Este documento presenta un problema de valor de frontera bidimensional para una losa apoyada en sus cuatro extremos. Se describe la ecuación diferencial que rige el problema y las condiciones de contorno. Se propone una función de aproximación y se aplica el método de Galerkin para determinar los parámetros que optimizan la solución mediante la minimización de un residuo.

1. BACH. RONALD J. PURCA
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
1
Ejercicio Resuelto 1.2
Como ejemplo para el caso bidimensional se tiene una losa simplemente apoyada en sus cuatro extremos, como se muestra en la
figura.
La ecuación diferencial que gobierna el problema es
4
x
w x y( )
d
d
4
2
2
x
2
y
w x y( )
d
d
2
d
d
2

4
y
w x y( )
d
d
4

q
D
 0=
Cuyas condiciones de contorno para la restricción de simplemente apoyado son:
w 0 a( ) 0= w 0 b( ) 0=
2
x
w x y( )
d
d
2
0=
2
y
w x y( )
d
d
2
0=
Como función de aproximación se utilizara:
 x y( )
1
2
m 1
2
n
a m n( ) si n
m  x
a






 si n
n  y
b















 a
Esta función satisface las condiciones de borde
 x y( ) substitutex 0= 0
2
x
 x y( )
d
d
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )
m 
a






2
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















=
 x y( ) substitutex a= 0
 x y( ) substitutey 0= 0
2
y
 x y( )
d
d
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )
n 
b






2
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















=
 x y( ) substitutey b= 0

2. BACH. RONALD J. PURCA
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
2
1
2
m 1
2
n
a m n( )
m 
a






2
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















substit ute x 0= 0
1
2
m 1
2
n
a m n( )
m 
a






2
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















substit ute x a= 0 Se cumple de igual forma para "y"
Sustituyendo la función de aproximación en la ecuación diferencial se obtiene la función de residuo
R x y( )
4
x
 x y( )
d
d
4
2
2
x
2
y
 x y( )
d
d
2
d
d
2

4
y
 x y( )
d
d
4

q
D
  Luego desarrollando por términos se tiene:
4
x
 x y( )
d
d
4
1
2
m 1
2
n
am n
m 
a






4
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















=
4
y
 x y( )
d
d
4
1
2
m 1
2
n
am n
n 
b






4
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















=
2
x
2
y
 x y( )
d
d
2
d
d
2
1
2
m 1
2
n
am n
m 
a






2

n 
b






2
 si n
m  x
a






 si n
n  y
b















=
R x y( )
1
2
m 1
2
n
am n 
4

m
2
a
2
n
2
b
2









2
si n
m  x
a






 si n
n  y
b


















q
D
 a

3. BACH. RONALD J. PURCA
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
3
Debe determinarse los parámetros am n que optimicen en cierto sentido la solución. Para lo cual se empleara el Método de Galerkin
 x y( ) si n
 x
a






si n
 y
b






 a1 1 si n
 x
a






si n
2  y
b






 a1 2 si n
2  x
a






si n
 y
b






 a2 1 si n
2  x
a






si n
2  y
b






 a2 2
N1 x y( ) si n
 x
a






si n
 y
b







a
N3 x y( ) si n
2 x
a






si n
 y
b







a
N2 x y( ) si n
 x
a






si n
2 y
b







a
N4 x y( ) si n
2 x
a






si n
2 y
b







a
Luego desarrollamos la formulación Integral para el método de Galerkin
0
a
y
0
b
xR x( ) N1 x( )



d



d

4
a b
1
a
2
1
b
2







2
 a1 1
4
4 a b q

2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N3 x( )



d



d
2
4
a b
4
a
2
1
b
2







2
 a2 1
4
4 a b q

2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N2 x( )



d



d
2
4
a b
1
a
2
4
b
2







2
 a1 2
4
4 a b q

2
D
= 0=
0
a
y
0
b
xR x( ) N4 x( )



d



d 
4
a b
4
a
2
4
b
2







2
 a2 2
4 a b q

2
D
= 0=
De donde se obtiene para cada coeficiente
a1 1
16 q

6
D
1
a
2
1
b
2







2

= a1 2
8 q

6
D
1
a
2
4
b
2







2

= a2 1
8 q

6
D
4
a
2
1
b
2







2

= a2 2
4 q

6
D
4
a
2
4
b
2







2

=

4. BACH. RONALD J. PURCA
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
4
Luego la función de aproximación es:
 x y( )
16 q si n
 x
a






si n
 y
b















6
D
1
a
2
1
b
2







2

8 q si n
 x
a






si n
2  y
b















6
D
1
a
2
4
b
2







2


8 q si n
2  x
a






si n
 y
b















6
D
4
a
2
1
b
2







2


4 q si n
2  x
a






si n
2  y
b















6
D
4
a
2
4
b
2







2
=
Para fines de comparación, se realiza el calculo de la deflexión en el centro de una losa rectangular de concreto armado de 6x8m con 0.15m de espesor,
sujeta a una carga constante distribuida en toda el área de 1.2 tonf/m2, luego se tiene:
Propiedades de la Losa Propiedades Geométrica Cargas
E 150000 210 2.17 4 10
6
 a 8 b 6 t 0.15 q 1.2
 0.25
D
E t
3

12 1 
2
 
652.112 Rigidez de flexión de la losa
De modo que para la deflexión de la losa se tiene la función de aproximación
 x y( )
16 q si n
 x
a






si n
 y
b















6
D
1
a
2
1
b
2







2

8 q si n
 x
a






si n
2  y
b















6
D
1
a
2
4
b
2







2


8 q si n
2  x
a






si n
 y
b















6
D
4
a
2
1
b
2







2


4 q si n
2  x
a






si n
2  y
b















6
D
4
a
2
4
b
2







2














Deflexion en el centroide de la losa  4 3( ) 0.016 m

5. BACH. RONALD J. PURCA
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA BIDIMENSIONAL
5
Comparación de Resultados con el Modelo de elementos Finitos realizado en SAP2000

Para el gráfico del ejercicio solo se muestra una cuarta
parte de la solución
El "error" obtenido con la función de aproximación fue:
e
0.01581 0.016( )
0.01581

Modelo de Elementos Finito de una losa bidireccional
e 0.012 (1.2% de error)