2. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados
observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se
produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda
unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados
aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable
que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta
incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y
tratar con situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando aplicamos las
técnicas estadísticas, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la
probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las
conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante
papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es
necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el
objetivo de esta clase.
3. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Comenzamos con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados
de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con los enfoques más
tradicionales para asignar probabilidades. Posteriormente, se introduce el
sentido de la probabilidad en términos de experimentos aleatorios, espacio
muestral, sucesos, etc. , llegando a la formalización axiomática de la
probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la
probabilidad condicionada.
Objetivos de la clase
Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida cotidiana en las que
interviene el azar.
Comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus
peculiaridades, ventajas e inconvenientes.
Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a
problemas concretos.
4. 1.1. CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Se entiende por Probabilidad , la
posibilidad de que ocurra un
evento en particular. También, se
puede considerar como la frecuencia
relativa con que ocurre un evento.
Se denomina: “VEHÍCULO
DE LA ESTADÍSTICA”
5. 1.2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
La Probabilidad de un evento puede obtenerse de tres
formas o en base a tres enfoques:
Clásica a priori
Clásica empírica
Subjetiva
6. 1.2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica a priori:
Se refiere al caso mas sencillo de probabilidad. En este caso, la
probabilidad de éxito se basa en el conocimiento a priori o previo del
proceso involucrado.
N(A)
P(A) = -----
N(S)
Donde:
N(A): resultados elementales posibles son favorables en el evento A
N(S): posibles resultados en el espacio muestral
7. EJEMPLO 1
Si lanzamos una moneda y definimos el evento “que
salga sello”
¿Cuál es la probabilidad de que salga sello?
Sea A = {Salga sello}
1
P(A) = ----- = 0.5
2
8. EJEMPLO-2
Si se lanza un dado una vez, el número de eventos posibles
1,2,3,4,5,6
¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 3?
Sea A = {Salga un 3}
1
P(A) = ----- = 0.17
6
9. 1.2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica empírica:
Se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se
le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de
realizar el experimento un cierto número de veces.
Número de Observaciones n(A)
P(A) = --------------- = -----
Tamaño de la muestra n
10. 1.2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
EJEMPLO-3
En una encuesta hecha con una muestra de 250 hogares, se encontró que 100
tenían aire acondicionado,
¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado en forma
aleatoria tenga aire acondicionado ?
Sea A = {Hogar tenga aire acondicionado}
100
P(A) = ----- = 0.4
250
11. 1.2. ENFOQUE DE PROBABILIDAD
Probabilidad Subjetiva:
Se refiere a la posibilidad de la ocurrencia de un evento que es
asignada por una persona en particular en base a
su experiencia o conocimiento.
12. 1.2. ENFOQUE DE PROBABILIDAD
Probabilidad Subjetiva:
Es la posibilidad de que suceda un evento específico, asignada por una
persona, basándose en cualquier información disponible.
Si existe poca o ninguna posibilidad en la cual se pueda basar una
probabilidad, puede determinarse en forma subjetiva
EJEMPLO-4:
• Estimar la probabilidad de que el equipo de fútbol nacional gane un partido
en una copa internacional.
• Estimar la probabilidad de obtener una A en un examen
• Estimar la probabilidad de que el valor de las acciones en la bolsa aumente
13. 1.3. EXPRESIÓN DE LA PROBABILIDAD
Sea P la letra empleada para designar la probabilidad de un
evento A , entonces:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A en una
sola observación o experimento
En general, 0 ≤ P(A) ≤ 1 , es decir,
• El valor mas pequeño de una probabilidad es 0, el cual indica que
un evento es imposible.
• El mayor valor es 1, el cual indica que el evento ocurrirá.
IMPORTANTE: NINGUNA PROBABILIDAD
PUEDE SER MENOR QUE 0 NI MAYOR A 1.
14. PRÁCTICA:
Para cada una de las siguientes situaciones, indicar
cuál de los enfoques: clásico, a priori y subjetivo
sería más útil para determinar el valor de
probabilidad adecuado.
1. La probabilidad de que de un embarque de 20
repuestos, un repuesto escogido al azar resulte
defectuoso.
2. La probabilidad de que las acciones de una empresa
X suban 50 puntos durante los próximos seis meses.
3. La probabilidad de que una persona escogida al
azar entre las que entran a un almacén haga una
compra.
4. La probabilidad de que al lanzar un dado salga un
uno o un seis.
15. 1.4. INDEPENDENCIA DE SUCESOS O EVENTOS
Dados dos eventos A y B, se dice que son:
•Independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de
un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia
del otro
•Dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de
ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.
Cuando dos eventos son dependientes , se emplea el
concepto de probabilidad condicional, P (A/B) (probabilidad
de A dado B).
Ejemplo:
•Los resultados de lanzar al aire dos veces sucesivamente
una moneda no cargada se consideran eventos
independientes porque el resultado del primer lanzamiento
no tiene efecto sobre las probabilidades respectivas de que
ocurra cara o sello en el segundo lanzamiento.
16. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.1. SUCESOS O EVENTOS
Los elementos básicos de la teoría de probabilidad son los
resultados del proceso o fenómeno que se estudia. Cada
tipo de ocurrencia posible se conoce como evento o
suceso.
Un evento simple lo describe una sola característica. A la
unión de todos los eventos posibles se le llama espacio
muestral.
Para comprender mejor el concepto de evento, se presenta
el siguiente ejemplo:
En una encuesta entre mil hogares, se pregunta a los
encuestados si planean comprar un televisor de pantalla
plana. Un año después se vuelven a encuestar los mismos
hogares para conocer si efectivamente compraron el
televisor. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
17. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.1. SUCESOS O EVENTOS
COMPORTAMIENTO EN LOS 1,000 HOGARES ENCUESTADOS
QUE COMPRARON TELEVISORES DE PANTALLA PLANA
Compró realmente
Planeó comprar SI NO TOTAL
SI 200 50 250
NO 100 650 750
Total 300 700 1,000
El espacio muestral en este caso está integrando por el
conjunto de los 1,000 hogares encuestados. Los eventos
o sucesos dentro del espacio muestral depende de cómo
se desee clasificar los resultados.
Los posibles eventos en este caso serían:
18. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.1. SUCESOS O EVENTOS
Planear comprar y no planear comprar
Compró realmente y no compró realmente
La forma en que se subdivide el espacio muestral depende
del tipo de probabilidades que se determinarán
19. 1.4. SUCESOS Y OPERACIONES
5.4.2. OPERACIONES CON EVENTOS
Los eventos dentro de un espacio muestral pueden ocurrir de
diversas maneras, por lo que es necesario conocer las
operaciones involucradas para obtener las probabilidades.
Estas operaciones son:
• Complemento:
Si A denota la ocurrencia de un evento y A´ denota la no
ocurrencia de este mismo evento, entonces:
P(A´) = 1 – P(A) o lo que es lo mismo,
P(A) + P(A´) = 1
En el ejemplo anterior se tiene el evento “planear
comprar”, el complemento sería “ no planear comprar”
20. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.2. OPERACIONES CON EVENTOS
Los eventos dentro de un espacio muestral pueden ocurrir de
diversas maneras, por lo que es necesario conocer las
operaciones involucradas para obtener las probabilidades.
Estas operaciones son:
• Complemento:
Si A denota la ocurrencia de un evento y A´ denota la no
ocurrencia de este mismo evento, entonces:
P(A´) = 1 – P(A) o lo que es lo mismo,
P(A) + P(A´) = 1
En el ejemplo anterior se tiene el evento “planear
comprar”, el complemento sería “ no planear comprar”
21. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.2. OPERACIONES CON EVENTOS
• Multiplicación:
Se utiliza cuando se quiere determinar la probabilidad de
ocurrencia conjunta de dos eventos A y B, lo que sería la
intersección de A y B. A esta probabilidad se le llama
probabilidad conjunta.
Hay dos variaciones de la regla de multiplicación, una es para
eventos independientes y otra para eventos dependientes.
Para eventos independientes , la regla de multiplicación es la
siguiente:
P(A y B) = P(A) * P(B)
Para eventos dependientes es la siguiente:
P(A y B) = P(A) * P(B/A) donde
P(B/A) es la probabilidad condicional del evento B dado
el evento A
22. 1.5. SUCESOS Y OPERACIONES
1.5.2. OPERACIONES CON EVENTOS
• Probabilidad Condicional:
Cuando se calcula la probabilidad de un evento específico A,
dada la información de otro evento B, esta probabilidad se
llama “probabilidad condicional”.
La probabilidad condicional se denota P(A/B), se lee
“probabilidad de A dado B” y se define de la siguiente
manera:
P(A/B) = P(A y B)
P(B)
23. 1.6. VARIABLES ALEATORIAS
UNIDIMENSIONALES
Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores
a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio.
En el cálculo de probabilidades estas variables pueden ser
unidimensionales o bidimensionales.
Son unidimensionales cuando se refieren a la probabilidad de un
evento simple o probabilidad marginal.
En el ejemplo de los 1,000 hogares encuestados la probabilidad de
planear comprar sería una probabilidad marginal. La variable aleatoria
en este caso depende de un solo resultado.
P(planear comprar) = total que planeó comprar
total de encuestados
= 250/1,000 = 0.25
24. 1.7. VARIABLES ALEATORIAS
BIDIMENSIONALES
Una variable aleatoria es bidimensional cuando se refiere a
fenómenos que contienen dos o más eventos, por lo tanto la
probabilidad asociada depende de estos eventos en conjunto.
A esta probabilidad se le llama probabilidad conjunta.
En el ejemplo de los 1,000 hogares encuestados la probabilidad de
planear comprar y comprar en realidad se basa en los dos eventos.
La variable aleatoria en este caso depende de dos resultados.
P(planear comprar y comprar en realidad) = total que planeó comprar y en realidad compró
total de encuestados
= 200/1,000 = 0.20
Las tablas en donde se presentan los resultados correspondientes a
la distribución conjunta de varias variables se llaman Tablas de
Contingencia.
25. EJEMPLO PRÁCTICO No. 1
La tabla siguiente contiene los datos sobre el ingreso
familiar anual de 500 familias.
INGRESO ANUAL FAMILIAR PARA 500 FAMILIAS
En base a los datos obtenidos, calcular:
Número de
Categoría Nivel de Ingreso Familias
1 Menos 8000 60
2 8,000 - 12,999 100
3 13,000 - 19,999 160
4 20,000 - 29,999 140
5 30,000 y más 40
Total 500
26. EJEMPLO PRÁCTICO No. 1
1. La probabilidad de que una familia escogida aleatoriamente tenga
un ingreso de:
a) entre 8,000 y 12,999
b) menos de 13,000
c) menos de 8,000 ó por lo menos 30,000
Observación: cada nivel de ingreso será nombrado en base a
la categoría (del 1 al 5)
Solución:
a) P (2) = 100/500 = 0.20
b) P (1 ó 2) = P(1) + P(2) porque son eventos independientes
= 60/500 + 100/500
= 160/500 = 0.32
c) P ( 1 ó 5) = P(1) + P(5)
= 60/500 + 40/500
= 100/500 = 0.20
27. EJEMPLO PRÁCTICO No. 2
La tabla de contingencia presentada a continuación describe a 200
personas que entraron a un almacén de equipos de sonido, de acuerdo
con su sexo y edad.
TABLA DE CONTINGENCIA DE LOS CLIENTES DE UN
ALMACÉN DE EQUIPOS DE SONIDO
Sexo
Edad Hombre Mujer TOTAL
Menos de 30 60 50 110
30 y más 80 10 90
Total 140 60 200
28. EJEMPLO PRÁCTICO No. 2
En base a la Tabla de contingencia dada, calcular:
1. Una Tabla de Probabilidad Conjunta
2. La probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años
3. La probabilidad de que un cliente sea mujer
4. La probabilidad de que un cliente sea hombre
5. La probabilidad de que un cliente sea hombre dado que es menor de
30 años
29. EJEMPLO PRÁCTICO No. 2
Solución:
1. Tabla de Probabilidad Conjunta:
TABLA DE PROBABILIDAD CONJUNTA DE LOS CLIENTES
DE UN ALMACÉN DE EQUIPOS DE SONIDO
Sexo
Edad Hombre Mujer TOTAL
Menos de 30 0.30 0.25 0.55
30 y más 0.40 0.05 0.45
Total 0.70 0.30 1.00
Para obtener el valor de cada probabilidad marginal se divide
cada casilla entre el total de datos (200). Ejemplo:
Casilla 1= 60/200= 0.3 Casilla 2= 50/200=0.25
30. EJEMPLO PRÁCTICO No. 2
2. Probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años
P(Cliente < 30 años) = 0.55
3. Probabilidad de que un cliente sea mujer
P (Cliente sea mujer ) = 0.30
4. Probabilidad de que un cliente sea hombre
P (Cliente sea hombre) = 0.70
5. Probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años dado que es hombre.
P ( menor de 30 / hombre) = P (menor de 30 y sea hombre)
P (sea hombre)
= 0.30/0.70
= 0.43
