2. Punto 2.1 Introducción
Punto 2.2 Armaduras planas
Punto 2.2.1 Método de los nudos
Punto 2.2.2 Miembros de fuerza nula
Punto 2.2.3 Método de las secciones
Punto 2.2.4 Fuerzas en miembros de dos fuerzas rectos y curvos
Punto 2.3 Armaduras espaciales
Punto 2.4 Entramados y máquinas
Punto 2.4.1 Entramados
Punto 2.4.2 Máquinas
-
2
-
3. -
3
-
• La determinación de las reacciones en los apoyos sólo es el primer paso del análisis
de las estructuras y máquinas.
• Se tiene que utilizar las ecuaciones de equilibrio (EQ) para determinar las fuerzas en
los nudos de estructuras compuestas de miembros conectados por pasador.
• Este paso es necesario para elegir las sujeciones (tipo, tamaño, material, etc.) que se
utilicen para mantener unida la estructura.
• La determinación de las fuerzas interiores (Resistencia de materiales) es necesaria
para proyectar los miembros que constituyan la estructura.
• Las fuerzas en los nudos siempre son, dos a dos, de igual módulo y recta soporte,
pero opuestas. Si no se separan del resto de la estructura por medio de un DSL(DCL),
no habrá que considerar estas parejas de fuerzas al escribir las EQ. Por tanto, para
poder determinarlas habrá que dividir la estructura en dos o más partes. Así, las fuerzas
de los nudos se convertirán, en los puntos de separación, en fuerzas exteriores en cada
DSL y entrarán en las EQ. La aplicación de estas EQ a las distintas partes de una
estructura permitirá determinar todas las fuerzas que actúan en las conexiones.
2.1 Introducción
4. -
4
-
1.- Armaduras, estructuras compuestas totalmente por
miembros de dos fuerzas. Las armaduras constan generalmente
de subelementos triangulares y están apoyadas de manera que se
impida todo movimiento. Su estructura ligera puede soportar
una fuerte carga con un peso estructural relativamente pequeño.
Ejemplo: Puente de la figura
2.- Entramados, estructuras que siempre contienen al menos un
miembro sobre el que se ejercen fuerzas entres o más puntos.
Los entramados también se construyen y apoyan de manera que
se impida su movimiento.
Las estructuras tipo entramado que no estén totalmente
inmovilizadas reciben el nombre de máquinas o mecanismos.
Ejemplo: Mesa de la figura
5. -
5
-
2.2 Armaduras planas
La Armadura es una estructura compuesta por miembros usualmente rectos unidos
por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unión (nudos). La
estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces, una resistencia
mayor que la que proporcionarían muchos tipos de estructura más recios.
Las Armadura planas están contenidas en
un solo plano y todas las cargas aplicadas
deben estar contenidas en él. Ejemplo: Se
utilizan a menudo por parejas para sostener
puentes. Las cargas sobre el piso son
transmitidas a los nudos ABCD por la
estructura del piso.
Las Armadura espaciales son estructuras que no
están contenidas en un solo plano y/o están cargadas
fuera del plano de la estructura.
Ejemplos: Grandes antenas, molinos de viento, etc.
6. -
6
-
1ª.- Los miembros de las armaduras están unidos
solo por sus extremos. Aunque en la realidad haya
miembros que cubran varios nudos.
2ª.- Los miembros de la armadura están
conectados por pasadores exentos de rozamiento
por lo que no hay momentos aplicados a los
extremos de los miembros.
3ª.- La armadura sólo está cargada en los nudos.
Los miembros suelen ser largos y esbeltos por lo
que no pueden soportar momentos o cargas
laterales fuertes.
4ª.- Se pueden despreciar los pesos de los
miembros. En la práctica, es corriente suponer que
la mitad del peso de cada miembro se ejerce sobre
cada uno de los dos nudos que lo conectan.
En el análisis de armaduras se formulan
cuatro hipótesis fundamentales:
7. -
7
-
El resultado de estas cuatro hipótesis es que todos los
miembros de la estructura idealizada son miembros de dos
fuerzas. (figura).
Tales estructuras son mucho más fáciles de analizar que otras
más generales con igual número de miembros.
El error resultante suele ser suficientemente pequeño para
justificar las hipótesis.
En su forma más sencilla, una
armadura consiste en un conjunto
de miembros de dos fuerzas unidos
por pasadores exentos de
rozamiento (figura).
8. -
8
-
Cuando un nudo ejerce una fuerza que tira del extremo de un miembro, éste ejerce una
reacción que también tira del nudo. (Principio de acción y reacción).
Las fuerzas que tiran del extremo de un miembro se denominan fuerzas de
tracción o de tensión y tienden a alargar el miembro.
Las fuerzas que aprietan el extremo del miembro se denominan fuerzas de
compresión y tienden a acortarlo.
Los miembros largos y esbeltos que constituyen una armadura son muy resistentes a la
tracción pero tienden a sufrir flexión o pandeo cuando se someten a cargas compresivas
fuertes, por lo que en estos casos deberán ser más gruesos o deberán riostrarse.
Uno de los extremos de una armadura de puente grande
se suele dejar flotar sobre un apoyo de zapata o de rodillo.
Aparte del requisito matemático (problema equilibrio
Plano: 3 reacciones de apoyo) va a permitir la dilatación
o contracción por causas térmicas.
En el caso de los miembros de dos fuerzas, las
fuerzas están dirigidas según la recta que une sus
puntos de aplicación.
9. -
9
-
Para mantener su forma y resistir las grandes
cargas que se le apliquen, las armaduras han de
ser estructuras rígidas. El elemento constitutivo
básico de toda armadura es el triángulo ya que
es la estructura rígida más sencilla.
A menudo se dice que una armadura es rígida si
conserva su forma al sacarla de sus apoyos o
cuando uno de sus apoyos puede deslizar
libremente. Ejemplo:
Por otro lado, la armadura de la 2ª figura se dice
que es una armadura compuesta y la falta de
rigidez interna se compensa mediante una
reacción de apoyo exterior más. Ejemplo:
10. -
1
0
El elemento constitutivo básico de toda armadura
es el triángulo. Las armaduras grandes se
construyen uniendo varios triángulos.
Armaduras simples: Estas se diseñan a partir de
un elemento triangular básico (triángulo ABC),
luego se añaden, uno a uno, elementos
triangulares adicionales uniendo un nuevo nudo
(D) a la armadura y utilizando dos nuevos
miembros (BD y CD) y así sucesivamente.
Las armaduras de la página anterior no son
simples.
La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementos triangulares, siempre
será rígida. Como cada nuevo nudo trae con él dos nuevos miembros, se cumple que
en una armadura simple plana:
32 nm Siendo m el nº de miembros y n el nº de nudos.
Según el método de los nudos, ésta es exactamente la condición necesaria para
garantizar la resolubilidad de la armadura simple plana, aunque no es válida para
otro tipo de armaduras.
11. -
1
1
2.2.1 Método de los nudos
Consiste en desmontar la armadura dibujando por separado el DSL de cada miembro
y cada pasador y aplicarles las condiciones de equilibrio.
12. -
1
2
Los DSL de los miembros de la armadura solo tienen fuerzas axiales aplicadas en
sus extremos en virtud de la hipótesis formuladas anteriormente.
El símbolo TBC representa la fuerza incógnita en el miembro BC (TBC = TCB).
Al conocer las rectas soporte de los miembros solo faltaría determinar el módulo y
sentido de las fuerzas en los mismos.
El sentido de la fuerza se tomará del signo de TBC.
Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembro se denominan fuerzas de
tracción o de tensión y tienden a estirar el miembro.
Las fuerzas que apuntan hacia el miembro se denominan fuerzas de compresión y
tienden a comprimirlo.
Aun cuando algunos intentan prever el sentido de las fuerzas, no es necesario
hacerlo, por lo que dibujaremos los DSL como si todos los miembros estuvieran
sometidos a tracción. Así, el valor negativo de una fuerza indicará que el miembro
está sometido a compresión.
Consideraciones generales del
Método de los nudos (1/3):
13. -
1
3
De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que un pasador ejerce
sobre un miembro es igual y opuesta a la que el miembro ejerce sobre el pasador.
El análisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de los nudos ya que
el equilibrio de los miembros no aporta más información que la igualdad de fuerzas
en los extremos.
Como en cada nudo actúan fuerzas concurrentes coplanarias, el equilibrio de
momentos no dará información útil con lo que solo se analiza el equilibrio de
fuerzas. Para cada nudo R = 0 dará lugar a 2 ecuaciones escalares independientes:
Una armadura plana con n pasadores dará un total de 2n ecuaciones escalares
independientes con las que calcularemos las m fuerzas en los miembros y las 3
reacciones en los apoyos de una armadura simple.
00 yx FyF
Consideraciones generales del
Método de los nudos (2/3):
14. -
1
4
Si existe un nudo con solo dos fuerzas incógnitas, las dos ecuaciones para este
nudo se pueden resolver independientemente del resto de ecuaciones.
Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo primero las EQ de la
armadura en su conjunto.
Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro hasta que se conozcan todas
las fuerzas.
Una vez determinadas todas las fuerzas, deberá hacerse un resumen de todas las
fuerzas de los miembros indicando en cada una si es de tracción o d compresión.
Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar las reacciones en
los apoyos y ayudar a iniciar el método de los nudos, entonces tres de las 2n EQ de
los nudos serán superabundantes y se podrán utilizar para comprobar la solución.
Si no es así, es el equilibrio global el que puede utilizarse para comprobar la
solución.
Consideraciones generales del
Método de los nudos (3/3):
18. -
1
8
2.2.2 Miembros de fuerza nula
1º Cuando sólo dos miembros no colineales forman un nudo y a éste no hay
aplicada ni carga exterior ni reacción de apoyo, los miembros serán de fuerza nula.
Ejemplo:
En este caso se podrían
suprimir los dos miembros BC
y CD, sin que viera afectada la
solución e incluso la estabilidad
de la armadura.
Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no soportan
carga. Esto suele deberse a una de las dos causas generales.
19. -
1
9
2º Cuando tres miembros forman un nudo en el cual dos de los miembros sean
colineales y el tercero forme ángulo con ellos, el miembro no colineal lo será de
fuerza nula si al nudo no hay aplicada fuerza exterior ni reacción de apoyo. Los dos
miembros colineales soportan cargas iguales.
Ejemplo:
En este caso estos miembros de fuerza nula no pueden suprimirse, sin más, de la
armadura y descartarlos. Son necesarios para garantizar la estabilidad de la
armadura, tal y como se indica a continuación.
20. -
2
0
Si se suprimieran los miembros de fuerza nula
AD y BD, nada impediría que una pequeña
perturbación desplazara ligeramente el
pasador D y destruyera el alineamiento de los
miembros.
La armadura ya no estaría estático, el pasador D seguiría moviéndose hacia afuera y
la armadura se derrumbaría.
Así pues, no hay que apresurarse a descartar miembros de una armadura sólo por
que no soporten carga para una cierta configuración. Tales miembros son a menudo
necesarios para soportar parte de la carga cuando la carga aplicada varíe y casi
siempre son necesarios para garantizar la estabilidad de la armadura.
DECDy
DECDx
TTF
TTF
0
0
Pero el equilibrio del pasador C exige
que TCD no sea nula. Con lo que:
23. -
2
3
2.2.3 Método de las secciones
La armadura se divide solo en dos pedazos.
Como la armadura entera está en equilibrio cada uno de los
pedazos es también un cuerpo en equilibrio.
Ejemplo: La armadura de la figura se puede dividir en dos
partes haciendo pasar una sección imaginaria aa que corte a
alguno de sus miembros.
La sección deberá cortar la armadura de manera que se puedan
dibujar DSL completos para cada uno de los pedazos.
En cada uno hay que incluir la fuerza que sobre cada miembro
cortado ejerce la otra parte del miembro que ha quedado fuera.
Así pues, para hallar la TCF, la sección deberá cortar ese
miembro. Para cada cuerpo rígido podrán escribirse 3 EQ
independientes. En total 6 ecuaciones para despejar 6
incógnitas (las fuerzas en los tres miembros cortados y las 3
reacciones en los apoyos).
24. -
2
4
Podremos simplificar la resolución de las
ecuaciones si se determinan las reacciones de
los apoyos a partir del equilibrio de toda la
armadura antes de ser seccionada.
Si una sección cortara cuatro o más miembros cuyas fuerzas no se conocieran, el
método de las secciones no generaría bastantes EQ para despejar todas las fuerzas
incógnitas.
En ocasiones, no puede encontrarse una sección que corte no más de 3 miembros y
pase a través de un miembro de interés dado. En tal caso, podrá ser necesario dibujar
una sección que atraviese un miembro próximo y despejar primero las fuerzas en él y
posteriormente aplicar el método de los nudos a un nudo próximo o el de la secciones
a una sección que contenga el miembro de interés (problema ejemplo 7.8).
Ventajas:
Suele poderse determinar la fuerza en un miembro cercano al centro de una
armadura grande sin haber obtenido primero las fuerzas en el resto de la
armadura con lo que la posibilidad de error se reduce de manera importante.
Puede servir de comprobación cuando se utilice el método de los nudos o un
programa de ordenador para resolver una armadura.
30. -
3
0
Considerando un corte transversal en la sección aa
del miembro recto de la figura, sobre la superficie de
corte habrá una distribución compleja de fuerzas que
podría sustituirse por una fuerza y un par
equivalentes.
Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen que sea nula la
componente cortante V, que sea nula la componente
M del momento y que la componente axial P del
sistema equivalente fuerza-par sea de igual módulo y
dirección pero de sentido opuesto a T.
Es decir, si las fuerzas en los extremos de un miembro
recto de dos fuerzas tiran del miembro, las fuerzas
que se ejerzan sobre cualquier sección del miembro
representarán también una fuerza axial que tire de
dicha sección.
2.2.4 Fuerzas en miembros de dos
fuerzas rectos y curvos
31. -
3
1
Si el miembro de dos fuerzas es curvo, las
fuerzas en sus extremos actuarán según la recta
que une los puntos de aplicación de las fuerzas.
Si se corta el miembro transversalmente en la sección aa, se
tendrá una distribución compleja de fuerzas sobre la sección
que podría sustituirse por un sistema fuerza-par equivalente.
Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen ahora que la
resultante R de las componentes axial P y cortante V del
sistema fuerza-par equivalente sea de igual módulo y
dirección pero de sentido opuesto a T. Como las fuerzas R y
T no son colineales, el equilibrio de momentos exige ahora
que 0. dTM
Por tanto, el diseño de miembros rectos de dos fuerzas sólo
precisa considerar fuerzas axiales, mientras que los miembros
curvos de dos fuerzas deben diseñarse para resistir fuerzas
cortantes V y momentos flectores M, así como fuerzas axiales
P. Complica más aún el problema el hecho de que los valores
de V, M y P dependen de donde se corte el miembro.
34. -
3
4
2.3 Armaduras espaciales
El equivalente tridimensional del triángulo es el tetraedro.
Una armadura espacial simple se forma añadiendo unidades
tetraédricas a la armadura con lo que son siempre rígidas.
Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos miembros, la
relación entre los n nudos y los m miembros vendrá dado por:
m = 3n – 6.
Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizar
utilizando el método de los nudos o el de las secciones:
Método de los nudos: al aplicar las EQ en cada nudo
obtendremos 3n ecuaciones para calcular las m fuerzas en los
miembros y las 6 reacciones de apoyos.
Método de las secciones: la aplicación de las EQ a las dos
secciones darán 12 EQ (6 c.u.) suficientes para determinar las 6
reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas (suele ser
difícil hacer pasar una sección que no corte a más de 6 miembros).
Son armaduras cuyos nudos no se encuentren
todos en un plano y/o cuyos apoyos y cargas
no sean coplanarios.
39. -
3
9
2.4 Entramados y máquinas
Aun cuando los entramados y las máquinas pueden contener también uno o más
miembros de dos fuerzas, contienen al menos un miembro sobre el que se ejercen
fuerzas en más de dos puntos o sobre el cual actúen fuerzas y momentos.
Los entramados a su vez son estructuras rígidas mientras que las máquinas no lo son.
Ejemplos:
MáquinaEntramado
Esta estructura no es
rígida en el sentido de
que depende de sus
apoyos para mantener
su forma.
La falta de rigidez se
compensa con una
reacción más de los
apoyos.
40. -
4
0
Mas concretamente, el término máquina suele utilizarse para describir objetos que se
utilicen para amplificar el efecto de las fuerzas (tenazas, pinzas, cascanueces, etc.) En
cada caso, se aplica al mango del dispositivo una fuerza de entrada y este elemento
aplica una fuerza de salida mucho mayor a donde sea. Deben desmenbrarse y analizarse
aun cuando lo único que se pida sea la relación entre las fuerza aplicada y de salida.
El método de resolución de entramados y máquinas consiste en desmenbrar las
estructuras, dibujar el DSL de cada componente y escribir las EQ para cada DSL.
En el caso de armaduras, al conocerse la dirección de la fuerza en todos los miembros,
el método de los nudos se reducía a resolver problemas de equilibrio del punto. Si
embargo, como algunos miembros de los entramados y máquinas no son miembros de
dos fuerzas, no se conocen las direcciones de las fuerzas en dichos miembros con lo que
su análisis consistirá en resolver el equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos.
Así pues, en la máquinas el equilibrio global
no es suficiente para determinar las 4
reacciones en los apoyos. La estructura debe
desmenbrarse y analizarse aun cuando lo único
que se pida sean las reacciones en los apoyos.
41. -
4
1
2.4.1 Entramados
El la figura tenemos una mesa en la que ninguno de sus
miembros lo es de dos fuerzas. Además, aun cuando pueda
doblarse la mesa desenganchando el tablero de las patas, en su
utilización normal la mesa es una estructura rígida estable y
por tanto un entramado.
1º Análisis de la estructura completa. Dibujamos su DSL y
escribimos las EQ:
0.3,0.6,0
0
0
WDM
WDAF
AF
yA
yyy
xx
dan las reacciones en los apoyos:
A continuación, se desmiembra la mesa y se dibujan por
separado los DSL de cada una de sus partes.
22
0
W
D
W
AA yyx
42. -
4
2
Teniendo en cuenta el principio de
acción y reacción, al dibujar los DSL,
las fuerzas que un miembro ejerce
sobre otro deberán ser de igual módulo
y dirección, pero de sentido opuesto,
que las fuerzas que el segundo
miembro ejerce sobre el primero.
Aun cuando no todos los miembros de un entramado puedan ser miembros de
dos fuerzas, es posible e incluso muy probable, que uno o varios lo sean. Hay que
aprovechar dichos miembros y mostrar que las fuerzas correspondientes se
ejercen en su dirección, que es conocida. Pero, hay que estar seguros antes de
hacer esta simplificación.
En el análisis de entramados, al contrario que ocurre con las armaduras, rara vez
resulta útil analizar por separado el equilibrio de los pasadores.
43. -
4
3
Sin embargo, existen algunas situaciones particulares en las que sí importa:
Cuando un pasador conecta un apoyo y dos o más miembros, el pasador debe
asignarse a uno de los miembros. Las reacciones del apoyo están aplicadas al
pasador de este miembro.
Cuando un pasador conecta dos o más miembros y a él está aplicada una carga,
el pasador deberá asignarse a uno de los miembros. La carga estará aplicada al
pasador de este miembro.
También hay que tener cuidado cuando uno o más miembros que concurran en un nudo
sea miembro de dos fuerzas, siendo recomendables las dos reglas siguientes:
Los pasadores no deben nunca asignarse a miembros de dos fuerzas.
Cuando todos los miembros que concurran en un pasador sean miembros de dos
fuerzas, deberá suprimirse y analizarse por separado dicho pasador, como se hace
en el método de los nudos para las armaduras.
Para cada parte tenemos 3 EQ, en total 9 EQ para hallar la 6 fuerzas incógnitas restantes
(Bx, By, Cx, Cy, Ex y Ey). La obtención previa de las reacciones en los apoyos a partir del
equilibrio global del entramado ha reducido a 3 de estas EQ a una mera comprobación.
En la mayoría de los casos, no importa a qué
miembro esté unido un pasador cuando se
desmiembra la estructura.
44. -
4
4
2.4.2 Máquinas
Ejemplo: Prensa de ajos de la figura.
Las fuerzas H1 y H2 aplicadas a las empuñaduras
(fuerzas de entrada) se convierten en las fuerzas G1
y G2 (fuerzas de salida) aplicadas al diente de ajo.
El equilibrio de toda la prensa solo da H1 = H2; No
da información acerca de la relación entre las fuerzas
de entrada y de salida. Para ello, habrá que
desmembrar la máquina y dibujar DSL para cada una
de sus partes. Entonces:
La razón de las fuerzas de salida a las de la entrada
se denomina desarrollo mecánico (DM) de la
máquina. En nuestro caso valdría:
H
b
ba
GbGHbaMB
)(0
b
ba
DM
El método anterior también se utiliza para
analizar máquinas y otras estructuras no rígidas.
