2. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
1.4 Solución particular
1.5 Problemas de valores iniciales
1.6 Campos de dirección
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables separables: reducibles,
transformables
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación de constante o de parámetros
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden
UNIDAD 3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema
fundamental de
soluciones. Problemas con valor inicial.
3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
(Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros)
3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
3. UNIDAD1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
1.4 Solución particular
1.5 Problemas de valores iniciales
1.6 Campos de dirección
4. 1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
Es una ecuación que relaciona variables
dependientes, sus derivadas y variables
independiente.
𝒚′ = 𝒙 + 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙 +
𝒅 𝟐
𝒚
𝒅𝒙 𝟐
5. Tipos de ecuaciones
Ecuación diferencial ordinaria(EDO)
Presenta una variable dependiente y una
independiente
• 𝑦′′ − 𝑦 =1
Ecuación deferencial lineal (EDP)
𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛
+ 𝑎𝑛 − 1 𝑥 𝑦 𝑛−1
𝑎1 𝑥 𝒚′
+ 𝑎0 𝑥 − 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Una EDL es lineal si tiene la forma de:
• 𝒙2
+ 𝟏 𝒚′′′
−
𝟐
𝒙
− 𝑦′′
𝒙𝒚′
− 𝒚 = 𝒍𝒏x
• El orden de una ecuación diferencial
va ha estar dada por la mayor
derivada posible.
• 𝒚′′
− 𝒚 =1 Segundo Orden
•
𝒅 𝟒 𝒚
𝒅𝒙 𝟒 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
. 𝒚 𝟐 = 𝟑𝒙 𝟕 + 𝟏 Cuarto orden
• 𝒚′ = −
𝒚
𝒙
Primer Orden
Ecuación deferencial parcial (EDP)
Presenta dos variables dependientes o
independientes.
•
𝒅 𝟐 𝒙
𝒅𝒚 𝟐 −
𝒅 𝟐 𝒛
𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 + 𝒕 − 𝒚
6. 1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de
Una función 𝑦 = 0 es una solución de una EDO de orden “n” en un
intervalo si sus “n” derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlo en
la EDO se obtiene una identidad.
Ejemplo:
𝑦′′
+ 4𝑦 = 0
𝑦′ = 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑦′′ = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
−4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0
0 = 0
X=(−∞ + ∞)
7. 1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
Orden “n” solución: G(x,y,C1,C2…….. Cn). Familia
de soluciones n-paramétricas.
Orden “I” solución: G(x,y,C)=0.Familia de
soluciones un paramétricas
8. Dada una región R definida entre 𝒂𝒄𝒙𝒄𝒃 y c𝒄𝒚𝒄𝒅, si f(𝒙, 𝒚) 𝑦
𝒅𝒇
𝒅𝒚
son
continuos en R, existe única solución y(x) en el intervalo I donde I pertenece
al intervalo (𝒂, 𝒃).
Ejemplo:
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=
𝑑(−2𝑥)𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=-4xy
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
I I I
11. UNIDAD2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a
la forma de variables separables: reducibles,
transformables
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. Variación de constante o de parámetros
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
2.4 Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º
orden
12. 2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma
de variables separables: reducibles, transformables
Dada la EDO
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒔𝒊 𝒇 𝒙, 𝒚 se puede separar en dos factores g 𝒙 , 𝒉 𝒚 , entonces es habla de una
ED de unidades separable.
𝐝𝐲
𝐝𝐱
= 𝐟 𝐱, 𝐲
𝐝𝐱
𝐝𝐲
= 𝐠 𝐱 𝐡 𝐱
Ejemplo:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚 𝟐
𝒙𝒆 𝟑𝒙+𝟒𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝒆 𝟑𝒙 + 𝒚 𝟐 𝒆 𝟒𝒚
Solución:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙
𝟏
(𝒉)
= 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝑷(𝒙)𝒅𝒕 = 𝒈(𝒙)𝒅𝒕
P 𝒙 = 𝑮 𝒙 + 𝑪
P(y)=
𝟏
𝒉(𝒚)
14. 2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Variación de constante o de parámetros
Método para factor integrante para EDOS
lineales de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢𝑥 = 𝑢 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Forma estándar: u
dy
dx
= UP y = uf(x)
Ejercicio :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3; 𝑓 𝑥 = 0; 𝑢𝑓 𝑥 = 𝑒−3𝑥
𝑒−3𝑥
y = 𝑒−3𝑥
0𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
y = 0𝑑𝑥
𝑒−3𝑥y = C
y = C𝑒3𝑥
sol. general
21. UNIDAD3 Y 4 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2º ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema de existencia y unicidad.
Solución general. Sistema fundamental de
soluciones. Problemas con valor inicial.
3.4 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
3.5 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
(Método de Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros)
3.7 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
3.8 Aplicación. Modelado de ecuaciones diferenciales de 2º orden
22. 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
𝑦 𝑛 𝑎𝑛 − 𝑦 𝑛−1. . 𝒚′, 𝑥 = 0 EC, orden “n”
𝑦 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦 𝑛−1, … , 𝑦′, 𝐲, 𝐱) 𝐄𝐝. 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧 "𝐧" forma normal
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = (𝑦′
, 𝑦, 𝑥) Forma Normal
23. 3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
Sea 𝑓1 𝑥 , 𝑓 𝑥 , … … , 𝑓𝑛 𝑥 , 𝑆𝑖;C1𝑓1 𝑥 + 𝐶2𝑓 𝑥 +. . . +𝐶𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0
Si a excepción de Ci=0. 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛 no existe otros valores de Ci para los cuales Ci es cero, entonces 𝑓1 𝑥 ,
𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥 ,son funciones linealmente independientes.
Wronskiano
𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
𝑓′
1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
𝑓"1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … … 𝑓𝑛 𝑥
Si 𝑾 = 𝟎 es linealmente dependiente, caso contrario será
independiente
Ejm:
𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 5
𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥
𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑓4 𝑥 = 𝑥2
𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 +5𝑓3 𝑥 − 0𝑓4 𝑥 = 0
𝑥 + 5 − 𝑥 + 5𝑥 +5 𝑥 − 1 − 0 𝑥2
= 0
𝐶1 = 0 𝐶2 = 0
C1P1(x)+ C2P2(x)=Xn aplicamos Wronskiano
24. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 … . . , 𝑎1
𝑑𝑦
d𝑥
− 𝑎0 𝑥 𝑦′
+ 𝑎0 𝑥 = 𝑔 𝑥
Sujeto a ; y 𝑥0 = 𝑦0 ; 𝑦′
𝑥0 = 𝑦1, … . . , 𝑦"
𝑥0 = 𝑦𝑛
Resolvemos: 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
d𝑥
− 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Sujeto a : y 𝑥 = 𝑦
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
I I
I
3.3 Definición de ecuaciones lineales de segundo orden.
Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema
fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
Resolver un ED lineal de orden “n” sujeto a “n” condiciones
iniciales
25. Teorema de existencia y unicidad
Sean 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛 − 1 𝑥 , … . . , 𝑎1 𝑥 𝑦 + 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un
intervalo I, entonces una única solución 𝑦(𝑥)
Comprobar que 𝑦 = 𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
−3𝑥 es una
solución única de
𝑦" − 4𝑦 = 12
𝑦 0 = 4 𝑦′
(0)=1
Derivamos
𝑦 = 𝑒2𝑥+ 𝑒−2𝑥−3𝑥
𝑦′
= 6𝑒2𝑥
− 2𝑒−2𝑥
𝑦" = 12𝑒2𝑥 + 4 𝑒−2𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4 𝑒−2𝑥
− 4 𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥 − 12𝑥
12𝑥 = 12x
𝑦 0 = 4
4 = 3𝑒2(0)+ 𝑒−2(0)
4 = 3 + 1 − 0
4 = 4
𝑦′
(0)=1
1 = 6𝑒2(0)
− 2𝑒−2 0
− 3
1 = 1
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝. 𝑣. 𝑖
Pertenecen a todos los reales
𝑦 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
26. Solución general
Sea Yp solución de Ecu. 1 y y1, y2+, … + yn un
conjunto de soluciones fundamentales de soluciones
de la Ecu. 2 entonces la sol general de la ecu. 1 es:
Yg = C1y1 + C2y2, … 𝐶𝑛yn + Yp sol particular
Sean YP es una solución particular de la Ecu. Homogénea y
YX solución general.
Sea:
𝑢 𝑥 = yp − yp
𝐿𝑢 = 𝐿(yp − yp)
𝐿𝑢 = 𝐿𝑥p − Lyp
𝐿𝑢 = −𝑥p − yp
𝐿𝑢 = 0
Ly=g(x)
Ly=o
Reducción de orden
𝐚𝟐(𝐱)𝐲" + 𝐚𝟏(𝐱)𝒚′
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 (1)
𝑦1 𝑢 𝑠𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑦2 =
𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑥 ; Yc = C1y1 sol general
Ejemplo: hallar la sol general de: 𝒙 𝟐
𝐲" − 𝟑𝐱𝒚′
+ 𝟒𝒚
Donde: 𝑦1 = 𝑥2
sol particular.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
3
𝑥2
=
3𝑦
𝑥2
Aplicamos la formula: 𝑦2 =
𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑒
3
𝒙
𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑥3
𝑥4
= 𝑥2
𝑙𝑛𝑥
𝑌𝑐 = 𝐶1𝑥2
+𝐶2𝑥2
𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
27. Sistema fundamental de soluciones
Sean y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) soluciones linealmente independientes de la ED. Homogénea.
𝑎𝑛(𝑥)𝑦 𝑛
𝑎𝑛 − 1𝒚 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0𝑖 𝑥 𝑦′
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0
Entonces : y1(x), y2(𝑥)+, … + yn(x) son un conjunto fundamental de soluciones.
Donde: C1y1 x + 𝐶2y2 𝑥 +, … + 𝐶𝑛yn x 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 (1) .
Demuestre que 𝑦1 = 𝑒x; 𝑦2 = 𝑒3x; 𝑦3 = 𝑒3xson funciones linealmente independientes
de 𝑦′" − 16𝑦" + 11𝑦‘-6y=0 (1) y luego encontrar una sol general
Solución
𝑾(𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑)=
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑
𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑
𝑦" 𝟏 𝑦" 𝟐 𝑦" 𝟑
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑
𝑦‘𝟏 𝑦‘𝟐 𝑦‘𝟑
𝑒 𝒙
𝑒 𝟐𝒙
𝑒3𝒙
𝑒 𝒙 2𝑒 𝟐𝒙 3𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝟒 𝑒 𝟐𝒙
9 𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝑒 𝟐𝒙
𝑒3𝒙
𝑒 𝒙
𝟐𝑒 𝟐𝒙
3𝑒3𝒙
= 18𝑒 𝒙
+ 𝟒𝑒 𝟐𝒙
+ 𝟑𝑒 𝟔𝒙
− 𝟐𝑒 𝟔𝒙
− 𝟏𝟐𝑒1𝟐𝒙
−9𝑒 𝟔𝒙
= 𝟐𝑒 𝟔𝒙
Sol general: 𝑌 = 𝐶1𝑒 𝒙
+ 𝑪𝟐𝑒 𝟐𝒙
+𝐶3𝑒3𝒙
28. P.V.I Resolvemos una ecuación lineal de segundo orden.
𝒂𝒏(𝒙)
𝒅 𝟐
𝒚
𝒅𝒕 𝟐 + 𝒂𝟏
𝒅𝒚
𝐝𝒙
− 𝒂𝟎 𝒙 𝒚′
+ 𝒂𝟎 𝒙 = 𝒈(𝒙)
Sujeto a ; 𝐲 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 ; 𝒚′
(𝒙𝟎) = 𝒚𝟏
.
X0,Y0
X0,X0
X0,Y0
.
.
.
m=y1 m=y1
m=y1
I II