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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
           ECUADOR


   Facultad de Ciencias Administrativas
      Carrera de Contabilidad y Auditoria



                  ESTADISTICA II
   EJERCICIOS DE PROBABILIDADES Y
              TEOREMA DE BAYES




PROFESOR: ING. FRANCISCO BAHAMONDE

ALUMNA: LUCÍA REGALADO MONTENEGRO

CURSO: CA 4 – 7




                  Quito – Ecuador
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

    1. Cual es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces; obteniendo en el
       primer lanzamiento por lo menos una cara y en el segundo lanzamiento sea sello.

A: Salga al menos una cara                          Em=CC; CS; SS; SC
B: Salga sello

P(A)= 3/4 = 0,75
P(B)= 2/4 = 0,50



    2. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que resulte 2 ó 5.

A: Salga 2                                          Em= 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga 5


P(A.B) = P(A) + P(B)
      = 1/6 + 1/6
      = 1/3 = 0,3333


    3. Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado no salga 5.

A: No salga 5

P(A') = 1 – P(A)
      = 1 – 1/6
      = 5/6 = 0,8333


    4. Hallar la probabilidad de que salga al menos un 4 al realizar dos lanzamientos de un
       dado.

E₁ = Salga al menos un 4                             Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
E₂ = Salga al menos un 4                    1; 2; 3; 4; 5; 6

P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁). P(E₂)
           = 1/6 + 1/6 – (1/6 . 1/6)
           = 11/36



    5. Una encuesta de una clase de 34 estudiantes de una escuela de administración,
       revelo la siguiente selección de carreras:
   Contaduría                      10
      Finanzas                         5
      Sistemas de Información          3
      Administración                   6
      Mercadotecnia                   10

Suponga que se selecciono un estudiante al azar y se observo su opción profesional.

   a) Cual es la probabilidad de que él o ella estudie la carrera de administración.

       P = 6/34
         = 0,18

   b) Cual es la probabilidad de que el mismo estudiante estudie administración y
      finanzas.

       P = 6/34 . 5/34
         = 15/578
         = 0,03



   6. La junta directiva de una empresa esta formada por 8 hombres y 4 mujeres. Se
      seleccionara un comité de 4 miembros en forma aleatoria, para recomendar a un
      nuevo presidente de la compañía.

   a) Cual es la probabilidad de que sean mujeres los 4 miembros del comité de
      investigación.

       P = 4/12
         = 0,3333
         = 33,33%

   b) Cual es la probabilidad de que los miembros sean los 4 hombres.

       P= 8/12
        = 0,6666
        = 66,66%

   c) Cual es la probabilidad de que sean 2 mujeres y 2 hombres

       P = 2/4 . 2/8
         = 1/8
         = 0,13
         = 13%
PROBABILIDAD CONDICIONAL

    7. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado; resulte un numero
       menor que 4, sabiendo que resultó un número impar.

A: Salga un número menor que 4                     Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga impar
                                                   I= 1; 3; 5
P(A/B) = 3/6
          2/6
        = 3/2



    8. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga un numero menor que 5,
       sabiendo que saldrá un número impar.

A: Salga un número menor que 5                     Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga impar
                                                       I= 1; 3; 5
P(A/B) = 4/6
          2/6
        = 4/2
        = 2%



    9. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga 6 si se sabe que caerá un
       número par.

A: Salga 6                                         Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6
B: Salga número par
                                                   Par =   2; 4; 6
P(A/B) = 1/6
         3/6
        = 1/3
= 0,3333 = 33,33%




EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
10. Si un hombre tiene 10 camisas; 2 negras y 3 azules además tiene 5 camisas blancas.
        Cual es la probabilidad de que al escoger al azar una camisa esta sea blanca o azul.

A: Camisa blanca
B: Camisa azul

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 5/10 + 3/10 – 0/10
= 4/5
=0,80



    11. Se saca una carta de un naipe completo. Cual es la probabilidad de la carta sea un 6 o
        una carta roja.

A: Salga 6
B: Salga una carta roja

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 4/52 + 26/42 – 2/52
= 7/13
= 0,54



    12. Una caja contiene 3 bolas rojas, 5 bolas negras, y 2 bolas verdes. cual es la
        probabilidad de que una bola seleccionada al azar sea roja o verde.

A: Bola roja
B: Bola verde

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/10 + 2/10 – 0/10
 = 1/2
= 0,50



    13. Una caja contiene 6 bolas naranjas, 6 bolas azules y 3 rosadas. Cual es la
        probabilidad de que al extraer la bola aleatoria aleatoriamente esta sea naranja o
        rosada.

A: Bola naranja
B: Bola rosada

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 6/15 + 3/15 – 0/15
= 3/5
= 0,60



    14. Una caja contiene 3 lápices azules, 2 lápices rojos y un lápiz negro. Cual es la
        probabilidad de que al sacar un lápiz este sea rojo o negro.

A: Lápiz rojo
B: Lápiz negro

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 2/6 + 1/6 -0/6
= 1/2
= 0,50



    15. La empresa X cuenta con dos camiones de servicio que se descomponen
        frecuentemente; si la probabilidad de que el primer camión este disponible es 0,75 y
        el segundo camión es de 0,50 y la probabilidad de que los dos estén disponibles es
        0,30. Cual es la probabilidad de que ningún camión este disponible.

A: Primer camión            0.75
B: Segundo camión           0.50
A y B: Ambos                0.30

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
         = 0,75 + 0,50 – 0,30
         = 0,95
= 95%

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CON REEMPLAZAMIENTO

    16. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 12 bolas rojas, 7 bolas amarillas,
        3 bolas blancas y 6 azules. Hallar la probabilidad de que sea:

    a) Amarilla o Roja

         E₁: Sea amarilla
         E₂: Sea roja

         P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂)
                             = 7/28 + 12/28
                             = 19/28

    b) No Roja o Azul
E₁: Sea amarilla
   E₂: Sea blanca

   P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂)                     P(E') = 1 – P(E)
              = 7/28 + 3/28                             = 1 – 0,36
              = 5/14                                    = 0,64
              = 0,36

c) No Roja

   P(E') = 1 – P(E)
         = 1 – 12/28
         = 4/7

d) Sea Roja o Amarilla o Blanca

   E₁: Sea roja
   E₂: Sea amarilla
   E₃: Sea blanca

   P(E₁ + E₂ + E₃) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
                   = 12/28 + 7/28 + 3/28
                   = 11/14
                   = 0,79

17. Se extrae una corbata de una caja al azar en la cual hay 3 corbatas rojas, 6 corbatas
    negras, 8 corbatas plomas y 7 corbatas azules. Hallar la probabilidad de que sea:

   a) Azul o Ploma

   E₁: Sea azul
   E₂: Sea ploma

   P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂)
              = 7/24 + 8/24
              = 5/8

   b) No sea Negra

   P(E') = 1 – P(E)
         = 1 – 6/24
         = 3/4
   c) Sea Roja o Azul o Negra
P( R + A + N ) = P(R) + P(A) + P(N)
                      = 3/24 + 7/24 + 6/24
                      = 2/3
                      = 0,67



18. En una caja se tiene 15 lápices rojos, 7 lápices blancos, 10 lápices celestes, y 12
    lápices purpuras; se extrae dos lápices sucesivamente. Hallar la probabilidad de que:

   a) Ambos sean Celestes

   E₁: Primero celeste                         P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
   E₂: Segundo celeste                                    = 10/44 . 10/44
                                                          = 25/484
                                                          = 0,05
   b) El primero sea Blanco y el segundo Purpura

   E₁: Primero blanco
   E₂: Segundo purpura

   P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
              = 7/44 . 12/44
              = 21/484
              = 0,04

   c) Ninguno sea Rojo

   P(E') = 1 – P(E)
         = 1 – 15/44
         = 29/44
         = 0,66

   d) Sean 2 Blancos ó 2 Purpuras ó 1 Blanco y 1 Purpura

   E₁: Sean blancos

   P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
               = 7/44 . 7/44
               = 49/1936




   E₂: Sean purpuras
P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
                 = 12/44 . 12/44
                 = 9/121

      E₃: Sea blanco
      E₄: Sea purpura

      P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
                 = 7/44 . 12/44
                 = 21/484

      P = (BB + PP + BP +PB ) = 49/1936 + 9/121 + 2. 21/44 = 361/1936 = 0,19 = 19%



EJERCICIOS DE PROBABILIDAD SIN REEMPLAZAMIENTO

   19. Tengo en una caja las siguientes bolitas; 5 rojas, 10 negras, 15 verdes y 20 azules.
       Hallar la probabilidad de que:

      a) Ambas sean Verdes

      E₁: Primera verde
      E₂: Segunda verde

      P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
                 = 15/50 . 14/49
                 = 3/35
                 = 0,09

      b) Que la primera sea Roja y la segunda sea Azul

      E₁: Primera roja
      E₂: Segunda azul

      P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
                 = 5/50 . 20/49
                 = 2/49
                 = 0,04

      c) Que ninguna sea Azul

      E₁: No se azul
      E₂: Sea roja ó negra ó verde

      P(E') = 1 – P(E₁)
= 1 – 20/50
         = 3/5

    P(E₂) = P(R ó N ó v) = 5/49 + 10/49 + 14/49 = 29/49

    P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
               = 3/5 . 29/49
               = 87/245
               = 0,36

    d) Que las 2 sean Verdes ó Negras ó de ambos colores

    E₁: Sean Verdes

    P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
               = 15/50 . 14/49
               = 3/35

    E₂: Sean Negras

    P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
               = 10/50 . 9/49
               = 9/245

    E₃: Sea Verde
    E₄: Sea Negra

    P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
               = 15/50 . 10/49
               = 3/49

    P = (VV + NN + VN + NV) = 3/35 + 9/245 + 2. 3/49 = 12/49 = 0,24 = 24%



20. Se tiene en una caja 15 esferos azules, 10 esferos verdes, 5 esferos negros y 8 esferos
    rojos. Hallar la probabilidad de que:

    a) Ambos sean Verdes

    E₁: Primera verde
    E₂: Segunda verde



    P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
               = 10/38 . 9/37
= 45/703
                   = 0,06

    b) Que el primero sea Rojo y el segundo sea Negro

        E₁: Primera rojo
        E₂: Segunda negro

        P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
                   = 8/38 . 5/37
                   = 20/703 = 0,03
        c) Que ninguno sea Verde

        E₁: No sea verde
        E₂: Sea Azul ó Negro ó Rojo

        P(E') = 1 – P(E₁)
              = 1 – 10/38
              = 14/19

P(E₂) = P(A + N + R) = 15/37 + 5/37 + 7/37 = 27/37

P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂)
                     = 14/19 . 27/37
                     = 378/703

        d) Que los 2 sean Azules ó Negros ó 1 Rojo y 1 Verde

        E₁: Sea azul

        P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁)
                   = 15/38 . 14/37
                   = 105/703

        E₂: Sea Negro

        P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂)
                   = 5/38 . 4/37
                   = 10/703

        E₃: Sea rojo
        E₄: Sea verde

        P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄)
                   = 8/38 . 10/37
= 40/703

        P = (AA + NN + RV ) = 105/703 + 10/703 + 40/703 = 0,22 = 22%



TEOREMA DE BAYES

    21. Tenemos dos urnas, la urna A₁ contiene 8 bolitas blancas y 2 negras mientras que la
        urna A₂ tiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Cual es la probabilidad de que la bolita sea
        extraída de la urna A₁ y sea blanca.

                             A₁

                            8 B         P(B/A₁) = 8/10

 P(A₁) = 1/2                2 N


                             A₂

P(A₂) = 1/2                 3 B         P(B/A₂) = 3/10

                           7 N




P(A₁/B) =          P(A₁) P(B/A₁)
P(A₁) P(B/A₁) + P(A₂) P(B/A₂)

P(A₁/B) =           1/2 . 8/10
              1/2 . 8/10 + 1/2 . 3/10

P(A₁/B) = 2/5
          11/20

P(A₁/B) = 8/11




    22. Tenemos dos urnas la urna A₁ contiene 3 lápices negros y 2 lápices rojos mientras
        que la urna A₂ contiene 4 lápices negros y 1 rojo. Cual es la probabilidad de al elegir
        la urna A₁ la bola sea negra.




                                  A₁
3 N           P(N/A₁) = 3/5
   P(A₁) = 1/2
                              2 R

                               A₂
                              4 N          P(N/A₂) = 4/5
   P(A₂) = 1/2
                              1 R




    P(A₁/N) =          P(A₁) P(N/A₁)
    P(A₁) P(N/A₁) + P(A₂) P(N/A₂)

    P(A₁/N) =         1/2 . 3/5
                 1/2 . 3/5 + 1/2 . 4/5

    P(A₁/N) = 3/10
              7/10

    P(A₁/N) = 3/7



    23. Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la
        noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el
        90% de los diurnos. De acuerdo con esto el equipo ganó ayer. Cual es la probabilidad
        de que el partido se haya desarrollado en la noche.




                           Gana = 0,50                      A₁ = Noche
                                                            A₂ = Día
                                    Pierde = 0,50           B = Ganaron
    P(A₁) Noche = 0,70


                           Gana = 0,90

        P(A₂) Día = 0,30

                                    Pierde = 0,10




P(A₁/B) =         P(A₁) P(B/ A₁)
P(A₁) P(B/ A₁) + P(A₂) P(B/ A₂)

P(A₁/B) =        0,70 . 0,50
0,70 . 0,50 + 0,30 . 0,90

P(A₁/B) = 0,35
          0,62

P(A₁/B) = 0,56



    24. Se recibieron dos cajas de ropa provenientes de una fábrica, la caja₁ contenía 5
        camisas deportivas y 15 de vestir mientras que en l caja₂ había 30 camisas deportivas
        y 10 de vestir. Se selecciono al azar una de las cajas y de ésa se eligió también
        aleatoriamente una camisa para inspeccionarla la prenda era deportiva. Cual es la
        probabilidad de que la camisa provenga de la caja₁.




                                   A₁
                                         P(D/A₁) = 3/5
                            25 C. Deportivas
    P(Caja₁) = 1/2
                               15 C. Vestir

                                   A₂
                                         P(D/A₂) = 4/5
                            30 C. Deportivas
    P(Caja₂) = 1/2
                               10 C. Vestir




P(A₁/D) =         P(A₁) P(D/ A₁)
P(A₁) P(D/ A₁) + P(A₂) P(D/ A₂)

P(A₁/D) =         1/2 . 25/40
            1/2 . 25/40 + 1/2 . 30/40

P(A₁/D) = 5/16
          11/16

P(A₁/D) = 5/11
25. Se tiene tres urnas. La urna A₁ contiene 8 bolas negras y 2 verdes, la urna A₂ 3
            bolas negras y 7 verdes y la urna A₃ contiene 5 bolas negras y 5 bolas verdes; se
            elige una urna y una bola al azar. Cual es la probabilidad de que la bola sea verde
            y provenga de la urna A₃.


                                A₁


                               8 N         P(V/A₁) = 2/10
               P(
               A₁)             2 V
               =
               1/                A₂
               2
               P(A₂) = 1/2                P(V/A₂) = 7/10
                               3 N

                               7 V
               P(
               A₃)
               =                 A₃
               1/                           P(V/A₃) = 5/10
                                5 N
               2
                                5 V




P(A₃/V) =        P(A₃) P(V/A₃)
P(A₁) P(V/A₁) + P(A₂) P(V/A₂) + P(A₃) P(V/A₃)

P(A₁/D) =                 1/3 . 5/10
            1/3 . 2/10 + 1/3 . 7/10 + 1/3 . 5/10



P(A₁/D) = 1/6
           7/15

P(A₁/D) = 5/14




EJERCICIO 7)
Un almacén esta considerando cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el
número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas.

El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente
que se demore una semana o mas en sus pagos en dos ocasiones distintas la sugerencia del
gerente se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmente
no pagaron sus cuentas, se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones.

Suponga quede una investigación encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito)
finalmente no pagan sus cuentas y que de ellas que finalmente si las pagan el 45% se han
demorado por lo menos en 2 ocasiones.
Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro en por lo menos 2 ocasiones
finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política que ha
sugerido el gerente de ventas.



                               2 ocasiones (0,45)

P(Pagan) = 0,98
                                 1 ocasión (0,55)



                                      2 ocasiones (0,90)

P(No paguen) = 0,02
                                       1 ocasión (0,10)



No pagan                0,90            0,02
Pagan                   0,10            0,45



P(G/I₁) = 0,90 X 0,02                                      P(I/G) = 0,441
= 0,018                                                             0,459

P(G/I₂) = 0,98 X 0,45                                            = 0,96078
        = 0,441                                                  = 96%

P(B) = 0,018 + 0,441
     = 0,459
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Ejercicios de probabilidades y teorema de bayes

  • 1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Facultad de Ciencias Administrativas Carrera de Contabilidad y Auditoria ESTADISTICA II EJERCICIOS DE PROBABILIDADES Y TEOREMA DE BAYES PROFESOR: ING. FRANCISCO BAHAMONDE ALUMNA: LUCÍA REGALADO MONTENEGRO CURSO: CA 4 – 7 Quito – Ecuador
  • 2. EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Cual es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces; obteniendo en el primer lanzamiento por lo menos una cara y en el segundo lanzamiento sea sello. A: Salga al menos una cara Em=CC; CS; SS; SC B: Salga sello P(A)= 3/4 = 0,75 P(B)= 2/4 = 0,50 2. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que resulte 2 ó 5. A: Salga 2 Em= 1; 2; 3; 4; 5; 6 B: Salga 5 P(A.B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3 = 0,3333 3. Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado no salga 5. A: No salga 5 P(A') = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6 = 0,8333 4. Hallar la probabilidad de que salga al menos un 4 al realizar dos lanzamientos de un dado. E₁ = Salga al menos un 4 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6 E₂ = Salga al menos un 4 1; 2; 3; 4; 5; 6 P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁). P(E₂) = 1/6 + 1/6 – (1/6 . 1/6) = 11/36 5. Una encuesta de una clase de 34 estudiantes de una escuela de administración, revelo la siguiente selección de carreras:
  • 3. Contaduría 10  Finanzas 5  Sistemas de Información 3  Administración 6  Mercadotecnia 10 Suponga que se selecciono un estudiante al azar y se observo su opción profesional. a) Cual es la probabilidad de que él o ella estudie la carrera de administración. P = 6/34 = 0,18 b) Cual es la probabilidad de que el mismo estudiante estudie administración y finanzas. P = 6/34 . 5/34 = 15/578 = 0,03 6. La junta directiva de una empresa esta formada por 8 hombres y 4 mujeres. Se seleccionara un comité de 4 miembros en forma aleatoria, para recomendar a un nuevo presidente de la compañía. a) Cual es la probabilidad de que sean mujeres los 4 miembros del comité de investigación. P = 4/12 = 0,3333 = 33,33% b) Cual es la probabilidad de que los miembros sean los 4 hombres. P= 8/12 = 0,6666 = 66,66% c) Cual es la probabilidad de que sean 2 mujeres y 2 hombres P = 2/4 . 2/8 = 1/8 = 0,13 = 13%
  • 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 7. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado; resulte un numero menor que 4, sabiendo que resultó un número impar. A: Salga un número menor que 4 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6 B: Salga impar I= 1; 3; 5 P(A/B) = 3/6 2/6 = 3/2 8. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga un numero menor que 5, sabiendo que saldrá un número impar. A: Salga un número menor que 5 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6 B: Salga impar I= 1; 3; 5 P(A/B) = 4/6 2/6 = 4/2 = 2% 9. Se lanza un dado. Cual es la probabilidad de que salga 6 si se sabe que caerá un número par. A: Salga 6 Em = 1; 2; 3; 4; 5; 6 B: Salga número par Par = 2; 4; 6 P(A/B) = 1/6 3/6 = 1/3 = 0,3333 = 33,33% EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
  • 5. 10. Si un hombre tiene 10 camisas; 2 negras y 3 azules además tiene 5 camisas blancas. Cual es la probabilidad de que al escoger al azar una camisa esta sea blanca o azul. A: Camisa blanca B: Camisa azul P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 5/10 + 3/10 – 0/10 = 4/5 =0,80 11. Se saca una carta de un naipe completo. Cual es la probabilidad de la carta sea un 6 o una carta roja. A: Salga 6 B: Salga una carta roja P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 4/52 + 26/42 – 2/52 = 7/13 = 0,54 12. Una caja contiene 3 bolas rojas, 5 bolas negras, y 2 bolas verdes. cual es la probabilidad de que una bola seleccionada al azar sea roja o verde. A: Bola roja B: Bola verde P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 2/10 – 0/10 = 1/2 = 0,50 13. Una caja contiene 6 bolas naranjas, 6 bolas azules y 3 rosadas. Cual es la probabilidad de que al extraer la bola aleatoria aleatoriamente esta sea naranja o rosada. A: Bola naranja B: Bola rosada P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 6/15 + 3/15 – 0/15
  • 6. = 3/5 = 0,60 14. Una caja contiene 3 lápices azules, 2 lápices rojos y un lápiz negro. Cual es la probabilidad de que al sacar un lápiz este sea rojo o negro. A: Lápiz rojo B: Lápiz negro P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 2/6 + 1/6 -0/6 = 1/2 = 0,50 15. La empresa X cuenta con dos camiones de servicio que se descomponen frecuentemente; si la probabilidad de que el primer camión este disponible es 0,75 y el segundo camión es de 0,50 y la probabilidad de que los dos estén disponibles es 0,30. Cual es la probabilidad de que ningún camión este disponible. A: Primer camión 0.75 B: Segundo camión 0.50 A y B: Ambos 0.30 P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,75 + 0,50 – 0,30 = 0,95 = 95% EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CON REEMPLAZAMIENTO 16. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 12 bolas rojas, 7 bolas amarillas, 3 bolas blancas y 6 azules. Hallar la probabilidad de que sea: a) Amarilla o Roja E₁: Sea amarilla E₂: Sea roja P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) = 7/28 + 12/28 = 19/28 b) No Roja o Azul
  • 7. E₁: Sea amarilla E₂: Sea blanca P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) P(E') = 1 – P(E) = 7/28 + 3/28 = 1 – 0,36 = 5/14 = 0,64 = 0,36 c) No Roja P(E') = 1 – P(E) = 1 – 12/28 = 4/7 d) Sea Roja o Amarilla o Blanca E₁: Sea roja E₂: Sea amarilla E₃: Sea blanca P(E₁ + E₂ + E₃) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) = 12/28 + 7/28 + 3/28 = 11/14 = 0,79 17. Se extrae una corbata de una caja al azar en la cual hay 3 corbatas rojas, 6 corbatas negras, 8 corbatas plomas y 7 corbatas azules. Hallar la probabilidad de que sea: a) Azul o Ploma E₁: Sea azul E₂: Sea ploma P(E₁ + E₂) = P(E₁) + P(E₂) = 7/24 + 8/24 = 5/8 b) No sea Negra P(E') = 1 – P(E) = 1 – 6/24 = 3/4 c) Sea Roja o Azul o Negra
  • 8. P( R + A + N ) = P(R) + P(A) + P(N) = 3/24 + 7/24 + 6/24 = 2/3 = 0,67 18. En una caja se tiene 15 lápices rojos, 7 lápices blancos, 10 lápices celestes, y 12 lápices purpuras; se extrae dos lápices sucesivamente. Hallar la probabilidad de que: a) Ambos sean Celestes E₁: Primero celeste P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) E₂: Segundo celeste = 10/44 . 10/44 = 25/484 = 0,05 b) El primero sea Blanco y el segundo Purpura E₁: Primero blanco E₂: Segundo purpura P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 7/44 . 12/44 = 21/484 = 0,04 c) Ninguno sea Rojo P(E') = 1 – P(E) = 1 – 15/44 = 29/44 = 0,66 d) Sean 2 Blancos ó 2 Purpuras ó 1 Blanco y 1 Purpura E₁: Sean blancos P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁) = 7/44 . 7/44 = 49/1936 E₂: Sean purpuras
  • 9. P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂) = 12/44 . 12/44 = 9/121 E₃: Sea blanco E₄: Sea purpura P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄) = 7/44 . 12/44 = 21/484 P = (BB + PP + BP +PB ) = 49/1936 + 9/121 + 2. 21/44 = 361/1936 = 0,19 = 19% EJERCICIOS DE PROBABILIDAD SIN REEMPLAZAMIENTO 19. Tengo en una caja las siguientes bolitas; 5 rojas, 10 negras, 15 verdes y 20 azules. Hallar la probabilidad de que: a) Ambas sean Verdes E₁: Primera verde E₂: Segunda verde P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 15/50 . 14/49 = 3/35 = 0,09 b) Que la primera sea Roja y la segunda sea Azul E₁: Primera roja E₂: Segunda azul P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 5/50 . 20/49 = 2/49 = 0,04 c) Que ninguna sea Azul E₁: No se azul E₂: Sea roja ó negra ó verde P(E') = 1 – P(E₁)
  • 10. = 1 – 20/50 = 3/5 P(E₂) = P(R ó N ó v) = 5/49 + 10/49 + 14/49 = 29/49 P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 3/5 . 29/49 = 87/245 = 0,36 d) Que las 2 sean Verdes ó Negras ó de ambos colores E₁: Sean Verdes P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁) = 15/50 . 14/49 = 3/35 E₂: Sean Negras P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂) = 10/50 . 9/49 = 9/245 E₃: Sea Verde E₄: Sea Negra P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄) = 15/50 . 10/49 = 3/49 P = (VV + NN + VN + NV) = 3/35 + 9/245 + 2. 3/49 = 12/49 = 0,24 = 24% 20. Se tiene en una caja 15 esferos azules, 10 esferos verdes, 5 esferos negros y 8 esferos rojos. Hallar la probabilidad de que: a) Ambos sean Verdes E₁: Primera verde E₂: Segunda verde P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 10/38 . 9/37
  • 11. = 45/703 = 0,06 b) Que el primero sea Rojo y el segundo sea Negro E₁: Primera rojo E₂: Segunda negro P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 8/38 . 5/37 = 20/703 = 0,03 c) Que ninguno sea Verde E₁: No sea verde E₂: Sea Azul ó Negro ó Rojo P(E') = 1 – P(E₁) = 1 – 10/38 = 14/19 P(E₂) = P(A + N + R) = 15/37 + 5/37 + 7/37 = 27/37 P(E₁ . E₂) = P(E₁) . P(E₂) = 14/19 . 27/37 = 378/703 d) Que los 2 sean Azules ó Negros ó 1 Rojo y 1 Verde E₁: Sea azul P(E₁ . E₁) = P(E₁) . P(E₁) = 15/38 . 14/37 = 105/703 E₂: Sea Negro P(E₂ . E₂) = P(E₂) . P(E₂) = 5/38 . 4/37 = 10/703 E₃: Sea rojo E₄: Sea verde P(E₃ . E₄) = P(E₃) . P(E₄) = 8/38 . 10/37
  • 12. = 40/703 P = (AA + NN + RV ) = 105/703 + 10/703 + 40/703 = 0,22 = 22% TEOREMA DE BAYES 21. Tenemos dos urnas, la urna A₁ contiene 8 bolitas blancas y 2 negras mientras que la urna A₂ tiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Cual es la probabilidad de que la bolita sea extraída de la urna A₁ y sea blanca. A₁ 8 B P(B/A₁) = 8/10 P(A₁) = 1/2 2 N A₂ P(A₂) = 1/2 3 B P(B/A₂) = 3/10 7 N P(A₁/B) = P(A₁) P(B/A₁) P(A₁) P(B/A₁) + P(A₂) P(B/A₂) P(A₁/B) = 1/2 . 8/10 1/2 . 8/10 + 1/2 . 3/10 P(A₁/B) = 2/5 11/20 P(A₁/B) = 8/11 22. Tenemos dos urnas la urna A₁ contiene 3 lápices negros y 2 lápices rojos mientras que la urna A₂ contiene 4 lápices negros y 1 rojo. Cual es la probabilidad de al elegir la urna A₁ la bola sea negra. A₁
  • 13. 3 N P(N/A₁) = 3/5 P(A₁) = 1/2 2 R A₂ 4 N P(N/A₂) = 4/5 P(A₂) = 1/2 1 R P(A₁/N) = P(A₁) P(N/A₁) P(A₁) P(N/A₁) + P(A₂) P(N/A₂) P(A₁/N) = 1/2 . 3/5 1/2 . 3/5 + 1/2 . 4/5 P(A₁/N) = 3/10 7/10 P(A₁/N) = 3/7 23. Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la noche, y el 30% durante el día. El equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos. De acuerdo con esto el equipo ganó ayer. Cual es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en la noche. Gana = 0,50 A₁ = Noche A₂ = Día Pierde = 0,50 B = Ganaron P(A₁) Noche = 0,70 Gana = 0,90 P(A₂) Día = 0,30 Pierde = 0,10 P(A₁/B) = P(A₁) P(B/ A₁)
  • 14. P(A₁) P(B/ A₁) + P(A₂) P(B/ A₂) P(A₁/B) = 0,70 . 0,50 0,70 . 0,50 + 0,30 . 0,90 P(A₁/B) = 0,35 0,62 P(A₁/B) = 0,56 24. Se recibieron dos cajas de ropa provenientes de una fábrica, la caja₁ contenía 5 camisas deportivas y 15 de vestir mientras que en l caja₂ había 30 camisas deportivas y 10 de vestir. Se selecciono al azar una de las cajas y de ésa se eligió también aleatoriamente una camisa para inspeccionarla la prenda era deportiva. Cual es la probabilidad de que la camisa provenga de la caja₁. A₁ P(D/A₁) = 3/5 25 C. Deportivas P(Caja₁) = 1/2 15 C. Vestir A₂ P(D/A₂) = 4/5 30 C. Deportivas P(Caja₂) = 1/2 10 C. Vestir P(A₁/D) = P(A₁) P(D/ A₁) P(A₁) P(D/ A₁) + P(A₂) P(D/ A₂) P(A₁/D) = 1/2 . 25/40 1/2 . 25/40 + 1/2 . 30/40 P(A₁/D) = 5/16 11/16 P(A₁/D) = 5/11
  • 15. 25. Se tiene tres urnas. La urna A₁ contiene 8 bolas negras y 2 verdes, la urna A₂ 3 bolas negras y 7 verdes y la urna A₃ contiene 5 bolas negras y 5 bolas verdes; se elige una urna y una bola al azar. Cual es la probabilidad de que la bola sea verde y provenga de la urna A₃. A₁ 8 N P(V/A₁) = 2/10 P( A₁) 2 V = 1/ A₂ 2 P(A₂) = 1/2 P(V/A₂) = 7/10 3 N 7 V P( A₃) = A₃ 1/ P(V/A₃) = 5/10 5 N 2 5 V P(A₃/V) = P(A₃) P(V/A₃) P(A₁) P(V/A₁) + P(A₂) P(V/A₂) + P(A₃) P(V/A₃) P(A₁/D) = 1/3 . 5/10 1/3 . 2/10 + 1/3 . 7/10 + 1/3 . 5/10 P(A₁/D) = 1/6 7/15 P(A₁/D) = 5/14 EJERCICIO 7)
  • 16. Un almacén esta considerando cambiar su política de otorgamiento de créditos para reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o mas en sus pagos en dos ocasiones distintas la sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas, se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones. Suponga quede una investigación encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y que de ellas que finalmente si las pagan el 45% se han demorado por lo menos en 2 ocasiones. Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro en por lo menos 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política que ha sugerido el gerente de ventas. 2 ocasiones (0,45) P(Pagan) = 0,98 1 ocasión (0,55) 2 ocasiones (0,90) P(No paguen) = 0,02 1 ocasión (0,10) No pagan 0,90 0,02 Pagan 0,10 0,45 P(G/I₁) = 0,90 X 0,02 P(I/G) = 0,441 = 0,018 0,459 P(G/I₂) = 0,98 X 0,45 = 0,96078 = 0,441 = 96% P(B) = 0,018 + 0,441 = 0,459