Trabajo realizado por alumnos

1. CONICAS César Fernández Arcos Alba García Rodríguez Alberto López Garrido

3. 1. Hoy vamos a hablar de: Las cónicas 2. ¿Cuáles de las curvas mencionadas se ven en el vaso? Elipse y círculo. 3. ¿Que instrumento se utiliza ara dibujar cónicas sobre una pared? Una lámpara. 4. ¿Son siempre útiles los estudios de un matemático Si, pero no siempre tienen una utilidad practica en ese momento. 5. Apolonio de pérgamo es el autor del mas importante tratado de la Antigüedad dedicado a las cónicas 6. ¿De dónde procede el nombre de cónicas? De los conos. CÓNICAS DEL BALONCESTO A LOS COMETAS

4. 7. ¿Quien utilizo por primera vez las cónicas? ¿Para que? Fue Johann y las utilizo para el movimiento de los astros 8. ¿Que propiedad geométrica caracteriza la elipse?? La suma de la distancia de sus focos a cualquier punto de esta siempre es la misma. 9. ¿Dónde encontramos elipses? En las bóvedas de las estaciones de metro, , en un balón de rugby, etc. 10. ¿Dónde aparece la parábola? En lanzamientos de proyectiles . 11. ¿Quien descubrió la parábola? Galileo.

5. SECCIONES CÓNICAS

6. DEFINICIÓN: Se llama eclipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos F y F’ llamados focos, es constante e igual al eje mayor AB. ELIPSE

7. PARÁMETROS: Simetría: la elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre si, que se cortan en el centro de la curva (O). Ejes: el eje mayor AB es igual a 2a y el eje menor CD a 2b.

8. Focos: son los puntos de tangencia entre el plano que genera la elipse y las esferas inscritas en la superficie cónica. Están situados sobre el eje mayor distantes “a” de los extremos del eje menor. La distancia focal F-F’ es igual a 2c. Parámetros: 2ª=eje mayor AB 2b=eje menor CD 2c=distancia focal FF’ Los tres parámetros configuran un triangulo rectángulo por lo que se cumple: a^2 = b^2+ c^2

9. Excentricidad: es la razón c/a y en la elipse su valor oscila entre 0 y 1. es la razón de distancias de un punto cualquiera de la curva al foco y a la directriz correspondiente.

10. TRAZADOS: Método del jardinero: Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud igual al eje mayor, colocamos sus extremos sobre los focos y estiramos la cuerda para dibujar la curva.

11. ESTUDIO ANALÍTICO: (x^2 /a^2) + (y^2/b^2) = 1 Con la formula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus puntos.

12. EJEMPLOS REALES: Órbitas planetarias: Formas circulares:

13. DEFINICIÓN: Se llama hipérbola a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F y F’ llamados focos, es constante e igual al eje real V1 V2 HIPÉRBOLA

14. Simetría: La hipérbola tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, que se cortan en el centro de la curva (O) PARÉMETROS: 2a = eje real (V1 V2) 2b = eje virtual 2c = distancia focal (FF’) Los tres parámetros configuran un triangulo rectángulo por lo que se cumple: c 2 = b 2 + a 2

15. Ejes: La hipérbola tiene dos ejes perpendiculares. Eje real: contiene los vértices y los focos de la curva y es igual a 2a. Eje virtual: es igual a 2b. Focos: son los puntos de tangencia entre el plano que genera la hipérbola y las esferas inscritas en la superficie cónica. Están situados sobre el eje real distantes “c” del centro de la curva. La distancia focal F-F’ es igual a 2c.

16. Excentricidad: es la razón c/a y en la hipérbola su valor oscila entre uno e infinito. Es la razón de distancias de un punto cualquiera de la curva al foco y a la directriz correspondiente. Asuntotas: son las tangentes a la hipérbola en puntos del infinito. Son simétricas a los ejes y pasan por el centro 0. Cuando forman con los ejes ángulos de 45º, la hipérbola se denomina “equilátera”, y se cumple que a = b.

17. ESTUDIO ANALÍTICO: (x2 /a2) – (y2/b2) = 1 Con la ecuación reducida de la hipérbola podemos conocer las coordenadas de todos sus puntos.

18. TRAZADOS: Papiroflexia: Dibuja una circunferencia en un papel y, en su exterior, un punto P. Dobla el papel d forma que el punto coincida con la circunferencia. Repite el procedimiento varias veces y descubrirás una hipérbola. El doblez es una tangente a la hipérbola, y a su vez, eje de simetría entre el punto P y los puntos de la circunferencia de papel

19. EJEMPLOS REALES: Relojes solares: Telescopio de tipo cassegrain:

20. DEFINICION: En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

21. PARAMETROS: La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva. El parámetro es la distancia entre el foco “F” y la directriz “D”. P=FD También determina la distancia del foco a los puntos de la curva situados en la vertical del foco.

22. ESTUDIO ANALITICO: Con la formula reducida de la parábola podemos conocer las coordenadas de todos sus Puntos Pero para simplificarla hay que seguir unos pasos.

23. Tomamos un sistema de referencia ortogonal de centro el vértice de la curva.

24. El foco tiene las siguientes coordenadas.

25. La directriz tiene por ecuación:

26. Para todo punto P situado en la parábola se cumple:

29. Elevamos al cuadrado los dos miembros: Operando y simplificando:

30. TRAZADOS: Haces proyectivos: Conocemos el eje, el vértice y un punto P de la curva. Trazamos P', simétrico de P respecto del eje. Dividimos los segmento VA, VB, AP y BP' en el mismo número de partes iguales. Unimos el vértice con las divisiones de los segmentos AP y BP'. Cortamos estas rectas con las horizontales trazadas por las divisiones homónimas de los segmentos VA y VB. Unimos los puntos a mano alzda para dibujar la parábola.

31. EJEMPLOS REALES: Superficies parabólicas: Trayectorias de proyectiles:

32. OPINIÓN PERSONAL: Este trabajo nos a permitido averiguar que estamos rodeados de formas cónicas, ademas nos a permitido saber sus propiedades y como se construyen.