1. Fracciones Algebraicas 1
Simplificaci´ n de Fracciones Algebraicas
o
Una fracci´ n algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´, a es una fracci´ n
o ı b o
algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´ n a (dividendo) entre la expresi´ n b (divisor).
o o
El dividendo a se llama numerador de la fracci´ n algebraica, y el divisor b, denominador. El numer-
o
ador y el denominador son los t´ rminos de la fracci´ n.
e o
Principio Fundamental de las Fracciones
Si cada miembro de una fracci´ n se multiplica o se divide por una misma cantidad
o
diferente de cero, el valor de la fracci´ n no se altera.
o
a an a a÷n
b = bn b = b÷n
Los Signos
En una fracci´ n algebraica hay que considerar tres signos: el signo de la fracci´ n, el
o o
signo del numerador y el signo del denominador.
−a
a
b = −b = − −a = − −b
b
a −a
b = a
−b = −a
b
En una fracci´ n se puede cambiar simult´ neamente los signos del numerador y del
o a
denominador sin alterar el valor de la fracci´ n. Sin embargo, si se cambia el signo del
o
numerador o el signo del denominador, se debe cambiar entonces el signo que precede a
la fracci´ n.
o
Para cambiar el signo al numerador o al denominador -cuando el numerador y/o el
denominador de la fracci´ n es un polinomio- hay que cambiar el signo, a cada uno de los
o
t´ rminos del polinomio.
e
Ejemplo 1 Ejemplo 2
a−5 5−a a−5 a−5 5−a
= =− =−
b−4 4−b b−4 4−b b−4
www.matebrunca.com Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez
a a
2. Fracciones Algebraicas 2
Ejemplo 3
a−b −a + b b−a
= =
x−y −x + y y−x
x−2
De acuerdo con lo anterior la fracci´ n
o x−3 puede escribirse de los cuatro modos sigu-
ientes:
x−2 2−x 2−x x−2
= =− =−
x−3 3−x x−3 3−x
Nota 1
´
Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero par de
u
factores sin cambiar el signo de la fracci´ n:
o
ab (−a)b (−a)b a(−b) (−a)(−b) ab (−a)(−b)
= = = = = =
xy (−x)y x(−y) x(−y) xy (−x)(−y) (−x)(−y)
Nota 2
´
Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero impar
u
de factores cambiando el signo de la fracci´ n:
o
ab (−a)b ab (−a)(−b) (−a)b
=− =− =− =−
xy xy x(−y) (−x)y (−x)(−y)
Fracciones Equivalentes
e ´
Tanto en aritm´ tica como en algebra una primera fracci´ n es equivalente a otra, si la
o
segunda fracci´ n puede obtenerse a partir de la primera multiplicando o dividiendo tanto
o
el numerador como el denominador de la primera fracci´ n por el mismo n´ mero o expre-
o u
si´ n algebraica.
o
Simplificar una expresi´ n algebraica es convertirla es una fracci´ n equivalente cuyos
o o
t´ rminos no tengan factores comunes. La fracci´ n resultante se conoce como fracci´ n ir-
e o o
reductible y entonces la fracci´ n est´ reducida a su m´ s simple expresi´ n o a su m´nima
o a a o ı
expresi´ n.
o
3. Fracciones Algebraicas 3
Reducci´ n a la M´nima Expresi´ n
o ı o
Reducir una fracci´ n algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
o
Para reducir una fracci´ n a su m´nima expresi´ n, se factoriza primero el numerador y
o ı o
el denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que les sea com´ n.
u
o a ´
La aplicaci´ n pr´ ctica de esto ultimo se conoce como la Ley de Cancelaci´ n.
o
Recordar que: ((nunca se cancelan t´ rminos del numerador y del denominador; solo
e
se cancelan factores)).
Ley de Cancelaci´ n
o
an a n a
= =
bn b n b
Errores Comunes
a+b a+b b
= =
a+c a+c c
a3 + b a3 + b
= = a2 + b
a a
2 − 5x 2− 5x 2 − x
= =
5a 5a a
(a − 3b)(4 + 7b) (4 + 7b)
=
(a − 3b)4 − 7b 4 − 7b
4. Fracciones Algebraicas 4
Ejercicios
Instrucciones: reducir a la m´nima expresi´ n los monomios siguientes.
ı o
18 9x4
1. 48 16. 3x3
39a 48a3 b5
2. 65m 17. 16a2 b2
a2 250x3 y 3 z 7
3. a 18. 25x5 y 4 z 7
8x
4. 34a5 b5 c5
2y 19. 85a7 b9 x4
3xy
5. 9x2 23a9 x7
20. 46a4 x4 y 2
12ab
6. 16ab2 25x8
21. 125x9 y
12x2 y 3
7. 21x3 y 2 21mn3 x6
22. 28m4 n2 x2
a2
8. ab 23. 42a2 c3 n
26a4 c5 m
5a
9. 35a2 b 17x3 y 4 z 6
24. 34x7 y 8 z 10
x2 y 2
10. x3 y 3 30x6 y 2
25. 45a3 x4 z 3
ax3
11. 4x5 y 26. a5 b 7
3a8 b9 c
6m2 n3 21a8 b10 c12
12. 3m 27. 63a4 bc2
9x2 y 3 54x9 y 11 z 13
13. 24a2 x3 y 4 28. 63x10 y 12 z 15
6xy 2 z 4 15a12 b15 c20
14. 9x2 y 2 z 3 29. 75a11 b16 c22
a2 b 2 75a7 m5
15. a4 b
30. 100a3 m12 n3
7. Bibliograf´a
ı
[1] Baldor, Aurelio. Algebra Elemental.
[2] Hawkes, Herbert y otros. Second-Year Algebra.
[3] Rees, Paul K. y Fred W. Sparks. Algebra.
[4] Schultze, Arthur y William Breckenridge. Elementary and Intermediate Algebra.