1. Fracciones Algebraicas 1
Simplificaci´ n de Fracciones Algebraicas
o
Una fracci´ n algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´, a es una fracci´ n
o ı b o
algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´ n a (dividendo) entre la expresi´ n b (divisor).
o o
El dividendo a se llama numerador de la fracci´ n algebraica, y el divisor b, denominador. El numer-
o
ador y el denominador son los t´ rminos de la fracci´ n.
e o
Principio Fundamental de las Fracciones
Si cada miembro de una fracci´ n se multiplica o se divide por una misma cantidad
o
diferente de cero, el valor de la fracci´ n no se altera.
o
a an a a÷n
b = bn b = b÷n
Los Signos
En una fracci´ n algebraica hay que considerar tres signos: el signo de la fracci´ n, el
o o
signo del numerador y el signo del denominador.
−a
a
b = −b = − −a = − −b
b
a −a
b = a
−b = −a
b
En una fracci´ n se puede cambiar simult´ neamente los signos del numerador y del
o a
denominador sin alterar el valor de la fracci´ n. Sin embargo, si se cambia el signo del
o
numerador o el signo del denominador, se debe cambiar entonces el signo que precede a
la fracci´ n.
o
Para cambiar el signo al numerador o al denominador -cuando el numerador y/o el
denominador de la fracci´ n es un polinomio- hay que cambiar el signo, a cada uno de los
o
t´ rminos del polinomio.
e
Ejemplo 1 Ejemplo 2
a−5 5−a a−5 a−5 5−a
= =− =−
b−4 4−b b−4 4−b b−4
www.matebrunca.com Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez
a a

2. Fracciones Algebraicas 2
Ejemplo 3
a−b −a + b b−a
= =
x−y −x + y y−x
x−2
De acuerdo con lo anterior la fracci´ n
o x−3 puede escribirse de los cuatro modos sigu-
ientes:
x−2 2−x 2−x x−2
= =− =−
x−3 3−x x−3 3−x
Nota 1
´
Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero par de
u
factores sin cambiar el signo de la fracci´ n:
o
ab (−a)b (−a)b a(−b) (−a)(−b) ab (−a)(−b)
= = = = = =
xy (−x)y x(−y) x(−y) xy (−x)(−y) (−x)(−y)
Nota 2
´
Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero impar
u
de factores cambiando el signo de la fracci´ n:
o
ab (−a)b ab (−a)(−b) (−a)b
=− =− =− =−
xy xy x(−y) (−x)y (−x)(−y)
Fracciones Equivalentes
e ´
Tanto en aritm´ tica como en algebra una primera fracci´ n es equivalente a otra, si la
o
segunda fracci´ n puede obtenerse a partir de la primera multiplicando o dividiendo tanto
o
el numerador como el denominador de la primera fracci´ n por el mismo n´ mero o expre-
o u
si´ n algebraica.
o
Simplificar una expresi´ n algebraica es convertirla es una fracci´ n equivalente cuyos
o o
t´ rminos no tengan factores comunes. La fracci´ n resultante se conoce como fracci´ n ir-
e o o
reductible y entonces la fracci´ n est´ reducida a su m´ s simple expresi´ n o a su m´nima
o a a o ı
expresi´ n.
o

3. Fracciones Algebraicas 3
Reducci´ n a la M´nima Expresi´ n
o ı o
Reducir una fracci´ n algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
o
Para reducir una fracci´ n a su m´nima expresi´ n, se factoriza primero el numerador y
o ı o
el denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que les sea com´ n.
u
o a ´
La aplicaci´ n pr´ ctica de esto ultimo se conoce como la Ley de Cancelaci´ n.
o
Recordar que: ((nunca se cancelan t´ rminos del numerador y del denominador; solo
e
se cancelan factores)).
Ley de Cancelaci´ n
o
an a n a
= =
bn b n b
Errores Comunes
a+b a+b b
= =
a+c a+c c
a3 + b a3 + b
= = a2 + b
a a
2 − 5x 2− 5x 2 − x
= =
5a 5a a
(a − 3b)(4 + 7b) (4 + 7b)
=
(a − 3b)4 − 7b 4 − 7b

4. Fracciones Algebraicas 4
Ejercicios
Instrucciones: reducir a la m´nima expresi´ n los monomios siguientes.
ı o
18 9x4
1. 48 16. 3x3
39a 48a3 b5
2. 65m 17. 16a2 b2
a2 250x3 y 3 z 7
3. a 18. 25x5 y 4 z 7
8x
4. 34a5 b5 c5
2y 19. 85a7 b9 x4
3xy
5. 9x2 23a9 x7
20. 46a4 x4 y 2
12ab
6. 16ab2 25x8
21. 125x9 y
12x2 y 3
7. 21x3 y 2 21mn3 x6
22. 28m4 n2 x2
a2
8. ab 23. 42a2 c3 n
26a4 c5 m
5a
9. 35a2 b 17x3 y 4 z 6
24. 34x7 y 8 z 10
x2 y 2
10. x3 y 3 30x6 y 2
25. 45a3 x4 z 3
ax3
11. 4x5 y 26. a5 b 7
3a8 b9 c
6m2 n3 21a8 b10 c12
12. 3m 27. 63a4 bc2
9x2 y 3 54x9 y 11 z 13
13. 24a2 x3 y 4 28. 63x10 y 12 z 15
6xy 2 z 4 15a12 b15 c20
14. 9x2 y 2 z 3 29. 75a11 b16 c22
a2 b 2 75a7 m5
15. a4 b
30. 100a3 m12 n3

5. Fracciones Algebraicas 5
Ejercicios
Instrucciones: simplificar a la m´nima expresi´ n los polinomios siguientes.
ı o
2m+8 2 4a2 −9b2 2a+3b
1. 5m+20 R/ 5 19. R/ 2a−3b
(2a−3b)2
m2 m ax+bx−cx
2. m 2 −mn R/ m−n 20. ay+by−cy R/ x
y
3. ax+bx
R/ a+b 21. m2 −mn m
cx c m2 −2mn+n2
R/ m−n
2a2 b b m2 −2mn+n2
4. 2a 2 x+2a3 R/ a+x 22. m2 −n2
R/ m−n
m+n
6ab 1 9x2 +6x+1 3x+1
5. 6a2 b−6ab2
R/ a−b 23. R/ 3x−1
9x2 −1
m 1 a2 b2 c2 +2abc+1
6. m−m2
R/ 1−m 24. R/ abc+1
a2 b2 c2 +abc abc
m−2
7. 2−m R/−1 25. 1+a+a2 1
R/ 3a2
3a 2 +3a3 +3a4
a−b
8. b−a R/−1 26. m2 −5m+4
R/ m−1
m2 −3m−4 m+1
m−n
9. R/−1 3m2 −5m+2
n−m 27. 2m2 −5m+3
R/ 3m−2
2m−3
xy 1
10. 3x2 y−3xy 2
R/ 3(x+y) 3x2 −4x−15
28. x2 −5x+6
R/ 3x+5
x−2
10a2 b3 c 2
b c
11. R/ 8(a−1) x2 −y 2
80(a3 b−a2 b) 29. x 2 +2xy+y 2 R/ x−y
x+y
x2 y−xy 2
12. 9x−9y R/ xy 30.
9
a2 −7a+12
R/ a−4
a2 −8a+15 a−5
12m+12n 1
13. R/ 2 31. a2 −3a−4 a+1
24x+24y
a2 −8a+16
R/ a−1
2ax+4bx
14. 3ay+6by R/ 2x 32.
3y
x2 +x−6
R/ x−2
x2 +5x+6 x+2
9a2 b+12ab2 3a+4b a2 +4a+3 a+3
15. 9a3 b−15ab3
R/ 3a2−5b2 33. R/ a−2
a2 −a−2
25rx−35ry
16. 35sx−49sy R/ 5r 34.
7s
2a2 +9a+4
R/ a+4
2a2 +11a+5 a+5
4a2 −9b2 6x2 +5x−6
17. 2a+3b R/2a − 3b 35. 2x2 +5x+3
R/ 3x−2
x+1
x2 −4 3x2 y+15xy 3xy
18. 5ax+10a R/ x−2 36.
5a x2 −25
R/ x−5

6. Fracciones Algebraicas 6
a2 −4ab+4b2 a−2b ax+ay−az a
37. a3 −8b3
R/ a2+2ab+4b2 54. x2 −y 2 +2yz−z 2
R/ x−y+z
x3 +4x2 −21x x+7 m+n−2(m+n)2 +(m+n)3 2
38. x3 −9x
R/ x+3 55. (m+n)3
R/ (m+n−1)
(m+n)2
a3 +b3 2 −ab+b2
39. a2 −b2
R/ a a−b 56. c2 −b2 +2ab−a2
R/ c+b−a
a2 −b2 +2bc−c2 a+b−c
a3 +1 1 ax+ay−cx−cy
40. a4 −a3 +a−1
R/ a−1 57. R/ a−c
ax+ay+cx+cy a+c
u2 −v 2 1
41. u4 −v 4
R/ (u−v)(u+v) 58. 2ac−2ad−3bc+3bd
R/ 2a−3b
2ac−2ad+3bc−3bd 2a+3b
x3 −y 3 2 +xy+y 2
42. x2 −y 2
R/ x x+y 59. mn−2m+3n−6
mn−2m−3n+6
m+3
R/ m−3
2 −bc+c2 )(b2 +bc+c2 )
b6 −c6 3an−4a−6bn+8b a−2b
43. b4 −c4
R/ (b b2 +c2
60. 6n2 −5n−4
R/ 2n+1
m6 −n6 2 2) x−3 1
44. m9 −n9
R/ (m+n)(m 3−mn+n
m6 +m n3 +n6
61. (2x−5)x−3 R/ 2x+1
m2 +n2 a−4 1
45. m4 −n4
R/ (m−n)(m+n) 62.
1
(3a−11)a−4 R/ 3a+1
(m−n)2 y−3 1
46. R/ m−n 63. (5y−14)y−3 R/ 5y+1
m2 −n2 m+n
x3 +y 3 2 2 b−4 1
47. −xy+y
R/ x (x+y)2 64. (4b−15)b−4 R/ 4b+1
(x+y)3
(a−x)3 2 x+1 1
48. a3 −x3
R/ a2(a−x) 2 65.
+ax+x
x(x+1)+(x+2)x+1 R/ 2x+1
m+1 1 2b+1 1
49. (m+1)2 +m+1
R/ m+2 66. 3(2b+1)+2(3b+2)2b+1 R/ 2(3b+2)
(m+n)2 −3(m+n) (a+1)(2a−3)
50. (m+n)2
R/ m+n−3 67.
m+n −4(a+1)+(2a+3)a+1 R/1
(m3 +n3 )(m2 +n2 ) 2 −mn+n2 (y+3)(2y−1)
51. m4 −n4
R/ m m−n
68. 2(y+3)+(2y+7)+3 R/ 2y−1
4
(m2 +n2 )2 m +n 2 2 m−am+n−an m+n
52. m4 −n4
R/ (m−n)(m+n) 69. 1−3a+3a2 −a3
R/ (a−1)2
x2 −4x+4 a2 −a3 −1+a
53. −x2 +5x−6
R/− x−2 70.
x−3 a2 +1−a3 −a
R/ (a+1)(a−1)
a2 +1

7. Bibliograf´a
ı
[1] Baldor, Aurelio. Algebra Elemental.
[2] Hawkes, Herbert y otros. Second-Year Algebra.
[3] Rees, Paul K. y Fred W. Sparks. Algebra.
[4] Schultze, Arthur y William Breckenridge. Elementary and Intermediate Algebra.