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Ingeniería Ambiental
Matemáticas iii
Nombre: Sumac Quizhpe
Ing.: Juan Gabriel mollocana
Fecha: 25/06/17 Periodo: 50 Grupo: F1
Tema: Tarea
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
1.4 Solución particular
1.5 Problemas de valores iniciales
1.6 Campos de dirección
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles,
transformables
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden
UNIDAD 3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema
fundamental de
soluciones. Problemas con valor inicial.
3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
(Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros)
3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
UNIDAD1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
1.4 Solución particular
1.5 Problemas de valores iniciales
1.6 Campos de dirección
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
Es una ecuación que relaciona variables
dependientes, sus derivadas y variables
independiente.
𝒚′ = 𝒙 + 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙 +
𝒅 𝟐
𝒚
𝒅𝒙 𝟐
Tipos de ecuaciones
Ecuación diferencial ordinaria(EDO)
Presenta una variable dependiente y una
independiente
• 𝑦′′ − 𝑦 =1
Ecuación deferencial lineal (EDP)
𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛
+ 𝑎𝑛 − 1 𝑥 𝑦 𝑛−1
𝑎1 𝑥 𝒚′
+ 𝑎0 𝑥 − 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Una EDL es lineal si tiene la forma de:
• 𝒙2
+ 𝟏 𝒚′′′
−
𝟐
𝒙
− 𝑦′′
𝒙𝒚′
− 𝒚 = 𝒍𝒏x
• El orden de una ecuación diferencial
va ha estar dada por la mayor
derivada posible.
• 𝒚′′
− 𝒚 =1 Segundo Orden
•
𝒅 𝟒 𝒚
𝒅𝒙 𝟒 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
. 𝒚 𝟐 = 𝟑𝒙 𝟕 + 𝟏 Cuarto orden
• 𝒚′ = −
𝒚
𝒙
Primer Orden
Ecuación deferencial parcial (EDP)
Presenta dos variables dependientes o
independientes.
•
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒚 𝟐 −
𝒅 𝟐 𝒛
𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 + 𝒕 − 𝒚
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de
Una función 𝑦 = 0 es una solución de una EDO de orden “n” en un
intervalo si sus “n” derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlo en
la EDO se obtiene una identidad.
Ejemplo:
𝑦′′
+ 4𝑦 = 0
𝑦′ = 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑦′′ = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
−4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0
0 = 0
X=(−∞ + ∞)
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
 Orden “n” solución: G(x,y,C1,C2…….. Cn). Familia
de soluciones n-paramétricas.
 Orden “I” solución: G(x,y,C)=0.Familia de
soluciones un paramétricas
Dada una región R definida entre 𝒂𝒄𝒙𝒄𝒃 y c𝒄𝒚𝒄𝒅, si f(𝒙, 𝒚) 𝑦
𝒅𝒇
𝒅𝒚
son
continuos en R, existe única solución y(x) en el intervalo I donde I pertenece
al intervalo (𝒂, 𝒃).
Ejemplo:
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=
𝑑(−2𝑥)𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=-4xy
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
I I I
Caída libre
𝒙 𝒕 = 𝒗 𝒕
𝒅𝒉
𝒅𝒕
= 𝒗 𝒕
𝒅 𝟐 𝒚
𝒅𝒕 𝟐
= 𝐚(𝐭)
Posición
Velocidad
Aceleración
Ejemplo:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= g
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= 𝑔𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑔. 𝑡 + 𝐶1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑. 𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 + 𝐶1 𝑑𝑡
𝑥 = 𝑑𝑡2+C1t+C2
𝒕 = 𝒈
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒈. (𝟎) + 𝑪𝟏
𝑪𝟏 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝑪𝟏 = 𝑽𝟎
𝒙 𝟎 = 𝒈 𝟎 𝟐 𝑪𝟏 𝟎 + 𝑪𝟐
𝒙 𝟎 = 𝑪𝟐
𝑪𝟐 = 𝒉𝟎
Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas
1.6 Campos de dirección
Solución explicita
𝒇(𝒚′
, 𝒚, x)= 0
Solución implícita
𝒚′
𝒙 = (𝒇𝒚 𝒙 , 𝒙)
Ejemplo:
𝑦′
− 𝑥 + 𝑦 = 0
Ejemplo:
𝑦′ = 𝑥 + 𝑦
UNIDAD2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a
la forma de variables separables: reducibles,
transformables
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. Variación de constante o de parámetros
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º
orden
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma
de variables separables: reducibles, transformables
 Dada la EDO
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒔𝒊 𝒇 𝒙, 𝒚 se puede separar en dos factores g 𝒙 , 𝒉 𝒚 , entonces es habla de una
ED de unidades separable.
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝐟 𝐱, 𝐲
𝐝𝐱
𝐝𝐲
= 𝐠 𝐱 𝐡 𝐱
Ejemplo:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚 𝟐
𝒙𝒆 𝟑𝒙+𝟒𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝒆 𝟑𝒙 + 𝒚 𝟐 𝒆 𝟒𝒚
Solución:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙
𝟏
(𝒉)
= 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝑷(𝒙)𝒅𝒕 = 𝒈(𝒙)𝒅𝒕
P 𝒙 = 𝑮 𝒙 + 𝑪
P(y)=
𝟏
𝒉(𝒚)
Ejemplos 1:
Dominio
X=(−∞ + ∞)
𝟏 + 𝒙 𝒅𝒚 − 𝒚𝒅𝒙 = 𝟎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
1 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑦
1 + 𝑥
𝑑𝑡
𝑙𝑛 𝑦 + 𝐶1 = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 𝐶2
𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 1+𝑥 +𝐶
𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 1+𝑥
𝑒 𝐶1
𝑦 = 1 + 𝑥 𝐶2
𝑦 = ∓𝐶2 1 + 𝑥
𝑦 = 𝐶 1 + 𝑥 𝑆𝑜𝑙 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
Ejemplos 2:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑𝒙 𝟐
(𝟏 + 𝒚 𝟐
)
𝑑𝑦
1 + 𝑦2
= 3𝑥2
𝑑𝑡
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑡𝑎𝑛(𝑦) = 𝑥3
+ 𝐶
𝒚 = 𝒕𝒂𝒏(𝒙 𝟑+𝑪) explicita
Dominio
X=(−∞ + ∞)
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Variación de constante o de parámetros
Método para factor integrante para EDOS
lineales de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢𝑥 = 𝑢 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Forma estándar: u
dy
dx
= UP y = uf(x)
Ejercicio :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3; 𝑓 𝑥 = 0; 𝑢𝑓 𝑥 = 𝑒−3𝑥
𝑒−3𝑥
y = 𝑒−3𝑥
0𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
y = 0𝑑𝑥
𝑒−3𝑥y = C
y = C𝑒3𝑥
sol. general
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
Una ED M(𝑥, 𝑦)dx+N 𝑥, 𝑦 = 0, es exacta si existe una función 𝑓 𝑥, 𝑦 tal que
y
Forma Normal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Forma Diferencial
M 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
M 𝑥, 𝑦 =
૒ 𝑓
૒ 𝑥
N 𝑥, 𝑦 =
૒ 𝑓
૒ 𝑌
૒ 𝑓
૒ 𝑌
= 0
Ejerccio:
𝟐𝒙 + 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
૒ 𝑀
૒ 𝑥
=
૒
૒ 𝑥
2𝑥 + 𝑦 1
૒ 𝑁
૒ 𝑦
=
૒
૒ 𝑥
𝑥 − 2𝑦 1
 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝒈(𝒚)
𝒙 𝟐
+ 𝒚𝒚 + 𝒈 𝒙
૒ 𝑓
૒ 𝑌
= 𝑥 + 𝐠′ 𝒙
𝐠′
𝒚 =
૒ 𝑓
૒ 𝑌
− 𝑥
𝐠′ 𝒚 = −𝟐𝒚
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚-𝒚 𝟐
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶
𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 +-𝒚 𝟐
= 𝑪
2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden
Crecimiento y decaimiento
𝒅𝒙
𝐝𝒕
= 𝐤𝐱
Ejemplo:
𝒅𝒙
𝒙
= 𝒌𝒅𝒕
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑘𝑡 + 𝐶1
𝑒 𝑙𝑛 𝑥
= 𝑒 𝑘𝑡+𝐶1
𝑥 = 𝑒 𝐶1
𝑒 𝑘𝑡
𝑥 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡
sol general
𝑘 > 0
x 𝑡 = 𝑒0
x 𝑡 = 1
x 𝑡 = 𝑒1
𝑒 = 2,7
Ecuaciones homogéneas :
𝒅𝒚
𝐝𝒙
= 𝐟 𝐱, 𝐲
𝒅𝒚
𝐝𝒙
= 𝐆(
𝒚
𝒙
)
F. Normal Ecu. Homogénea
Ejercicio:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= (𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
+𝒙 𝟐
)𝒅𝒚 − 𝒙 𝟐
𝒅𝒚) Ecu. Diferencial
(𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
𝒛𝒙 𝟐
)𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚
𝒙
+
𝒚
𝒙
𝟐
+ 𝟏 𝑬𝒄𝒖. 𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒂
Desarrollo:
𝐳 =
𝒚
𝒙
;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒛
𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒛 = 𝒛 + 𝒛 𝟐
+ 𝟏
𝒅𝒛
𝒛 𝟐 + 𝟏
=
𝒅𝒛
𝒛
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒛 𝟐
+ 𝟏) = 𝒍𝒏(𝒛)
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒚
𝒙
) = 𝒍𝒏(𝒛)+c
𝒕𝒂𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒚
𝒙
= 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c
𝒚
𝒙
= 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c
𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c sol general
Ecuaciones de la forma
𝑑𝑥
d𝑡
= G ax + by
Ecuación:
𝒅𝒙
𝐝𝒕
= 𝐆 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲
𝒛 = 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲
𝒅𝒙
𝐝𝒕
= 𝐚 + 𝐛
𝒅𝒚
𝐝𝒙
Ejercicio:
𝒅𝒚
𝐝𝒙
= 𝒚 − 𝒙 + 𝟏 + (𝒙 − 𝒚 + 𝟐)−𝟏
 𝒛 = 𝒙 − 𝒚
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= −𝟏 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏 −
𝒅𝒛
𝒅𝒙
𝟏 −
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= −𝒛 − 𝟏 + (𝒛 + 𝟐)−𝟏
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝒛 + 𝟐 +
𝟏
𝒛 + 𝟐
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
(𝒛 + 𝟐) 𝟐
+𝟏
𝒛 + 𝟐
𝒛 + 𝟐
(𝒛 + 𝟐) 𝟐
= 𝒅𝒙
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒍𝒏 𝒖 − 𝟏 = 𝒙 + 𝑪
𝟏
𝟐
𝒍𝒏 (𝒛 + 𝟐) 𝟐
−𝟏 = 𝒙 + 𝑪
𝐥𝐧( 𝒛 − 𝒚 + 𝒛 𝟐
− 𝟏)
𝟏
𝟐 = 𝒙 + 𝑪
(𝒛 − 𝒚 + 𝒛) 𝟐
−𝟏 = 𝑪𝟐𝒆 𝒙
) 𝟐
(𝒛 − 𝒚 + 𝒛) 𝟐
−𝟏 = 𝑪𝒆 𝟐𝒙
+ 1
Ecuaciones Bernoulli
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚−𝒏
COMO RESOLVER:
1. 𝑦 = 𝑦1−𝑛 ;
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 𝑛) = 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦−𝑛
3. 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1−𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
4. Multiplicamos
𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃 𝑥 𝑦1−𝑛
= 𝑄(𝑥)
Ejercicio:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟓𝒚 =
𝟓
𝟐
𝒚 𝟑 Ecu. Bernoulli
Resolución:
1 = 𝑦−3
1. 𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦−2 =
5
2
2.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
3.
4. 𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 5𝑣 =
5
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 10𝑣 = 5
𝐏 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐟 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐲−𝐧 𝐮 = 𝐞 𝟏𝟎𝐱
𝑢𝑣 = 𝑢𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑣𝑒10𝑥
= 𝑒10𝑥
5𝑑𝑥
𝑣𝑒10𝑥
= 5 𝑒10𝑥
𝑑𝑥
𝑣𝑒10𝑥
=
1
2
𝑒10𝑥
+ 𝐶
𝑣𝑒10𝑥
=
1
2
𝑒10𝑥
+ 𝐶
v =
1
2
𝑒10𝑥
𝑒10𝑥 + 𝐶𝑒10𝑥
𝑣 =
1
2
+ 𝐶𝑒10𝑥
𝑦−2
=
1
2
+ 𝐶𝑒10𝑥
𝑦 = (
1
2
+ 𝐶𝑒10𝑥
)−1/2
Si se tiene 𝒚𝟏 𝒙 = 𝒚𝟐 una solución
particular conocido 𝒚1
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝑷 𝒙 𝒚 + 𝑸 𝒙 𝒚 𝟐
Sustituimos: 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟏 + 𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝟒
𝒙 𝟐 −
𝟒
𝒙
+𝒚 𝟐
𝒚 = −
𝟐
𝒙
+u
𝑦′ = −
𝟐
𝒙
+ 𝑢′
−
𝟐
𝒙
+ 𝑢′
= −
𝟒
𝒙 𝟐 −
−
𝟐
𝒙
+u
𝒙
+ −
𝟐
𝒙
+u
𝟐
𝑢′
= −
𝟒
𝒙 𝟐 −
𝟐
𝒙 𝟐 −
𝒖
𝒙
+
𝟒
𝒙 𝟐 +
𝟒𝒖
𝒙
+ 𝒖 𝟐
+
𝟐
𝒙 𝟐
𝑢′ =
𝟑𝒖
𝒙
+ 𝒖 𝟐
(𝐮′
−
𝟑𝐮
𝐱
= 𝐮 𝟐
)Ecu. Bernoulli
𝑣 = 𝑢−1
𝑣 = 𝑢1−2
𝑣′
= −𝑢−2
𝑢′
−𝑣′ = −𝑢−2 𝑢′
𝑢−2 𝑢′
𝟑𝑢−1
𝒙
= 𝟏
𝒚 = −
𝟐
𝒙
sol particular
𝑢−2
𝑣′
−
3
𝒙
𝒖 = −𝟏
𝑧 = 𝑒 𝑒
3
𝒙 𝑑𝑥
= 𝑒3𝑙𝑛𝑥
𝒛 = 𝒙 𝟑
factor integrante
𝒙 𝟑
𝑢 = 𝒙 𝟑
(−1)𝑑𝑥
𝒙 𝟑
𝑣 =
𝒙 𝟒
4
+ 𝐶
𝒖−𝟏 𝑣 =
𝒙
4
+ 𝐶𝒙−𝟑
𝒖−𝟏
𝑣 =
𝒙
4
+ 𝐶𝒙−𝟏
𝑢 = (
𝒙
4
+ 𝐶𝒙−𝟑
)−𝟏
𝒚 −
𝟐
𝒙
=
𝟐
𝒙 𝟑
+
𝒙
2
−𝟏
𝒚 −
𝟐
𝒙
=
𝟒𝑪𝟏 − 𝒙 𝟑
𝟐𝒙 𝟑
−𝟏
𝒚 =
𝟒𝒙 𝟑
𝑪 − 𝒙 𝟒 +
𝟐
𝒙
Ecuaciones Rica ti
UNIDAD3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad.
Solución general. Sistema fundamental de
soluciones. Problemas con valor inicial.
3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
(Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros)
3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
𝑦 𝑛 𝑎𝑛 − 𝑦 𝑛−1. . 𝒚′, 𝑥 = 0 EC, orden “n”
𝑦 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦 𝑛−1, … , 𝑦′, 𝐲, 𝐱) 𝐄𝐝. 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧 "𝐧" forma normal
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = (𝑦′
, 𝑦, 𝑥) Forma Normal
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
Sea 𝑓1 𝑥 , 𝑓 𝑥 , … … , 𝑓𝑛 𝑥 , 𝑆𝑖;C1𝑓1 𝑥 + 𝐶2𝑓 𝑥 +. . . +𝐶𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0
Si a excepción de Ci=0. 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛 no existe otros valores de Ci para los cuales Ci es cero, entonces 𝑓1 𝑥 ,
𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 ,son funciones linealmente independientes.
Wronskiano
𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
𝑓′
1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
𝑓"1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
Si 𝑾 = 𝟎 es linealmente dependiente, caso contrario será
independiente
Ejm:
𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 5
𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥
𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑓4 𝑥 = 𝑥2
𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 +5𝑓3 𝑥 − 0𝑓4 𝑥 = 0
𝑥 + 5 − 𝑥 + 5𝑥 +5 𝑥 − 1 − 0 𝑥2
= 0
𝐶1 = 0 𝐶2 = 0
C1P1(x)+ C2P2(x)=Xn aplicamos Wronskiano
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 … . . , 𝑎1
𝑑𝑦
d𝑥
− 𝑎0 𝑥 𝑦′
+ 𝑎0 𝑥 = 𝑔 𝑥
Sujeto a ; y 𝑥0 = 𝑦0 ; 𝑦′
𝑥0 = 𝑦1, … . . , 𝑦"
𝑥0 = 𝑦𝑛
Resolvemos: 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
d𝑥
− 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Sujeto a : y 𝑥 = 𝑦
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
I I
I
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden.
Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema
fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
Resolver un ED lineal de orden “n” sujeto a “n” condiciones
iniciales
Teorema de existencia y unicidad
Sean 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥 , … . . , 𝑎1 𝑥 𝑦 + 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un
intervalo I, entonces una única solución 𝑦(𝑥)
Comprobar que 𝑦 = 𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
−3𝑥 es una
solución única de
𝑦" − 4𝑦 = 12
𝑦 0 = 4 𝑦′
(0)=1
Derivamos
𝑦 = 𝑒2𝑥+ 𝑒−2𝑥−3𝑥
𝑦′
= 6𝑒2𝑥
− 2𝑒−2𝑥
𝑦" = 12𝑒2𝑥 + 4 𝑒−2𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4 𝑒−2𝑥
− 4 𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥 − 12𝑥
12𝑥 = 12x
𝑦 0 = 4
4 = 3𝑒2(0)+ 𝑒−2(0)
4 = 3 + 1 − 0
4 = 4
𝑦′
(0)=1
1 = 6𝑒2(0)
− 2𝑒−2 0
− 3
1 = 1
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝. 𝑣. 𝑖
Pertenecen a todos los reales
𝑦 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
Solución general
Sea Yp solución de Ecu. 1 y y1, y2+, … + yn un
conjunto de soluciones fundamentales de soluciones
de la Ecu. 2 entonces la sol general de la ecu. 1 es:
Yg = C1y1 + C2y2, … 𝐶𝑛yn + Yp sol particular
Sean YP es una solución particular de la Ecu. Homogénea y
YX solución general.
Sea:
𝑢 𝑥 = yp − yp
𝐿𝑢 = 𝐿(yp − yp)
𝐿𝑢 = 𝐿𝑥p − Lyp
𝐿𝑢 = −𝑥p − yp
𝐿𝑢 = 0
Ly=g(x)
Ly=o
Reducción de orden
𝐚𝟐(𝐱)𝐲" + 𝐚𝟏(𝐱)𝒚′
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 (1)
𝑦1 𝑢 𝑠𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑦2 =
𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑥 ; Yc = C1y1 sol general
Ejemplo: hallar la sol general de: 𝒙 𝟐
𝐲" − 𝟑𝐱𝒚′
+ 𝟒𝒚
Donde: 𝑦1 = 𝑥2
sol particular.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
3
𝑥2
=
3𝑦
𝑥2
Aplicamos la formula: 𝑦2 =
𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑒
3
𝒙
𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑥3
𝑥4
= 𝑥2
𝑙𝑛𝑥
𝑌𝑐 = 𝐶1𝑥2
+𝐶2𝑥2
𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
Sistema fundamental de soluciones
Sean y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) soluciones linealmente independientes de la ED. Homogénea.
𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛
𝑎𝑛 − 1𝒚 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0𝑖 𝑥 𝑦′
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0
Entonces : y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) son un conjunto fundamental de soluciones.
Donde: C1y1 x + 𝐶2y2 𝑥 +, … + 𝐶𝑛yn x 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 (1) .
Demuestre que 𝑦1 = 𝑒x; 𝑦2 = 𝑒3x; 𝑦3 = 𝑒3xson funciones linealmente independientes
de 𝑦′" − 16𝑦" + 11𝑦‘-6y=0 (1) y luego encontrar una sol general
Solución
𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑)=
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑
𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑
𝑦" 𝟏 𝑦" 𝟐 𝑦" 𝟑
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑
𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑
𝑒 𝒙
𝑒 𝟐𝒙
𝑒3𝒙
𝑒 𝒙 2𝑒 𝟐𝒙 3𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝟒 𝑒 𝟐𝒙
9 𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝑒 𝟐𝒙
𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝟐𝑒 𝟐𝒙
3𝑒3𝒙
= 18𝑒 𝒙
+ 𝟒𝑒 𝟐𝒙
+ 𝟑𝑒 𝟔𝒙
− 𝟐𝑒 𝟔𝒙
− 𝟏𝟐𝑒1𝟐𝒙
−9𝑒 𝟔𝒙
= 𝟐𝑒 𝟔𝒙
Sol general: 𝑌 = 𝐶1𝑒 𝒙
+ 𝑪𝟐𝑒 𝟐𝒙
+𝐶3𝑒3𝒙
P.V.I Resolvemos una ecuación lineal de segundo orden.
𝒂𝒏(𝒙)
𝒅 𝟐
𝒚
𝒅𝒕 𝟐 + 𝒂𝟏
𝒅𝒚
𝐝𝒙
− 𝒂𝟎 𝒙 𝒚′
+ 𝒂𝟎 𝒙 = 𝒈(𝒙)
Sujeto a ; 𝐲 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 ; 𝒚′
(𝒙𝟎) = 𝒚𝟏
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
m=y1 m=y1
m=y1
I II
3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes
𝑎𝑛𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 𝑦 𝑛−1 + ⋯ . +𝑎 𝒚′
+ 𝑎0 𝑦 = 0
𝑎𝑖, 𝑖 = 1, … . . 𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑎2𝑦′, 𝑎2𝑦" + 𝑎0𝑦
𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥; 𝑦" = 𝑚22𝑒 𝑚𝑥
Formas de expresión
 R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔( 𝜟 >
 R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝜟 = 𝟎
Ejemplo: 𝒙 𝟐
𝐲" − 𝟑𝐱𝒚′
+ 𝟒𝒚
𝑦1 = 𝑥2 sol particular.
Aplicamos la formula: 𝑦2 =
𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑒
3
𝒙 𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑙𝑛𝑥
𝑌𝑐 = 𝐶1𝑥2 +𝐶2𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
 R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔
𝜟 < 𝟎
𝑚1 = α+Βi
𝑚2 = α−Βi
Yc = C1 𝑒α+Βi + C2 𝑒α+Βi
𝒚" + 𝟒𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔
𝒎 =
−4 ± 16 − 4(1)(1)
2(1)
𝑚 = −2 + 6
𝑚 = −2 − √6
(−𝟐+ 𝟔) (−𝟐+ 𝟔)
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas
con coeficientes constantes.
𝑚 − 1 𝑛 𝑚 − 3 𝑚 + 4 𝑚2 + 1 (𝑚2+1)2 = 0
𝑚1 = 1 𝑚4 = 3 𝑚5 = −4 𝑚6 = −4 𝑚7 = −4
𝑚6 = ∓ −1
𝑚6 = 0𝑖
𝑚7 = ∓ −2
𝑚7 = ∓ 2
α=0
Β=1
α=0
Β= 2
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝟐𝒆 𝒙 +𝑪𝟑𝒙 𝟐 𝒆 𝒙++𝑪𝟒𝒆−𝟒𝒙 +𝑪𝟓𝒆−𝟒𝒙+ +𝒆 𝟎𝒙 𝑪𝟔𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪𝟕𝒔𝒆𝒏𝒙 + +𝒆 𝟎𝒙(𝑪𝟖𝒄𝒐𝒔 𝟐 +
𝑪𝟗𝒔𝒆𝒏 𝟐) +𝒆 𝟎𝒙 (𝑪𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟐 + 𝑪𝟏𝟏𝒔𝒆𝒏 𝟐)
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
𝑎𝑛𝑖(𝑥)𝑦 𝑛
+ ⋯ + 𝑎𝑖 𝑦 𝒚′
+ 𝑎0𝑖 𝑥 𝑦 = 𝑔𝑖 𝑥
𝑖 = 𝟏, 𝟐, 𝟑
Sean 𝐲𝐩𝟏, 𝐲𝐩𝟐, … 𝐲𝐩𝐢. . soluciones particulares de la Ecu. No homogénea entonces 𝐲𝐩 = 𝐲𝐩𝟏, 𝐲𝐩𝟐+, … 𝐲𝐩 + 𝐢. .
Ejercicio:
𝐲𝐩𝟏 = −𝟒𝐱 𝟐; 𝐲" − 𝟑𝒚′ + 𝟒𝐲 = −𝟏𝟔𝐱 𝟐 + 𝟐𝟒𝐱 − 𝟖
𝐲𝐩𝟐 = 𝐞 𝟐𝐱
; 𝐲" − 𝟑𝒚′
+ 𝟒𝐲 = 𝟐𝒆 𝟑𝒙
𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2
𝒚′ 𝑝 = −𝟒𝐱 𝟐 + 𝒆 𝟑𝒙
𝑦" − 𝟑𝒚′ + 𝟒𝐲 = 𝟏𝟔𝐱 𝟐 + 𝟐𝟒𝐱 − 𝟖 + 𝟐𝒆 𝟑𝒙
Método de superposición
𝑎𝑛(𝑥) 𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝒚′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑖 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 + ⋯ . +𝐧
Ejercicio: 𝒚" + 𝟒𝒚′
− 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟔
𝒎 =
−4 ± 16 − 4(1)(1)
2(1)
𝑚 = −2 + 6
𝑚 = −2 − √6
𝑌𝑐 = 𝐶𝟏𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶𝟐𝐞(−𝟐+ 𝟔)
𝒚𝐩 = 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪
𝒚𝒑′ = 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩
𝒚𝐩“ = 𝟐𝑨
𝟐𝑨 + 𝟒 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩 − 𝟐(𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒙 + 𝑪)=𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟔
𝟐𝑨 + 𝟖𝑨𝒙 + 𝟒𝑩 − 𝟐𝑨𝒙 𝟐
+ 𝟐𝑩𝒙 + 𝟐𝑪)=𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟔
−𝟐𝑨𝒙 𝟐 + 𝟖𝑨 + 𝟐𝐁 𝐱 + 𝟐𝑨 − 𝟒𝑩 − 𝟐𝑪
−2𝐴 = 2 𝐴 = 1
8𝐴 + 2B = 3 B = −5/2
2𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶 = 6 𝐶 = −9
𝒚𝐩 = −𝒙 𝟐 −
5
2x
− 9
𝒚𝐩 = 𝐶𝟏𝐞(−𝟐+ 𝟔)
+ 𝐶𝟐𝐞(−𝟐− 𝟔)
− 𝒙 𝟐
−
5
2x
− 9
Método Anulador: si L(x)=0 entonces el anulador L es f(x)
Tenemos: 𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′
+ 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
será lo mismo que: 𝐷2
𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′
+ 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Operador lineal: 𝐷2 + 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Encontramos un anulador de ; 𝑔(𝑥)
𝐿𝑔 𝑥 = 0 𝐿 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
Ejercicio:
𝒚" + 𝟒𝒚′
− 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟔
𝑌𝑐 = 𝐶1𝐞(−𝟐+ 𝟔)
+ 𝐶2𝐞(−𝟐− 𝟔)
L = 𝑫 𝟑 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑫 𝟑
𝑫 𝟐
− 𝟒𝑫 − 𝟐 = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟔
𝑫 𝟑
𝑫 𝟐
− 𝟒𝑫 − 𝟐 = 𝟎
𝒎 𝟑
𝒎 𝟐
− 𝟒𝒎 − 𝟐 =
Método de coeficientes indeterminadas
Operadores diferenciales; 𝑑𝑦 𝑛
= 𝐷 𝑛
𝑦
𝑎𝑛(𝑥) 𝑛 + 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑥 𝐷 𝑛 − 𝑎1𝐷
𝒎 = 0
𝒎 = 0
𝒎 = 0
𝒎 =
−4 ± 16 − 4(1)(1)
2(1)
𝑚 = −2 + 6
𝑚 = −2 − √6
𝑌𝐺 = 𝑪𝟏𝐞 𝟎𝐱 − 𝐶2𝑥𝐞 𝟎𝐱 + 𝐶3𝐱𝐞 𝟎𝐱 + 𝐶𝟒𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶𝟓𝐞(−𝟐− 𝟔)
Variaciónde parámetros:
𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑦1 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐶1 𝑦 𝐶2 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝞵1 y 𝞵2
𝑊 𝑦1, 𝑦2 = 0
𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚′𝟏 𝒚′𝟐
𝞵′1 =
𝑦2𝑓(𝑥)
𝑊
𝞵′
2 =
𝑦2𝑓(𝑥)
𝑊
Ejerciccio;
𝐲 − 𝟒𝒚′
+ 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱
𝒎 𝟐
− 𝟒𝒎 + 𝟒 = 𝟎
(𝒎 − 𝟐) 𝟐= 𝟎
𝒎 = 𝟐
𝒎 = 𝟐
𝒀𝒄 = 𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝒀𝒄 = 𝞵′1𝒆𝟐 𝒙 +𝞵′ 𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝒀𝟏 = 𝒆 𝟐𝒙
𝒚𝟐 = 𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝑒2𝒙
𝒙𝑒 𝟐𝒙
2𝑒 𝟐𝒙
𝑒2𝒙
+ 2𝑥𝑒 𝟐𝒙
= 𝐞 𝟐𝐱
𝐞 𝟐𝐱
+ 𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
− 𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝟐𝒆 𝟐𝒙
= 𝐞 𝟒𝐱
𝞵′
𝟏 = −
𝒙𝑒 𝟐𝒙 𝑥+1 𝐞 𝟐𝐱
𝐞 𝟒𝐱
𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙
𝞵′
𝟏 = −𝒙 𝟐
− 𝒙 𝒅𝒙
𝞵′
𝟏 = −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
𝞵′ 𝟐 =
𝐞 𝟐𝐱
𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱
𝐞 𝟒𝐱
𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏
𝞵′
𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙
𝞵′
𝟏 = −
𝑥2
2
+ 𝑥
𝒀𝒑 = −
𝑥3
3
𝐞 𝟐𝐱
−
𝑥2
2
𝐞 𝟐𝐱
+
𝑥2
2
𝐱𝐞 𝟐𝐱
+ 𝒙𝒙𝐞 𝟐𝐱
𝒀𝑮 = −
𝑥3
3
𝐞 𝟐𝐱
−
𝑥2
2
𝐞 𝟐𝐱
+
𝑥2
2
𝐱𝐞 𝟐𝐱
+ 𝒙𝒙𝐞 𝟐𝐱
+𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙
+𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
Método variación de parámetros
𝐘𝐜 = 𝑪𝟏𝒚𝑪𝟐 𝑪𝟐𝒚𝟐 𝑷𝒂𝒔𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 ; 𝐲" + 𝑷(𝒙)𝒚′
+ 𝑸(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑪𝟏, 𝑪𝟐 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
 𝒚𝒑 = 𝞵′
𝟏𝒚𝟏 + 𝞵′
𝟐𝒚𝟐
 𝞵′ 𝟏 = −
𝒚𝟐𝒇 𝒙
𝑾
 𝞵′
𝟐 =
𝒚𝟏𝒇(𝒙)
𝑾
 𝒀𝑮 = 𝒀𝒄 + 𝒀𝒑
Ejerciccio;
𝐲 − 𝟒𝒚′
+ 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱
𝐲 − 𝟒𝒚′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱
𝒎 𝟐
− 𝟒𝒎 + 𝟒 = 𝟎
(𝒎 − 𝟐) 𝟐
= 𝟎
𝒎 = 𝟐
𝒎 = 𝟐
𝒀𝒄 = 𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙
+𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝒀𝒄 = 𝞵′1𝒆𝟐 𝒙
+𝞵′
𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝒀𝟏 = 𝒆 𝟐𝒙
𝒚𝟐 = 𝒙𝒆 𝟐𝒙
𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝑒2𝒙 𝒙𝑒 𝟐𝒙
2𝑒 𝟐𝒙 𝑒2𝒙 + 2𝑥𝑒 𝟐𝒙
𝞵′ 𝟐 =
𝐞 𝟐𝐱
𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱
𝐞 𝟒𝐱
𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏
𝞵′
𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙
𝞵′ 𝟏 = −
𝑥2
2
+ 𝑥
𝞵′ 𝟏 = −
𝒙𝑒 𝟐𝒙 𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱
𝐞 𝟒𝐱
𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙
𝞵′
𝟏 = −𝒙 𝟐
− 𝒙 𝒅𝒙
𝞵′
𝟏 = −
𝑥3
3
−
𝑥2
2
𝒀𝒑 = −
𝑥3
3
𝐞 𝟐𝐱 −
𝑥2
2
𝐞 𝟐𝐱 +
𝑥2
2
𝐱𝐞 𝟐𝐱 + 𝒙𝐞 𝟐𝐱
𝒀𝑮 = −
𝑥3
3
𝐞 𝟐𝐱
−
𝑥2
2
𝐞 𝟐𝐱
+
𝑥2
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𝐱𝐞 𝟐𝐱
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  • 1. Ingeniería Ambiental Matemáticas iii Nombre: Sumac Quizhpe Ing.: Juan Gabriel mollocana Fecha: 25/06/17 Periodo: 50 Grupo: F1 Tema: Tarea
  • 2. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición 1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones 1.4 Solución particular 1.5 Problemas de valores iniciales 1.6 Campos de dirección UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles, transformables 2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden UNIDAD 3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano. 3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial. 3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. 3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros) 3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden 3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
  • 3. UNIDAD1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición 1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones 1.4 Solución particular 1.5 Problemas de valores iniciales 1.6 Campos de dirección
  • 4. 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y variables independiente. 𝒚′ = 𝒙 + 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝟐
  • 5. Tipos de ecuaciones Ecuación diferencial ordinaria(EDO) Presenta una variable dependiente y una independiente • 𝑦′′ − 𝑦 =1 Ecuación deferencial lineal (EDP) 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥 𝑦 𝑛−1 𝑎1 𝑥 𝒚′ + 𝑎0 𝑥 − 𝑦 = 𝑔(𝑥) Una EDL es lineal si tiene la forma de: • 𝒙2 + 𝟏 𝒚′′′ − 𝟐 𝒙 − 𝑦′′ 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝒍𝒏x • El orden de una ecuación diferencial va ha estar dada por la mayor derivada posible. • 𝒚′′ − 𝒚 =1 Segundo Orden • 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅𝒙 𝟒 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 . 𝒚 𝟐 = 𝟑𝒙 𝟕 + 𝟏 Cuarto orden • 𝒚′ = − 𝒚 𝒙 Primer Orden Ecuación deferencial parcial (EDP) Presenta dos variables dependientes o independientes. • 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒚 𝟐 − 𝒅 𝟐 𝒛 𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 + 𝒕 − 𝒚
  • 6. 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de Una función 𝑦 = 0 es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo si sus “n” derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlo en la EDO se obtiene una identidad. Ejemplo: 𝑦′′ + 4𝑦 = 0 𝑦′ = 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑦′′ = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 0 = 0 X=(−∞ + ∞)
  • 7. 1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones  Orden “n” solución: G(x,y,C1,C2…….. Cn). Familia de soluciones n-paramétricas.  Orden “I” solución: G(x,y,C)=0.Familia de soluciones un paramétricas
  • 8. Dada una región R definida entre 𝒂𝒄𝒙𝒄𝒃 y c𝒄𝒚𝒄𝒅, si f(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒅𝒇 𝒅𝒚 son continuos en R, existe única solución y(x) en el intervalo I donde I pertenece al intervalo (𝒂, 𝒃). Ejemplo: 𝑑𝑓 𝑑𝑦 = 𝑑(−2𝑥)𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑓 𝑑𝑦 =-4xy . X0,Y0 X0,X0 X0,Y0 . . . I I I
  • 9. Caída libre 𝒙 𝒕 = 𝒗 𝒕 𝒅𝒉 𝒅𝒕 = 𝒗 𝒕 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒕 𝟐 = 𝐚(𝐭) Posición Velocidad Aceleración Ejemplo: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = g 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑔𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑔. 𝑡 + 𝐶1 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑. 𝑡 = 𝑔𝑑𝑡 + 𝐶1 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑑𝑡2+C1t+C2 𝒕 = 𝒈 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒈. (𝟎) + 𝑪𝟏 𝑪𝟏 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝑪𝟏 = 𝑽𝟎 𝒙 𝟎 = 𝒈 𝟎 𝟐 𝑪𝟏 𝟎 + 𝑪𝟐 𝒙 𝟎 = 𝑪𝟐 𝑪𝟐 = 𝒉𝟎 Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas
  • 10. 1.6 Campos de dirección Solución explicita 𝒇(𝒚′ , 𝒚, x)= 0 Solución implícita 𝒚′ 𝒙 = (𝒇𝒚 𝒙 , 𝒙) Ejemplo: 𝑦′ − 𝑥 + 𝑦 = 0 Ejemplo: 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦
  • 11. UNIDAD2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles, transformables 2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden
  • 12. 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles, transformables  Dada la EDO 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒔𝒊 𝒇 𝒙, 𝒚 se puede separar en dos factores g 𝒙 , 𝒉 𝒚 , entonces es habla de una ED de unidades separable. 𝐝𝐲 𝐝𝐱 = 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐱 𝐝𝐲 = 𝐠 𝐱 𝐡 𝐱 Ejemplo: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝟐 𝒙𝒆 𝟑𝒙+𝟒𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆 𝟑𝒙 + 𝒚 𝟐 𝒆 𝟒𝒚 Solución: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 𝟏 (𝒉) = 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝑷(𝒙)𝒅𝒕 = 𝒈(𝒙)𝒅𝒕 P 𝒙 = 𝑮 𝒙 + 𝑪 P(y)= 𝟏 𝒉(𝒚)
  • 13. Ejemplos 1: Dominio X=(−∞ + ∞) 𝟏 + 𝒙 𝒅𝒚 − 𝒚𝒅𝒙 = 𝟎 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 1 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑥 𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑦 + 𝐶1 = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 1+𝑥 +𝐶 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 1+𝑥 𝑒 𝐶1 𝑦 = 1 + 𝑥 𝐶2 𝑦 = ∓𝐶2 1 + 𝑥 𝑦 = 𝐶 1 + 𝑥 𝑆𝑜𝑙 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 Ejemplos 2: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 𝟐 (𝟏 + 𝒚 𝟐 ) 𝑑𝑦 1 + 𝑦2 = 3𝑥2 𝑑𝑡 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑡𝑎𝑛(𝑦) = 𝑥3 + 𝐶 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏(𝒙 𝟑+𝑪) explicita Dominio X=(−∞ + ∞)
  • 14. 2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros Método para factor integrante para EDOS lineales de primer orden 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢𝑥 = 𝑢 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Forma estándar: u dy dx = UP y = uf(x) Ejercicio : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −3; 𝑓 𝑥 = 0; 𝑢𝑓 𝑥 = 𝑒−3𝑥 𝑒−3𝑥 y = 𝑒−3𝑥 0𝑑𝑥 𝑒−3𝑥 y = 0𝑑𝑥 𝑒−3𝑥y = C y = C𝑒3𝑥 sol. general
  • 15. 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas Una ED M(𝑥, 𝑦)dx+N 𝑥, 𝑦 = 0, es exacta si existe una función 𝑓 𝑥, 𝑦 tal que y Forma Normal 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 Forma Diferencial M 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 M 𝑥, 𝑦 = ૒ 𝑓 ૒ 𝑥 N 𝑥, 𝑦 = ૒ 𝑓 ૒ 𝑌 ૒ 𝑓 ૒ 𝑌 = 0 Ejerccio: 𝟐𝒙 + 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 ૒ 𝑀 ૒ 𝑥 = ૒ ૒ 𝑥 2𝑥 + 𝑦 1 ૒ 𝑁 ૒ 𝑦 = ૒ ૒ 𝑥 𝑥 − 2𝑦 1  𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝒈(𝒚) 𝒙 𝟐 + 𝒚𝒚 + 𝒈 𝒙 ૒ 𝑓 ૒ 𝑌 = 𝑥 + 𝐠′ 𝒙 𝐠′ 𝒚 = ૒ 𝑓 ૒ 𝑌 − 𝑥 𝐠′ 𝒚 = −𝟐𝒚 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚-𝒚 𝟐 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 𝒙 𝟐 + 𝒙𝒚 +-𝒚 𝟐 = 𝑪
  • 16. 2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden Crecimiento y decaimiento 𝒅𝒙 𝐝𝒕 = 𝐤𝐱 Ejemplo: 𝒅𝒙 𝒙 = 𝒌𝒅𝒕 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑘𝑡 + 𝐶1 𝑒 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶1 𝑥 = 𝑒 𝐶1 𝑒 𝑘𝑡 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 sol general 𝑘 > 0 x 𝑡 = 𝑒0 x 𝑡 = 1 x 𝑡 = 𝑒1 𝑒 = 2,7
  • 17. Ecuaciones homogéneas : 𝒅𝒚 𝐝𝒙 = 𝐟 𝐱, 𝐲 𝒅𝒚 𝐝𝒙 = 𝐆( 𝒚 𝒙 ) F. Normal Ecu. Homogénea Ejercicio: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 +𝒙 𝟐 )𝒅𝒚 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒚) Ecu. Diferencial (𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐 𝒛𝒙 𝟐 )𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝑬𝒄𝒖. 𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒂 Desarrollo: 𝐳 = 𝒚 𝒙 ; 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝒛 𝒙 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝒛 = 𝒛 + 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒛 𝒛 𝟐 + 𝟏 = 𝒅𝒛 𝒛 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒛 𝟐 + 𝟏) = 𝒍𝒏(𝒛) 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒚 𝒙 ) = 𝒍𝒏(𝒛)+c 𝒕𝒂𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c 𝒚 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒍𝒏(𝒛)+c sol general
  • 18. Ecuaciones de la forma 𝑑𝑥 d𝑡 = G ax + by Ecuación: 𝒅𝒙 𝐝𝒕 = 𝐆 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 𝒛 = 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 𝒅𝒙 𝐝𝒕 = 𝐚 + 𝐛 𝒅𝒚 𝐝𝒙 Ejercicio: 𝒅𝒚 𝐝𝒙 = 𝒚 − 𝒙 + 𝟏 + (𝒙 − 𝒚 + 𝟐)−𝟏  𝒛 = 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝟏 − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒅𝒛 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝒛 − 𝟏 + (𝒛 + 𝟐)−𝟏 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 𝒛 + 𝟐 + 𝟏 𝒛 + 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = (𝒛 + 𝟐) 𝟐 +𝟏 𝒛 + 𝟐 𝒛 + 𝟐 (𝒛 + 𝟐) 𝟐 = 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒖 = 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝒖 − 𝟏 = 𝒙 + 𝑪 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 (𝒛 + 𝟐) 𝟐 −𝟏 = 𝒙 + 𝑪 𝐥𝐧( 𝒛 − 𝒚 + 𝒛 𝟐 − 𝟏) 𝟏 𝟐 = 𝒙 + 𝑪 (𝒛 − 𝒚 + 𝒛) 𝟐 −𝟏 = 𝑪𝟐𝒆 𝒙 ) 𝟐 (𝒛 − 𝒚 + 𝒛) 𝟐 −𝟏 = 𝑪𝒆 𝟐𝒙 + 1
  • 19. Ecuaciones Bernoulli 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚−𝒏 COMO RESOLVER: 1. 𝑦 = 𝑦1−𝑛 ; 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 𝑛) = 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦−𝑛 3. 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 1−𝑛 𝑑𝑣 𝑑𝑥 4. Multiplicamos 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦1−𝑛 = 𝑄(𝑥) Ejercicio: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟓 𝟐 𝒚 𝟑 Ecu. Bernoulli Resolución: 1 = 𝑦−3 1. 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦−2 = 5 2 2. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −2𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3. 4. 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 5𝑣 = 5 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 10𝑣 = 5 𝐏 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐟 𝐱 = 𝟏𝟎 𝐲−𝐧 𝐮 = 𝐞 𝟏𝟎𝐱 𝑢𝑣 = 𝑢𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑣𝑒10𝑥 = 𝑒10𝑥 5𝑑𝑥 𝑣𝑒10𝑥 = 5 𝑒10𝑥 𝑑𝑥 𝑣𝑒10𝑥 = 1 2 𝑒10𝑥 + 𝐶 𝑣𝑒10𝑥 = 1 2 𝑒10𝑥 + 𝐶 v = 1 2 𝑒10𝑥 𝑒10𝑥 + 𝐶𝑒10𝑥 𝑣 = 1 2 + 𝐶𝑒10𝑥 𝑦−2 = 1 2 + 𝐶𝑒10𝑥 𝑦 = ( 1 2 + 𝐶𝑒10𝑥 )−1/2
  • 20. Si se tiene 𝒚𝟏 𝒙 = 𝒚𝟐 una solución particular conocido 𝒚1 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝑷 𝒙 𝒚 + 𝑸 𝒙 𝒚 𝟐 Sustituimos: 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟏 + 𝒖 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − 𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟒 𝒙 +𝒚 𝟐 𝒚 = − 𝟐 𝒙 +u 𝑦′ = − 𝟐 𝒙 + 𝑢′ − 𝟐 𝒙 + 𝑢′ = − 𝟒 𝒙 𝟐 − − 𝟐 𝒙 +u 𝒙 + − 𝟐 𝒙 +u 𝟐 𝑢′ = − 𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒖 𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒖 𝒙 + 𝒖 𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟐 𝑢′ = 𝟑𝒖 𝒙 + 𝒖 𝟐 (𝐮′ − 𝟑𝐮 𝐱 = 𝐮 𝟐 )Ecu. Bernoulli 𝑣 = 𝑢−1 𝑣 = 𝑢1−2 𝑣′ = −𝑢−2 𝑢′ −𝑣′ = −𝑢−2 𝑢′ 𝑢−2 𝑢′ 𝟑𝑢−1 𝒙 = 𝟏 𝒚 = − 𝟐 𝒙 sol particular 𝑢−2 𝑣′ − 3 𝒙 𝒖 = −𝟏 𝑧 = 𝑒 𝑒 3 𝒙 𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 𝒛 = 𝒙 𝟑 factor integrante 𝒙 𝟑 𝑢 = 𝒙 𝟑 (−1)𝑑𝑥 𝒙 𝟑 𝑣 = 𝒙 𝟒 4 + 𝐶 𝒖−𝟏 𝑣 = 𝒙 4 + 𝐶𝒙−𝟑 𝒖−𝟏 𝑣 = 𝒙 4 + 𝐶𝒙−𝟏 𝑢 = ( 𝒙 4 + 𝐶𝒙−𝟑 )−𝟏 𝒚 − 𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝒙 2 −𝟏 𝒚 − 𝟐 𝒙 = 𝟒𝑪𝟏 − 𝒙 𝟑 𝟐𝒙 𝟑 −𝟏 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 𝑪 − 𝒙 𝟒 + 𝟐 𝒙 Ecuaciones Rica ti
  • 21. UNIDAD3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano. 3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial. 3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. 3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros) 3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden 3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
  • 22. 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias 𝑦 𝑛 𝑎𝑛 − 𝑦 𝑛−1. . 𝒚′, 𝑥 = 0 EC, orden “n” 𝑦 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦 𝑛−1, … , 𝑦′, 𝐲, 𝐱) 𝐄𝐝. 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧 "𝐧" forma normal 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (𝑦′ , 𝑦, 𝑥) Forma Normal
  • 23. 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano. Sea 𝑓1 𝑥 , 𝑓 𝑥 , … … , 𝑓𝑛 𝑥 , 𝑆𝑖;C1𝑓1 𝑥 + 𝐶2𝑓 𝑥 +. . . +𝐶𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0 Si a excepción de Ci=0. 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛 no existe otros valores de Ci para los cuales Ci es cero, entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 ,son funciones linealmente independientes. Wronskiano 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 𝑓′ 1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 𝑓"1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 Si 𝑾 = 𝟎 es linealmente dependiente, caso contrario será independiente Ejm: 𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥 𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑓4 𝑥 = 𝑥2 𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 +5𝑓3 𝑥 − 0𝑓4 𝑥 = 0 𝑥 + 5 − 𝑥 + 5𝑥 +5 𝑥 − 1 − 0 𝑥2 = 0 𝐶1 = 0 𝐶2 = 0 C1P1(x)+ C2P2(x)=Xn aplicamos Wronskiano
  • 24. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 … . . , 𝑎1 𝑑𝑦 d𝑥 − 𝑎0 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 𝑔 𝑥 Sujeto a ; y 𝑥0 = 𝑦0 ; 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1, … . . , 𝑦" 𝑥0 = 𝑦𝑛 Resolvemos: 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 d𝑥 − 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) Sujeto a : y 𝑥 = 𝑦 . X0,Y0 X0,X0 X0,Y0 . . . I I I 3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial. Resolver un ED lineal de orden “n” sujeto a “n” condiciones iniciales
  • 25. Teorema de existencia y unicidad Sean 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥 , … . . , 𝑎1 𝑥 𝑦 + 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces una única solución 𝑦(𝑥) Comprobar que 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 −3𝑥 es una solución única de 𝑦" − 4𝑦 = 12 𝑦 0 = 4 𝑦′ (0)=1 Derivamos 𝑦 = 𝑒2𝑥+ 𝑒−2𝑥−3𝑥 𝑦′ = 6𝑒2𝑥 − 2𝑒−2𝑥 𝑦" = 12𝑒2𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 12𝑒2𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 − 4 𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 3𝑥 − 12𝑥 12𝑥 = 12x 𝑦 0 = 4 4 = 3𝑒2(0)+ 𝑒−2(0) 4 = 3 + 1 − 0 4 = 4 𝑦′ (0)=1 1 = 6𝑒2(0) − 2𝑒−2 0 − 3 1 = 1 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝. 𝑣. 𝑖 Pertenecen a todos los reales 𝑦 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
  • 26. Solución general Sea Yp solución de Ecu. 1 y y1, y2+, … + yn un conjunto de soluciones fundamentales de soluciones de la Ecu. 2 entonces la sol general de la ecu. 1 es: Yg = C1y1 + C2y2, … 𝐶𝑛yn + Yp sol particular Sean YP es una solución particular de la Ecu. Homogénea y YX solución general. Sea: 𝑢 𝑥 = yp − yp 𝐿𝑢 = 𝐿(yp − yp) 𝐿𝑢 = 𝐿𝑥p − Lyp 𝐿𝑢 = −𝑥p − yp 𝐿𝑢 = 0 Ly=g(x) Ly=o Reducción de orden 𝐚𝟐(𝐱)𝐲" + 𝐚𝟏(𝐱)𝒚′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 (1) 𝑦1 𝑢 𝑠𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦2 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 ; Yc = C1y1 sol general Ejemplo: hallar la sol general de: 𝒙 𝟐 𝐲" − 𝟑𝐱𝒚′ + 𝟒𝒚 Donde: 𝑦1 = 𝑥2 sol particular. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3 𝑥2 = 3𝑦 𝑥2 Aplicamos la formula: 𝑦2 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒 3 𝒙 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑥3 𝑥4 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑌𝑐 = 𝐶1𝑥2 +𝐶2𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
  • 27. Sistema fundamental de soluciones Sean y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) soluciones linealmente independientes de la ED. Homogénea. 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛 𝑎𝑛 − 1𝒚 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0𝑖 𝑥 𝑦′ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0 Entonces : y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) son un conjunto fundamental de soluciones. Donde: C1y1 x + 𝐶2y2 𝑥 +, … + 𝐶𝑛yn x 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 (1) . Demuestre que 𝑦1 = 𝑒x; 𝑦2 = 𝑒3x; 𝑦3 = 𝑒3xson funciones linealmente independientes de 𝑦′" − 16𝑦" + 11𝑦‘-6y=0 (1) y luego encontrar una sol general Solución 𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑)= 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑 𝑦" 𝟏 𝑦" 𝟐 𝑦" 𝟑 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑 𝑒 𝒙 𝑒 𝟐𝒙 𝑒3𝒙 𝑒 𝒙 2𝑒 𝟐𝒙 3𝑒3𝒙 𝑒 𝒙 𝟒 𝑒 𝟐𝒙 9 𝑒3𝒙 𝑒 𝒙 𝑒 𝟐𝒙 𝑒3𝒙 𝑒 𝒙 𝟐𝑒 𝟐𝒙 3𝑒3𝒙 = 18𝑒 𝒙 + 𝟒𝑒 𝟐𝒙 + 𝟑𝑒 𝟔𝒙 − 𝟐𝑒 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐𝑒1𝟐𝒙 −9𝑒 𝟔𝒙 = 𝟐𝑒 𝟔𝒙 Sol general: 𝑌 = 𝐶1𝑒 𝒙 + 𝑪𝟐𝑒 𝟐𝒙 +𝐶3𝑒3𝒙
  • 28. P.V.I Resolvemos una ecuación lineal de segundo orden. 𝒂𝒏(𝒙) 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒕 𝟐 + 𝒂𝟏 𝒅𝒚 𝐝𝒙 − 𝒂𝟎 𝒙 𝒚′ + 𝒂𝟎 𝒙 = 𝒈(𝒙) Sujeto a ; 𝐲 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 ; 𝒚′ (𝒙𝟎) = 𝒚𝟏 . X0,Y0 X0,X0 X0,Y0 . . . m=y1 m=y1 m=y1 I II
  • 29. 3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 𝑎𝑛𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 𝑦 𝑛−1 + ⋯ . +𝑎 𝒚′ + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, … . . 𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎2𝑦′, 𝑎2𝑦" + 𝑎0𝑦 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥; 𝑦" = 𝑚22𝑒 𝑚𝑥 Formas de expresión  R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔( 𝜟 >  R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝜟 = 𝟎 Ejemplo: 𝒙 𝟐 𝐲" − 𝟑𝐱𝒚′ + 𝟒𝒚 𝑦1 = 𝑥2 sol particular. Aplicamos la formula: 𝑦2 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒 3 𝒙 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑌𝑐 = 𝐶1𝑥2 +𝐶2𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙  R𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔 𝜟 < 𝟎 𝑚1 = α+Βi 𝑚2 = α−Βi Yc = C1 𝑒α+Βi + C2 𝑒α+Βi 𝒚" + 𝟒𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒎 = −4 ± 16 − 4(1)(1) 2(1) 𝑚 = −2 + 6 𝑚 = −2 − √6 (−𝟐+ 𝟔) (−𝟐+ 𝟔)
  • 30. 3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. 𝑚 − 1 𝑛 𝑚 − 3 𝑚 + 4 𝑚2 + 1 (𝑚2+1)2 = 0 𝑚1 = 1 𝑚4 = 3 𝑚5 = −4 𝑚6 = −4 𝑚7 = −4 𝑚6 = ∓ −1 𝑚6 = 0𝑖 𝑚7 = ∓ −2 𝑚7 = ∓ 2 α=0 Β=1 α=0 Β= 2 𝒚 = 𝑪𝟏𝒆 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝟐𝒆 𝒙 +𝑪𝟑𝒙 𝟐 𝒆 𝒙++𝑪𝟒𝒆−𝟒𝒙 +𝑪𝟓𝒆−𝟒𝒙+ +𝒆 𝟎𝒙 𝑪𝟔𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪𝟕𝒔𝒆𝒏𝒙 + +𝒆 𝟎𝒙(𝑪𝟖𝒄𝒐𝒔 𝟐 + 𝑪𝟗𝒔𝒆𝒏 𝟐) +𝒆 𝟎𝒙 (𝑪𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟐 + 𝑪𝟏𝟏𝒔𝒆𝒏 𝟐)
  • 31. 3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes 𝑎𝑛𝑖(𝑥)𝑦 𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑖 𝑦 𝒚′ + 𝑎0𝑖 𝑥 𝑦 = 𝑔𝑖 𝑥 𝑖 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 Sean 𝐲𝐩𝟏, 𝐲𝐩𝟐, … 𝐲𝐩𝐢. . soluciones particulares de la Ecu. No homogénea entonces 𝐲𝐩 = 𝐲𝐩𝟏, 𝐲𝐩𝟐+, … 𝐲𝐩 + 𝐢. . Ejercicio: 𝐲𝐩𝟏 = −𝟒𝐱 𝟐; 𝐲" − 𝟑𝒚′ + 𝟒𝐲 = −𝟏𝟔𝐱 𝟐 + 𝟐𝟒𝐱 − 𝟖 𝐲𝐩𝟐 = 𝐞 𝟐𝐱 ; 𝐲" − 𝟑𝒚′ + 𝟒𝐲 = 𝟐𝒆 𝟑𝒙 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + 𝑦𝑝2 𝒚′ 𝑝 = −𝟒𝐱 𝟐 + 𝒆 𝟑𝒙 𝑦" − 𝟑𝒚′ + 𝟒𝐲 = 𝟏𝟔𝐱 𝟐 + 𝟐𝟒𝐱 − 𝟖 + 𝟐𝒆 𝟑𝒙
  • 32. Método de superposición 𝑎𝑛(𝑥) 𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝒚′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 + ⋯ . +𝐧 Ejercicio: 𝒚" + 𝟒𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝒎 = −4 ± 16 − 4(1)(1) 2(1) 𝑚 = −2 + 6 𝑚 = −2 − √6 𝑌𝑐 = 𝐶𝟏𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶𝟐𝐞(−𝟐+ 𝟔) 𝒚𝐩 = 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 𝒚𝒑′ = 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩 𝒚𝐩“ = 𝟐𝑨 𝟐𝑨 + 𝟒 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩 − 𝟐(𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪)=𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝟐𝑨 + 𝟖𝑨𝒙 + 𝟒𝑩 − 𝟐𝑨𝒙 𝟐 + 𝟐𝑩𝒙 + 𝟐𝑪)=𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 −𝟐𝑨𝒙 𝟐 + 𝟖𝑨 + 𝟐𝐁 𝐱 + 𝟐𝑨 − 𝟒𝑩 − 𝟐𝑪 −2𝐴 = 2 𝐴 = 1 8𝐴 + 2B = 3 B = −5/2 2𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶 = 6 𝐶 = −9 𝒚𝐩 = −𝒙 𝟐 − 5 2x − 9 𝒚𝐩 = 𝐶𝟏𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶𝟐𝐞(−𝟐− 𝟔) − 𝒙 𝟐 − 5 2x − 9
  • 33. Método Anulador: si L(x)=0 entonces el anulador L es f(x) Tenemos: 𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) será lo mismo que: 𝐷2 𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) Operador lineal: 𝐷2 + 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 𝑔(𝑥) Encontramos un anulador de ; 𝑔(𝑥) 𝐿𝑔 𝑥 = 0 𝐿 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 Ejercicio: 𝒚" + 𝟒𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝑌𝑐 = 𝐶1𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶2𝐞(−𝟐− 𝟔) L = 𝑫 𝟑 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑫 𝟑 𝑫 𝟐 − 𝟒𝑫 − 𝟐 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝑫 𝟑 𝑫 𝟐 − 𝟒𝑫 − 𝟐 = 𝟎 𝒎 𝟑 𝒎 𝟐 − 𝟒𝒎 − 𝟐 = Método de coeficientes indeterminadas Operadores diferenciales; 𝑑𝑦 𝑛 = 𝐷 𝑛 𝑦 𝑎𝑛(𝑥) 𝑛 + 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑥 𝐷 𝑛 − 𝑎1𝐷 𝒎 = 0 𝒎 = 0 𝒎 = 0 𝒎 = −4 ± 16 − 4(1)(1) 2(1) 𝑚 = −2 + 6 𝑚 = −2 − √6 𝑌𝐺 = 𝑪𝟏𝐞 𝟎𝐱 − 𝐶2𝑥𝐞 𝟎𝐱 + 𝐶3𝐱𝐞 𝟎𝐱 + 𝐶𝟒𝐞(−𝟐+ 𝟔) + 𝐶𝟓𝐞(−𝟐− 𝟔)
  • 34.
  • 35. Variaciónde parámetros: 𝐲" + 𝑃(𝑥)𝒚′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦1 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐶1 𝑦 𝐶2 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝞵1 y 𝞵2 𝑊 𝑦1, 𝑦2 = 0 𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚′𝟏 𝒚′𝟐 𝞵′1 = 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑊 𝞵′ 2 = 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑊 Ejerciccio; 𝐲 − 𝟒𝒚′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱 𝒎 𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟒 = 𝟎 (𝒎 − 𝟐) 𝟐= 𝟎 𝒎 = 𝟐 𝒎 = 𝟐 𝒀𝒄 = 𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝒀𝒄 = 𝞵′1𝒆𝟐 𝒙 +𝞵′ 𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝒀𝟏 = 𝒆 𝟐𝒙 𝒚𝟐 = 𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝑒2𝒙 𝒙𝑒 𝟐𝒙 2𝑒 𝟐𝒙 𝑒2𝒙 + 2𝑥𝑒 𝟐𝒙 = 𝐞 𝟐𝐱 𝐞 𝟐𝐱 + 𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 − 𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝟐𝒆 𝟐𝒙 = 𝐞 𝟒𝐱 𝞵′ 𝟏 = − 𝒙𝑒 𝟐𝒙 𝑥+1 𝐞 𝟐𝐱 𝐞 𝟒𝐱 𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙 𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 𝞵′ 𝟏 = − 𝑥3 3 − 𝑥2 2 𝞵′ 𝟐 = 𝐞 𝟐𝐱 𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱 𝐞 𝟒𝐱 𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝞵′ 𝟏 = − 𝑥2 2 + 𝑥 𝒀𝒑 = − 𝑥3 3 𝐞 𝟐𝐱 − 𝑥2 2 𝐞 𝟐𝐱 + 𝑥2 2 𝐱𝐞 𝟐𝐱 + 𝒙𝒙𝐞 𝟐𝐱 𝒀𝑮 = − 𝑥3 3 𝐞 𝟐𝐱 − 𝑥2 2 𝐞 𝟐𝐱 + 𝑥2 2 𝐱𝐞 𝟐𝐱 + 𝒙𝒙𝐞 𝟐𝐱 +𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙
  • 36. Método variación de parámetros 𝐘𝐜 = 𝑪𝟏𝒚𝑪𝟐 𝑪𝟐𝒚𝟐 𝑷𝒂𝒔𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 ; 𝐲" + 𝑷(𝒙)𝒚′ + 𝑸(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝑪𝟏, 𝑪𝟐 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔  𝒚𝒑 = 𝞵′ 𝟏𝒚𝟏 + 𝞵′ 𝟐𝒚𝟐  𝞵′ 𝟏 = − 𝒚𝟐𝒇 𝒙 𝑾  𝞵′ 𝟐 = 𝒚𝟏𝒇(𝒙) 𝑾  𝒀𝑮 = 𝒀𝒄 + 𝒀𝒑 Ejerciccio; 𝐲 − 𝟒𝒚′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱 𝐲 − 𝟒𝒚′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝐞 𝟐𝐱 𝒎 𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟒 = 𝟎 (𝒎 − 𝟐) 𝟐 = 𝟎 𝒎 = 𝟐 𝒎 = 𝟐 𝒀𝒄 = 𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝒀𝒄 = 𝞵′1𝒆𝟐 𝒙 +𝞵′ 𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝒀𝟏 = 𝒆 𝟐𝒙 𝒚𝟐 = 𝒙𝒆 𝟐𝒙 𝑾 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝑒2𝒙 𝒙𝑒 𝟐𝒙 2𝑒 𝟐𝒙 𝑒2𝒙 + 2𝑥𝑒 𝟐𝒙 𝞵′ 𝟐 = 𝐞 𝟐𝐱 𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱 𝐞 𝟒𝐱 𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝞵′ 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝞵′ 𝟏 = − 𝑥2 2 + 𝑥 𝞵′ 𝟏 = − 𝒙𝑒 𝟐𝒙 𝑥 + 1 𝐞 𝟐𝐱 𝐞 𝟒𝐱 𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙 𝞵′ 𝟏 = −𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 𝞵′ 𝟏 = − 𝑥3 3 − 𝑥2 2 𝒀𝒑 = − 𝑥3 3 𝐞 𝟐𝐱 − 𝑥2 2 𝐞 𝟐𝐱 + 𝑥2 2 𝐱𝐞 𝟐𝐱 + 𝒙𝐞 𝟐𝐱 𝒀𝑮 = − 𝑥3 3 𝐞 𝟐𝐱 − 𝑥2 2 𝐞 𝟐𝐱 + 𝑥2 2 𝐱𝐞 𝟐𝐱 + 𝒙𝐞 𝟐𝐱 +𝑪𝟏𝒆𝟐 𝒙 +𝑪𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙