1. “Distribución Gamma”
Presenta:
Cutberto García Alfaro
Irapuato, Gto.
Marzo de 2013.
2. Distribución gamma
Es un modelo básico en la teoría estadística
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene
distribución Gamma si su densidad de
probabilidad está dada por
1 α −1 − x / β
α x e , x >0
f ( x ) = β Γ(α)
0,
para otro x
.
3. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de
g α, β
4. Γ (α ) es la función Gamma:
Si α es un entero positivo, entonces
Γ (α ) = (α - 1)!
.
Demostración
u = xα -1 ⇒ du = (α -1)xα -2 dx Para integrar por partes
dv = e-x dx ⇒ v = -e-x
Se obtiene
= (α - 1)Γ(α - 1)
Sucesivamente
Γ (α ) = (α -1)(α -2)(α -3)...Γ (1), pero Γ (1) = 1 por integración
directa.
5.
6. Ejemplo
El tiempo en horas que semanalmente requiere
una máquina para mantenimiento es una variable
aleatoria con distribución gamma con
parámetros α=3, β=2
•Encuentre la probabilidad que en alguna
semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a
8 horas
•Si el costo de mantenimiento en dólares es C =
30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento,
encuentre el costo promedio de mantenimiento.
7. Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
f(x) = α
1
x α−1e −x / β = 3
1
x 3 −1e −x / 2 =
1 2 −x / 2
x e
β Γ α)
( 2 Γ 3)
( 16
•P(X>8) es el área resaltada en el gráfico
P(X>8) = 1 – P(X≤8) = 1 -
8
1
∫ x e dx
2 −x / 2
16 0
8. Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:
,
u = x2 ⇒ du = 2x dx
dv = e-x/2 dx ⇒ v = -2 e-x/2
= -2x2 e-x/2 + 4
u = x ⇒ du = dx
dv = e-x/2dx ⇒ v = -2 e-x/2
= -2x e-x/2 + 2
Sustituyendo los resultados intermedios,
P(X>8) = 1 - = 0.2381
