ANALISIS MARGINAL

1. UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA 1 - NEGOCIOS
* ANÁLISIS MARGINAL
* ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
* DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Departamento de Ciencias

2. Situación problemática
¿Cómo se explica ello?
Sabías que la elasticidad-precio de la
demanda sirve para medir la sensibilidad
o la capacidad de respuesta de un
producto ante un cambio en su precio.
Por ejemplo, en productos de primera necesidad
la demanda tiende a ser inelástica, mientras que
en productos de lujo tiende a ser elástica.

3. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
situaciones problemáticas relacionadas a la
administración y economía, aplicando el análisis
marginal, la elasticidad de la demanda y
derivada de funciones trascedentes, de forma
correcta, justificando sus resultados.

4. CONTENIDOS
1) Análisis marginal
2) Elasticidad de la demanda
3) Derivada de funciones trascendentes

5. 1. ANÁLISIS MARGINAL
• Cociente entre el costo total de
producción y cantidad total de productos
disponibles para la venta por unidad.
También llamado costo medio.
Costo Promedio
• Es el aumento del costo total que resulta
de un aumento de una cantidad de
producción.
Costo Marginal
𝐶𝑚 =
𝐶(𝑞)
𝑞
𝐶𝑀 = 𝐶(𝑞)
′

6. • Medida de dinero que obtiene una
empresa por la venta de productos o
servicios. Se calcula como el monto total
de los ingresos dividido por el número de
unidades vendidas.
Ingreso
Promedio
• Es el cambio en el ingreso total cuando
aumenta la producción y venta en una
unidad
Ingreso Marginal
𝐼𝑚 =
𝐼(𝑞)
𝑞
𝐼𝑀 = 𝐼(𝑞)
′

7. Solución:
Un fabricante estima que la función de demanda, para cierto producto, esta dada cuando el
precio se fija en p(x) = (75 - x)/3 (miles de soles por unidad), donde “x” es el número de unidades
demandadas. Encuentre el ingreso marginal para 9 unidades de producción e interprete.
3° Analizar la situación problemática, y extraer datos:
1° Aplicar la estrategia de resolución:
4° Responder e interpretar: Si la demanda aumenta en una unidad, es decir, de 9 a
10 unidades entonces el ingreso aumenta en 19 mil soles.
2° Plantear nuestras ecuaciones: 𝐼’(𝑥) = 25 −
2𝑥
3
𝐼’(9) = 25 −
2(9)
3
= 25 – 6 = 19
𝐼 = (
75 − 𝑥
3
)x → 𝐼 =
75𝑥 − 𝑥2
3
Ejemplo 1:
La función demanda es p(x) =
75−𝑥
3
Donde x es el número de unidades y p es el precio por unidad
Sea I el ingreso total → I= (precio)(cantidad)

8. Solución:
1° Analizar la situación problemática, y extraer datos:
2° Hallamos el ingreso I = p . x:
𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒑 = 𝟏, 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟕𝒙 − 𝟒
𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝑰 𝒙 = 𝟏, 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟕𝒙 − 𝟒 . (𝐱)
𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝑰 𝒙 = 𝟏, 𝟗𝒙𝟑
+ 𝟐𝟕𝒙𝟐
− 𝟒𝒙
3° Calculamos la utilidad U = I - C:
4° Determinamos la utilidad marginal
para 𝑥 = 100:
𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑼 𝒙 = 𝟏, 𝟗𝒙𝟑
+ 𝟐𝟕𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 − (𝟎, 𝟗𝒙𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙)
𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑼 𝒙 = 𝟏, 𝟗𝒙𝟑
+ 𝟐𝟔, 𝟎𝟏𝒙𝟐
− 𝟏𝟓𝒙
𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑼´
𝒙 = 𝟓, 𝟕𝒙𝟐
+ 𝟓𝟐, 𝟎𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒎𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑼´
𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟐𝟐
𝑳𝒂 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒊𝒄𝒊𝒄𝒍𝒆𝒕𝒂 𝑵°𝟏𝟎𝟏 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒆 𝒖𝒏 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 $ 𝟔𝟐, 𝟐𝟐
Ejemplo 2:

9. 2. LA ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
✓ El precio ejerce una influencia sobre la cantidad
demandada del bien. Cuando varía el precio del bien,
los consumidores reaccionan demandando una
cantidad diferente.
✓ Al respecto, debemos determinar si una variación del
precio afecta mucho o poco a la cantidad demandada.
En ocasiones, los consumidores apenas cambian su
cantidad demandada ante un aumento del precio; en
otras, por el contrario, el cambio es muy considerable.
✓ Una manera de medir la intensidad en la relación entre la
variación del precio y la variación de la cantidad
demandada es mediante la Elasticidad de la demanda

10. La elasticidad de la demanda se simboliza con la letra “e” y se calcula:
Δ %: Variación porcentual
V : Valor Final
f
Vi : Valor Inicial
100%

% = 
 i
V
 V f −Vi 

11. La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda
por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula:
.
dq p
E
dp q
= −
q es la cantidad demandada
p precio unitario

12. 2.1 TIPOS DE ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
Esto ocurre cuando la variación
porcentual en la cantidad es
menor que la variación
porcentual en el precio
Esto ocurre cuando la variación
porcentual en la cantidad es
mayor que la variación
porcentual en el precio
Esto ocurre cuando la variación
porcentual en la cantidad es
igual que la variación
porcentual en el precio

13. 2.1 TIPOS DE ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
Esto ocurre cuando la variación en el
precio, no afecta la demanda.
Esto ocurre cuando a pesar que el
precio se mantiene, la demanda varia.

14. Determina la elasticidad de la demanda cuando el precio del bien X es de $5.
Solución:
Ejemplo:

15. 3. DERIVADA DE FUNCIONES
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
)
(
)
(
'
)
( a
Ln
a
x
f
a
x
f x
x

=

=
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 5𝑥
Solución: 𝑓′(𝑥) = 5𝑥 ⋅ 𝐿𝑛(5) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1,61(5𝑥)
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 12𝑥
Solución: 𝑓′(𝑥) = 12𝑥 ⋅ 𝐿𝑛(12) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 2,48(12𝑥)
3.1 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL EN BASE a
Derivar
Derivar

16. 3.2 REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL EN BASE a
)
(
'
)
(
)
(
'
)
( )
(
)
(
x
g
a
Ln
a
x
f
a
x
f x
g
x
g


=

=
Ejemplo: Derivar 𝑓(𝑥) = (2,8)7𝑥3+4𝑥
Solución:
𝑓′ 𝑥 = 2, 87𝑥3+4𝑥 ⋅ 𝐿𝑛 2,8 ⋅ 7𝑥3 + 4𝑥 ′
𝑓′ 𝑥 = 2, 87𝑥3+4𝑥 ⋅ 1,03 ⋅ 21𝑥2 + 4
𝑓′(𝑥) = 2, 87𝑥3+4𝑥. 21,63𝑥2 + 4,12

17. 3.3 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e
Ejemplo:
)
(
'
)
(
'
)
( )
(
)
(
x
g
e
x
f
e
x
f
Si x
g
x
g

=

=
Derivar
Solución:
𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥2−7
𝑓′(𝑥) = 𝑒5𝑥2−7 ⋅ (5𝑥2 − 7)′
𝑓′(𝑥) = 𝑒5𝑥2−7 ⋅ (10𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 10𝑥 ⋅ 𝑒5𝑥2−7
x
x
e
x
f
e
x
f
Si =

= )
(
'
)
(

18. 3.4 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA EN BASE a
)
(
)
(
'
)
(
a
Ln
x
x
f
x
Log
x
f
Si a

=

=
1
Ejemplo: Derivar 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔3𝑥
Solución: 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ⋅ 𝐿𝑛(3)
=
1
𝑥 ⋅ (1,1)
=
10
11𝑥

19. 3.5 REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
LOGARÍTMICA EN BASE a
Ejemplo: Derivar 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔5(2𝑥 + 1)
Solución: 𝑓′(𝑥) =
2
(2𝑥 + 1) ⋅ (1,61)
=
200
161(2𝑥 + 1)
)
(
)
(
)
(
'
)
(
'
)]
(
[
)
(
a
Ln
x
g
x
g
x
f
x
g
Log
x
f a

=

=

20. 3.6 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO (BASE e)
)
(
)
(
'
)
(
'
)]
(
[
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
Ln
x
f
Si =

=
x
x
f
x
Ln
x
f
Si
1
=

= )
(
'
)
(
)
(
Solución:
Derivar 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(5𝑥4 − 7)
𝑓′(𝑥) =
20𝑥3
5𝑥4 − 7
Ejemplo:

21. Situación problemática
Un fabricante de disco duros externos TOSHIBA
determina que se venderán x unidades cuando el precio
sea:
p(x) = 112 – xLnx3
dólares por unidad.
a) Encuentre las funciones ingreso e ingreso marginal
b) Utilice el análisis marginal para estimar el ingreso
obtenido al producir la quinta unidad ¿Cuál es el
ingreso real por producir la quinta unidad?
Solución: (a)
a) La función ingreso I(x) se define como:
Ingreso = (precio por unidad)(cantidad de productos vendidos)
𝐼(𝑥) = (112 – 𝑥𝐿𝑛𝑥3)𝑥  𝐼(𝑥) = 112𝑥 – 𝑥2𝐿𝑛𝑥3
 𝐼(𝑥) = 112𝑥 – 3𝑥2𝐿𝑛𝑥

22. Ingreso Marginal = (Ingreso total)’
Ingreso Marginal = I’(x) = (112x)’ – (3x2Lnx)’
I’(x) = 112 – [(3x2)’Lnx) + 3x2(Lnx)’]
I’(x) = 112 – [ 6xLnx + 3x2(1/x)]
I’(x) = 112 – 6xLnx – 3x
I’(x) = 112 – 3x – 6xLnx
Situación problemática

23. Solución: (b)
b) El ingreso que se obtiene al producir la 5ta unidad: 𝑥 = 4
𝐼’(𝑥) = 112 – 3𝑥 – 6𝑥𝐿𝑛𝑥
I’(4) = 112 – 3(4) – 6(4)𝐿𝑛(4)  66,73
 El ingreso adicional al producir y vender la 5ta unidad
sería de $66,73
El ingreso real por producir y vender la 5ta unidad: I(5) – I(4)
I(5) – I(4) = [ 112(5) – 3(5)2Ln(5) ] - [ 112(4) – 3(4)2Ln(4) ]
I(5) – I(4) = 439,29 – 381,46 = 57,83
 El ingreso real al producir y vender la 5ta unidad sería de $57,83
Situación problemática

24. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
N° Código Referencia
1 515
ROGA
2012
Rogawski, J. (2012). Cálculo una variable. 2𝑎 𝑒𝑑 . España: Reverté
2 515
THOM
2015
Thomas, G. (2015). Cálculo de una variable. 13𝑎 𝑒𝑑 . México: Pearson

25. METACOGNICIÓN
⮚ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
⮚ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?
⮚ ¿Qué estrategias hemos empleado para el desarrollo del tema?
⮚ ¿En qué situaciones, relacionadas a nuestra carrera, hemos aplicado
la idea de costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal,
elasticidad de demanda?

26. GRACIAS