TEORIAS MATEMATICAS

1. LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN EL TERCER MILENIO
David Palomino Alva
Un viaje al pasado, para entender el presente
La ciudad de Konigsberg está situada a orillas del río Pregel y sobre dos de sus islas, las diversas
partes de la ciudad se conectan entre sí por medio de siete puentes. Un turista quiere dar un
paseo por la ciudad , pero desea partir de un punto cualquiera , atravesar una sola vez por cada
uno de los puentes, y regresar al punto de partida. ¿Es posible realizar este paseo?
Este acertijo, en apariencia creado sólo para aguzar el ingenio, cautivó la atención de el celebre
matemático suizo Leonhard Euler quien en 1736 publicó una memoria en la cual le daba solución,
las nuevas ideas que Euler planteó en la solución al acertijo dieron comienzo a lo que hoy
conocemos como Teoría de grafos, una rama de la matemática discreta que tiene amplias
aplicaciones en diferentes campos del quehacer humano, desde problemas de transporte, hasta la
asignación de horarios de trabajo en cadenas comerciales.
En otro país , y en otro tiempo, un jugador empedernido Antoine de Gambaud, caballero de Meré,
ha estado jugando con un amigo el siguiente juego:
Se lanza una moneda. Gambaud gana si sale cara, su amigo gana si sale cruz. El primero que
gane cinco veces cobrará el pozo de 4200 francos franceses.
El juego tuvo que detenerse después de siete lanzamientos, en ese momento Gambaud ha
ganado 4 veces y su oponente sólo 3. ¿Cómo deberá repartirse el premio? Un reparto
proporcional no consideraría el hecho que a Gambaud le falta sólo un punto, mientras que a su
oponente dos.
Intrigado, el caballero de Meré envió este problema a su amigo Blas Pascal. Esta comunicación
inició la investigación, desde el punto de vista matemático, de la incertidumbre y el azar. Las
cartas que sobre este problema intercambiaron Pascal y el matemático Pierre de Fermat sentaron
las bases de la teoría de probabilidades, de tanta importancia en el mundo moderno.
Finalicemos nuestro breve viaje a través de la historia, ubicándonos en los Estados Unidos en
tiempos de la Segunda Guerra Mundial, allí un hombre, George Dantzig, está al mando de la
asignación de recursos de las tropas norteamericanas, debe optimizar y racionar una gran
cantidad de recursos; en la mente de este hombre surge la necesidad de resolver de alguna forma
automatizada esta asignación de recursos, poco a poco irá concibiendo las ideas de lo que luego
llamaríamos el Método Simplex, y así establecerá las bases de la programación lineal, rama de la
matemática aplicada que tiene un desarrollo sostenido en la actualidad.
Como hemos apreciado en los tres ejemplos mostrados, la matemática avanza gracias a que la
realidad nos plantea desafíos por enfrentar, problemas por resolver, son ellos los que la
revitalizan, los que le dan el impulso necesario, los que ayudan a movilizar el gran y complejo
engranaje mental en las mentes creativas de los matemáticos de todos los tiempos.

2. Muchos nuevos conceptos y formas nuevas de pensamiento, aparecen en los intentos por
resolver una situación, algunas veces hay que elaborar una nueva teoría, y esta a su vez generará
nuevos problemas por resolver. Vemos entonces que la matemática es una ciencia dinámica en
continua expansión donde las situaciones abiertas pueden surgir a la vuelta de la esquina. Demás
esta decir que existen muchos problemas que aún hoy no han podido ser resueltos, algunos son
muy elementales en su enunciado, sin embargo su solución parecer entrever complicaciones de
gran nivel.
Un ejemplo de ello es la Conjetura de Twhites: Tome un número cualquiera, si el número es impar
multiplíquelo por tres y luego agregue 1, si es par divídalo por dos. , continúe haciéndolo, la
conjetura de Twhitwes dice que en algún momento de este proceso se llegará al ciclo
4,2,1,4,2,1,4, ... Veamos por ejemplo con tres: Las serie obtenida es : 3,10,5,16,8, 4,2,1,4,2,1,.....
Este problema aparentemente muy sencillo ha vencido a todos aquellos que intentaron
enfrentársele. Sin embargo, aún los intentos frustrados hacen avanzar la matemática, algunas
nuevas ideas que surgen de estos intentos, solucionan otros problemas o ayudan a la mejor
comprensión de otros aspectos de la disciplina.
Matemática: una aventura intelectual
En sí la matemática durante el proceso de creación tiene mucho de intuitivo y experimental, el
matemático ensaya caminos, los prueba, los evalúa y decide continuar por él o variar su enfoque,
algunas veces logra el camino adecuado, pero otras no, en todo este proceso el matemático ha
experimentado diversas emociones, a veces de frustración otras de alegría. Quién no ha
experimentado una gran satisfacción cuando resolvemos un enigma , o un rompecabezas que se
nos ha planteado. Y es que la matemática es una interesante aventura del pensamiento humano,
que vehicula múltiples emociones , que forma nuestra mente, y que hoy es el medio más eficaz de
comunicación de ideas científicas.
Llegamos así al centro de nuestro planteamiento, ¿en qué consiste la matemática realmente?
¿para qué es útil? Ya lo dijo sabiamente el matemático Paul Halmos:
¿Consiste la matemática en aprender axiomas , como el de las paralelas? ¿teoremas? ,
¿definiciones?, ¿teorías? , ¿fórmulas?, ¿métodos? Las matemáticas no podrían existir sin estos
ingredientes; son esenciales, sin embargo , es posible argüir que ninguno de ellos está en el
corazón del tema y que la principal razón para la existencia de los matemáticos es para que
resuelvan problemas y que esto, por consiguiente, es en lo que realmente consiste la
matemática : problemas y soluciones. (sic)
Por todo lo dicho anteriormente creemos que una educación matemática de calidad debe llevar al
salón de clase el verdadero quehacer matemático, saber matemáticas es hacer matemáticas. La
actividad del matemático está signada por la búsqueda, la experimentación, la conjetura, posterior
a esto el matemático empieza a formalizar sus resultados, a expresarlo mediante símbolos, a
depurarlo. Presentar en una clase estos resultados inmaculados, perfectos, aniquilan la
creatividad, y matan la aventura, pues todo lo hermoso del periodo de búsqueda es ocultado en la
trastienda, es como leer un relato policial sabiendo de antemano la solución del enigma.
El acercamiento intuitivo y experimental es pues lo esencial si queremos que los estudiantes
desarrollen competencias matemáticas, es ésta la forma como un profesor debería llevar su clase,
partiendo de situaciones que motiven a sus estudiantes a investigar, proponiéndoles desafíos que
los cuestionen sobre su conocimiento ya adquirido, y de allí partir para adquirir los nuevos
conocimientos, en una constante comunicación con el grupo y con el maestro que guiará
eficientemente el trabajo .

3. Un camino difícil
La didáctica de la matemática ha pasado por diversos momentos que han sugerido cambios en
los contenidos y la forma de enseñarlas. El formalismo del grupo Bourbaki, quienes se habían
dedicado a la elaboración de una obra magna sobre los fundamentos de la matemática, tuvo
mucha influencia en la forma como se llevó a cabo la educación matemática en la década del
sesenta. Este movimiento reformista al que se le conoció como la matemática moderna,
recomendaba dar mayor énfasis a las estructuras, al lenguaje formal, y los métodos de
demostración. El resultado: muchos alumnos repetían de memoria las propiedades de los
sistemas numéricos sin comprender su significado, ni poder operar eficientemente.
En la siguiente década, la preocupación estuvo centrada en desarrollar en los alumnos técnicas y
rutinas básicas, el movimiento se denominó retorno a lo básico, y daba mayor importancia al
manejo de operaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos; sin embargo, este regreso a
lo básico tampoco mejoró el aprovechamiento de los estudiantes, ya que aún cuando algunos
estudiantes eran capaces de hacer operaciones, muchas veces no entendían el significado o
sentido de las respuestas que obtenían, y si un alumno no puede asignar significado a lo que está
aprendiendo pronto recurrirá a patrones mnemotécnicos para tener éxito en su empresa.
En la década de los ochenta, una evaluación del currículo en USA puso de manifiesto que los
estudiantes no sabían aplicar sus conocimientos a la resolución de problemas de la vida real, ello
dio lugar a que el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) declarara que la
resolución de problemas debía ser el centro de la enseñanza-aprendizaje de la matemática.
En los noventa se profundiza el enfoque desde la resolución de problemas, y aparecen otras
tendencias como la Modelización ,o el Problem Based Learning, en todos ellos el énfasis está
puesto en el manejo de estrategias heurísticas, en el desarrollo de habilidades mentales, en
mejorar los procesos típicamente útiles en la solución de situaciones problemas. Todos
reconocen que en el estudio de la matemática, la actividad de resolver y formular problemas
desempeña un papel muy importante cuando se discuten las estrategias y el significado de las
soluciones.
En estas corrientes actuales de la Educación Matemática, que se han agrupado con el nombre
de Matemática para el siglo XXI se señala que la matemática es, sobre todo, saber hacer, es
una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido, que conocer
matemática es hacer matemática, y que ellas son un eficaz medio de comunicación.
Citaré aquí un párrafo del Dr. Miguel de Guzmán que resume magistralmente las consideraciones
anteriores.
En la situación de cambios en que nos encontramos, es claro que los procesos
verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo
más valioso que podemos proporcionar a nuestros alumnos. En nuestro mundo científico e
intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento
útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas
inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para
formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente. (Miguel de
Guzmán, JAEM,1994)
En el valle del silicio
En un mundo donde los avances tecnológicos son el pan de cada día, la escuela no puede estar
al margen de ellos. Actualmente el uso inteligente de las calculadoras y computadores proveen al
estudiante de herramientas específicas de cálculo, que le permiten dedicar más tiempo al proceso
de búsqueda critica de caminos de solución a situaciones propuestas, que a las operaciones
repetitivas.
Las calculadoras en el aula son un medio eficaz de representación externa que brindan al
estudiante la posibilidad de explorar, comprobar conjeturas, buscar regularidades, de manera
rápida y eficiente. Además permiten resolver problemas por ensayo y error e introducir conceptos.

4. La literatura sobre actividades matemáticas usando la computadora crece día a día, en la internet
se brinda software educativo gratuito , para graficar funciones, para explorar lugares geométricos,
para simular experimentos aleatorios etc. Un profesor moderno debería conocer y manejar estos
programas con el fin de diseñar actividades de aprendizajes que permitan el uso de las
computadoras como medio de resolución de situaciones problemáticas.
La ubicuidad de las computadoras, es un punto más a favor de privilegiar el desarrollo de
habilidades matemáticas versus el completar contenidos programáticos. Hasta hace unas décadas
saber calcular abría las puertas de los trabajos, hoy eso no será suficiente, pues las máquinas lo
hacen más rápido y mucho mejor que nosotros.
La unión hace la fuerza
Actualmente es muy difícil, sino imposible, ser un Pitágoras, o un Arquímedes, las épocas en que
los científicos trabajaban en solitario, sin interacción con las comunidades científicas son cosa del
pasado, basta ver las revistas especializadas en investigación científica y comprobar que la
mayoría de trabajos de envergadura son realizados por grupos multidisciplinarios, en un contexto
más próximo podemos afirmar que para lograr éxito en un empleo es fundamental tener
habilidades sociales y aprender a trabajar en grupo, compartiendo el conocimiento, siendo
tolerante, sabiendo apreciar otras formas de razonamiento, poniendo al servicio del colectivo
nuestras potencialidades y complementándolas con las del resto.
Hace unos años las clases de matemática se realizaban en el más absoluto silencio, y con cada
alumno perfectamente ubicado en su carpeta, sin posibilidad de comentar sus ideas e
intercambiar experiencias, hoy la mayoría de los investigadores recomienda y promueve el uso
del aprendizaje cooperativo, que resulta más eficiente que el trabajo individual por varias razones,
citaremos algunas de ellas para la reflexión :
El trabajo grupal reduce realmente el tamaño de clase , si la típica clase tuviese 40 estudiantes,
con grupos de cuatro, constará de diez “estudiantes”. Cuando una mano se levanta, sabremos
que hay cuatro interesados oyentes esperando una orientación. A través de la verbalización ellos
aprenden cómo hacer preguntas de exploración; aprenden también cómo explicar sus propios
procesos de razonamiento. Muchos estudiantes, quienes nunca hubieran podido plantear una
pregunta frente a cuarenta personas, son motivados, se deciden a preguntar dentro de su grupo;
esto es, el grupo promueve el razonamiento creativo y cada uno se siente seguro de usar métodos
de ensayo y error, y diversas estrategias para resolver la situación que se está explorando.
Este ambiente abierto y de apoyo reduce fuertemente la ansiedad. Los estudiantes y el profesor
entran rápidamente en un proceso de retroalimentación, el profesor de este modo se convierte
también en un aprendiz de su propia pedagogía.
¡Hagan juego, señores!
Jugar es una actividad universal, la cual ha estado siempre presente en todas las culturas y
acompaña el desarrollo de la humanidad. Platón decía: "enseñadles mediante juegos"; tal consejo
ha sido invocado muchas veces por educadores, quienes han tratado de introducir
sistemáticamente actividades lúdicas en la educación formal. En todos los niveles educativos
debemos aprovechar las ventajas que ofrece el uso de juegos, pues generan un contexto
emocional y afectivo muy propicio para el desarrollo de ideas matemáticas, crear un clima de
actividad matemática en el aula y puede llevar sutilmente a los alumnos a investigar nuevas
técnicas para resolver problemas, proponer temas de investigación, elaborar conjeturas, etc.
El juego es activo y participativo por naturaleza, favorece la comunicación horizontal, despierta la
curiosidad y el interés por la investigación, desarrolla habilidades concretas de pensamiento
estratégico, planificación, toma de decisiones, estimación y demostración, además brinda
oportunidades para aprender y así obtener reconocimiento y autoestima. Los juegos,

5. adecuadamente utilizados, pueden remplazar ventajosamente algunos trabajos prácticos
rutinarios (ejercicios) por un proceso automotivante.
Los juegos han sido y son, muy importantes en el desarrollo de la matemática; la investigación de
algunos de ellos, han llevado a la creación de importantes teorías, no es pues sorprendente,
entonces, el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de los rompecabezas,
paradojas , juegos de estrategia y otras manifestaciones lúdicas de la matemática.
A modo de reflexión, creemos interesante citar aquí a Martín Gardner, gran divulgador matemático
e inventor de juegos, quien señala en uno de sus libros: "El mejor método para mantener atento a
un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante, un rompecabezas, un
truco mágico, una chanza, una paradoja, un modelo o cualquiera de esas mil cosas que provee la
matemática recreativa y que algunos profesores serios y aburridos rechazan por considerarlas
frivolidades."
¿Cómo surgieron las cosas?
La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden
motivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitudes positivas hacia ella, el uso de tópicos de
historia de la matemática, de biografías de matemáticos , permite acercarnos a esta ciencia desde
un punto de vista humano, ayuda también a que los estudiantes comprendan que la matemática
es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos ,que desarrollaron ideas
creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros
momentos sufrieron frustración, y desengaño al no poder resolver los problemas que se
plantearon, o porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque,
como en el caso de la mujeres matemáticas, sufrieron la marginación de las comunidades
científicas de la época.
Es sumamente útil explorar con nuestros alumnos la génesis de un concepto, las dificultades con
las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una
situación nueva, todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas
veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera
acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crítica.
Finalmente....
De estos comentarios podemos inferir que lo que un profesor debe conseguir en sus alumnos es
que desarrollen habilidades de pensamiento útiles en la solución de problemas, que razonen
lógicamente, que puedan comunicarse haciendo uso del lenguaje matemático, y que establezcan
conexiones con las otras disciplinas. Todo ello en una permanente actitud reflexiva, de indagación
y búsqueda , sin perder de vista el medio en el cual se desarrollan.
Es cierto que para algunos puede ser mucho más sencillo escribir en la pizarra símbolos extraños
y que los alumnos desde una posición subordinada copien estos símbolos, muchas veces sin
comprender su significado; pero creemos que el esfuerzo de muchos docentes peruanos que han
hecho suyas estas ideas renovadoras logrará encaminar el futuro de la educación matemática en
el Perú hacia un desarrollo sostenido, en el que nuestros niños y jóvenes sean los principales
beneficiarios de esta nueva visión.
BIBLIOGRAFÍA
Bolt, B. (1985) Exploraciones matemáticas, Editorial Labor, Barcelona.
Gardner, M. (1985) Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza Editorial, Madrid.
de Guzmán, M. (1994) Tendencias Innovadoras en Educación Matemática, Notas de las JAEM.
Mason, J. y Burton, L. (1995) Pensar matemáticamente, Editorial Labor, Barcelona.
Perero, M. (1985) Historia e historias de matemáticos, GEI, México.

6. adecuadamente utilizados, pueden remplazar ventajosamente algunos trabajos prácticos
rutinarios (ejercicios) por un proceso automotivante.
Los juegos han sido y son, muy importantes en el desarrollo de la matemática; la investigación de
algunos de ellos, han llevado a la creación de importantes teorías, no es pues sorprendente,
entonces, el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de los rompecabezas,
paradojas , juegos de estrategia y otras manifestaciones lúdicas de la matemática.
A modo de reflexión, creemos interesante citar aquí a Martín Gardner, gran divulgador matemático
e inventor de juegos, quien señala en uno de sus libros: "El mejor método para mantener atento a
un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante, un rompecabezas, un
truco mágico, una chanza, una paradoja, un modelo o cualquiera de esas mil cosas que provee la
matemática recreativa y que algunos profesores serios y aburridos rechazan por considerarlas
frivolidades."
¿Cómo surgieron las cosas?
La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden
motivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitudes positivas hacia ella, el uso de tópicos de
historia de la matemática, de biografías de matemáticos , permite acercarnos a esta ciencia desde
un punto de vista humano, ayuda también a que los estudiantes comprendan que la matemática
es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos ,que desarrollaron ideas
creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros
momentos sufrieron frustración, y desengaño al no poder resolver los problemas que se
plantearon, o porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque,
como en el caso de la mujeres matemáticas, sufrieron la marginación de las comunidades
científicas de la época.
Es sumamente útil explorar con nuestros alumnos la génesis de un concepto, las dificultades con
las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una
situación nueva, todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas
veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera
acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crítica.
Finalmente....
De estos comentarios podemos inferir que lo que un profesor debe conseguir en sus alumnos es
que desarrollen habilidades de pensamiento útiles en la solución de problemas, que razonen
lógicamente, que puedan comunicarse haciendo uso del lenguaje matemático, y que establezcan
conexiones con las otras disciplinas. Todo ello en una permanente actitud reflexiva, de indagación
y búsqueda , sin perder de vista el medio en el cual se desarrollan.
Es cierto que para algunos puede ser mucho más sencillo escribir en la pizarra símbolos extraños
y que los alumnos desde una posición subordinada copien estos símbolos, muchas veces sin
comprender su significado; pero creemos que el esfuerzo de muchos docentes peruanos que han
hecho suyas estas ideas renovadoras logrará encaminar el futuro de la educación matemática en
el Perú hacia un desarrollo sostenido, en el que nuestros niños y jóvenes sean los principales
beneficiarios de esta nueva visión.
BIBLIOGRAFÍA
Bolt, B. (1985) Exploraciones matemáticas, Editorial Labor, Barcelona.
Gardner, M. (1985) Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza Editorial, Madrid.
de Guzmán, M. (1994) Tendencias Innovadoras en Educación Matemática, Notas de las JAEM.
Mason, J. y Burton, L. (1995) Pensar matemáticamente, Editorial Labor, Barcelona.
Perero, M. (1985) Historia e historias de matemáticos, GEI, México.