Utel. Estadistica. Los derechos corresponden a universidad UTEL

1. Estadística y probabilidad
MATERIA: Estadística y probabilidad
SEMANA 4
TEMA SEMANA 4:
a) Distribución normal estándar
 ¿Cuáles son las características de la distribución normal?
La distribución de probabilidad normal posee las siguientes características
principales.
A. Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la
distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se
localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es de 1.00.
La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto
central, y la otra mitad, a la izquierda.
B. Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor
central, a la curva normal, las dos mitades son imágenes especulares.
C. Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la
distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje X, sin
tocarlo en realidad.
En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas
direcciones.
D. La localización de una distribución normal se determina a través de la
media, μ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por
medio de la desviación estándar, σ.
Ver figura:

2. Estadística y probabilidad
 ¿Qué es la regla empírica?
La regla empírica se determina por los siguientes hechos:
A. Cerca de 68% del área bajo la curva normal se encuentra a una
desviación estándar de la media. Esto se puede escribir como μ ± 1σ.
2. Alrededor de 95% del área bajo la curva normal se encuentra a dos
desviaciones estándares de la media. Esto se puede escribir como μ ± 2σ.
3. Prácticamente toda el área bajo la curva se encuentra a tres desviaciones
estándares de la media, lo cual se escribe μ ± 3σ.
Ver figura:
 ¿De qué manera se normaliza una distribución normal y qué
significa?
Utilizamos la normalización con el fin de llevar nuestra función a una
distribución conocida y más "calculable". El proceso en el cual se calcula la
probabilidad en una distribución normal es mediante un proceso llamado
integración, la integración se realiza en nuestra función de densidad lo cual
para efectos prácticos es mucho más fácil integrar cuando la función distribuye
normal de media 0 y varianza 1.

3. Estadística y probabilidad
Ejemplo 1
El proceso de normalización se realiza de la siguiente manera:
Donde:
z = número de desviaciones estándar de x respecto a la media de ésta
distribución.
x =valor de la variable aleatoria que nos interesa.
μ = media de la distribución de esta variable aleatoria.
σ = desviación estándar de esta distribución.
Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una distribución
normal con media 100 y desviación típica 15.
Determinar el porcentaje de la población que obtendría un coeficiente entre 95
y 110.
Primero se normaliza la función para determinar el valor de la variable z
Realizamos las operaciones para conocer los valores de Z:
En este paso es importante dibujar la gráfica para visualmente identificar el
área que estamos buscando

4. Estadística y probabilidad
Claramente identificamos que buscamos el área contenida entre 0.67 y -0.33
Buscamos la probabilidad para los valores de Z en la tabla acumulada:
Z(-0.33) = 0.37
Z( 0.67) = 0.75
Por lo que:
Con esto concluimos que el porcentaje de la población que obtendría un
coeficiente entre 95 y 110 es del 38 %
Ejemplo 2
Si una variable sigue una distribución normal con media μ=4 y desviación
típica σ =1.5, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor de X> 6?
Primero se normaliza la función para determinar el valor de la variable z
Realizamos las operaciones para conocer los valores de Z:
Dibujamos nuestra gráfica para visualmente identificar el área que estamos
buscando

5. Estadística y probabilidad
Claramente identificamos que buscamos el área contenida entre mayor a 1.33
Buscamos la probabilidad en la tabla acumulada para el valor de Z:
Z(1.33) = 0.9082
Finalmente como el área que estamos buscando se encuentra a la derecha del
valor Z obtenido (ver gráfica anterior), calculamos el complemento restándolo
a uno:
Por lo que:
Con esto concluimos que la probabilidad de encontrar un valor de la variable
aleatoria X> 6 es del 9.18 %