Métodos de Optimizacion

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
Realizado por:
Br. David Enrique Valdiviezo
C.I: 21.326.272
Profesor:
Ing. Rodríguez Diógenes
Métodos de Optimización
Porlamar, Junio 2014

2. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada
respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.
Las derivadas parciales de primer y segundo orden son implementadas para
hallar el punto critico de funciones vectoriales y geométricas

3. EJERCICIO DE EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Determinar los extremos de la función:
Solución
Primero, de acuerdo a los pasos del procedimiento, necesitamos encontrar las derivadas parciales
de la función de primer y segundo orden con respecto a las variables 𝑥 𝑦 𝑦.
Comenzamos primer hallando la derivada parcial de primer orden con respecto a 𝑥 𝑦 𝑦:
Derivada parcial con respecto a 𝑥 :
𝑓 𝑥 = 8𝑥 − 2𝑦 − 2
Derivada parcial con respecto a 𝑦:
𝑓 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑥 − 10
𝑓(𝑥 , 𝑦) = 4𝑥2 + 2𝑦2 − 2𝑦𝑥 − 10𝑦 − 2𝑥

4. Una vez obtenidas las derivadas parciales de primer orden, procedemos a hallar las derivadas parciales de segundo orden:
𝑓 𝑥𝑥 = 8
𝑓 𝑥𝑦 = −2
𝑓 𝑦𝑦 = 4
Para encontrar los valores de 𝑥 y 𝑦 igualaremos a 0 los valores de la ecuación de primer orden:
𝑓 𝑥 = 8𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0
𝑓 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑥 − 10 = 0
lo que nos deja un sistema de ecuación por resorber por el método de reducción quedando de la siguiente manera :
𝑓 𝑥 = 8𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0 } 8𝑥 − 2𝑦 = 2
𝑓 𝑦 = 4𝑦 − 2𝑥 − 10 = 0 } −2𝑥 + 4𝑦 = 10

5. Para resolver la ecuación por método de reducción podemos multiplicar la segunda ecuación por 4 para anular las 𝑥 o
la primera ecuación por 2 para anular las 𝑦 en este caso lo multiplicaremos por 4:
8𝑥 − 2𝑦 = 2
−8𝑥 + 16𝑦 = 40
------------------------
14𝑦 = 42
𝑦 =
42
14
𝑦 = 3
Ahora para hallar el valor de la 𝑥 debemos reemplazar el valor de la 𝑦 en cualquiera de las ecuaciones:
− 2𝑥 + 4 3 = 10
− 2𝑥 + 12 = 10
− 2𝑥 = 10 − 12
− 2𝑥 = −2
𝑥 =
−2
−2
𝑥 = 1

6. El punto crítico lo encontramos en (1,3). Una vez ubicado el punto crítico, es necesario determinar su naturaleza
para ello debemos aplicar la prueba D en las derivadas parciales de segundo orden:
D = 𝑓 𝑥𝑥 . 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2
D = 8 . 4 − −2 2
D = 32 – 4
D = 28 > 0
Ahora sustituimos los valores que se encontraron para 𝑥 y 𝑦 en la función original:
𝑓 1,3 = 4 (1)2
+ 2 (3)2
+ -2 (1) (3) -10 (3) – 2 (1)
= 4 + 18 - 6 - 30 - 2
= 22 – 38
= -16
Lo que significa que la función 𝑓(𝑥 , 𝑦) = 4𝑥2
+ 2𝑦2
− 2𝑦𝑥 − 10𝑦 − 2𝑥 tiene un valor mínimo relativo en el punto
(1 , 3) y ese valor mínimo es -16.

7. METODO DE LAGRANGE
El método Langrangiano son unas técnicas o métodos que se utilizan para trabajar con
las funciones de varias variables que necesitas maximizar o que necesitamos minimizar, las
cuales poseen una serie de condiciones o restricciones, es un método que reduce los
problemas restringidos en las variables “n” es uno sin ningún tipo de restricciones de “n + 1”
variables en las cuales las ecuaciones se pueden resolver. Por este método se pudo crear
una nueva forma o variable que era desconocida, que se llamó El multiplicador de Lagrange,
nombre que se le coloca en honor a su creador al piamontés Giuseppe Lodovico Lagrangia
(Joseph Louis Lagrange).

8. EJERCICIO DE METODO DE LAGRANGE
Determinar el punto P(x, y, z) más cercano al origen en el plano 2x + y - z - 5 = 0.
Solución
El problema nos pide determinar el valor mínimo de la función
𝑜𝑝
= 2 (𝑥 − 0)2
+ (𝑦 − 0)2
+ (𝑧 − 0 )2
= 2𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Sujeta a la restricción
2x + y - z - 5 = 0.
Como tiene un valor mínimo siempre que la función
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
Tenga un valor mínimo, podemos resolver el problema si encontramos el valor mínimo de la función 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
sujeta a la restricción 2x + y - z - 5 = 0 nuestro problema se reduce al de determinar los puntos (x, y) donde la
función

9. Nuestro problema se reduce a determinar los puntos (x, y) donde la función
ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 𝑥2
+ 𝑦2
+ (2𝑥 + 𝑦 − 5)2
Teniendo los valores mínimos. Como el dominio de ℎ es todo el plano 𝑥𝑦 el criterio de la primera derivada nos
dice que cualquier mínimo que ℎ pudiera tener, debe ocurrir en puntos donde
ℎ𝑥 = 2𝑥 + 2 2𝑥 + 𝑦 − 5 2 = 0, ℎ𝑦 = 2𝑦 + 2 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0,
Esto nos conduce a
10𝑥 + 4𝑦 = 20, 4𝑥 + 4𝑦 = 10,
y la solución es
𝑥 =
5
3
𝑦 =
5
6

10. Podemos aplicar un argumento geométrico junto con el criterio de la segunda derivada para mostrar que estos
valores minimizan ℎ. La coordenada 𝑧 del punto correspondiente en el plano 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 5 es
𝑧 = 2
5
3
+
5
6
− 5 = −
5
6
por tanto el punto que buscamos es
Punto mas cercano 𝑃
5
3
,
5
6
−
5
6
La distancia de 𝑝 al origen es 5 / 26 ͌ 2.04.

11. MATRIZ JACOBIANA
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de
primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de
esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un
punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función
multivariable.

12. EJERCICIO DE MATRIZ JACOBIANA
Calcular la matriz jacobiana de 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = ( 𝑥1
2
. 𝑥2 . 𝑥3 , 2𝑥2 − 𝑥3
3
)
Solución
Como en nuestro caso tenemos una función la matriz jacobiana será de orden 2x3, y sus elementos
vienen dados por:
Observando que en nuestro caso los componentes de 𝑓 son :
𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1
2
. 𝑥2 . 𝑥3 y 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 2𝑥2 − 𝑥3
3

13. Calculamos ya los elementos de la matriz jacobiana
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
= 2𝑥1 . 𝑥2 . 𝑥3 (pues 𝑥2 𝑦 𝑥3 actúan como constante)
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
= 𝑥1
2
. 𝑥3 (pues 𝑥1 𝑦 𝑥3 actúan como constante)
𝜕𝑓1
𝜕𝑥3
= 𝑥1
2
. 𝑥2 (pues 𝑥2 𝑦 𝑥3 actúan como constante)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
= 0 (pues 𝑥1 no aparece en la expresión de 𝑓2)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
= 2 (pues al derivar respecto 𝑥1 𝑦 𝑥3 actúa como constante)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥3
= 2𝑥3
2
(pues al derivar respecto 𝑥3 𝑦 𝑥2 actúa como constante)
De este modo la matriz jacobiana de nuestra función es

14. CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Las condiciones de optimalidad de Karush Kuhn Tucker (KKT) permiten
abordar la resolución de modelos de Programación No Lineal que
consideran tanto restricciones de igualdad como desigualdad. En
términos comparativos las condiciones de KKT son más generales que el
Método de Lagrange el cual se puede aplicar a problemas no lineales que
consideran exclusivamente restricciones de igualdad.

15. EJERCICIO DE CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de igualdad.
Maximizar : K = 5x2 – 80x + y2 – 32y
Sujeto a : x + y ≥ 30
Paso 1: Multiplicando la función objetivo por –1 y estableciendo el Lagrangiano,
C = -5x2 + 80x - y2 + 32y + λ (x + y – 30)
Paso 2: Donde las condiciones de Kuhn-Tucker son,
Cx = -10x + 80 + λ ≤ 0 Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0 Cλ= x + y – 30 ≥ 0
x ≥ 0 y ≥ 0 λ≥ 0
x( -10x + 80 + λ) = 0 y(-2y + 32 + λ) = 0 λ( x + y – 30) = 0

16. Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker,
(a) Si λ= 0 x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:
Si λ= 0 entonces de x ( -10x + 80 + λ) = 0 se tiene que:
x =8, y = 16
Sin embargo, estos resultados violan Cλ= x + y – 30 ≥ 0 ya que: 8 + 6 – 30 ≤ 0.
(b) Si λ > 0, x, y > 0 todas las primeras derivadas parciales son estrictas igualdades:

17. Donde:
∣A∣= 12 ∣A1∣= 109 ∣A2∣= 252 ∣A3∣= 440
Y se obtiene que:
x = 9 y = 21 λ= 36.67
Los cuales dan la solución óptima, ya que ninguna condición de Kuhn-Tucker es
violada.