Intervalos de confianzaEjercicios resueltos17/04/2012Universidad tecnológica de torreón
1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo seobtendrán el95% de los resultados?SOLUCIÓN:Por ...
2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue unadistribuciónN(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que...
3. Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normalN(176,12), calcularla Pr(S≤10) para una muestra de t...
4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso deun individuosigue una distribución N( 71,7 ), ...
5. Calcular la probabilidad de que la media µ se encuentre entre X ± 3S parapoblacionesnormales y n = 5.SOLUCIÓN:A partir ...
6. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de pde que unrecién nacido sea niño si en una...
7. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.001 para el peso exactomediante los resultados obtenidos con 10 bascu...
8. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para 2  mediante las desviaciones que se producen en un proceso de...
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  1. 1. Intervalos de confianzaEjercicios resueltos17/04/2012Universidad tecnológica de torreón
  2. 2. 1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo seobtendrán el95% de los resultados?SOLUCIÓN:Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)
  3. 3. 2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue unadistribuciónN(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5,se obtengamedio menor que 7, Pr ( X ≤ 7).SOLUCIÓN:A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normalN(µ=7.5,σ=0.3), tenemos que:Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X ≤7) =0.0001
  4. 4. 3. Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normalN(176,12), calcularla Pr(S≤10) para una muestra de tamaño 8.SOLUCIÓN:Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normalN(µ,σ), por elteorema de Fisher tenemos que:En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normalN(176,12), elestadístico sigue una distribución , y por tantoDonde la variable T sigue una distribución
  5. 5. 4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso deun individuosigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4individuossupere los 300Kg.SOLUCIÓN:Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribuciónnormal N(µ = 71,σ =7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,
  6. 6. 5. Calcular la probabilidad de que la media µ se encuentre entre X ± 3S parapoblacionesnormales y n = 5.SOLUCIÓN:A partir del teorema de Fisher, en el muestreo sobre poblaciones normales,tenemos que losestadísticos son independientes, siendo la distribución del estadístico (t de Student de n -1 grados de libertad). En particular, siconsideramosuna muestra aleatoria de tamaño n = 5, la probabilidad de que la media estéentre X ± 3S vienedada por:donde T tiene una distribución t4, y por tanto:
  7. 7. 6. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de pde que unrecién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67niños.SOLUCIÓN:Teniendo en cuenta que la proporción de varones recién nacidos puedemodelizarse por unavariable Bernoulli de parámetro p (probabilidad de que un recién nacido seavarón), el intervalode confianza al nivel α = 0.05 viene dado por:y por tanto, el intervalo ()632725.0,0456706.0 contendrá a la proporción devarones nacidoscon una probabilidad del 95%.
  8. 8. 7. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.001 para el peso exactomediante los resultados obtenidos con 10 basculas:7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11, 7.12, 7.03, 7.05SOLUCIÓN:Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una distribuciónnormalcon media el peso exacto, estamos interesados en encontrar un intervalo deconfianza quecontenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.001 ydesviación típicadesconocida, esta determinado por:Donde n= y utilizando la tabla de ladistribución t de Student . Por tanto, el intervalo deconfianza al nivel 0.001 es:Y representa que la media del peso estará en dicho intervalo con unaprobabilidad de acierto del99.9%.
  9. 9. 8. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para 2 mediante las desviaciones que se producen en un proceso defabricación cuya distribución es a partir de la muestra .1.2, -2.2, -3.1, -0.2, 0.5, 0.6, -2.1, 2.2, 1.3SOLUCIÓN:Sabiendo que el proceso de fabricación sigue una distribución normal de mediaconocida un intervalo de confianza para la varianza al nivel α = 0.05 es elsiguiente:donde n = 9, y utilizando la tabla de la distribución 2 , se tiene , es decir,Es el intervalo que contendrá con un 95% de acierto las desviaciones que seproducen en elProceso de fabricación.

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