +2x4 - f V +4txi )dx +(xi í2 - 4jc3){tdx + xdt) x3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t* +4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0 (jc3 - 2 x 2 + 2 x - ti +4t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando (x3 - 2x + 2)dx+(t2 - 4)dt = 0 , integrando X3 2f3 ------x +2x-------- 4t = c por lo tanto: 3 3 * 3 - y 3 4 y ------x+ 2x+ — ,------—= c 3 3x x 104) y + i= (x + ^ (x+.>>)'’ +(*+>')'’ (c Solución Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial dx dz z n z n + zp (— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando z"+ z* z m r z n + z ' r J ------— dz =jd x +c , de donde = x + c , n m * -1, p - m ^-1 n - m + 1 /7-/W + 1 25 www.mundoindustrial.net
  17. 17. 105) (ln x + y 3)dx-3xy2dy = 0 tí Solución i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = —+ 3y y dx x 3xy2y %= - 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx lnx + y 3 -3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 áx ¿x ln|z + lj-ln x = lnc => ln ^ - ^ = lnc => z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1 106) (xy+2xyln2 y + ylny)dr + (2x 2 ny +x)dy = 0 Solución Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlx x Reemplazando en la ecuación diferencial dada: , tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xdí-ídx (xe 1x + ----------+ -------)dx + (2xí +x)e (-r— ) = 0 x x x simplificando 26 / r xdt-tdx_ ^ (x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x (x 2 +2t2 +t)dx +(2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx +(2t+ l)xdt = Q x 2 , xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces: 2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1)2 = c por lo tanto: /. 2x 2 + (2xln y + 1)2 - c 107) y - x y ' =a( +x 2y') Solución y - x y ' =a +ax2y' => y - a = (x +ax2)-^- separando las variables dx — Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entonces ax +x y - a J x ax +l J y - a xc 1 . . ex=y - a por lo tanto y = a + ax+ ax+l I0K) (a2+y 2)dx+2x^Jax-x2dy =0, }x=a=0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx dy + —------- = 0 integrando 2 x ^ a x - x 2 a 2 +y dx r dyf dx r dy 27 www.mundoindustrial.net
  18. 18. Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral f * . - f . 2x^ox--x^ dt 'Jat-l * - 1 -2 J ly fa t-l a reemplazando (2 ) en (1 ) - (2) - - 1 .y i y — —+ —arctg— =c, x = a , y = 0 entonces a a a 0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0 a a a * -1 a a => y = a. tg --1 109) y %+sen(“ “ ) = sen(^y^) Solución — + sen(—) cos(—) + s e n A c o s¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) co s¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sen(^) cos(™) separando las variables ^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c y 2 4 2 sen — 2 28 110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces. Solución El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke como dx pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x III) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y. Q = a 2 ln — a Solución y = f(x) Q = = a 2 ln(—), derivando se tiene: a dy J a 1 a 1 y - — •— , entonces dx---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c ay dx y y de donde : y =- c - x (hipérbola) 29
  19. 19. 112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg v t = 10 seg. v = 50 cm/seg. 1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - => 50 dt v v2 = 2012 + c, para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 502 =20(10)2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _, para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg k ''t -Vv> *v v ' ^ , * ‘ ^ 113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. Solución Sea Ln : y = b x, de donde mLN =b Además mL, = — , y como LNIX ,, entonces: dx 1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £>= - — N mL, dy dy 30 X b , l =,Como y = bx x x Separando las variables se tiene: dy y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k 114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ= 200 m/seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m/ seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m dv dt condición del problema: d^ . 2 m — =kv dt integrando: m dv ----- T = dt k v m rvi dv _ r' k Jvf2 V -r*Jo k vj v0 * V, 31
  20. 20. k v0v. ... (1) dv además m — = m dt d 2x dt2 2 dv dv dx entonces: kv = m — = m —r •" dt dt dx r dv dx dv kv2 = m — = mv- dx dt dx m dv dx = —.— k v * 1» A > v0 reemplazando (2) en (1) ... (2) j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. ln(— ) v0 V0V1 í = 40 ln(2.5) seg. 115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la resisten cia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. Solución La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “ tiene: V = Ae -kt Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para t = 5 seg., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5 -5k 1 8 k = — ln(— ) entonces: 5 10 32 Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. Solución Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene mLt =k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c , que es una parábola. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución Sean T = temperatura del cuerpo. Tm= temperatura del aire = 20°C. T0= temperatura inicial. La descripción matemática es: dT — = ~k(T - T m), de donde la solución es: T = Tm + (r0 - T m)e~kt para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°* 40 = 80e 20A => k =^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í r = 20 + 80.2'//2°
  21. 21. para t = ? , T = 30°C 30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’ 8 118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Solución dx te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx, de donde dx x x — =—dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y —ln x nc , por lo tanto: y x y - e x 119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución 34 Sean s = el camino recorrido t = el tiempo en seg. v = ~ = velocidad del cuerpo ds la descripción matemática es: — = k s, de donde la solución general es: dt s = Aeh , para t = 10 seg. , s=100m . => 100 = Áei0k de donde = ...( 1) e para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15* de donde se tiene : A = ... (2) 15Ae a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2 comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡^7- => k =- e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: s =25.2r,s 120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. Solución Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300 35
  22. 22. — = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt — - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300 diferencial se tiene: jc = 100(-A ek,'m ), encontraremos la constante A parat = 0, x = 0 => A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t= lm in ., x = -k g . se tiene - = 100-100«*'300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)' para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto: x = 18.1542 kg. 121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt dx 1 0-x 1 problema la descripción matematica es: — = De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. 36 122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto. Solución 2 y Como mLt = -------= -----, entre los puntos P y A x x ----- X 2 Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 dx dx xy x Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c 123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 mi de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia (3 —s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 37
  23. 23. 12 = humedad del aire saturado para 100 m3 ds La descripción matemática es: — = -ks(-s + 6-12) = ks(s + 6) de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kt s + 6 para t = 0, s = 3 => A = para t —1, s —1.5 entonces: k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5 Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros deagua,después de 5minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempose disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal. Solución Sea s = cantidad de sal por disolverse. ds La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 Luego s = 2ekt, determinaremos k. Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - ln — Por lo tanto: s = 2e(í/5)lnl/ 2 => s = 2(~)r/5 Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg., entonces: 1.98 = 2( - ) '/5 => 0.99 = (-)v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL 2 2 1 ln — 2 125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1m 2 ) al exterior durante un día. Solución Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es: de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015). dT O Luego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante dx kA Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene: 2 T =—x ; 864000 cal/día. 3 126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1•r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyjx=0 —y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales. Solución dy y dy dx . J t — —~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39
  24. 24. para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para } x=o = * 0 => = 0 > cua^contradice por lo tanto: cuando x = 0, y =y 0 * 0 no tiene solución alguna. Demostrar que el problema ~~ = y a , y x=o —0, tiene al menos dos soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para Solución . i-« — = y a => y~ady = dx integrando ------ =x +c dx 1-a gl-a si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a >0 3 1- a ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y =x +c y De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución. 128) Hallar la solución de la ecuación — = y n y a , (a>0) que satisface a la dx condición inicial >'jx=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única. Solución ~~ ~ y Iln y |° => — —— = dx integrando dx | ln |a | ln v |1_a i , — --------=x +c => y = 0 , x =0 => -------1ln v | “ = 0 + c 1- a I - « ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0 El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ ytgx = xtg+ 1, en los puntos de sus intersecciones con el eje OY son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY. Solución -Stgxdx r ftgjratr y = e [Je (x tg x +1)dx + c], por ser ecuación lineal. y =eln (tg x sec x+sec x^d x + ^ efectuancj0 ia integral, y = eos x[x sec x +c] = x+ c eos x entonces: y = x + c. eos x , interceptandocon el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c) = (1-e s e n x)p = 1 => mL, = 1 L, : y - c =l(x -0 ) de donde L,: x - y +c = 0 41 mL, = — ' dx
  25. 25. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130) cosyf= 0 Solución K Como y eos y '=0 => / = arccosO = —(2n + l) — = —(2« + l) => dy =— (2n +l)dx, integrando. dx 2 2 y = ^(2n + l)x +c, n e Z. 131) ey =l Solución dy ey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c dx donde c es constante. 132) s e n /= x Solución s e n /= Jt => /= arcsen jt + fl7r entonces: — = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando Jdy = J(aresen x + nn)dx + c y = jtarcsenx-V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l,± 2,. 133) l n / = x Solución lny'=x => y'= ex dy = exdx => j dy =J e xdx => y =ex +c 134) t g / = 0 Solución t g / = 0 => y ’=arctgO = nn dy — = nn=> dy =nn dx integrando y = nrc + c 135) =jc Solución e ~ x ^ y =nx de donde dy = lnxdx, ahora integrando jd y = Jlnxdx => y = x ln x - x + c 136) tgy'=x Solución tgy' =x => y'= aictgx+nn , n = 0, ±1, ±2,... dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene y = ^{ttctgx +njz)dx+c entonces: y = x2xctgx-^n( +x 2) +njtx +c 43
  26. 26. En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. , 16 137) x y 'eos>>+ 1= 0 , y - > — n => x-»+°o Solución x 2 v’cosy+ l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable x dx 1 eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— +c x x 16 16» . 1 l6ncuando y -* — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y-—-sen ^ 10 138) x 2 /+ co s2 ^ = l , y-+ — n => x->+*> Solución x 2/+ c o s 2y = 1 => x 2y = l- e o s 2>', separando la variable ___= — => — — =—j integrando l- c o s 2 >' x 2 2 sen y x f ——— = l —^r~ c de donde ctgy= —+c J sen2 y x x 10 1 cuando y -* — n , x —H-ao => c - —j~ 2 1 2 1 Luego ctgy =—+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44 139) jr3y -sen y = 1, y-*5it => x-H-oo Solución x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variable dx dy dx r dy r dx --------- = —r integrando -— -----= — + c 1 +sen.y x * l+senj> J x para y-+5n , x -H-oo => c = 1 por lo tanto y =2 arctg(l — i—) 2x 140) (l + x2)y -|c o s22y = 0 , y ~^~ti , x->-oo Solución (l + x2)y --co s22^ = 0 , separando la variable se tiene: dy dx = 0 integrando =k eos 2y 2 (1 + x ) 2 2 y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» —n , x ->-oc¡ => c = — 2 2 tg 2y - arctgx = — => tg 2y = —-+ arctgx => y = —arctg(—+ arctg x) 2 ¿ 2 2 141) ey =e4yy'+1, y es acotada para x —>+oo Solución 45
  27. 27. eAydv ey = e4yy'+ l; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx ey -1 r e4y f integrando J —----dy = J dx + c entonces: í ^ y + e 2y + ey + — -— )dy = x +c y calculando la integral J ey -1 e3y e2 -----+ — +ey + ln(l + e y) = x + c, 3 2 como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x +)y' =y - , y es acotada para x —>+oo Solución (x + 1) / = y - 1; (x +)dy = ( y - 1)dx separando la variable dy _ dx y - Jt+ 1 integrando se tiene: ln(y —1) - ln(x + 1) + ln c i i y - iln------= ln c => -------= c y + 1 x +1 cuando x —>oo entonces —— — >0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o =» y . 1 * + 1 y ' —2x(n +y ) , y es acotada para x-H-oo Solución y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando y +n Í y +n = J ent°nces ln(y+n) = x 2 +c entonces: jr2 y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0 Luego y+ n= 0 => y = -n 2 11 144) x y'+ sen 2y = 1, y -* — rc => x-M-oo 4 Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy =l-sen2ydx separando la variable dy dx => integrando se tiene: 1 - sen 2y x 2 f dy (• dx 2y sec2v 1 J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — +ci2 y J x 2 2 2 cuando y —>— ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(—x) X 47
  28. 28. [ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS| A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad. Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f(x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y) dx es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma: H dx x ... (1) Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la ecuación con variable separable: du , x x -— =¡/(u)-u dx Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux. Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ axx--bxy +cl ^ dx a2x +b2y +c2 ... (2) se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de intersección de las rectas: axx +bxy + c, = 0 y a 2x +b2y +c2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z.+x0, y = w + y 48 El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x +b{y +cx = 0 y a2x +b2y +c2 = 0 son p puede escribir en la forma: a2x +b2y +c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se ax bx dy _axx +bxy +cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F(axx +bxy) dx Á(axx +bxy) +c2 ... (3) que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma: P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = za , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 a la derivada — . dx Integrar las Ecuaciones: 145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene: (4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando (4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 49
  29. 29. (2u2 -6 u+4)dx +x(2u - 3)du =O, separando la variable dx 2 u -3 , , „f dx f, 2 « -3 NJ 2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 -----1-1 (—=---------- )du = c x u -3u +2 J x J u -3u + 2 entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => n x 2(u2 -3u +2) = c, levantando el logaritmo se tiene: . y 2 - 3 xy +2x2 =k 146) xy' = y +-yjy 2 - x 2 Solución A la ecuación escribiremos así: xdy = (y +^ 2 -x " ) d x , es homogénea. Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx +xdu) = (ux +J u 2x 2 - x 2)dx, simplificando xdu =J u 2 -d x separando las variables ------- V« 2 -1 integrando se tiene: ln |u+Vu2- 11= lnx +lnc entonces: du dx 9 X ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x u +^Ju2 -1 - e x => y +^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy =c 2x 2 +1 147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y +4 y2) =0 Solución La ecuación diferencial (4x2 - xy +y 2)dx +(x2 - x y +4 y2)dy = 0, es homogénea sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación. (4x2 - u x 2 +u2x 2)dx +(x2 - u x 2 +4u2x 2)(udx +xdu) = 0 50 simplificando (4u 3+ 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 )du = 0, separando las variables dx 4u 2 —u + 1 .cdx c 4u2 —u + 4 — 4*------------- du =0, integrando: 4 — 4- -— -------- du=c entonces: X u3 + 1 J X J u3 +1 41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+l u - u + lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u +l=c => lnx4(w4 l)2(u2 - u 4 l) = c x*(u +l)(u3 +)= k donde w= — por lo tanto: (x4y)(x3 + y 3) =k 148) 4x2 + x y -3 y 2 + y'(-5x2 +2xy +y 2) =0 Solución (4x + xy—3 y2)dx +{—5x2 +2xy +y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w—3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando: (u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u —5)xdu = 0, separando las variables se tiene: dx u 2 + 2 u - 5 J ^ . + —^-----1-----------du = 0, integrando * W -W -4W4-4 c dx f u 2 + 2 u - 5 " + -----5-----------du= c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4 ••• ( y - x ) * ( y - 2 x f =c(y +2x)5 51
  30. 30. Solución 9 2' Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx +xdu) = 0 => (u3-u)dx +(u2 -3)xdu = 0 separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u 3 - u J x J u 3 ~u f — + f (—---- ---------— )du =c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J x J u u - 1 w+ 1 150) 2xy'(x2 + y2) =y (y 2 +2x2) Solución 2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x(x2 +x 2u2)(udx +xdu) =ux(u2x 2 +x 2)dx 2(1 + w2)(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1)dx f simplificando (u3 + w)rfx+ 2(1 +u2)xdu = 0 , separando las variables dx 2(u2 + l ) , . c dx c 2(u2+ 1) _ r dx du -+ ¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx —--------du = 0 9integrando — + — ------- d u - c => — + 2 — u3+u J x J u3+u J x J u 2 y 2 entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — =c porlo tanto: y x 151) x y '= jy 2- x 2 Solución xdy =^ y 2 - x 2d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2dx , simplificando udx+xdu = ¡u2-1dx, separando la variable ¿/w <¿x f du Cdx integrando ..¡— ..........= — + c J J..2 1 _ J x^|li2 - l - U x ^Ju1 - l - u - J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene: y +^ y 2 - x 2 = cx3e y(y+Jy2~x2) 152) ax2+2bxy +cy2 + y (fox2 + 2cxy + fy 2) = 0 Solución (ax2 +2bxy +cy2)dx +(bx2+2cxy +fy 2)dy = 0, es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (ax2 +2bx2u+cx2u2)dx+(bx2+2c2u+fx 2u2)(udx+xdu) = 0 , simplificando (a + 2ftw+ cu2)dx + (b + 2cu +fu 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable dx b+2cu + fu2 , ---- 1--------------- —--------—d u - 0 , integrando * <2+ 3¿w+ 3ck + yi* 53
  31. 31. r dx C b +leu +f u 1 — + 1 ---------------- --------- du =c entonces J x J a +3bu +3cu + fufu i 2 3 y nx +—na +3bu +3cu + fu |= c , donde para u =— se tiene: 3 x f y 3 +3cxy2 +3bx2y +ax3 - c 153) (y 4 - 3 x 2)dy = -xydx Solución y = z a => dy - aza ld z, reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx (z4a - 3 x 2)aza~1dz = -x zadx => (z5a~l - 3 x 2z a l )odz = -x z adx para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 2 5 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = -Ixzd z, es homogénea x = uz => dx = u dz + z du entonces: (z 2 - 3u 2z 2 )dz = -2z 2u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w) (w2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2 - l * ¿z r 2u 54 f — = — ^—du +c => lnz = ln(w2 - l) + c J ^ J w2- i para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6 z 154) y 3dx +2(x2 - x y 2)dy =0 Solución Sea y = za => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando z 3adx +2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 2 3 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x -x)dz = 0 , es homogénea, x = uz => dz = u dz + z du, simplificando zdu +u2dz = 0 , separando la variable + — = 0 u 2 z 1 X 2 integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tiene w z 1 2 1 reemplazando en - —+ ln z = c por lo tanto: y = x ln ky u 155) (y-xy')2 =x2 +y 2 Solución ( y - x y ') 2 = x 2 + y 2 => y -x y '= ^ jx 2 + y 2 , es homogénea y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces: (u -^|l--u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando r T , dx du -V l + w dx - xdu = 0 => — + —-■___ : = 0 , integrando -Y Vl + t/2 55
  32. 32. í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c J * J x(u + 4~+u2) = k , para w= — se tiene: y + J x 2 + v2 = & x v 156) 3* + >,- 2 + j>,(jt-l) = O Soiución Z1 :3x + ^ - 2 = 0l Sean ^ LX^ L 2 entonces existe un punto L2 :x - J />(*o>J o ) GA n ¿2 YPara encontrar el P(x0,y {)) se resuelve el sistema: 3 x + y -2 = Oj x0 =1 x _ 1= 0j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l) Sean x = z+ 1 , y = w - 1 => (3x + y-2)dx + (x- l)dy =0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu (3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando (2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable: dz du „ . r dz r dudz du . r dz r — + --------= 0 , integrando — + - z 2u +3 J z J 2u +3 entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k 157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución = c (2x + 2y —l)dx + (x + y —2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces: 56 dy = du - dx => (2u - 1)dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces (u + 1)dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1 u 2 2x+y Jdx + J - —- d u - c => x +y +l =ce 3 (3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Solución Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces L2 : 3 x - ly - 3 = 0 ¡ 1 2 3v-7jc + 7 = 0l Xq — 3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n 3 x-7 > '-3 = 0J J>0 =0 x = z + l, y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w—7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea, w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando: (7w2 -l)d z +(lu - 3)zdu = 0 , separando la variable: _ dz l u - 3 . . , _f dz c l u - 3 . 7 — + ——— du = 0, integrando 7 — + I —----du = c Z U2 - i J Z J u 2 +1 dedonde: . (x + y - ) 6( x - y - l ) 2 - c (y +y ^ 2y 4 +l)dx +2xdy = 0 Solución
  33. 33. c z , xdz - zdx aea xy - z => y =— => dy =----------- , reemplazando en la ecuación x x 2 (—+ —J —T-+l)dx +2x(— Z ZC^X) =0 9 simplificando X x j x 2 * 2 , Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx) (—+ —y ^ z +x )dx +2 --------------= 0 entonces: X X2 X z(Vz4 + x 2 -x)dx--2x2dz = 0 sea x =u 2 => dx = 2udu z(y]z4 +u 4 - u 2)2udu +2u4dz =0, simplificando z(*J~z^+u 2 -u)du +u}dz = 0 , es homogénea sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación z(>/z4 + z4w2 - z 2w2)(zchi’+ wdz) +z 3w3dz = 0 wyjl + w4dz -i-z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable dz 4l + w4 - w 2 r dz f 1 w ---- h---- ..... —dw = 0 integrando — + I (---------=====?)dw = c Z W l + VV4 ZW^/1+w4 lnz + lnw — ln w 2+ ^ l+ w 4 =c => ln zw - —nw 2 + ^l + w4 |=< 2 2 para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: . ^ x 2^ 4 =cy2x 2- 4xy2dx + (3jc2jk-l)dy = 0 Solución Sea y = z a => dy = ctza d z, reemplazando en la ecuación 4xz2adx +(3x2z a -)a z a~ldz = 0, agrupando 4jcz2of¿£c+ (3jc2z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1 = a —1 => a = -2, reemplazando en la ecuación 4xz~4dx +(3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando 2jcz dtc- (3jc2 - z 2)tfz = 0 , es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación 2uz2(udz +zdu)-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando (-u 2 +1)dz + 2wz¿fw= 0 => — ---- du =0 y integrando z u -1 ■dz C 2u í — - ídu =c => ln z - ln(u 2 - 1) = c J Z J w2 -1 Jlf 1 ^ 2 de donde para w= —, z = - p r se tiene: . y (x ^ y -l) =£ 161) (jc+ y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución y = za dy =aza~ld z, , reemplazando en la ecuación (x + z3a )¿£c+ (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando (x+z3a)dx+(3z6a~1- 3 z 3a~1x)a dz =0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59
  34. 34. 1 - 3a - 6a —l = 3 a => a = ' reemPlazan<^° en *a ecuación (x + z)dz + (z —x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1)dz + z(u + )du = 0 , separando las variables dz u + 1 z ~Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du =c U2 +1 J z J u 2 +1 1 2 x lnz + —ln(w + 1) + arctgu = c , para u = —, z = y 3 2 z y 3 1 ? ¿ se tiene: arctg-—= —ln(x +y ) +k x 2 162) 2(x2y+ ^+ x4y 2)dx +x 3dy = 0 Solución Sea z= x2y => x2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: 2(z +Vl + z2)dx +x(dz - 2zdx) - 0, simplificando 2{z+ 4ü-z2)dx + xí/z - 2z¿/x = 0 de donde 2^1 +z 2dx +xdz = 0, separando las variables dx dz _ 2 — + —= ■■■■■■■■■, = 0, integrando * Vi +z2 J 2— + f — = lnc => x 2(x2y +^ l +x 4y 2) = c x Vl + z2 60 163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0 Solución Lx : 2 x -4 y = 0 1 Sean > => Lx4fL2 =>3 P(xQ,y 0) e L x n L 2de donde L2 : x +y - 3 = 0J 2x - 4y = 0 | * o = 2sea x = z + 2 , y = w +1, reemplazando en : x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0 (2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene: (w2 - 3« + 2)dz + (m+ 1)zdu = 0, separando la variable — 4- . “ + *---- du = c => (j;-2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w+ 2 164) (x —2y —l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0 Solución Sea z = x —2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación (x - 2y —l)dx + (3x —6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z —l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables (1- —)dz + 5dy = 0 ; integrando z z - ln z + 5 y - c , como z = x -2 y entonces: x + 3 y -ln |x - 2y| = c 61
  35. 35. 165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Lj : x - y + 3=0 1 L2 - 3x+y+l =0 ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿2 de donde x - y + 3 = 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ^ » sea x = z —1 , y = w + 2 3x + y + l= 0 J .Vo =2 (x —y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z —w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando (1 —u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando (w2 + 2w+ Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables dz u —3 r dz r u —1 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —-----------¿w = c z w + 2w+ l J z J u2 + 2w+ l 2 2 ln z + ln(w+ 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde «+1 «+1 2x+2 w y - 2 ------ w= — = ------ setiene y = 1- x + ce r+>’ z x + 1 166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y dy = dz —dx, reemplazando en la ecuación 62 z dx + (z —l)(dz —dx) = 0, separando la variable dx + (z—l)dz = 0 , integrando J dx + J (z -)dz = c entonces 2 x +- - ~ - - =c porlotanto: 2x + (x + y - l )2 =k 167) y cosx dx + (2y —sen x)dy = 0 Solución Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación uz dz + (2uz —z)(u dz —z du) = 0, simplificando u dz + (2u - 1)(u dz + z du)= 0, agrupando dz 2u - J , r dz c 2u - 1 , , , ---- h---- -—du = 0 , integrando — + —du■= c de donde z 2u2 J z J 2u 2y ln y + sen x = 2cy y y168) ((x-y)cos —)¿/x+ xcos —dy = 0 x x Solución y Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x (x —ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 63
  36. 36. (1 —u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables — + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c x J x J V V In x + sen u = c, como u =— => ln x + sen —= c x x por lo tanto x =ke~SQnylx y 3dy +3y2xdx +2x3dx =0 Solución y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando u3(udx + xdu) + (3u2+ 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables dx u3 , ---- 1_—__——-----du - 0 , integrando x u4+3u2+2 — U— -----du = c de donde c Jx2 + y 2 = y 2 + J x J u4 +3u +2 ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0 Solución y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =*0 , simplificando 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables 2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du -----h-------j=—du = 0 , integrando I — + ------—— = c X u^lu J x J u J u3 2 2 [x 21nx + 21ni/H—j=r =c de donde lny - c - — entonces Vw vy y = entonces y e = k 171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución Por dato del problema d = x0 Además mLt| = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65
  37. 37. Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y '(*o) = O por distancia de punto a recta d ( 0 , L , ) J ^ = VO’( por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x0 y<t>xo/(xoÍ J F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene: - M * o))2+i y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ simplificando >’2 ~ * 2 —2xv;v'=0 de donde (y 2 —x 2)<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (u2x~ —x ‘’)dx —2x2u(udx +xdu) = 0> simplificando (u -1 )dx —2u(udx + xdu) = 0 , agrupando —(u ~ + l)¿¿r —2uxdu = 0 , separando las variables. 2w ^ a • * ^ f ,— + ---- du = 0 , integrando — + -------¿fa=lnc * u 2 +l i x J u2 + 1 lnx+ln£/2-+1) = lnc => x(u2+ 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2+y 2 =cjc x Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, el radio vector es una cantidad constante. Solución o/(*o)| o))2 +l La ecuación de la recta tangente es: Lt y - y0 = m(x- x0), de donde Lt : y =y'(x0) x - y '( x 0Kx0) +y 0 parax = 0, se tiene d1 = y Q- y '( x 0)(x0) r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn) además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene: 4 xo + y ¡ v - y 'x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx +y i * 2 +jV2 (c-jx1 + y2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (cJx2 +x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando , (c^l +u 2 -u)dx +udx + xdu = 0 , agrupando 67
  38. 38. c^l +u2dx+ xdu = O, separando las variables = 0 , integrando cln x + ln(w + •/l+M2 ) = ln& dx duc--4- - ^ ^ * é +u2 xc(u+*K+u2) =k dedonde y +^Jx2+y 2 - k x l c x 2+y 2 =k 2x 2^~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde . 1 / 1—(T 1 1+C .. y = —k v ----x 2 * k 173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Solución dy , Á t a O -* ) + 4 7 2 + (i- * ) 2 — = tg^ = c tg 0 = -----------2----------------- dx y ydy-(l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7 --p— ■. ... = dx integrando ^ y + (l-jt)~ = jt + c, parax = y = 0, 1 = < 4 y 2 +(l - x ) 2 y = 4cjc 68 174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es: L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o) ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y x o) J J X *0 de donde y = ----------- + ---------- 1-y 0 / ( * 0) /(* » ) parax = 0, dx =—^-—+y0 además d2 =Jxo + y'(x 0) y l como dx =d2 => ———+y0 =Jxo+.Vo »generalizando + y = -jx2+ y * 0) ' dy xdx +(y--Jx2+y2)dy = 0 , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du , simplificando (1+ w2 -u ^l +u2)dx+x(u-^ +u2)du = 0 69
  39. 39. dx U -V l + M2 x 1 +u2 -uV l + W^ du= O, integrando y reemplazando y 1 / 2 Ku = —se tiene: y =—(cx — ) x 2 c 175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Condición del problema x{)d = 2 d , la ecuación de la recta tangente es: Ly - y - y o = y x 0)(x-x0) ecuación de la normal es: LN : y - y 0 =— 7 7 — ( x - x 0) /(* o ) x *o l n '■y = — 77— y (Xfí) y (*0) para x = 0 => d, = ——— i-y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto: y'(x0) 70 x0d 1 = 2d => x n( -X° +y(i) = 2(Jx¿ +y l )2, generalizando v (jc0) 2 dx „ , 2 2 x — +xy = 2(x +y ) dy x 2dx +( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x 2dx +(x2u - 2 x 2-2 x 2u2)(udx +xdu) = 0 , simplificando dx +( u - 2 - u 2)(udx +xdu) =0, agrupando (u2- 2u - u3+)dx +x(u - 2- u2)du = 0 , separando la variable dx u - 2 - u 2 „ . A t , y — + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene: * u2- 2 u- u3+ x 71
  40. 40. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI La ecuación diferencial de la forma: ^ - +P(x)y = Q(x) dx donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden. Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por: - f p(x)dx y = ce J si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión. Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma: ^ + p(x)y = Q(x)yn dx ..(2) donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución. i-« 72 Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176) y ’+2y = x 2 +2x Solución La solución es: y = e ^p{x]d ^ e ^ pix)dxQ(x)dx +c] ...( 1) donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2) luego reemplazando (2) en (1) se tiene: - í 2dx r ' f 2dx 2 y = e J [ eJ (x +2x)dx +c] , efectuando la integral y = e~2x[j e2x(x2+ 2x)dx +c] y = e~2x[—— —- e 2x +— - 1-c] por lo tanto: 2 4 2x2 + 2x V= 4 177) {x2 + 2x-)y'-{x +)y =x - Solución / 2 n , / , x + l JC—1 (x¿ + 2x-l)y'-(x +l)y =x - => y '— ----------= —---------- x + 2x-l x + 2x- -p(x)dx r (p(x)dx y = e J [ e J Q(x)dx +c] -2 v — + ce - la solución es: 1 73
  41. 41. donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: x + 2 x -l x 2 + 2x - - - — ^ ± — dx , - x - y = e } x +2x-l r e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C] J x + 2 x -l iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , .. y = e 2 [ e “i-------¿fo+ c] x + 2x -1 y = V*2 + 2 * -l[f <X ^ ..y y dx + c] J (x2+2x-l) y =*Jx2 + 2x - l [ | ¿( X ; = )+ c], integrando j ^ x 2 + 2x - l y = a/ t 2 -4-?r -1 (— * . —- + <") por lo tanto: y = x +c ^ x 2 + 2 x -l 4 x 2 + 2 x -l 178) x ln xy'-y = x3(3 ln x - 1) Solución , 1 x2(31nx-l) xlnx.y'-y = x (31nx-l) => y ---------v = ----------------- xlnx mx p(x)dx f [p(x)dx T i j como la solución es: y = e J [I eJQ(x)ax +c] donde: 1 x 3(31nx-l) P(x) = — -— y Q(x) = x ln x ln x dx r dx x '(: Inx _f— - f— x 2(31nx-l) reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx +c] 74 y =e mnx)[j e -‘n(ln*> jr2(31nx Udx+c] y = lnx[fí/(-^--) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx por lo tanto: y = x 3 -f-clnx (a2- x 2)y'+xy- a 2 Solución / 22^ » 2 . * # ^(a -jc Xy+xy = a- => y +—------ y = a 2 _ x 2 como la solución es: y =e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c] x a2 donde p(x) =— -----— y Q(x) =— -----—, reemplazando se tiene: a - x 2 a2- x 2 -J -r -i* f ~2 y = e a x r 1*[ I V *2- '2 - - — dx +c] J a - x Un(a2-x2) r y = e 2 [e 2— - -dx +c] J a - x y = ^ja2 - x 2[a2 f— -—— — +c] entonces J (a2- x 2)3/2 y = 4 a 2^ x 2 ([d( ^ L = ) +c) => y = V«2 - x 2( ^ j L - ^ +c) Va - x -la~ - x por lo tanto: y = x + c ^ a 2 - x 2
  42. 42. 180) 2xy'-y = 3x2 Solución ^ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = — 2 x ' 2 como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx +c] 1 3x donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 f dx r dx = e 2x[je 2x — dx +c 1,—lnx ^ — lnx r— j r r—• y =e 2 [Je 2 xdx +c] => y =^Jx(—j^ x d x +c) y =-Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx 181) (x +)dy-[2y +{x +)*]dx =ti Solución (x +)dy ~[2y +(x +)A]dx - 0 dy 2 dx Jt+ l V= (jc-hl)3, como la solución es: ’=e ~ ^ x)Jx[ J P^ dxQ(x)dx +c] donde P(x) = — — y Q(x) = (.v+ 1)3 x + 1 76 f 2</r r 2¿r reemplazando se tiene: y =e x+l[je x+l (x +l)3dx+c] y =e2ÍBix+l)[je-mx+l)(x+l)i dx+c] y = (x+ 1)2[J (x+)dx+c] = (x+1)2 +c) , (x + 1)^ t por lo tanto: y =— ■— +c(x +l)2 182) / = ---------- L ----- xsen>> + 2sen 2y Solución 1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = ----------------------------- x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2sen 2^ - ¿/je — = x + sen>>+ 2sen2y = > ----------------(sen y)x = 2sen 2v «V úfv la solución es: x = e de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene: f sen v’rfv f f sen yrfy x = e J [J e J 2 sen 2ydy +c] x =e cos>'[4j ecos>’sen ycosydv +c] x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s e * * y + c ] => x = 4 ( l -e o s >■) + « > -cosv por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1' 77
  43. 43. 183) y'-2xy = 2xe*2 Solución y =e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx +c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex - f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2 reemplazando se tiene: y - e J [ei 2xe dx +c] y =exl [^2xdx +c] =e * x 2+c) por lo tanto: y - (x2 +c)ex 2 x 3 —2 184) x(x3+ l)y'+(2x3 -l)y = -------- Solución x 2—2 x(x3+ l)/+ (2x3+ l)y = -------- dividiendo entre x(x3+ 1) entonces: y'+ — -r——y = , ecuación lineal en y, la solución es: x(x +1) X (x +1) y =e p<x)d* d e p{x)dxq(x)dx+c] donde />(x)=-^y— y ?(*) = 2 3 J x(x +1) x (x + 1) f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3 reemplazando se tiene: y = e +1) [fe r(< " * • ^— dx +c] J x 2(x3+l) y = e , jr3+l . , *3+l. , 3 -ln------- r ln(-------) (x - 2) , [i e x ~ 2— í----- dx +c] J x 2(x3 +l) 78 * r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c] = - y — (x + — + C) x J +l J x3 x 3+l x 2 ex por lo tanto: y = ——- + — x +1 X 185) y'+y eos x = sen x eos x , y x_0 =1 Solución y =e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx +c] donde: p(x) =cosx y q(x) =sen x eos x . . . - Ieos xdx f í eos xdx reemplazando se tiene: y = e J [ e J senx eosxdx + c] y = e~*enx[J esenx sen x eos xdx +c] y = e~'senA[senxesenv- esenA + c] y = se n x -l + céTsenK para x = 0 , y = l = > 1 = 0 —1+ c entonces c = 2, por lo tanto: y = 2e~scnx + sen x -l 186) x ln * /-(l + ln x)y +^ ~Jx(2 + ln x) = 0 Solución xlnx.y'-(+lnx)y+~ (2+lnx) = 0 , dividiendo entre xlnx entonces se tiene: 1+ lnx (2 + lnx) .. i i y _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: xlnx ' 2^¡xlnx 79
  44. 44. y = e ^p{x)<L e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - — J xnx 2-Jxlnx r l+ln.v f 1+ln.r _j — d.x r I—— dx 2+lnx reemplazando se tiene: v = e ' lnt [- e vlnx — j=----- J 2Vxlnx y =eln(vln-*,[- fe [n{xAnx) .dx+c] J 2^1x Inx ^ = x.ln x[- f —^ ^n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—=------)+c] J 2V xxlnx J 4 x n x y =x. In x(-jJ--+ c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x -v/xln* 187) 3xy'~2y =— y Solución x 3 , 2 x 2 y 3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli •2 3x 3 v ¿/v 2x 2 _2 w. r , , 2 —--------y = — y multiplicidad por y dx 3 x ' 3 2 __3 = * 2 dx 3 x ’ 3 sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene: ' dx dx L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal . 3 dx 3x 3 dx x 1 dz 2 x dz 2 _ i dx +c] 80 - f --dx c f -dx cuya solación es: z - e x [e x x~dx +c] entonces: '[Jífr + c]z =e 2lnx[ dx+c] => v3 = x y +cx2 188) 8xy'-y = - 1 yl)x + Solución o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p=^L_1 entonces —--------v = ----------y^— , ecuación de Bernoulli y^Jx + 1 títe 8x %xylx + l multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v4 = - - * dx 8x ‘ 8xa/x+T seaz = y 4 entonces — = 4^ 3— , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx dz 1 dz 1 1 ., .. — —— — z = ------7= = -~ => —--------z = - 7= , ecuación lineal 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l f ^ f ¿r ^ cuya solución es: z = e 2*[ - 1e 2* -----........+ c] J 2xvx + l —lmr /• ln.r z - e 1 [ - e 2 ----- - + c] entonces J 2xVx+l z = V x [-f—j J ^ j = +c] => Z= -Vx[frf(^ ^ )+ c] J 2V*W*+1 J V* ’= V^(—7=~ +c) = por lo tanto:v4=4x++c^fx Vx 81
  45. 45. 189) (Jty+ x 2y 3)y'= l Solución (xy + x 2y 3)y'= l => (xy +x 2y 3) ~ = dy 1 dx 2 3 — = --------—— entonces — =xy +x y dx xy + x y dv -xy = x2y 3 multiplicidad por x-------- -> dy -2 dx - 1 3 -1 v-2 dx x ----- yjc =y , sea z =x => — = -x — dy dy dy — - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: dy ^y r f , zi ^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e '2 [-Je V ^ + c l => _zl ¿ ¿ z = c 2 [- y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto: 190) / - y = 2*e*+x2 1 2 "T—=2- y +ce 2 Solución Como y = e ^/(r)í/r[ |e ^ (v)í/X^(jc)dx+ c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* Reemplazando se tiene: y = e ^ [Je^ 2xev+v dx +c] 82 y = ex[j2xex dx+c] entonces y =ex(ex +c) por lo tanto: y = ex x + ce 191) xy' =y + x2senx Solución 2 dy 1 ., xy = y +x sen x => —----- y = xsen x , ecuación lineal dx x la solución es: y = e r dx r dx y - e x [f e x xsenxdx +c] y = elnx[j e~lnxx sen x dx+c] = x(- eos x +c) por lo tanto: y = -x eos x + ex 192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2) Solución x2y'+2x3y = y 2(1+2jc2) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli x multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~x x 2 sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando dx +2xz=— -— =>-----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es: dx x2 dxx2 83
  46. 46. - f - 2 xdx f [-2 xdx (l + 2 x 2 ) Z —e J I—I pj ------ 4---- r r -2xdx (l + 2x~) , _ [ - U J ----- -dx +c] J X = ^ [- j dx +c] = e"2[J r f ( ^ - ) + c] 1 1 *2por lo tanto: —+ —+ ce y * 2 2 2 x - y - a Solución 2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ ¿ dx1__ y 2 +a2, y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y . . dx 2 v2 + ¿z2 multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ ----- y dy 2y 2y 0 dz dx . dz y 2+ #2 , A A sea z - x => — = 2x— , reemplazando ——— ——z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2y 2y 1 cuya solución es: J « y'*«,)dy+c] donde dy y y J 1 2 + a 2 p (y) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene: r J v y +a [-le y - -------- dy +c] J v 2 2 2 := eln;l'[-1 — - —- dv +c] = y ( - y +— +c) entonces J y 2 ' ' y 84 z = - y 2 +a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy 194) 2 senx.y'+y eosx = y 3(x eosx - sen jc) Solución 2 sen x ./+ y eos x =y 3(jc eos x - sen x) de donde dy c tg x 3, x eo s*-sen* .., — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen* multiplicando por y 3 se tiene: y 3— + c ^ x y 2 —j [cosx_senx dx 2 2 sen x sea z = >,-2 =* — = -2y~3— reemplazando - 1 ^ +£ÍMÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx dz —— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx --cX%xdx f f-rtgjr dx z - e f J e (xctgx —X)dx+ c] _ lnsenjc«- f -ln sen jr/ . n z - e [- e (xctgx-l)ax + c] _2 r fx c o sx -sen x , y = sen x[-1 --------- -------- dx +c] entonces: J sen x —2 XX y = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------hc) por lo tanto: sen x sen x l — = x + c sen x 85
  47. 47. Solución 3x2 dx x3+y + l , , , y'=----------- => — = -------— de donde x3+y +1 dy 3x - —x = - +—x 2, ecuación de Bernoulli dy 3 3 2 . 2 <^X 1 2 V+1 multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = — 2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 V+ l sea z = x => — = 3x — reemplazando -- - z = —— tfy dy 3 dv 3 3 de donde-----z = y +1, ecuación lineal cuya solución es: dy z =e ^ dy[je^ dy(y + l)dy +c] z =ey[je y(y +l)dy+c] => x3 =e-'[~e v(y +l)-e y +c] por lo tanto: x3 = - y - 2 +cey ■ X+ 2 _ d - * V ^ je2H-a:-I-1 (x2+Jf+ l)3/2 Solución Multiplicando por y 2 se tiene: •*+ — /t 2 y“V + ^ — — y ~ l = — — * 3/2 —d) JC + *+1 (JC + *+ l)3 2 1 sea z = y 1 => — = -y 2yV reemplazando en (1) dx dz 2x + l - x 2 dx 2 (jc 2 + jc +1) ( x 2 + jc +1) dz 2x +l x2 -1 3/2 ^ = —i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es: dx 2(x2+x +l) (x2 +x +l)3/2 r 2x+ c 2x+ z. (*2 -D ^ +c] J (x2 + * + i )3/2 —lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2-l) z —e * [e —i----------ttv dx +c] J (x2 + x + d 3/2 2 z^-Jx2+jc+ l[f—— ----^-— dx+c] =^lx2^ x +l[[-d (———-----)+c] J (x2+* +l)3/2 J JC2+JC+1 Z=4 x 2 +JC+1(----- ----- +C) = ----j-..* +Ca/x2+JC+1 jc + jc+ 1 V*2+x + l -i x n y = — p- 7+c^x +jc +1 ^ x 2+x +l m 3 y ^ ^ L - - L ^ - f > X(x~ —ci^) y 2 x —a~ Solución 87
  48. 48. , 2 . x2+a2 1 *(3jc2 - g 2) Multiplicando por y ¿ se tiene: 3y y + ^ >' “ ^2 _ a 2 sea z = y 3 => — = 3 y 2 y al reemplazar se tiene: djc ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es: _r_£±5l_rf, , f x?fl ~<favnvJ-flJl ■ í *(**-*) [f e ^ -^ - d x +c] j JC - f l ln_ ^ f fln¿±íl) ^3,2- fl2) z = e ¿ - ' [ W / 'dx +c] J x - ax “- a z =- ^ [ O x 2 - a 2)dx +c) =^ - T[xi - a 2x +c] x 2 - a 2 3 x -a 2 2 CX por lo tanto: y -x + _fl2 198) (l + x2)y' = xy + x 2y2 Solución 2 —2 , x—1 X y__ £ _ y=— y2 multiplicando por y se tiene: y y - ^ r ~ i y— y — — — _ y u i u n i p u v a u u u p v i j o w i , v u v . y ./ 2 J 1 . y 2 1+JC2 1+x2 1 * 2 sea z = y -' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal. dx d* l+x l+x - [ - 1 —dx , f - A r * v;2 z = e ¡ ,+x2 [fe 1+jr (------- T)dx +c] j 1+ JC 88 z = e 2 ——ln(l-f-Ar2> r iln (l+ ^ 2)~ 2 M e 2 ---- 7¿*+c] J 1 + jc2 1 r jc2 = .-■■■■■■.[-dx +c] por lo tanto: 4i+ 7 J i i (- —Vl + x2 + —ln[x + Vl + x2 ]+ c A f - ±<*+»V1 + jc 2 Solución _2 2 y 1 ? Multiplicando por y se tiene: y" v'+—— = — (jc+1) 1 + jc 2 sea z = y “1 => — = - y ”2y', reemplazando en la ecuación: dx — = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3, ecuación lineal cuya solución e ¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2 ¿x c dxr dx f dx z= e J l+x[ je J ,+x ~ (x +l)3dx +c] z = e ,n(,+*)[fe-'n(,+x>± (l +x)3dx +c] z = (1 + x)[J + ^ dx + c] por lo tanto: 1 +— = — ——+ c(l + x) V O
  49. 49. 200) 201) (x 2 + y 2 +1)dy +xydx =0 Solución xy — + x2 + y2 +l = 0 =» — +—x = - x 1, ecuación de Bernoulli dy dy y y dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + —x = --------- dy y y sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy 1 dz 1 y2+1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------), ecuación lineal cuya solucion es: 2 ¿y y y dy y . y ¿/y+ c] z = e- ^ y [_2 ¡e m y ( ^ - — )dy +c] => x2 = - ^ f " 2^ + + c] J v v 4 2 por lo tanto: / = 2y lny + y-jc Solución ¿/;t _ 2xlny +y - x dy x — + L x =2ny +l, ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y 90 - J - f J - z = e v fj e y (21n y +)dy +c] entonces: ,z ~ e ln) [J elnv(21n y +Vfdy +c] =$ x = —[J (2y ln y + y)dy + c] Q por lo tanto: x = y ln y + — 202) x(x - l)y’+y = x 2(2x - 1) Solución 1 (2jc -1) ^+~ (--ñ^=---r x’ecuaci°nünealcuyasolución es:— 1J X ~ X r dx r dx y =e 4*4) [ í j ^ ) x< ^I± )d x + c] J x - l 1/ x X , JC—1 jc-T rf T / 2 x ~ l wy = e x 1 [je x x(— — )dx +c] J x - l y = - ^ — [(2 x-l)d x +c] => y = - ^ —(x2 - x +c) X - l J x - l por lo tanto: y = x 2 +- x - l .2 , CX x - l •*W) y'-y tgx = sec;c, y|^=o=0 Solución - f - t g xdx f f-tgjxdx y = e e J sec xdx +c] 91
  50. 50. 204) 205) eos X y = e Ulc:>s;c[Je lnsec* secxdx +c] entonces: Csec x y = L .x x ( ------ dx +c) =secx(x +c ) , parax = 0 setienec = 0 l sec x X por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = - y' eos y +sen y = x + 1 Solución Sea z = sen y => — = eos y.y' , reemplazando en la ecuación: dx + z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx z - e ^ [je^ (x + l)dx +c] => z - e *[Je* (x + l)dx +c] por lo tanto: sen y = x + ce' y'+ sen y +x eos y + x = 0 -x Solución y y 2 y 2 y Sea sen y = 2 sen —eos —, eos y = eos —- sen — 2 2 2 2 y y i y 2 y ^ y '+2 sen —eos —+x e o s ----xsen —+ x = 0 2 2 2 2 y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —-x ( l- e o s 2 —) + x = 0 , simplificando 2 2 2 2 92 / + 2 sen —^os —+ 2xcos2 —= 0 2 2 2 2 y y sec “ —y1’+2 tg —+ 2x = 0 entonces: 2 2 sea z = 2 tg— => — = sec2 —.y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2 dz — + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx z - e [-2^e^‘lXxdx +c] => z = e~x[-2(xex - e x) +c] 2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x +l 206) / - - ^ = é>*(l + x)'1 x + l Solución - f ——<¿r /• f——dx y = e ' x+l [I e x+l ex(l +x)ndx +c] y = e-ninu+DeX(i + Jc)»í¿c+ c] entonces: >- = (x + l)"(c-t +c) ’07) |V(ctt)¿/a =ny/(x) Jo Solución 93
  51. 51. Jii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n¡/(x), derivando: 1 ex 1 f x V ( x ) ,/ x — ir{z)dz = n¡f{x) => — •lf(z)dz + ny/(x) x Jo X Jo x como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2 (1-« ) , y /'( x ) _ - n ¥{x)L - - =n¥ {x) entonces: — integrando ln(y/tx)) = ln x.(-— ) + In c n i-n ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) =c.x n - x 2 2 y'+xsen2y = xe eos y Solución 2 y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x sea z = tg v => — = sec1 xy.y reemplazando se tiene J- + 2xz = dy “X z = e~i2xáx j J 2xdxXe~x~dx +c entonces tg y = e~x [Jxdx +c] xe~x - x 1 por lo tanto: tg y = —-— + ce En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. 209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo Solución -f-2xdx f f-2xdt v = e J [I eJ (eosx-2xsenx)dx +c] y = eA [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces: y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y =e x (e x senx + c) . x2 y = 3sen x +ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x 210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo Solución , 1 senV*+cosV* ., .. y -----t=y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v* 2V* _e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f,l^ ~ V £ ± c o w « 1 i4 x J 2Vjc y = e^[J</(e“^cosVx) + c] => y - eos~Jx+c) y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x-H -ao= >c = 0 por lo tanto >■= eos Vx 95
  52. 52. 211) ln 2 = 2senx(eos x -1) ln 2, y es acotada cuando x -*+oo Solución y =e- - la2<lx[j J - ln2dx2senx(c o sx -l)ln 2 dx+c] y = exln2[ je - xla22seBX(eos x -1) ln 2 dx + 1] y = exla2[j d (e~x]n22ieax)+ c] y = exln2(e~xln22senx + c) => y = 2senx +cexln2 como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0 por lo tanto: >' = 2sen' 212) 2x2y'-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo Solución 1 2xcosx-3senx y ------y = ------------ --------- 2x 2x - f f f t 2xcosx-3senx , y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c] lnjr lnx — r —t- 2xeosx-3senx v = e 2 [ e 2 (--------------5--------)dx +c] J 2x /— r sen x /—^sen x sen x r~ y =J x []d (-jjY )+ c ] => y = 'Jx(—^jY+c)= - +cV* como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0 96 por lo tanto: y = -~n * , sen 2 x y senx - y eosx -------- -— , y —>0 cuando x -> oo x Solución . * sen x y c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es: x -j-ctgxdx f j-ctgxdx senxv , y = e J [ e } (-r~)dx +c] J x ¿ .. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSX y - e L“ J e (— Y~) * + entonces: J x „ f dx i senxy = senx[-J — c] => y = — — + csenx como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0 por lo tanto: y = senx (1-fx 2) ln(l + x 2)y'-2xy = ln(l +x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo Solución dy 2x 1 2xarctfíc //v ,1 . 2x, * 27^ — 2“ ~ ---------r »ecuación lineal, la solución es: dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x ) f - 2 x d x f -2 a ¿v v = í? MMbO+j:2) rf J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgx J 1+x2 (l+ x2)ln(l + x2)
  53. 53. = e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c tg y x + c,j j (l + x 2)ln(l + x - ) (1+ x )ln(l + x ) y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c] •> ln(l + x ) n,r arctgx , y = ln(l + x )[------^ + ^1 ln(l + x ) y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c por lo tanto: y = arctg x 215) y' - exy = -y se n —-e* eos—, y —>2, cuando x —>-oo x * x Solución = ^ f e dx[J e^ sen —-e* eos —)dx +c] y = e€ [[e~e (-^-sen —-e* eos —)dx +c] x 2 * x y = keJ d ( e ~ eX cos^-) + c] => y =ee [ e e cos^ + e] y = eos —+ ce6 cuando y ->2, x -> -oo x 1 ^ - eos — c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto: 1 y = e -heos — x 98 216) y '-y ln x = -(l + 21nx)x *, y -* 0 cuando x-»+qo Solución - f - ln.v f í-lnjrár y = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx +c] y =exlDX-x[ - ¡ e x~xln*(1+ 2 Inx)x Xdx+c] y = x xe~x[-J e x(1+ 2 ln x)x~2xdx+c] y - X xe~x[jd (exjc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c) y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0 por lo tanto: y - x~x 99
  54. 54. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTOR in t e g r a n t e ! La ecuación diferencial de la forma: M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1) Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y) du du Mdx +Ndy = du = — dx +— dy ox oy la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición. dM dN dy dx ... (2) La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien. í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = c Jx0 Jy0 ... (3) En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total: du = u Mdx + u Ndy ... (4) Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene: duM d Ar A . . K1duA du.dM dN. ------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u dy dx ox oy oy ox consideremos los siguiente casos: 100 Primer Caso.- Si u es una función solo de x. r: f ^u dM dN du Entonces: — = 0 => u(------------) = N — dy dy dx dx du i M N du 1 dM dN J — - — ( ) de donde — = — (—-----— dx N y x u N dy dx ln u = J f(x)dx => u = e¡ f {x)dx Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces: dU . . ,dM dN ^ t r du — = 0 luego m(—-------— ) = - M — ox dy dx dv du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , J dedonde v = _ ¥ (1 7 “ &"Mv = g(v)^ ’ mtegrand0 lnu = g (y )d y =» u = J sWdy Integrar las ecuaciones. 217) x(2x2 + y 2) +y(x2 + 2y2)y'=0 ¡M = x (2x 2 + y 2) [N =y (x 2 + 2y2) Solución dM dy dN dx = 2xy = 2xy Luego dM _ dN dy dx la ecuación es exacta 101
  55. 55. 218) df(x,y) df(x,y) » 3 f(x ,y ) tal que v. • =M y Sx 5v d/fo-jj. = x(2x2 + y2) integrando respecto a x. cfcc 4 2 2 f( x ,y ) = j x ( 2x 2 +y 2)dx +g(y) = ^ + ~ - + g(v), derivando - x 2y +g '(y) = N entonces x2>y+ g'(v) —y(x + ) 5v g ’(^) = 2^3 => g(y) = + c , reemplazando en la función f( x ,y ) = — +^—^ +— +c porlotanto: x* +x~ y 2 +y 2 2 2 (3x2 + 6xy2)dx+(6x 2y +4;y3)dy = 0 Solución m =3x2 +6xy2 [N = 6x 2y +4 y ì = 12xy d M _ dy 8N 10 — = 12xy . dx Luego = la ecuación es exacta dy dx df(x,v) , , df(x,y) Entonces 3 /(x , v) tal que — ^ - — =M y — = N y) _ 2x 1 +6xy2 integrando respecto a x. dx . 102 f( x ,y ) —-V3 +3x 2y 2 +g(y) derivando respecto a y df(x,y) á 2 , , r — ----= 6x y +g (y) = N dy 6x y +g'(y) = 6x 2y +4 y3 entonces g'(y) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c f( x ,y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x*+ 3x2y 2 + y 4 =k 2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - (' V* + / x y 4* + y y y ' Solución x 1 1 M = ■.— = + —+ — ^ y i X_____ i_ __ ■yfx2T y 2 y y 1 xvdM dy (x2 + y 2)3/2 y 2 xy T dM dN 1 Luego ——= —- la ecuación es exacta <7y dx Entonces 3/(x,_y) tal que df{X' y) =M y Q B g É . = n de donde ox dy àf(x,y) _ x 1 1 3x Vx2 + y 2 * .V integrando respecto a x. f{x,y) f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ +y 2 +lnxH----------h g(y), derivando J r + v¿ x y yJ Vx2+ y2 * > 3/(x,y) _ y =— +g'(y) = N 103
  56. 56. 220) ^jx2 + y 2 y r +«'CK) = 1 X r+ ------ J 7 + 7 y y g'(y) = i. => g(y) = lny + c', reemplazando en la función: f(x ,y ) = J x ^ + y ^ +lnx+ —+lny+ c por lo tanto J x 2 + y 2 +ln xy+— =k v ' y (3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0 Solución 2 2/M = 3x tg y -----— x 1 3 N = x 3 sec2 y + 4y3 h dM ~2 2 6y -----= 3x sec y ------ r- dy x dN , 2 2 6.v2 ----= 3x sec y ------ y dx x Lueg0 la ecuación es exacta, entonces: dy dx Qf(*>y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x. a* x3 f( x ,y ) = ( 3x 2t g v - ~ - ) d x +g(y) = x3 tg y + ^ y + g(y), derivando ¥ ( x ,y ) 3 2 3y,, „ Ar — ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV oy x 3 2 3 2 x3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces g ’(y) = 4y3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función: /( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: x 3 3 4 V , x tgy + y + ~ =k . x 221) (2x + ^ 4 ¿ ) d x = ^ l ^ x 2y xy2 Solución M =2x + x 2 + v2 x 2y N = - x 2 + y 2 A^2 rW 1 1 ■—+ —r y x-dy d N ____I_ ax " / + x 2 dM dN t Luego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 / 0 , y) tal que—- = M y —■ = A/- de donde ox d/(x,y) x 2 + y 2 . —------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene: S* x y /• ^ | y ^ y f(x ,y )= (2x+ ---- —— )dx+g(y) = x 2+ -----—+ g(y), derivando x y “y x 105
  57. 57. dy y x X 1 X 1 •—r--------------------------------------------------------------------------------- f-g' (y) = ---- ----------entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando: j '2 * v2 * f( x ,y ) = x 2 + —- —+ c por lo tanto: .V x 2 * V x + ------- --=k y x sen 2x sen2x x , . 222) (—------ + x)dx +(y — —x— )dy = 0 y y sen 2x M = -------- + x N = v - sen2 x Solución dM sen 2x dy y 1 dN _ 2 sen x. eos x sen2x dx y 2 y 2 dM dN Luego -----= ----- la ecuación es exacta. dy dx Entonces 3 /(x , y) tal que =M y ^ - = N de donde dx dv df (x, y) _ sen 2x 5x + x integrando respecto a x sen 2x + x)ífr + g(.y) = - cos2x x . ---- — + _ + g^y} ^ derivando 2y 2 dl ^ ^ + g<(y )= N dy 2y 2 106 223) — — +g W = y -------— 2y 2 y 2 eos 2x sen2 x ,, . sen2 * eos2 x sen2 x g (y) = y -------- ^-------------- 5 -+ — y 2 2y2 2y2 8'(.v) = y ------r => g(y) = +-^- +c, reemplazando en la función 2 v 2 2y /( x , v)= - ^ +iL + X + > - + t;-=--COS X+ Sen~JC+ f _ ± Z l + _ L = ^ 2_y 2 2>> 2 2y 2 2y 1 sen2 jc x 2 + y2 1 2 y + y i---- 1-----= fc 2 2y por lo tanto: sen2 x x 2 + y2 . , --------+------ =---= k (■•-— +2x y - —)dx +(-Jl +x 2 + x2 -nx)dy = 0 Vl + * 2 M = - A = +2xy - y Vi + x + x 2 + x 2 -ln x Solución SM x + 2x- ^ ^/l + x 2 a v x , i — = - 7= + 2 x — ^ “vi + x 2 x dM dN , Luego ——= —— la ecuación es exacta, entonces : dy ñr 3 /(x , tal que — ■*»^ = Af y = TV de donde ese dy 107
  58. 58. ñ —— X_V----1-2xy—— integrando respecto a x se tiene ' * f( x ,y ) = y-jl +x 2 + x2y - y ln x + g (y ), derivando Qf(x' y ) =-y/l + x 2 + x 2 -ln x + g'(y) = N dy -Jl+~x* + x2 -ln x + g '(y ) = Vl + * 2 + x 2 -ln x g'(y) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función: /(x , y) = yV1+ x 2 + x 2y - y ln x +c , por lo tanto: y j l +x 2 + x2v - y n x = k xdx+ydy + xdy - vdx _ ■p- + y 2 + *2 Solución agnlpando +.V2 * d (J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a término v ' x |d (^ /x 2 + y 2")+ Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c (sen v+ ysenx + —)dx + (xcos y -co sx + —)dy = 0 r x y Solución 226) M = sen y + ysen x + — x N = x eos y - eos x + — 7 dy dN_ dx eos y + sen x = cosy + senx dM dN , Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces : dy ¿k 3 /(x , y) tal que d^ x' y) =m y S Í J ^ I l = N de donde dx dv df(x,y) 1 . = sen y + y sen x + — integrando respecto a x. OX X f ( x>y) - J(seny+y senx+ + g(y) =x seny —y cosx+lnx+g(y) derivando df(x,y) dy = x co sy -co sx + g ’(y) = N x co sy -co sx + g'(y) = x co sy -co sx + — y g'(y) =— => g(y) = lny +c reemplazando en la función: f ( x ,y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: x sen y -y c o sx + ln(xy) = £ y + senxcos xv . , x ------------ -ax +(------------- -----+ seny)dy = 0 eos xyeos2 xy Solución 109
  59. 59. M = y + sen x. eos xy eos xy N = 2 eos xy + sen v -----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xy dy SN 2 o 2 t — = sec xv +2xy sec xy. tg xy dx dM dN , ., . como -----= ----- la ecuación diferencial es exacta dy dx entonces 3 f(x ,y ) tal que y ■ - N de donde dx dy df(x, y) y+ sen x.eos xy dx eos2 xy integrando /(x,y ) = J(ysec2xy + senx)dx + g(y) = tgxy-cosx+ g(y) derivando df(x,y) dy = xsec xy +g'(y)= N xsec2 xy + g ’(>>) = -----:— + seny eos2 xy g ’(y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función: f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto: tg*y -c o sx -c o s y =k 228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1 y y> X Solución 110 . dM dN Luego ——= —- la ecuación diferencial es exacta, entonces: dy dx df (X y) y + sen x eos2 xy . dx integrando respecto a x se tiene: eos xy f ( x,y) =J (js e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -co sx + g(y) entonces: ¥{x,y) dy =x sec xy +g'(y) = N 9 X x sec xy + g' (y) =---- -— + sen y eos“ xy g ,(j) = sen>; => g(y) = -c o sy +c reemplazando en la función f(x , y) = tgxy-cosx-cos.y + c , por lo tanto: tg xy - eos x - eos y =k [n eos(nx +m y)-m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O Solución [dM M = ncos(«x+ my) - msen(rax+ ny) N =mcos(hx+ my) - nsen(wx+ny) dy dN dx ■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny) =-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)
  60. 60. 230) como = — - la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que dí ^ x,y) = M y - = JV de donde cbc — n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i ene dx f(x , y) = J[n cos(mx + m y)-m sen(ms + ny )]dx +g(y) = sen(nx + my) + eos(mx + ny) + g(y), derivando respecto a y se tiene fo.Zl = cos(nx +my) - n sen(mx +ny) + g' (y) = N dy m eos(nx + my) - n sen(mx + ny) +g'(y) = m eos(nx + ny) - n sen(mx + wy) g'(j;) =0 => g(y) = c reemplazando en la función y ) = sen(nx + my) + eos(mx + «y) + c , por lo tanto: sen(nx + wy) + eos(mx + wy) = k xdx +ydv +( 1 + ^lL ).(yd x - xdy) = 0 ^í(x2~+v2)( - x 2 - y 2) y J y 2 - x 2 -v"^í^?~+y2)^ l- x 2 - y 2) y j} Solución xdx+ ydy J ( x 2 + y 2) ( l- x 2 - y 2) y j v 2 - x + (— __ + — r-).(ydx- - xdy) = 0 d(^x2+ y 2 ) [ ydx-xdy ^ _x/v (ydx-xdy) -Ji—(x2 + y 2) y^Jy —* v2 112 d(arcsem/x2+ y 2)+ d(aresen—)+ e ' vd(—) = 0, integrando término a término y y d(arcsen J x 2 + y 2)+ fd(arcsen —)+ íe x/yd(—) =c J y J y aresen J x 2 + y 2 + aresen —+ eJf'/<v = c y 231) (—sen-------eos —+1)dv+ (- eos - -------- sen —+ -^r-)dv = 0 y y x 2 X X X v2 y y 2 ’ Solución 1 x v y . m 1 X =—sen----- “ Cos—+1 ----= — -sen - y y x 2 x dy y y 1 „ y X y 1 dN_ 1 X—cos------ -sen—+— X X y 2 y y 2 dx~" _sen y v y x2 1 y y y eos—h——sen— x x x x x 1 y y y — eos------- eos^ + -~ sen^ v y x x v3 jt 5M fflV como ——= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que =M y d^ * ' y) = N de donde dx dy dx 1 X y —sen — y y x 2 1 X y í—sen—-- - ~ c y y X2 ,z.x y df(x,y) x x 1 y ---------- ~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = Ndy y y x x 113
  61. 61. x x 1 y . 1 y x x 1 ---- -sen —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5- v2 V x x x x v .V J' g'(y) = - y g(y) = - + c reemplazando en la función x y 1 f(x, y) - - eos —+ sen —+ x ---- + c , por lo tanto: y x y V-------- x 1 sen---- eos —+x —- = k 232) y(x2 +y 2 + a2)dy+x(x2 + y 2 - a 2)dx =0 Solución dM M = x(x2 + y 2 - a 2) N = y (x 2 + y 2 + a2) dy dN dx = 2xy = 2xv dM dN . .. , Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces: dv dx 3 f(x,y) tal que = M y — = N de donde dx df(x,y) dx = x(x2 +y 2 - a 2) integrando respecto a x se tiene: f x A x 2v 2 a 2x 2 f(x ,y ) = j x ( x 2 + y2 - a 2)dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando df(x,.v) dy =x 2y +g'(y) = N entonces: x ¿y +g'(y) = y(x2 + y2 +a2) 114 y4 a 2v2 g'(y) =y + a2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función . x 4 x 2y 2 a 2x 2 v4 a 2y 2 f( x ,y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c 4 2 2 4 2 por lo tanto: x 4 +y 4 +2x 2y 2 - 2a 2x 2 + la 2y 2 - k 233) (x 2 + y 2 +)dx-2xydy = ti, n =<p(y2 - x 2) M - x 2 + y 2 +1 N = -2xy dM dy dN dx Sk>lución = 2y = -2v , dM dN , Luego ——* —— la ecuación no es exacta dy dx Sea = = = N y dy dx - 2xy x 2dx u = e (x + y 2 +l)dx— —dx —0 ósea M = +~ - +-^— entonces: * * x 2 x 2 dM 2y dy x 2 dM dN , como——= —— la ecuación es exacta, entonces: oy dx 115
  62. 62. 234) 3 f(x,y) tal que íO ílZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrando dx dx x x f( x ,y ) = x - —----- -+ g (v ) derivando - - = - — + g' (v) = N entonces: x x dy x -?^L+g'(y) = => g'(y) = o => g(y) =c reemplazando en la función x x y2 1 .f(x, y) = x - ~ --------+ c , por lo tanto: x x y 2 - x 2+1 =kx ( - x 2y)dx+x (y - x )d y - 0 , n = <p(x). Solución M = - x ly U = x 2(y -x ) ^ = - * 2 dy dN . 2 — = 2.W-3.V dx dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta. dy dx _ n . 1 .dM dN Sea f( x ) = — (— " — ) = 2 N dy dx x ' ( y - x ) x ( y - x ) , multiplicando a la ecuación diferencial ... , 2 ¡f(x)dx 1 f( x ) = — => y = eJ = — X X -¡j- (1- X2y)dx +(y - x)dy = 0 116 M = - y - V x 2 ’ => N =y - x dM dN dM dy dN dx =-1 = -1 como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces dv dx 3 f(x,y) tal que - m y = N de donde dx dv df(x,y) 1 dx x 2 ■y , integrando respecto a x se tiene: f(x , y) = - ~ - xy + g(y), derivando = -x + g' (y) = W x dv -*+£'00 = y - x g(y) = y => g(.V)=-~- + c reemplazando en la función 1 v /(x ,y ) = ---- -xy + --------he , por lo tanto: x 2 xy2 - 2x 2y - 2 -k x 235) (3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0 Solución dM _ 2 2 -----= 3x +3v dy ¿w dt = 3x2+3 v2 117
  63. 63. w- 236) 118 como ® L =P1L la ecuación es exacta, entonces dy dx df(x,y) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx f( x ,y ) = x 3y +xy3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- +g'(y) = N x 3 + 3y 2x +g ' ( y ) =x 3 +3y zx entonces g'(y) = 0 => g (y )-c reemplazando.3 , 1..2 f(x ,y ) = x3y + xy3 +c por lo tanto: /. x*y + xy3 =k xdx + y d y +x(xdy- ydx) = 0 , u -j/(x 2 +y ) Solución A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente: (x - yx)dx +(x 2 + y)dy = 0 entonces: M *=.x-yx U = x 2 +y m dy dN dx -= - x como ±,-£L la ecuación no es exacta. dy ' dx 2 2 dz -> dz _ ?v Sea z = * +y => ’ - > Sx dy u = y/(x2 +y 2) => u = |/(z) => lnu = ln|/(z) 31nw 3 lnu dz _ 31nw — — = — — = 2x------- dx dz dx dz 31nwdlnw dz . Slnw r— = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz dM dN xrdlnu dlnu ----------— = N —------ M ------- dy dx dx dy dz dz - 3 x = (2x3+ 2xy-2xy +2xy2) d(nu) dz 3 , 2 , 2x3(lnw) d(lnu) 3 - - . ( X + => - i — - z 2 dz dz 2 zn 3<*z t 3, 1 i d(lnu) = —— => lnw = - —lnz entonces u - — rr r-=> u = 2z 2 z 3/2 ( j ’ + j,*)*'2 (x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante: x 2 - x y x 2 +y J ^ T I ivv/T + ^----- TTrT = ®* poniendo bajo diferencial ( o r (x ¿ + y ) j / * “ 1 v „ . , y - 1 g(~7= = ) = () integrando — ^ f 2 2 237) (x2 + y)dx-xdy = 0, n = <p(x). Solución 119
  64. 64. M = x 2 +y N = - x dM _ dy 8N_ = _ i . dx dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta dy dx .. 1 m dN 1 2 sea /(* ) = — (—— -r-) = — (l-( -l)) - N dy dx x x u~-e - e 2 => W='T x ¿ x V 1 (x2 +y)dx-xdy = 0 => (1+—)dx — dy =0 X X dM 1 dy oc2 é w = J _ Cbr " x 2 como=—— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de donde dx dy d /(*..y) . y dx x 2 f( x ,y ) = x - —+ g(y), derivando x —= --+ g '(y ) = N entonces: + g'O0 = - — => áf'OO = 0 => g(y) dy x x x 120 /(x ,y ) = je- —+ c, por lo tanto: x x - l = k 238) {x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji = <p(x) Solución M =x +y 2 [TV= -2 xy dM „ ^ r = 2 -v ,a¡T * dM dN , como ——* —— la ecuación no es exacta dy dx , 1 ,dM dN, 1 2 sea /(* ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ;+ 2 j) = - N dy dx 2xy x f f(*)d* Í ~ T u =eJ =e x =e (x + y )d* - 2xydy = 0 ■y (*+y 2>dx- — dy = 0 U - U ¿ * x 2 _2Z dM __2y_ dy x 2 dN _ 2y x2dx - 2 dM dN , como ——= —— la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que =M y = N de donde dx dy entonces 121
  65. 65. df(x,y) 1 y = —+ - dx x x integrando respecto a x se tiene: f i y 2 v2 f(x , y) = ( - + -^r)dx +g(y) = In x - — + g(y) denvando J x x 1 x dy x — +g'(y)=~— => g'(y) =0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x y i f( x ,y ) = ln x - - —+c, por lo tanto: x ln x - y =kx 239) (2x2y +2y+5)dx +(2x3 +2x)dy = 0, n = cp(x) M = 2x2y + 2 y +5 n = 2x 3 +2x Solución dM dy dN_ dx = 2x +2 = 6x 2 + 2 dM dN corno -----* — no es exacta; entonces dy dx ri ^ .dM dN 1 2 o z - 2 sea /(x ) = — (—------ —) = — T-------(2x + 2 -6 x -2 ) = N dy dx 2x2 +2x - 4 x ¿ -2x 2x3+2x x 2 + 1 - r -2xdx u = e ^ () =e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — - x 2 +l (2x y + 2y +5)dx + (2x3 +2x)dy = 0 entonces 122 jí— (2y (x 2 +1) + 5)dx +- X(X2 + 1*dy =0 x* +1 x '+ l (2y-— -— )dx+ 2xdy = 0 entonces: x 2 +1 M = 2y+ N = 2x x 2 + l dM dy dN dx = 2 = 2 dM dN , como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx ctr ay df(x,y) 5 . ---------- = 2_v+ —----- integrando con respecto a x se tiene: dx x 2 +1 /(x , y) = 2yx+ 5arctg x +g(y) derivando ¥ (x ,y ) dy = 2x +g'(y) = N entonces: 2x + g'(y) = 2x=» = 0 => g(y) = c /(x ,y ) = 2xy+5arctgx+c, por lo tanto: 2xy + 5arctg x - k 240) (x4 ln x-2xy3)<fe+3x2y 2</y= 0, n = <p(x) Solución 123
  66. 66. m 2 -----= -6jcv dy dN 2 — = 6xy dx dM dN como -----* — la ecuación no es exacta. dy dx m ~ x a l n x - 2xy3 [ j v = 3 * y , 1 .dM SN. 1 , . 2 x 2x 12xy 4 4 sea f(x ) = — (-—— — (-6xy -to y )==-—— = — =>/(*)=— N dy dx 3x v 3x2v x x j / M d x f--d* = — O X —u = e =e~ ' = e 4lnJr entonces w= —r factor de integración. (x4 In x - 2xy^)dx +3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante -7-(x4 n x - 2xyi )dx +^ — dy = 0 => (lnx--^-)< ic + ^ - a f v = 0 M = In x - 2 / jV = 3 / dM 6y¿ 3y x3 AV 6y2 5« x 3 dM dN , com o-----= ----- la ecuación es exacta, entonces: dy dx 3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de donde dx dy af(x,y) 2y3 . -------— = ln x -----— integrando respecto a x se tiene: dx x 3 2 v3 3 f(x ,y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + +g(y) derivando J x x 124 — r — =~ + g ( y ) = N entonces: -± -+ g'(y) = J L . => g(y) = c -y X X X d/(x,y) 3y 2 3V2 í v2 f(x ,y ) =x n x - x +^ —+c, por lo tanto: jc3(ln jc-l)+ y 3 =kx2 241) (*+senx+seny)<it+cosy<fr = 0, n = <p(x) Solución [dM M = jr+sen x+seny N =cosy dy dN dx = eos y = 0 dM dN , como ——* —— la ecuación no es exacta. dy dx r . . 1 .dM dN, co sy -0 sea f(x ) = — ( _ _ ) = ---- L-------j = N dy dx eos y (xe* + sen x£x + sen y ¿ x)dx + ex eos ydy = 0 I M = xex +sen x e x + sen y.e N =ex eos y dM dN => como dy dx =e cosy = ex cosy la ecuación es exacta, entonces: dM dy dN[ dy 3 f(x,y) tal que 8^ * ' y) =A/ y = w de donde dx dy entonces u = e x 125

×