1. Modelo IS-LM: una
versi´n din´mica en
o a
tiempo continuo
Sabrina Dervich1
1
Agradezco los comentarios y la ayuda de todos los integrantes de la
c´tedra Garc´ Fronti de Matem´tica para Economistas, tanto ayudantes co-
a ıa a
mo profesores. Adem´s, agradezco a Federico Pastrana, docente de Macroe-
a
conom´ I, por las sugerencias bibliogr´ficas.
ıa a
1

2. Este modelo relaciona la tasa de inter´s real (r) de una econom´
e ıa
con el nivel de producto (Y) de la misma a trav´s de la interac-
e
ci´n entre el mercado de bienes (IS: Investment-Savings relation)
o
y el mercado de dinero (LM: Liquidity prefference-Money rela-
tion).
2

3. Introducci´n
o
El modelo IS-LM es de gran importancia tanto en el ambito
´
acad´mico, como en el del estudio de la coyuntura, ya que rela-
e
ciona dos de los mercados principales para el an´lisis macroe-
a
con´mico.
o
El modelo en s´ fue creado por J. Hicks (Hicks, 1937), a par-
ı
tir de su propia interpretaci´n de la Teor´ General de Keynes
o ıa
(1936), como una contribuci´n a la teor´ del ciclo econ´mico.
o ıa o
En su libro de 1950, Hicks utiliza las ecuaciones en diferencias
para establecer relaciones entre la inversi´n y el ahorro por un
o
lado, con las preferencias por liquidez por el otro. A lo largo del
tiempo, este modelo fue sufriendo modificaciones a partir de los
avances matem´ticos que se fueron descubriendo.
a
La importancia de este modelo fue clave para el an´lisis de cier-
a
tos comportamientos de las variables macroecon´micas. Blan-
o
chard (Blanchard-P´rez Enrri, 2000) lo utiliza para analizar y
e
comprender los efectos de pol´ıticas publicas monetarias y fiscales
sobre la tasa de inter´s y sobre el producto de un pa´ Analiza,
e ıs.
por ejemplo: los ajustes de la tasa de inter´s de Estados Unidos
e
de 1993 a 1995 .
Creo que es importante incorporar un estudio m´s avanza-
a
do de este modelo que se incluye en los programas de estudio
de Macroeconom´ I. Su intenci´n es relacionar el mercado real
ıa o
(bienes) con la preferencia de liquidez del mercado de dinero.
Su principal aplicaci´n es ante situaciones extremas, como ser
o
un contexto de trampa de liquidez similar al de la crisis del ’30.
Adem´s, es interesante analizar la diferencia entre la velocidad
a
de ajuste de uno y otro mercado, para poder ver los sesgos en
las variables end´genas ante un shock ex´geno. En los cursos de
o o
Macro I, se ve el modelo sin tener en cuenta el tiempo, ya que
no disponemos de las herramientas matem´ticas necesarias para
a
un an´lisis m´s riguroso. Propongo que hagamos un recorrido
a a
por las principales conclusiones del modelo, incluyendo al tiem-
3

4. po como una variable continua, por medio de la aplicaci´n de las
o
ecuaciones diferenciales.
Adem´s, este trabajo se diferencia del original, y de otros
a
trabajaos posteriores (al original), por la inclusi´n de variables
o
ex´genas en forma lineal, que pueden ser motivos de shocks ex-
o
ternos comunes en la econom´ real, como ser la pol´
ıa ıtica fiscal o
el gasto p´blico.
u
Mediante la resoluci´n matem´tica del modelo podremos fun-
o a
damentar las principales conclusiones intuitivas que se proponen,
incursionando tanto en conceptos matem´ticos, como en concep-
a
tos econ´micos.
o
Descripci´n del modelo
o
El mercado de bienes: M´s all´ de la relaci´n inicialmente
a a o
establecida por J. R. Hicks donde se igualan el ahorro a la inver-
si´n (agregados) podemos determinar el funcionamiento de este
o
mercado de la siguiente forma:
Y = C(Y d) + Y (Y, r) + G (demanda de bienes o planes de
consumo).
La demanda de bienes esta compuesta por el consumo (privado-
C) que depende del ingreso disponible de los individuos de la
econom´ por la inversi´n, I, que es funci´n del nivel de pro-
ıa; o o
ducto y de la tasa de inter´s; y por el gasto publico (G), que es
e
considerado ex´geno.
o
En equilibrio:
Y ≡Z
La oferta de bienes es id´nticamente igual a los planes de con-
e
sumo del conjunto de la econom´ esto implica que el mercado
ıa,
en equilibrio se vac´ en sentido cl´sico.
ıa a
4

5. Expresando las funciones impl´ ıcitas de este mercado en forma
lineal, con t´rminos constantes resumiendo las variables ex´genas,
e o
y par´metros lineales y positivos que acompa˜an el movimiento
a n
de las variables end´genas. De esta forma se obtiene una forma
o
simplificada del modelo:
Y d = Y − T − tY
C(Y d) = C + cY d
I(Y, r) = I + aY − br
T: impuesto de suma fija.
t: tasa impositiva (impuesto directo).
C: consumo aut´nomo o de subsistencia.
o
c: propensi´n marginal a consumir.
o
a: sustentabilidad de los planes de inversi´n respecto del nivel
o
de producto (proporci´n del producto que se invierte).
o
b: sustentabilidad de los planes de inversi´n ante un cambio
o
en la tasa de inter´s (ahorro vs. desahorro - racionalidad de los
e
inversores).
Y = C +c(Y −T −tY )+I +aY −br +G = A+Y [c(1−t)+a]−br
Donde A = C − c.T + I + G
Para modelar este mercado en forma din´mica supongo que el
a
nivel de producto de la econom´ ajusta en el tiempo en funci´n
ıa o
de los excesos de demanda y oferta:
˙
Y = f n(Y − Z) = f m(Demanda − Of erta)
5

6. • Si Y ≥ Z: hay exceso de demanda de bienes (EDB), por lo
tanto la producci´n va a tender a aumentar.
o
˙
Y ≥0
• Si Y ≤ Z: hay exceso de oferta de bienes (EOB), por lo
tanto la producci´n va a ajustar negativamente.
o
˙
Y <0
• Cuando Y = Z: el mercado est´ en equilibrio, el nivel de
a
producto no se mueve, est´ en reposo.
a
˙
Y =0
Relaci´n IS
o
˙
Y = α {A − Y [1 − c(1 − t) − a] − br} (1)
α: representa la velocidad de ajuste del nivel de producci´n.
o
El mercado de dinero: Este mercado establece la relaci´n o
entre la compra y venta de dinero y bonos en la econom´ Lo ıa.
que pretende es modelar las decisiones de los individuos a la hora
de comprar bonos o tener el dinero (preferencias de liquidez).
Ls: oferta de dinero, ex´genamente controlada por el Banco
o
Central.
Ld = L(Y, r): demanda de dinero es una funci´n del nivel de
o
producto de la econom´ y de la tasa de inter´s real.
ıa e
El equilibrio, el mercado se vac´ Ld = Ls
ıa:
Si linealizo la demanda de dinero para simplificar el an´lisis
a
queda:
Ld = kY − lr = Ls
6

7. k: sensibilidad de la demanda de dinero por motivos transac-
cionales.
l: sensibilidad de la demanda de dinero por motivos especula-
tivos.
Despejando los t´rminos, la relaci´n (Y,r) queda:
e o
r = (kY − Ls) /l
Expresando la ecuaci´n en forma din´mica, segun los excesos
o a
de demanda y oferta de dinero, obtenemos la siguiente forma:
r = f n(Ld − Ls ) = f m(Demanda − Of erta)
˙
• Si Ld ≥ Ls : hay exceso de demanda de dinero, id´nticamente
e
igual a un exceso de oferta de bonos (EDD o EOBs) que tracciona
al alza la tasa de inter´s.
e
r≥0
˙
• Si Ld < Ls : hay exceso de oferta de dinero, id´nticamente
e
igual a un exceso de demanda de bonos (EOD o EDBs) que
produce una disminuci´n de la tasa de inter´s en el tiempo.
o e
r<0
˙
• Cuando Ld = Ls : el mercado est´ en reposo.
a
r=0
˙
Relaci´n LM
o
r = β [kY − lr − Ls ]
˙ (2)
β: es la velocidad de ajuste de la tasa de inter´s real.
e
7

8. El modelo IS-LM:
Este modelo establece una relaci´n entre la tasa de inter´s y
o e
el nivel de producto a trav´s del funcionamiento simult´neo del
e a
mercado de dinero/bonos y del mercado de bienes.
˙
Y = α. {A − Y [1 − c(1 − t) − a] − br}
(3)
r = β [kY − lr − Ls ]
˙
8

9. Desarrollo del Modelo
Resoluci´n del sistema de ecuaciones
o
Resuelvo el sistema de ecuaciones diferenciales (3) por el m´to-
e
do de matriz de operadores.
(D + αϕ) αb Y αA
= (4)
−βk (D + βl) r −βLs
ϕ = 1 − c (1 − t) − a
Este sistema de ecuaciones diferenciales no es homog´neo, por
e
lo tanto para resolverlo tendr´
ıamos que separarlo en dos: la parte
homog´nea y la complementaria.
e
Primero resolvemos la parte homog´nea, averiguando los posi-
e
bles valores de D cuando el sistema esta igualado a cero. Es decir,
G (D) X = 0.
Para ello necesitar´
ıamos resolver el polinomio caracter´
ıstico.
Este surge a partir de la igualaci´n a cero del determinante de
o
la matriz de operadores del sistema.
Det [G (D)] = (D + αϕ) (D + βl) + αbβk = 0
Igualamos el determinante a cero, ya que de esta forma, el sis-
tema seria compatible determinado. Cuando un sistema es com-
patible determinado, el numero de soluciones linealmente inde-
pendientes que surgen de su resoluci´n igualan al grado de las
o
ecuaciones caracter´
ısticas.
Sacamos las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica que queda:
ıces o a
D1 ; D2 = − (αϕ + βl) ± (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
9

10. Estas ra´ ıces, dependiendo del valor de los par´metros, pueden
a
ser reales: iguales o diferentes, o complejas conjugadas.
En este trabajo se analizar´ el caso de ra´ Reales Diferentes:
a ıces
(αϕ + βl)2 > 4αβ (lϕ + bk)
D1 = D2
D1 = − (αϕ + βl) + (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
D2 = − (αϕ + βl) − (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
Para sacar la soluci´n homog´nea, supongo que esta va a tener
o e
D1 ∗
la forma: G (di ) donde i=1,2
G∗ (di ) es la adjunta de la matriz G(D) reemplazando D por
i
D
a b
G D1 =
c d
Con:
a = −βl + αϕ + (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
b = αb
c = −βk
d = −αϕ + βl + (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
10

11. Para sacar las constantes de multiplicaci´n, es necesario averi-
o
guar una columna de la matriz adjunta de G (D1 ) que sea com-
binaci´n lineal de las dem´s columnas. Para ello calculamos la
o a
adjunta de la segunda fila, obteniendo un vector columna:
 
−αb
1
GD =   = k1
k1
−βl + αϕ + (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
Repito el proceso para la segunda raiz:
e f
G D2 =
g h
Con:
e = −βl + αϕ − (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
f = αb
g = −βk
h = −αϕ − βl + (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
 
−αb
2
GD =   = k2
k2
−βl + αϕ − (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk) /2
Entonces,la soluci´n homog´nea va a tener la forma:
o e
˙
Y D1 t D2 t
= C1 k1 + C 2 k2 (5)
r˙
11

12. Para la soluci´n complementaria, que vendria a ser un poli-
o
nomio de grado cero, propongo un vector B tal que G (D) .B = c,
siendo esta una constante. Por lo tanto, para averiguar el valor
de c: B = G (0)−1 .c.
αϕ αb
[G (0)] =
−βk βl
βl −αb
Adj [G (0)] =
βk αϕ
det [G (0)] = αϕβl + αbβk
G (0)−1 = 1/ [det (0) .Adj (0)]
l/ [α (ϕl + bk)] −b/ [β (ϕl + bk)]
G (0)−1 = =W
k/ [α (ϕl + bk)] ϕ/ [β (ϕl + bk)]
lA/ (ϕl + bk) + Ls b/ (ϕl + bk) Y∗
B = W.c = = (6)
kA/ (ϕl + bk) − Ls ϕ/ (ϕl + bk) r∗
La forma de la soluci´n general estar´ dada por la suma de la
o a
parte homog´nea con la complementaria, es decir, sumamos las
e
ecuaciones (4) y (5):
Y (t) D1 .t D2 .t
= C1 .k1 . + C2 .k2 . +B
r (t)
Para averiguar las constantes de integracion, C1 y C2 , saco los
valores de las variables en el momento cero y lo igualo al valor
12

13. inicial dado, esto determina la soluci´n particular:
o
Y (0) = Y0
r (0) = r0
(r0 − r∗ )
C1 =
(αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk)
(Y0 − Y ∗ )(−βl + αϕ − (αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk))
+
2αb (αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk)
−(r0 − r∗ )
C2 =
(αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk)
(Y0 − Y ∗ )(−βl + αϕ + (αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk))
−
2αb (αϕ + bl)2 − αβ(ϕl + bk)
Equilibrio de largo plazo
El equilibrio de largo plazo esta dado por aquel valor de las
variables que no sufre modificaciones a trav´s del tiempo. Para
e
averiguarlo, igualo el sistema de ecuaciones diferenciales de (3) a
cero, as´ obtengo los valores de Y y r que no var´ en el tiempo:
ı ıa
˙
Y = α {A − Y [1 − c(1 − t) − a] − bY } = 0
r = β [kY − lr − Ls ] = 0
˙
Esto es un sistema de ecuaciones lineal de 2 ecuaciones con 2
variables (Y,r) que se puede resolver mediante cualquier m´todo
e
conocido de algebra. Operando quedar´ ıa:
13

14. (kA − Ls ϕ)
r∗ =
lϕ + bk)
(lA + Ls b)
Y∗ =
lϕ + bk)
Estos valores coinciden con los de la constante de la soluci´no
complementaria, por lo que para el an´lisis anterior de la soluci´n
a o
particular ya fueron reemplazados dichos valores para simplificar
la ecuaci´n resultante.
o
Est´tica Comparada
a
En esta secci´n se analizar´ c´mo cambiar´ el valor del equili-
o a o a
brio de una variable end´gena ante un cambio (infinitesimal) en
o
el valor de alguna de las variables end´genas o par´metros del
o a
modelo.
El equilibrio del modelo esta dado por:
(kA − Ls ϕ)
r∗ =
lϕ + bk)
(lA + Ls b)
Y∗ =
lϕ + bk)
Mediante el uso del diferencial parcial se determina c´mo afec-
o
ta a las variables end´genas en equilibrio ante un cambio in-
o
finitesimal en alguna de las variables ex´genas o par´metros, se
o a
analiza el signo de dichos diferenciales y se explican las impli-
cancias econ´micas del resultado:
o
Recordatorio de simbolos:
A: A = C − cT + I + G ≥ 0: est´ conformado por el conjunto
a
de variable ex´genas del mercado de bienes.
o
14

15. ϕ: ϕ = 1 − c(1 − t) − a ∈ (0, 1): es el multiplicador keynesiano.
k: es la sensibilidad de la demanda transaccional de dinero.
k ≥ 0.
l: es la sensibilidad de la demanda especulativa de dinero.
l ≥ 0.
b: es el par´metro de racionalidad de los inversores, muestra
a
c´mo se adaptan los planes de inversi´n ante un cambio en la
o o
tasa de inter´s. b ∈ (0, 1).
e
∂Y ∗ l
∂A
= (lϕ+bk) > 0: Ante un cambio positivo en el conjunto de
variables ex´genas del mercado de bienes, el nivel de producto
o
de equilibrio ajusta positivamente.
∂Y ∗ b
∂Ls
= (lϕ+bk) > 0: Si aumenta la oferta monetaria, el producto
de equilibrio tambi´n aumentar´.
e a
∂r∗ k
∂A
= (lϕ+bk) > 0: Ante una variaci´n de A, la tasa de inter´s
o e
de equilibrio var´ en el mismo sentido.
ıa
∂r∗ −l
∂Ls
= (lϕ+bk) < 0: Si var´ la oferta de dinero, la tasa de inter´s
ıa e
de equilibrio se cambiar´ en el sentido contrario.
a
∂Y ∗ −b(lA+Ls b)
∂k
= (lϕ+bk)2
<0
∂Y ∗ Abk
∂l
= (lϕ+bk)2
>0
∂Y ∗ −l(lA+Ls b)
∂ϕ
= (lϕ+bk)2
<0
∂Y ∗ Ls lϕ
∂b
= (lϕ+bk)2
>0
∂r∗ Alϕ
∂k
= (lϕ+bk)2
>0
∂r∗ −Ls (2lϕ+bk)
∂l
= (lϕ+bk)2
<0
∂r∗ −l(ka−Ls l)
∂ϕ
= (lϕ+bk)2
No podemos determinar el signo.
15

16. ∂r∗ −k(ka−Ls l)
∂b
= (lϕ+bk)2
No podemos determinar el signo.
16

17. Diagrama de fase y
an´lisis de estabilidad
a
En esta secci´n se har´ un an´lisis grafico-cuantiativo del mo-
o a a
delo.
El gr´fico
a
Primero buscamos las trayectorias de soluci´n, de donde sur-
o
gir´n dos rectas que representen la relaci´n grafica entre los dos
a o
mercados en cuesti´n. Estas rectas se obtienen igualando a cero
o
las derivadas, tal como se hizo en la secci´n anterior para encon-
o
trar el equilibrio de largo plazo.
Para poder graficar, se tomar´ a la tasa de inter´s como la
a e
variable dependiente, por lo tanto, las ecuaciones quedar´n des-
a
pejadas respecto a dicha variable. Se obtendr´ una ecuaci´n a
a o
partir del mercado de bienes (IS) y otra a partir del mercado de
dinero (LM).
∂r ϕ A
−→ ris = − Y +
∂Y Y =0
˙ b b
∂r k Ls
−→ rlm = Y −
∂Y r=0
˙ l l
Comportamiento de los mercados
La IS representa el comportamiento del mercado de bienes.
Tiene una pendiente negativa, ya que este mercado ajusta por
medio de una relaci´n inversa entre la tasa de inter´s y el nivel
o e
de producto.
17

18. 18

19. Tiene la siguiente direcci´n de movimiento (pertinente para
o
aquellos valores fuera del equilibrio ):
˙
∂Y
= −αϕ ≤ 0
∂Y
Esto implica que a medida que se incrementa uniformemente
el nivel de producto (hay un movimiento de izquierda a derecha),
˙
Y , decrece uniformemente. Este dato es muy importante para la
confecci´n del diagrama de fase dado que indica el conjunto de
o
flechas direccionales.
La LM muestra el comportamiento del mercado de bonos y
dinero. Tiene una pendiente positiva. La direcci´n de movimiento
o
est´ dada por:
a
∂r
˙
= −βl ≤ 0
∂r
Esto indica que a medida que la tasa de inter´s aumenta (se
e
mueve de abajo hacia arriba), r disminuye uniformemente.
˙
El equilibrio intertemporal se encuentra en aquel punto donde
las dos rectas de demarcaci´n se cruzan, y determina los valores
o
de r e Y estacionarios.
Estabilidad del equilibrio
Por ultimo se analizar´ si el equilibrio intertemporal (Y ∗ , r∗ ) es
´ a
din´micamente estable, o sea, si [Y (0), r(0)] → (Y ∗ , r∗ ) cuando
a
t → ∞.
Para ello es pertinente el an´lisis de las raices caracter´
a ısticas
de la parte homog´nea, ya que la expresi´n exponencial de la
e o
soluci´n es lo que nos va a determinar la convergencia hacia el
o
punto de equilibrio.
19

20. 20

21. Para que el quilibrio sea din´micamente estable, ambas raices
a
D1,2 t
deben ser negativas, tal que, → 0.
En letras, esto implicaria que:
(αϕ + βl) (αϕ + βl)2 − 4αβ (lϕ + bk)
≥
2 2
Esto concuerda con las condiciones iniciales impuestas sobre
los par´metros.
a
Por lo tanto, se puede concluir que el IS-LM es un modelo
din´micamente estable con respecto al tiempo tomado como va-
a
riable continiua.
21

22. Conclusiones
El objetivo de este trabajo es desarrollar un modelo macroe-
con´mico b´sico mediante los conceptos matem´ticos incluidos
o a a
en el programa de la materia ”Matem´tica para Economistas”de
a
la UBA. En el desarrollo del presente cap´ ıtulo se ha intentado in-
troducir al lector en la aplicaci´n de las herramientas matem´ticas
o a
m´s utilizadas para el an´lisis econ´mico.
a a o
A partir del an´lisis encarado se pueden disparar varias inquie-
a
tudes, no solo de car´cter aplicativo del modelo a un caso real,
a
sino que tambi´n discusiones epistemol´gicas e incluso debates
e o
sobre historia econ´mica. Las derivaciones a partir de este mode-
o
lo son muy variadas y permiten el debate en diferentes ambitos
´
de la econom´ En este trabajo se ha focalizado en el desarro-
ıa.
llo matem´tico en tiempo continuo del modelo, entendiendo que
a
el lector podr´ investigar las implicancias epistemol´gicas, los
ıa o
debates te´ricos que se desencadenaron a partir de este mode-
o
lo, la aplicaci´n del mismo a la econom´ real y los diferentes
o ıa
desarrollo matem´ticos, por su cuenta.
a
22

23. Lecturas Futuras
Barro, R. J., R. Febrero, et al. (1997). Macroeconom´
ıa,
McGraw-Hill Interamericana de Espa˜a.
n
Blanchard, O. and D. P´rez (1999). Macroeconom´ Teor´
e ıa, ıa
y Pol´
ıtica, Rio de Janeiro: Campus.
Hicks, J. (1980). “IS-LM: An Explanation.” Journal of Post
Keynesian Economics: 139-154.
King, R. G. (2000). “The new IS-LM model: language, log-
ic, and limits.” Federal Reserve Bank of Richmond Eco-
nomic Quarterly 86(3): 45-103.
Romer, D. (2000). “Keynesian macroeconomics without
the LM curve.” The Journal of Economic Perspectives 14(2):
149-169.
23

24. Bibliograf´
ıa
Chiang, A.C. M´todos Fundamentales de Econom´a Matem´tica.
e ı a
Cuarta edici´n. Ed Mcgraw-Hill, 2006.
o
Bernardello, A., Bianco, M., Casparri, M., Garc´ Fronti,
ıa
J., Olivera de Marzana, S. Matem´tica para economistas
a
con Excel y Matlab. Editorial Omicron 2010.
Gandolfo, G. M´todos y modelos matem´ticos de la din´mi-
e a a
ca econ´mica. Editoriales Tecno, Madrid, 1976.
o
Romer, D. Advanced Macroeconomics. Mc Graw Hill, Boston,
2001.
Hicks, J.R. A contribution to the theory of the trade cycle.
London University Press, Clarendon Press, Londres, 1950.
Blanchard, O. y P´rez Enri, D. Macroeconom´a: Teor´a
e ı ı
y pol´tica econ´mica con aplicaciones a Am´rica Latina.
ı o e
Prentice Hall Iberia, Buenos Aires, 2000.
Blanchard, .O y Fisher, S. Lectures on macroeconomics.
The MIT Press, Cambridge, Masachusets, 1993.
Roca, R. Macroeconom´a avanzada: Modelos IS-LM din´mi-
ı a
co para una econom´a cerrada. Universidad Nacional Ma-
ı
yor de San Marcos, Lima, 2005.
24