bases de la estadistica inferencial

1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL

2. ESTADÍSTICA INFERENCIAL
La estadística Inferencial, es el proceso por el cual se
deducen (infieren) propiedades o características de una
población a partir de una muestra significativa.
Población Muestra
Definición Colección de elementos
considerados
Parte o porción de la
población seleccionada
para su estudio
Características “Parámetros” “Estadísticos”
Símbolos Tamaño de la población = N Tamaño de la muestra =
n
Media de la población = m
Desviación estándar de la
población = s
Desviación estándar de
la muestra = s
Media de la muestra = X

3. CONCEPTOS INICIALES
Estimación Puntual.- Estadístico calculado a partir de la
información obtenida de la muestra y que se usa para
estimar el parámetro poblacional
Intervalo de confianza.- es un conjunto de valores
obtenido a partir de los datos muestrales en el que hay
una determinada probabilidad de que se encuentre el
parámetro, a esta probabilidad se le conoce como el nivel
de significancia
Error de muestreo.- Diferencia entre un valor estadístico
de muestra y su parámetro de población correspondiente.

4. INTERVALOS DE CONFIANZA
2
X
4
X
1
X
5
X
3
X
m
n
s
96
,
1

m
n
s
z

m

5. INTERVALOS DE CONFIANZA
n
s
z
X 
n
s
t
X 
1
)
( 2
2





n
n
X
X
s
INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS MAYORES A
30 ELEMENTOS
INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS MENORES A 30
ELEMENTOS
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
N
X
 

2
)
( m
s

6. PROPORCIONES
PROPORCIÓN.- Fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la
muestra o población que tiene una característica determinada
PROPORCIÓN MUESTRAL:
n
x
p 
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA
PROPORCIÓN POBLACIONAL p
z
p s

ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
n
p
p
p
)
1
( 

s

7. EJERCICIO
n
s
z
X 
30
110
96
,
1
349
39
349
Suponga que se toma una muestra de 30 empleados de los cuales reciben
en promedio 349$ y una desviación estándar de 110$. ¿Cuál es el intervalo
de confianza?
389
310
n
s
t
X 
20
126
093
,
2
346
59
346
405
287
Suponga que se toma una muestra de 20 empleados de los cuales reciben
en promedio 346$ y una desviación estándar de 126$. ¿Cuál es el intervalo
de confianza?

8. En una muestra aleatoria de 2000 miembros de sindicato, se tiene que 1600
están a favor de fusionarse con otra empresa ¿Cuál es el valor estimado de
la proporción poblacional?¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% de
confianza?
n
p
p
z
p
)
1
( 

n
x
p 
80
,
0
2000
1600


p
018
,
0
80
,
0
2000
)
80
,
0
1
(
80
,
0
96
,
1
80
,
0 



EJERCICIO - PROPORCIONES

9. Probabilidad y Estadística
Unidad de
muestreo
Medimos un mismo atributo sobre
n unidades de muestreo
n
n x
X
x
X
x
X 

 ,
,
, 2
2
1
1 
Y el gráfico de frecuencia fue así ...
Inferencia Estadística

10. Probabilidad y Estadística
Inferencia Estadística
Población
Con estos simples gráficos parece claro que el
atributo X de la población, en base a la muestra
que se tomo, se distribuye según una ley de
densidad normal
m
s2
¿qué parámetros tiene la población?

11. Probabilidad y Estadística
Inferencia Estadística
Población
m
s2
Se “estiman” estos parámetros mediante
máxima verosimilitud



n
i
i
x
n
x
1
1
 
2
1
2
1
1





n
i
i x
x
n
S

12. Probabilidad y Estadística
Inferencia Estadística
m s2
x 2
S
Con los valores de y
trataremos de inferir los verdaderos valores de y
Se sabe que si cada variable
n
X
X
X ,
,
, 2
1 
sigue una densidad normal con m y s2 entonces
S
n
X
tn
)
(
1
m



sigue una ley de densidad llamada t - student con n - 1 grados de libertad
(tiene casi la misma forma que la normal)
Intervalo de confianza para m

13. Probabilidad y Estadística
Inferencia Estadística
1 
t n
( )
1
t
2
 t
2
S
n
X
T
)
( m


T

14. Probabilidad y Estadística
Inferencia Estadística










m


 
 1
)
(
Pr
2
2
t
S
n
X
t
1 
t n
( )
1
t
2
 t
2
T

m 
 





2
2
1
)
Pr(
n
S
t
X
n
S
t
X
Intervalo para la media con una confianza de 1- 

15. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
HIPÓTESIS.- Es una afirmación sobre una población,
que puede someterse a pruebas al extraer una muestra
aleatoria.
PRUEBA DE HIPÓTESIS.- Formular una teoría y luego
contrastarla
PASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS
1. PRUEBA DE HIPÓTESIS
2. SELECCIONAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA
3. CALCULAR EL VALOR ESTADÍSTICO DE PRUEBA
4. FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN
5. DECIDIR

16. PASO1 PLANTEAR H0 Y H1
0
:
0
0
0 :
m
m
m
m


H
H
0
1
0
1
:
:
m
m
m
m


H
H
Hipótesis nula: Afirmación acerca del valor de un
parámetro poblacional
Hipótesis Alternativa: Afirmación que se
aceptará si los datos muestrales aseguran que
es falsa H 0
Paso 2. Seleccionar el nivel de significancia
Generalmente son del 5% o 1% (Error de tipo I y Error de tipo II)
ERROR DE TIPO I.- Rechazar la hipótesis nula, H0 cuando es verdadera
ERROR DE TIPO II.- Aceptar la hipótesis nula, H0 cuando es Falsa

17. Paso 3. Calcular el valor estadístico de prueba.
Estadísticos de pruebas como: Z, t de Student, F y Ji
cuadrado
n
X
z
s
m


n
X
t
s
m


Para muestras grandes
Para muestras pequeñas
Paso 4: Formular la regla de decisión
Son las condiciones según las que se acepta o rechaza la hipótesis nula
Paso 5: Tomar una decisión
El valor observado de la estadística muestral se compara con el valor de
estadística de prueba
n
P
Z
)
1
( 




 Para
proporciones

18. EJEMPLO: PRUEBA DE HIPÓTESIS
La producción diaria en una planta industrial registrada
durante n =30 días tiene una media Muestral de 990
toneladas y una desviación estándar de 20 toneladas,
pruebe la hipótesis de que el promedio de la producción
diaria difiere de 1000 toneladas por día.
PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS
toneladas
H 1000
:
1 
m
toneladas
H 1000
:
1 
m
PASO 2: Nivel de significancia (0.05%)
PASO 3: Valor estadístico de prueba
toneladas
x 990

toneladas
1000
0 
m
toneladas
20

s
días
n 30

7
,
2
30
20
1000
990




z
n
X
z
s
m



19. UNA COLA
0.5-0.05=0.45
DOS COLAS (0.05%)
0.05/2=0.025
0.50-0.025 =0.475 -0.50 0.50

20. PASO 4: FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN
PASO 5: TOMAR UNA DECISIÓN
Se rechaza H0 no es igual a 1000 toneladas
m
Para un nivel de significancia de 0.05, la región de rechazo
es z >1.96 o z< -1.96
-2,7

21. EJEMPLO: PRUEBA DE HIPÓTESIS
El gerente de ventas de una empresa editora de libros, afirma que cada
uno de sus representantes realiza 40 visitas por semana a profesores.
Varios vendedores dicen que esa estimación es muy baja. Para
investigar lo anterior, una muestra aleatoria de 28 representantes de
ventas reveló que el número medio de visitas realizadas la semana
pasada fue de 42. Se calculó que la desviación estándar de la muestra
fue de 2.1 visitas. Al nivel de significancia de 0.05, ¿se puede concluir
que el número medio de visitas realizadas por vendedor y por semana
es mayor que 40?
40
:
0 
m
H
40
:
1 
m
H
PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS

22. visitas
x 42

PASO 3:ESTADÍSTICO DE PRUEBA
En este caso es T de student
visitas
40

m
visitas
s 1
.
2

28

n
PASO 2: NIVEL DE SIGNIFICANCIA (0.05)
n
s
X
t
m



24. PASO 4: REGLA DE DECISIÓN
Rechazo H0 SI t calculado es mayor a 1.703
PASO 5: TOMAR DECISIÓN
T calculado = 5.04 cae en la región de rechazo. Por lo tanto
rechazamos H0. El número medio de visitas realizadas por
vendedor y por semana es mayor que 40

25. EJEMPLO 1
En un proceso de fabricación de piezas de
precisión se quiere que el valor nominal
del diámetro de una pieza sea 20,0 mm.
Se conoce que la desviación estándar de
esta característica es 3,0 mm. Se toma
una muestra de 25 piezas obteniéndose
un promedio de diámetro de 19,2 mm. ¿Se
ha cumplido con lo requerido? Use =5%.

26. SOLUCION
Se seguirá el procedimiento planteado.
a. Planteo de la hipótesis
H0: µ = 20,0
Ha: µ  20,0
b. La hipótesis es bilateral puesto que no
se cumple con lo requerido si el promedio de la
muestra es mayor o menor que lo especificado.
c. El nivel de significación es dado, = 5%.
d. El estadístico por usar es el siguiente:
_
x – µ
Z = ––––––
s/ n

27. SOLUCION
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis .
f. Cálculo del estadístico citado en d.
_
x – µ 19,2 – 20,0
Z = ——— = —————— = –1,33
s/ n 3,0/  25
g. El valor de Z calculado (–1,33) se encuentra en
el área de cumplimiento de la hipótesis nula.
h. En conclusión, se puede afirmar, con =5%, que
estadísticamente se cumple con el valor nominal
requerido.

28. SOLUCION
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis .
f. Cálculo del estadístico citado en d.
_
x – µ 19,2 – 20,0
Z = ——— = —————— = –1,33
s/ n 3,0/  25
g. El valor de Z calculado (–1,33) se encuentra en
el área de cumplimiento de la hipótesis nula.
h. En conclusión, se puede afirmar, con =5%, que
estadísticamente se cumple con el valor nominal
requerido.