EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESTADISTICA PROBABILISTICA 2
NOMBRE: ALEXANDER FLORES VALENCIA
AULA: 13
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
1. De un lote de 40 microcomponentes, cada uno se denomina aceptable
si no tiene más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear
el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si
se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de
que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres
defectuosos en todo el lote?
DATOS:
k= 1 n= 5
N= 40 m=3
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝( 𝑋 = 1) =
(3
1
)(37
4
)
(40
5
)
𝑝(𝑥 = 1) =
(3∁1)(37∁4)
(40∁5)
𝑝( 𝑥 = 1) =
3!
1!
∗
37!
4!
40!
5!
𝑝 =
(3∗ 2 ∗ 1)
(1)(2∗ 1)
∗
(37 ∗ 36 ∗ 35 ∗ 34 ∗ 333 ∗ 32 … )
(4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)
(40 ∗ 39 ∗ 38 ∗ 37 ∗ 36 ∗ 35… )
(5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)
𝑝 = ( 𝑥 = 1) =
(3)(66045)
(658008)
𝑝 = 0.3011

2. Interpretación: la probabilidad de que se encuentre exactamente un artefacto
defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote es de 0.3011.
2. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6
tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de
vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana
selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión
de narcóticos?
Datos:
k= 3 n = 3
N= 15 m = 6
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝( 𝑥 = 3) =
(6
3
)(9
0
)
(15
3
)
𝑝 = ( 𝑥 = 3) =
(6∁3)(9∁0)
(15∁3)
𝑝 =
6!
3!
∗
9!
0!
15!
3!
𝑝 =
(6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)
(3 ∗ 2 ∗ 1)(3∗ 2 ∗ 1)
∗
(9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1)
(0!)
(15 ∗ 14 ∗ 13 ∗ 12 ∗ 11 ∗ 10… )
(3 ∗ 2 ∗ 1)
ℎ = (3,15,3,6) =
(20)(1)
455
𝑝 = 0.0439
Interpretación: la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de
narcóticos Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para
analizarlas es de 0.04396.

3. 3. Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5
son amarillas. Si se extraen aleatoriamente y sin sustitución 10
planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?
Datos:
N=20
n=10
k=2
m=5
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(20−5
10−2
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(15
8
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 2) =
5𝐶2 ∗ 15𝐶8
20𝐶10
𝑝(𝑋 = 2) = 0.3483
4. Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9
azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules
dentro de las 8 que se extrajeron.
Datos:
N=12
n=8
k=6
m=9
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 6) =
(9
6
)(12−9
8−6
)
(12
8
)

4. 𝑝(𝑋 = 6) =
(9
6
)(2
3
)
(12
8
)
𝑝(𝑋 = 6) =
9𝐶6 ∗ 3𝐶2
12𝐶8
𝑝(𝑋 = 6) = 0.5090
5. Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que
asistan a una convención. Suponga que el comité está formado
por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de
seleccionar 2 mujeres al azar:
DATOS:
N = 5
n = 2
m = 3
k =2
𝑝(𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(5−3
2−2
)
(5
2
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(2
0
)
(5
2
)
𝑝(𝑋 = 2) =
3𝐶2 ∗ 2𝐶0
5𝐶2
𝑝(𝑋 = 2) =
3!
2! (3 − 2)!
∗
2!
0! (2 − 0)!
5!
2! (5 − 2)!
𝑝(𝑋 = 2) =
3!
2! (1)!
∗
2!
0! (2)!
5!
3! (2)!
𝑝(𝑋 = 2) =
3 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 1 ∗ 1
∗
2 ∗ 1
2 ∗ 1
5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1
𝑝(𝑋 = 2) =
3
10
𝑝(𝑋 = 2) = 0.3

5. 6. De 6 empleados 3 han estado en la compañía durante 5 o más años, si
se elige 4 empleados al Azar de ese grupo. ¿Cuál es la probabilidad de
que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de 5 años o más?
DATOS
N=6
n=4
m=3
k=2
𝑝(𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(6−3
4−2
)
(6
4
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(3
2
)
(6
4
)
𝑝(𝑋 = 2) =
3𝐶2 ∗ 3𝐶2
6𝐶4
𝑝(𝑋 = 2) =
3!
2! (3 − 2)!
∗
3!
2! (3 − 2)!
6!
4! (6 − 4)!
𝑝(𝑋 = 2) =
3!
2! (1)!
∗
3!
2! (1)!
6!
4! (2)!
𝑝(𝑋 = 2) =
3 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 1 ∗ 1
∗
3 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 1 ∗ 1
6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1
𝑝(𝑋 = 2) =
9
15
𝑝(𝑋 = 2) = 0.6
7. En un lote de 12 proyectiles se disparan 4 al azar, si el lote contiene 5
proyectiles que no disparan ¿Cuál es la probabilidad de que los 2
disparen?
N=12

6. n=4
m=5
k=2
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(12−5
4−2
)
(12
4
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(7
2
)
(12
4
)
𝑝(𝑋 = 2) =
5𝐶2 ∗ 7𝐶2
12𝐶4
𝑝(𝑋 = 2) = 0.4242
8. En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son
diferentes clases de rosas. ¿Qué probabilidad hay de que al extraer
una muestra al azar de 12 flores, se incluyan 3 clases de rosas?
N=20
n=12
m=8
k=3
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 3) =
(8
3
)(20−8
12−3
)
(20
12
)
𝑝(𝑋 = 3) =
(8
3
)(12
9
)
(20
12
)
𝑝(𝑋 = 3) =
8𝐶3 ∗ 12𝐶9
20𝐶12
𝑝(𝑋 = 3) = 0.0978
9. En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10
pericos al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino
(característica deseada).
N = 50
n = 10

7. C = 20
k= 3
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
La probabilidad de que 3 de 10 pericos tomados al azar sean chinos es de 0.23%
10.De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si
el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es
la probabilidad de que los 4 exploten?
N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
k = 4
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑃( 𝑥 = 4) =
(
7
4
) (
10 − 7
4 − 4
)
(
10
4
)
= 0.167
La probabilidad de que tenga 4 proyectiles que exploten de cuatro tomados al azar es
de 16.7%
11. 5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varía
de un fabricante a otro. Si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la
probabilidad que la selección contenga 2 de las 3 mejores.
Datos:
N=5
m=3
n=3
k=2
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)

8. 𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(5−3
3−2
)
(5
3
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(2
1
)
(5
3
)
𝑝(𝑋 = 2) =
3𝐶2 ∗ 2𝐶1
5𝐶3
𝑝(𝑋 = 2) = 0.60
12.En un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar si el lote contiene e
proyectiles que no disparan ¿Cuál es la probabilidad de que 4
disparen?
N=10
m=5
n=4
k=0
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 0) =
(5
0
)(10−5
4−0
)
(10
4
)
𝑝(𝑋 = 0) =
(5
0
)(5
4
)
(10
4
)
𝑝(𝑋 = 0) =
5𝐶0 ∗ 5𝐶4
10𝐶4
𝑝(𝑋 = 0) = 0.2380
13.Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5
son amarillas. Si se extraen aleatoriamente y sin sustitución 10
planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?
Solución.
En este caso se tiene una población de 20 planchas (N = 20), de las cuales 5
son amarillas (a = 5) y se extrae una muestra de 10 planchas (n = 10). La
variable aleatoria será el número de planchas amarillas que hay en la
muestra (entre las extraídas), por lo que x = 2. Sustituyendo en el modelo de
la distribución Hipergeométrica tenemos:
Datos.

9. N=20
n=10
m=5
k=2
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(20−5
10−2
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 2) =
(5
2
)(15
8
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 2) =
5𝐶2 ∗ 15𝐶8
20𝐶10
𝑝(𝑋 = 2) = 0.3483
14.Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9
azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules
dentro de las 8 que se extrajeron.
Solución.
En total se tienen 12 canicas (N = 12), de las cuales 9 son azules (a = 9). Se extrae
una muestra de 8 canicas (n = 8) y se desea obtener la probabilidad de que en la
muestra haya 6 canicas azules (x = 6) por lo que:
Datos
N=12
n=8
m= 9
K=6
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 6) =
(9
6
)(12−9
8−6
)
(12
8
)
𝑝(𝑋 = 6) =
(9
6
)(3
2
)
(12
8
)
𝑝(𝑋 = 6) =
9𝐶6 ∗ 3𝐶2
12𝐶8

10. 𝑝(𝑋 = 6) = 0.5090
15.En una urna hay un total de 20 objetos 8 de los cuales son defectuosos
si se seleccionan 6 objetos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4
sean defectuosos?
DATOS
N=20
K=4
m= 8
n=6
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 4) =
(8
4
)(20−8
6−4
)
(20
6
)
𝑝(𝑋 = 4) =
(8
4
)(12
2
)
(20
6
)
𝑝(𝑋 = 4) =
8𝐶6 ∗ 12𝐶2
20𝐶6
𝑝(𝑋 = 4) = 0.04767
16.Tengo 20 bolas en una urna de las cuales saco 12 bolas sin reposición
de las 12 bolas 6 son azules ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolas
azules.
DATOS
N=20
K=3
m= 6
n=12
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)

11. 𝑝(𝑋 = 3) =
(6
3
)(20−6
12−3
)
(20
12
)
𝑝(𝑋 = 3) =
(6
3
)(14
9
)
(20
12
)
𝑝(𝑋 = 3) =
6𝐶3 ∗ 14𝐶9
20𝐶12
𝑝(𝑋 = 3) = 0.3178
17. Si 7 de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine
la probabilidad de que exactamente 4 de 6 maletas seleccionadas
al azar en la inspección de pasajero contengan artículos de
contrabando.
DATOS:
N=14
n=6
m=7
k=4
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 4) =
(7
4
)(14−7
6−4
)
(14
6
)
𝑝(𝑋 = 4) =
(7
4
)(7
2
)
(14
6
)
𝑝(𝑋 = 4) =
7𝐶4 ∗ 7𝐶2
14𝐶6
𝑝(𝑋 = 4) = 0.2447
18.Si entre 20 trabajadores de la construcción 5 no usaban calzado de
protección, y se seleccionaron 10 trabajadores para hacer una
revisión del calzado de protección, cual es la probabilidad de que
cuando menos 3 de las trabajadores revisados no hayan estado
usando calzado de protección.
Datos:
N=20
n=10
m=5
k=3

12. 𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 3) =
(5
3
)(20−5
10−3
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 3) =
(5
3
)(15
7
)
(20
10
)
𝑝(𝑋 = 3) =
5𝐶3 ∗ 15𝐶7
20𝐶10
𝑝(𝑋 = 2) = 0.3482
19. Un comité compuesto por cinco personas se selecciona
aleatoriamente de un grupo formado por tres químicos y cinco
físicos. Encuentre la distribución de probabilidad para el número
de químicos en el comité.
N = 8
n = 5
m= 3
Numero de químicos = 0, 1, 2, 3 o k = 0, 1, 2, 3
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 0) =
(3
0
)(5
5
)
(8
5
)
𝑝(𝑋 = 0) = 0.018
𝑝(𝑋 = 1) =
(3
1
)(5
4
)
(8
5
)
𝑝(𝑋 = 1) = 0.268
𝑝(𝑋 = 2) =
(3
2
)(5
3
)
(8
5
)
𝑝(𝑋 = 2) = 0.536
𝑝(𝑋 = 3) =
(3
3
)(5
2
)
(8
5
)
𝑝(𝑋 = 3) = 0.179

13. 20. Entre 16 postulantes para un trabajo, 10 tenían un grado
universitario. Si tres de los postulantes son elegidos al azar para
una entrevista.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) ninguno tenga grado universitario?.
b) Exactamente uno tenga grado universitario?.
c) Dos tengan grado universitario?
d) Los tres tengan grado universitario?
N=16
n=3
m=10
k=0, 1, 2, 3
𝑝( 𝑋 = 𝑘) =
( 𝑚
𝑘
)( 𝑁−𝑚
𝑛−𝑘
)
( 𝑁
𝑛
)
𝑝(𝑋 = 0) =
(10
0
)(6
3
)
(16
3
)
𝑝(𝑋 = 0) = 0.357
La probabilidad de que ninguno tenga grado universitario es de 0,0357
𝑝(𝑋 = 1) =
(10
1
)(6
2
)
(16
3
)
𝑝(𝑋 = 1) = 0.2679
La probabilidad de que uno tenga grado universitario es de 0,2679
𝑝(𝑋 = 2) =
(10
2
)(6
1
)
(16
3
)
𝑝(𝑋 = 2) = 0.482
La probabilidad de que dos tengan grado universitario es de 0,
𝑝(𝑋 = 3) =
(10
3
)(6
0
)
(16
3
)
𝑝(𝑋 = 3) = 0.2143
La probabilidad de que los tres tengan grado universitario es de 0,2143