1. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 85
CAPÍTULO VI
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Antes de iniciar el estudio de este capítulo, conviene reflexionar sobre el
siguiente problema:
Imagine que un peatón debe ir de un punto A de la ciudad a un punto B y
debe pasar necesariamente por un punto C, si el trayecto de A a C lo puede
hacer por cuatro rutas diferentes y el trayecto de C a B por cinco, es claro
que puede ir de A hacia B por 5 4 = 20 rutas distintas. Las opciones se
deben multiplicar.
Si el mismo peatón tuviese que ir del un punto A hacia otro punto B y
tuviese la opción de elegir 3 rutas distintas, pero si además pudiese elegir la
opción de tomar un minibús que lo lleve por 2 rutas distintas, las diferentes
formas en que puede trasladarse de A hacia B serán 3+2 = 5 rutas distintas,
en este caso las opciones se deben sumar.
Este razonamiento se puede aplicar a un número de opciones con más
alternativas de recorrido que los mostrados, debiendo mantenerse el
principio de multiplicación o adición donde corresponda.
6.1 PERMUTACIÓN
Se denomina permutación al arreglo u ordenación que se pueda dar a un
grupo de cosas, ya sea tomando todos lo elementos a la vez o a un grupo
definido de ellos. El orden en que toman los elementos define diferentes
permutaciones.
Los elementos a,b,c permiten efectuar seis permutaciones si se toman dos
elementos a la vez, ellas son:
ab, ac, bc, ba, ca, cb
Si se consideran los tres elementos a la vez también pueden efectuarse seis
permutaciones
abc, acb, bac, bca, cab, cba,
Cuando en una permutación no se consideran todos los elementos a la vez,
se denominan variaciones o coordinaciones.

2. ÁLGEBRA I86
6.2 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE DOS EN DOS
2Pn
Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones
tomando dos letras a la vez, entonces tomando la letra a como primer
elemento y las siguientes como segundo tendremos:
a, a, a, a, a, …. n-1 veces
b, c, d, e, f, …. n-1 letras
ab, ac, ad, ae, af, n-1 resultados
Con la letra b como primer elemento tendremos:
b, b, b, b, b, …. n-1 veces
a, c, d, e, f, …. n-1 letras
ba, bc, bd, be, bf, n-1 resultados
Luego con c
c, c, c, c, c, …. n-1 veces
a, b, d, e, f, …. n-1 letras
ca, cb, cd, ce, cf, n-1 resultados
………………………………….
Hasta llegar a la n-ésima letra
Existen, por tanto, n(n-1) permutaciones binarias.
6.3 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE TRES EN
TRES 3Pn
Sean a,b,c,d, …….n letras con las que se desea formar permutaciones
tomando tres letras a la vez, entonces tomando las letras ab como primer
elemento y las siguientes como segundo tendremos:
ab, ab, ab, ab, ab, …. n-2 veces
c, d, e, f, g …. n-2 letras
abc, abd, abe, abf, abg, n-2 resultados
Con las letras ac como primer elemento tendremos:
ac, ac, ac, ac, ac, …. n-2 veces
b, d, e, f, g …. n-2 letras
acb, acd, ace, acf, acg, n-2 resultados
Luego con ad
ad, ad, ad, ad, ad, …. n-2 veces
b, c, e, f, g …. n-2 letras
adb, adc, ade, adf, adg, n-2 resultados
………………………………….

3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 87
Estas permutaciones se repiten tantas veces como en el inciso anterior, por
tanto, existen n(n-1)(n-2) permutaciones ternarias, cuando se dispone de una
colección de n elementos y se toman de tres en tres.
6.4 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS DE r EN r r
n
P
Podemos generalizar a través de los incisos anteriores la expresión que
permitirá hallar las permutaciones de n cosas tomadas r a la vez
r
n
P = n(n-1)(n-2)………(n-r+1)
6.5 PERMUTACIONES DE N COSAS TOMADAS N A LA VEZ n
n
P
Si en la fórmula anterior reemplazamos r por n se tiene:
n
n
P = n(n-1)(n-2)………(n-n+1)
n
n
P = n(n-1)(n-2)………(3)(2)(1)
!nPn
n
El número de permutaciones de n cosas tomadas las n a la vez, es igual al
factorial de n.
Ejemplo 1
De cuantas maneras diferentes pueden tres estudiantes sentarse en a) en
cinco pupitres b) en diez pupitres c) en tres pupitres.
603453
5
P
72089103
10
P
6123!33
3
P
Ejemplo 2
Cuantos números diferentes se pueden formar con cinco dígitos de
1,2,3,4,5,6,7,8,9
9
5 9 8 7 6 5 15120P
Ejemplo 3
Con los dígitos impares 1,3,5,7,9 a) Cuántos números diferentes mayores a
20000 se pueden formar. b) Cuántos mayores a 40000 c) Mayores 1000 y
menores a 10000 d) Mayores a 100 y menores a 1000 e) Mayores a 10 y
menores a 100 f) Sin restricciones

4. ÁLGEBRA I88
a) Cuántos números diferentes mayores a 20000 se pueden formar.
El número 1 no puede ocupar la primera posición para cumplir el requisito
de generar números mayores a 20000 por tanto, con el dígito 3 por delante
se pueden formar
4
4 4 3 2 1 24P números
Con los dígitos 5,7,9 por delante se forman igual cantidad de números para
cada caso, en consecuencia el total de números mayores a 20000 que se
pueden formar, será igual a cuatro veces las permutaciones de cuatro
elementos tomados los cuatro a la vez.
4
44 4(4 3 2 1) 96P números
b) Si los números deben ser mayores a 40000, los dígitos 1 y 3 no pueden
ocupar la primera posición, por tanto con los tres dígitos 5,7 y 9 por delante
se pueden hacer la siguiente cantidad de números diferentes:
4
43 3(4 3 2 1) 72P números
c) Mayores a 1000 menores a 10000
5
4 5 4 3 2 120P números
d) Mayores a 100 y menores a 1000
5
3 5 4 3 60P números
e) Mayores a 10 y menores a 100
5
2 5 4 20P números
f) Sin restricciones
Los números mayores a 10000 serán:
5
5 5! 5 4 3 2 1 120P números
Los números que se pueden formar con un solo dígito impar son cinco
Por tanto, el total de números que se pueden formar sin restricciones
corresponde a estas dos formas halladas más las que se calcularon en los
incisos c), d) y e)
120 + 5 + 120 +60 + 20 = 325 números diferentes

5. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 89
Ejemplo 4
Se deben alinear 10 personas en una fila, de cuantas maneras lo pueden
hacer si cuatro de ellas deben permanecer juntas.
Puesto que cuatro personas deben permanecer juntas se las puede considerar
inicialmente como una sola, por tanto se pueden formar:
7
7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040P
Además, las cuatro personas pueden tomar diferentes posiciones estando
juntas, esta son:
4
4 4! 4 3 2 1 24P
Por tanto, el problema se resuelve de la siguiente manera:
7 4
7 4 5040 24 120960P P formas
6.6 PERMUTACIONES CIRCULARES 1
1
n
nP
Son aquellas en las que no existe primer ni último objeto y forman una
figura cerrada, el número de ellas que se puede formar con n objetos viene
definido por:
1
1 ( 1)!n
nP n
Ejemplo 5
De cuantas formas diferentes pueden sentarse cinco personas alrededor de
una mesa circular
5 1
5 1 (5 1)! 4! 4 3 2 1 24P
Ejemplo 6
De cuantas formas diferentes pueden sentarse ocho personas alrededor de
una mesa circular si dos de ellas deben estar juntas
Si dos de ellas deben permanecer juntas se las puede considera inicialmente
como si fuesen una sola, entonces:
7 1
7 1 (7 1)! 6! 6 5 4 3 2 1 720P
Pero las dos personas que deben permanecer juntas pueden sentarse de dos
maneras diferentes, por tanto, el problema quedará resuelto del siguiente
modo:
7 1 2
7 1 2 720 2 1440P P

6. ÁLGEBRA I90
6.7 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN 1 2, ...
n
n nP
Se forman cuando un elemento se repite n1 veces, otro n2 veces y así
sucesivamente
1 2, ...
1 2
!
! !..... !k
n
n n n
k
n
P
n n n
Ejemplo 7
Si se disponen de 12 bolas, 3 negras, 4 azules y 5 rojas, de cuantas maneras
diferentes se pueden ordenar si no es posible distinguir las bolas del mismo
color.
12
3,4,5
12! 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3!4!5! 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1
P
12
3,4,5 27720P
Ejemplo 8
Cuántas maneras distintas existen para ordenar las letras de la palabra
matemáticas. En cuántas de estas permutaciones las letras a quedan juntas.
Debemos considerar que la letra m se repite dos veces, la a tres y la t dos
11
2,3,2
11! 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2!3!2! 2 1 3 2 1 2 1
P
11
2,3,2 1663200P
Este resultado supone que á=a
Para determinar en cuantas ocasiones las tres letras a quedan juntas
debemos considerar a las mismas como si fuesen una sola, por tanto se
tiene:
9
2,2
9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2!2! 2 1 2 1
P
9
2,2 90720P

7. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 91
6.8 COMBINACIONES
Cuando no se toma en cuenta el orden en que diferentes elementos son
escogidos, damos origen a las combinaciones, Por ejemplo, si un estudiante
se presta 3 libros diferentes de una biblioteca, el orden en que le son
prestados no interesa, pues terminará llevando los tres libros que desea
6.9 COMBINACIONES DE n COSAS TOMADAS r EN CADA VEZ
r
n
C
Las permutaciones y combinaciones pueden relacionarse de la siguiente
manera:
Las combinaciones de tres letras a,b,c tomadas de dos en dos son
2
3
C = ab, ac, bc
a partir de cada combinación se pueden lograr dos permutaciones
ab, ac, bc
ab, ba, ac, ca, bc, cb
Las cuales totalizan las permutaciones de tres elementos tomados de dos en
dos.
2
3
P =ab, ba, ac, ca, bc, cb
Obsérvese que de cada combinación se obtienen las permutaciones de 2
elementos tomados los dos a la vez 2
2
P = 2.
Es decir, 3
2C 2
2
P =
3
2P → 3·2 = 6
Podemos deducir que a partir de las combinaciones de n cosas tomadas de a
r en cada vez r
n
C se pueden hallar las permutaciones de las n cosas
tomadas de a r r
r
P y el producto de ambas r
r
r
n
PC será igual al número de
permutaciones de n cosas tomadas r a la vez
n
rP , es decir:
n r n
r r rC P P
n
n r
r r
r
P
C
P

8. ÁLGEBRA I92
Desarrollando se tiene
)!(
)!(
!
1).....2)(1(
1).......2)(1(
1).....2)(1(
rn
rn
r
rnnnn
C
rrr
rnnnn
P
P
C
r
n
r
r
r
n
r
n
)!(
1).....1)((
!
)1).....(2)(1(
rn
rnrn
r
rnnnn
Cr
n
)!(!
!
rnr
n
Cr
n
6.10 VALOR MÁXIMO DE n
Cr
Para hallar el valor de r que hace máximo el número de combinaciones de n
cosas tomadas de a r consideremos:
( 1)( 2)......( 1)
1 2 3 .....( 1)
n
r
n n n n r
C
r r
1
( 1)( 2)......( 2)
1 2 3 .....( 1)
n
r
n n n n r
C
r
Si añadimos un término a la segunda ecuación la podemos igualar con la
primera de la siguiente manera:
1
( 1)n n
r r
n r
C C
r
Como
( 1) 1
1
n r n
r r
Se observa que el término decrece cuando r aumenta, y si se asigna a r
sucesivamente los valores 1, 2, 3, el valor de n
rC aumentará
constantemente hasta que
1
1
n
r
llegue a ser 1 o un número menor a 1.
Suponga que se desea obtener el número de cosas que se deben tomar de
una colección de 10 objetos y se va incrementando el valor de r desde cero
hasta 10

9. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 93
10
0
10!
1
10!0!
C
10
1
10! 10!
10
1!(10 1)! 1!(9)!
C
10
2
10! 10!
45
2!(10 2)! 2!(8)!
C
10
3
10! 10!
60
3!(10 3)! 3!(7)!
C
10
4
10! 10!
210
4!(10 4)! 4!(6)!
C
10
5
10! 10!
252
5!(10 5)! 5!(5)!
C
10
6
10! 10!
210
6!(10 6)! 6!(4)!
C
10
7
10! 10!
60
7!(10 7)! 7!(3)!
C
10
8
10! 10!
45
8!(10 8)! 8!(2)!
C
10
9
10! 10!
10
9!(10 9)! 9!(1)!
C
10
10
10! 10!
1
10!(10 10)! 10!(0)!
C
Como puede apreciarse el número de combinaciones va aumentando y luego
disminuyendo, obteniéndose el valor máximo para r = 5.
Cuando n es par el valor máximo se obtiene para
2
n
r , mientras que si n
es impar existirán dos valores que darán el máximo y cuyo valor será igual
a:
1
2
n
r
Otro detalle que debe ser tomado en cuenta es que el número de
combinaciones de términos equidistantes de los extremos es igual

10. ÁLGEBRA I94
Ejemplo 9
De una colección de 15 libros se desea saber de cuantas formas diferentes
pueden elegirse: a) 5 ejemplares b) 10 ejemplares c) 12 ejemplares
incluyendo uno d) 9 ejemplares excluyendo uno e) 13 ejemplares
incluyendo 2 y excluyendo 1
a) 5 ejemplares
15
5
!
!( )!
15! 15!
5!(15 5)! 5!(10)!
n
r
n
C
r n r
C
15
5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(5 4 3 2 1)(10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
C
15
5
15 14 13 12 11
3003
5 4 3 2 1
C
b) 10 ejemplares
15
10
!
!( )!
15! 15!
3003
10!(15 10)! 10!(5)!
n
r
n
C
r n r
C
c) 12 ejemplares incluyendo uno
Incluir un libro significa que el mismo debe ser elegido de manera
obligatoria, por tanto, ya no se dispondrán 15 libros sino 14 y se elegirán 11
en lugar de 12
14
11
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)(3 2 1)
C
14
11
14 13 12
364
3 2
C
d) 9 ejemplares excluyendo uno
Cuando se excluye un ejemplar este no puede ser escogido por tanto el
número total de libros que pueden ser electos se reduce a 14
14
9
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(9 8 7 6 5 4 3 2 1)(5 4 3 2 1)
C

11. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 95
14
9
14 13 12 11 10
2002
5 4 3 2
C
e) 13 ejemplares incluyendo 2 y excluyendo 1
Por la inclusión de dos ejemplares el número de libros disponibles se reduce
a trece, además por la exclusión de un libro se tiene la reducción a doce. De
los trece ejemplares elegidos, dos son incluidos lo que reduce la elección a
11 libros
12
11
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
(11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)(1)
C
12
11 12C
Ejemplo 10
Se tiene un cierto número de objetos y se sabe que, tomando cada vez 7
distintos se pueden hacer tantas combinaciones como tomando 5 a la vez
¿Cuántos son los objetos?
5 7
n n
C C
! !
7!( 7)! 5!( 5)!
5!( 5)! 7!( 7)!
n n
n n
n n
( 5)! 42( 7)!
( 5)( 6)( 7)( 8)....1 42( 7)( 8)( 9)....1
n n
n n n n n n n
2
( 5)( 6) 42
11 12 0
( 12)( 1) 0
n n
n n
n n
Por tanto el número de términos de la colección debe ser 12, el valor -1 es
descartado.
Nótese que el ejercicio pudo ser resuelto de manera intuitiva con el
siguiente razonamiento: Si las combinaciones con 5 y 7 elementos son
iguales, el máximo se da para 6 elementos que resulta el término central, por
tanto, el numero total será 2(6) = 12.

12. ÁLGEBRA I96
Ejemplo 11
Cuántas formas de obtener resultados se tienen cuando se arrojan dos dados
simultáneamente, haga un cuadro de todas las posibilidades e indique cual
es la probabilidad de ganar cuando se juega a mayor, en el clásico juego de
mayor, menor y siete.
2 7 8
3 9
4 10
5 11
6 12
Las combinaciones que se pueden lograr al lanzar un solo dado son
6
1 6C
Si lanzamos dos dados simultáneamente se pueden obtener el siguiente
número de combinaciones:
6 6
1 1 6 6 36C C
Esto significa que jugando con dos dados se pueden obtener 36 jugadas
diferentes, las mismas son:
1 1 1 6 2 6
1 2 2 5 3 5
1 3 3 4 3 6
1 4 4 3 4 4
1 5 5 2 4 5
2 1 6 1 4 6
2 2 5 3
2 3 5 4
2 4 5 5
3 1 5 6
3 2 6 2
3 3 6 3
4 1 6 4
4 2 6 5
5 1 6 6
TOTAL 15 CASOS 6 CASOS 15 CASOS

13. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 97
Por tanto la probabilidad de ganar cuando se juega a mayor es de:
15 5
0,417
36 12
Un hecho interesante es que si nos ubicamos en el punto de vista del
propietario del juego la probabilidad de que el dueño gane es:
15 6 21
0,583
36 36
Demostrándose así que los juegos de azahar están concebidos para que el
propietario del mismo gane y no el jugador.
Ejemplo 12
Cuántos números diferentes del juego del loto millonario se pueden
imprimir. (El juego del Loto Millonario tiene impresos 15 números de los
25 primeros números naturales, el premio mayor lo obtiene el jugador que
tenga la boleta con los 15 números que son elegidos al azahar).

14. ÁLGEBRA I98
25
25 25
15 25 10
15 10
P
C
P P
25
15
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 .... 1
(15 14..... 1)(10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
C
25
15 5 23 22 19 2 17 2 3268760C
El lector puede observar claramente y reflexionar sobre la probabilidad de
ganar en este juego.