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Intervalos de confianza para la media y la proporción.

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Inferencia estadística. Estimación por intervalos.

  1. 1. Matemáticas Aplicadas II Distribuciones Muestrales www.colegioslaude.com
  2. 2. DISTRIBUCIONES. Población y muestra Población: es el conjunto de todos los elementos que poseen una determinada característica. En general supondremos que la población es muy grande. Muestra : es un subconjunto de la población. Mue s treo : es el proceso mediante el cual se escoge una muestra de la población. Inferencia estadística : proceso a través del cual se obtienen conclusiones sobre una población, a través de la información que proporciona una muestra. La confianza de tal extrapolación dependerá de la representatividad de la muestra . Razones para usar muestras: economía, observación destructiva, etc. <ul><li>La representatividad de la muestra depende de: </li></ul><ul><ul><li>a) Del mecanismo de selección : que ha de garantizar que no hay un elemento de la población con más probabilidad que otro de entrar en la muestra. Si no, sería una muestra sesgada. </li></ul></ul><ul><ul><li>b) Del tamaño de la muestra : si el mecanismo de selección es correcto, cuanto más grande sea la muestra mayor será la probabilidad de que se parezca a la población. </li></ul></ul>
  3. 3. DISTRIBUCIONES. Tipos de muestreo Muestreo aleatorio Muestreo no aleatorio Ejemplo. Tres empresas están investigando el nivel adquisitivo de las personas que acuden a un determinado concierto de música clásica. Para ello, cada una elige una muestra de la siguiente manera: 1.- 50 primeras personas que entren en el auditorio. 2.- 50 personas elegidas al azar de las que se ubican en la platea baja. 3.- 50 personas elegidas al azar de todas las asistentes. Ventajas y desventajas
  4. 4. DISTRIBUCIONES. Tipos de muestreo Muestreo aleatorio simple : todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra. Muestreo aleatorio estratificado : la población se divide en grupos homogéneos que llamamos estratos. La proporción de cada estrato en la población se mantiene en la muestra. Cada uno de los estrato de la muestra se obtiene por muestreo aleatorio simple sobre el estrato correspondiente de la población. Estrato 1 Estrato 2 Población Muestra
  5. 5. DISTRIBUCIONES. Tipos de muestreo Muestreo aleatorio sistemático : se selecciona al azar un elemento de la población y a partir de él se seleccionan de k en k los elementos siguientes . Muestreo por conglomerados y áreas : se divide la población en distintas secciones o conglomerados. Se eligen al azar unas pocas de estas secciones y se toman todos los elementos de las secciones elegidas para formar la muestra. Para dividir la población en secciones podemos usar las provincias .
  6. 6. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) <ul><li>Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media  y desviación típica  , y se designa por N (  ,  ) si se cumplen las siguientes condiciones: </li></ul><ul><li>La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x  (–  , +  ). </li></ul><ul><li>La función de densidad es simétrica respecto de la media. </li></ul>De las infinitas distribuciones N (  ,  ) tiene especial interés la distribución N (0, 1) , es decir, aquella que tiene por media el valor cero (  = 0) y por desviación típica la unidad (  = 1). Se le designa como variable Z . Como la media es cero, la función es simétrica respecto del eje Y. 0 a
  7. 7. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Tipificación Con el proceso de tipificación logramos transformar una variable en otra variable que tiene media  = 0 y desviación típica  = 1. Proceso: Con el cambio de variable Z = ( X - µ)/  Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1) Se dice que Z es la variable tipo o tipificada. Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la tabla N (0 , 1) Ejemplo.- Sea X una N (5 , 0,4). Calcular P ( X ≤ 5,8) Variable tipificada: Z = ( X – 5)/ 0,4 Entonces: P ( X ≤ 5,8)= P [( X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P ( Z ≤ 2) Buscamos en la tabla N (0 , 1): P ( Z ≤ 2) =0,9772
  8. 8. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Cálculo de probabilidades mediante tablas de N(0, 1) Caso I: P(z ≤ a) P(Z  1,23) = 0,8907 0 1,23
  9. 9. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Cálculo de probabilidades mediante tablas de N(0, 1) Caso II: P(z ≤ -a) P(Z  –1,23) = 1 – P(Z  1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093 0 1,23 – 1,23
  10. 10. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Cálculo de probabilidades mediante tablas de N(0, 1) Caso III: P(a ≤ z ≤ a) P(1,01  Z  1,23) = P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = = 0,8907– 0,8438 = 0,1469 0 1,23 1,01
  11. 11. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Cálculo de probabilidades mediante tablas de N(0, 1) Caso IV: P(-a ≤ z ≤ -a) P(–1,23  Z  –1,01) = = P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,1469 P(1,01  Z  1,23) = 0 1,23 1,01 – 1,23 – 1,01
  12. 12. DISTRIBUCIONES. Distribución Normal N(µ,  ) Cálculo de probabilidades mediante tablas de N(0, 1) Caso V: P(-a ≤ z ≤ a) P(–1,23  Z  1,01) = = P(Z  1,01) – (1 – P(Z  1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345 P(Z  1,01) – P(Z  –1,23) = 0 1,01 – 1,23
  13. 13. DISTRIBUCIONES. Teorema del central del Límite <ul><li>Muchos fenómenos pueden considerarse como suma de efectos parciales independientes, pudiendo ocurrir que aunque los efectos no se ajusten a la normal, el fenómeno resultante tienda asintóticamente a la normal. Una simulación con ordenador nos puede ayudar a entender esto: </li></ul>1000 lanzamientos de un dado 1000 medias de dos dados 1000 medias de 4 dados 1000 medias de 10 dados
  14. 14. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC <ul><li>Distribución de las medias muestrales </li></ul><ul><li>TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE </li></ul><ul><li>Dada una población que tiene de media  y de desviación típica  , la distribución de las medias muestrales de tamaño n, X, tiene las siguientes características: </li></ul><ul><li>La media es  </li></ul><ul><li>La desviación típica es </li></ul><ul><li>Si el tamaño del a muestra n es grande (n≥30), la distribución de la variable X se aproxima a una distribución normal, </li></ul><ul><li>* Si n<30 pero la población sigue una distribución normal, las medias muestrales también se ajustan a una normal. </li></ul>
  15. 15. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC Ejercicio resuelto La estatura de los socios de un club tiene de media  =175 cm y desviación típica  =10 cm. Si se elige una muestra de 64 socios, ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea menor o igual a 173 cm? Pasos: <ul><li>Definimos la variable aleatoria: </li></ul><ul><li>X= medias muestrales </li></ul><ul><li>Escribimos el tamaño de la muestra y su posible aproximación a la normal: </li></ul><ul><li>n = 64, al ser mayor de 30 se aproxima a una normal: </li></ul><ul><li>Hallamos la media, la desviación típica y la normal correspondiente: </li></ul><ul><li>Escribimos la pregunta del problema en forma de probabilidad y resolvemos: </li></ul>
  16. 16. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC Intervalo de confianza para la media El intervalo de confianza para la media  de la población con un nivel de confianza 1-  es: donde Z  /2 es un valor que en una N(0, 1) cumple que: El nivel de confianza 1-  es la probabilidad que se tiene de que la media de la población pertenezca al intervalo. El nivel de significación  es la probabilidad de que la media de la población no esté en dicho intervalo
  17. 17. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC Ejercicio resuelto En una muestra de 100 jóvenes se ha obtenido que el peso medio es de 69 Kg. Sabiendo que la desviación típica de la población es 8 Kg, halla el intervalo de confianza con un nivel de significación de 0,05, para la media de la población. Pasos: <ul><li>Se tiene que  pertenece al intervalo (67.43;70.57) con una probabilidad del 95% </li></ul><ul><li>Como  =0,05 tenemos que 1-  = 0,95, por lo tanto z  /2 = 1,96 </li></ul><ul><li>Buscando en la tabla de la N(0,1), el valor 0,975 obtenemos que z  /2 = 1,96 </li></ul><ul><li>Escribimos el intervalo: </li></ul>
  18. 18. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC Error y tamaño de la muestra Podemos calcular el error máximo admisible y el tamaño de la muestra: ERROR MÁXIMO ADMISIBLE TAMAÑO DE LA MUESTRA
  19. 19. DISTRIBUCIONES. Estimación de la media por IC Ejercicio resuelto Se quieren estimar las centas diarias que se hacen en una tienda con un nivel de confianza del 90% y cuyo error máximo de la estimación sea de 200€. Calcula el número mínimo de días que se deben contabilizar las ventas, sabiendo que la desviación típica es de 500€. Pasos: <ul><li>Se deben contabilizar las ventas durante 17 días </li></ul><ul><li>Como 1-  = 0,90, sabemos que z  /2 = 1,65 </li></ul><ul><li>Buscando en la tabla de la N(0,1), el valor 0,90 obtenemos que z  /2 = 1,65 </li></ul><ul><li>Calculamos el tamaño de la muestra: </li></ul>
  20. 20. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción <ul><li>Distribución de las proporciones muestrales </li></ul><ul><li>La distribución de las proporciones muestrales de tamaño n, que se representan por , tiene las siguientes características: </li></ul><ul><li>La media es p </li></ul><ul><li>La desviación típica es </li></ul><ul><li>Si el tamaño del a muestra n es grande (n≥30), la distribución de la variable X se aproxima a una distribución normal, </li></ul>
  21. 21. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción Ejercicio resuelto El 3% de las piezas fabricadas por una máquina es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 50 piezas, el 2% o menos sea defectuoso? Pasos: <ul><li>Escribimos el tamaño de la muestra y su posible aproximación a la normal: </li></ul><ul><li>n = 50, al ser mayor de 30 se aproxima a una normal: </li></ul><ul><li>Hallamos la proporción, la desviación típica y la normal correspondiente: </li></ul><ul><li>Escribimos la pregunta del problema en forma de probabilidad y resolvemos: </li></ul><ul><li>Definimos la variable aleatoria: </li></ul><ul><li>= proporciones muestrales </li></ul>
  22. 22. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción Intervalo de confianza para la proporción El intervalo de confianza para la proporción p, con un nivel de confianza 1-  es: donde Z  /2 es un valor que en una N(0, 1) cumple que: El nivel de confianza 1-  es la probabilidad que se tiene de que la proporción de la población pertenezca al intervalo. El nivel de significación  es la probabilidad de que la proporción de la población no esté en dicho intervalo
  23. 23. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción Ejercicio resuelto Se ha tomado una muestra de 40 olivos, y se han contabilizado 18 de ellos con repilo (enfermedad producida por un hongo). Halla el intervalo de confianza para la proporción de olivos con repilo en la población, con nivel de confianza de 99%. Pasos: <ul><li>La proporción estará entre el 25% y el 65%, con una probabilidad del 99% </li></ul><ul><li>Como 1-  = 0,99, tenemos que z  /2 = 2,58 </li></ul><ul><li>Buscando en la tabla de la N(0,1), el valor 0,995 obtenemos que z  /2 = 2,58 </li></ul><ul><li>Escribimos el intervalo: </li></ul>
  24. 24. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción Error y tamaño de la muestra Podemos calcular el error máximo admisible y el tamaño de la muestra: ERROR MÁXIMO ADMISIBLE TAMAÑO DE LA MUESTRA
  25. 25. DISTRIBUCIONES. Estimación de la proporción Ejercicio resuelto Se sabe por una encuesta piloto que la proporción de usuarios que valora el uso de un modelo de ordenador es 0,45. Calcula el tamaño de la muestra que ha de tomarse para estimar con un nivel de confianza del 95% y que el error máximo sea 0,5% la proporción de usuarios que valoran positivamente el ordenador. Pasos: <ul><li>Se deben entrevistar a 38032 personas </li></ul><ul><li>Como 1-  = 0,95, sabemos que z  /2 = 1,96 </li></ul><ul><li>Buscando en la tabla de la N(0,1), el valor 0,95 obtenemos que z  /2 = 1,96 </li></ul><ul><li>Calculamos el tamaño de la muestra: </li></ul>
  26. 26. dibutic.blogspot.com Recursos TIC para Matemáticas Matemáticas Aplicadas a las CCSS II

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