teorema del limite central

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EJERCICIOS RESUELTOS 9
TEMA: Teorema del Límite Central
1. El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor
medio de 12cm y desviación estándar de .04cm
a) si x es el diámetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos,
¿dónde está centrada la distribución muestral de x , y cuál es la desviación estándar de la
distribución de x ?
σX =
σ
=
0.04
n
= 0.01
16
b) Conteste las preguntas formuladas en el inciso a) para un tamaño muestral de n=64 anillos
σX =
σ
=
0.04
n
= 0.005
64
c) ¿para cuál de las dos muestras aleatorias, una del inciso a) y otra del inciso b), es más
probable que x esté dentro de .01cm alejado de 12cm? Explique su razonamiento.
La muestra del inciso b) ya que el tamaño de muestra es mayor y por lo tanto es más
probable que esté dentro del rango.
Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de
Z que se esta manejando.
2. Consulte el ejercicio 2 y suponga que la distribución del diámetro es normal.
a) calcule P(11.99≤ x ≤12.01) cuando n=16
(
)
⎡11.99 − 12.00 ⎤
⎡12.01 − 12.00 ⎤
P 11.99 ≤ X ≤ 12.01 = Φ ⎢
⎥ − Φ⎢
⎥ = Φ (1.00) − Φ (−1.00)
0.01
0.01
⎣
⎦
⎣
⎦
(
)
P 11.99 ≤ X ≤ 12.01 = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826
b) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral exceda 12.01 cuando n=25?
σX =
(
σ
=
n
0.04
)
= 0.008
25
⎡12.01 − 12.00 ⎤
P X > 12.01 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ[1.25] = 0.1056
0.008
⎣
⎦
3. Represente con X1,X2,.....X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante,
seleccionadas al azar.
a) Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule
P(49.75≤ x ≤50.25)(aproximadamente) empleado el TLC
σX =
σ
n
=
1
= 0. 1
100
1

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(
)
P (49.75 ≤ X ≤ 50.25) = 0.9938 − 0.0062 = 0.9876
⎡ 49.75 − 50.00 ⎤
⎡ 50.25 − 50.00 ⎤
P 49.75 ≤ X ≤ 50.25 = Φ ⎢
⎥ = Φ(2.50) − Φ (−2.50)
⎥ − Φ⎢
0.1
0.01
⎦
⎦
⎣
⎣
b) Si el peso esperado es 49.8 lb, en lugar de 50 lb, de modo que en promedio las bolsas
tienen menos peso, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)
(
)
P (49.75 ≤ X ≤ 50.25) = 1 − 0.3085 = 0.6915
⎡ 49.75 − 49.8 ⎤
⎡ 50.25 − 49.8 ⎤
P 49.75 ≤ X ≤ 50.25 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 4.50) − Φ (−0.50)
⎥ − Φ⎢
0 .1
0 .1
⎦
⎣
⎦
⎣
4. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/pulg2 y una
desviación estándar de 500 lb/pulg2
a) ¿cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una
muestra aleatoria de 40 remaches, esté entre 9 900 y 10 200?
σX =
(
σ
500
=
n
= 79.1
40
)
⎡ 9900 − 10000 ⎤
⎡10200 − 10000 ⎤
P 9900 ≤ X ≤ 10200 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 2.56) − Φ (−1.26)
⎥ − Φ⎢
79.1
79.1
⎦
⎣
⎦
⎣
(
)
P 9900 ≤ X ≤ 10200 = 0.9943 − 0.1031 = 0.8912
b) Si el tamaño muestral hubiera sido 15, en lugar de 40, ¿podría calcularse la información
pedida en el inciso a) a partir de la información dada?
No ya que la muestra es pequeña y se desconoce la distribución de la población original.
5. Se sabe que la dureza Rockwell de pernos, de cierto tipo, tiene un valor medio de 50 y
desviación estándar de 1.2
a) si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para
una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 51?
σX =
(
σ
=
n
1. 2
= 0 .4
9
)
⎡ 51 − 50 ⎤
P X ≥ 51 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ (2.50) = 1 − 0.9938 = 0.0062
⎣ 0 .4 ⎦
b) ¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra
aleatoria de 40 pernos sea al menos 51?
σX =
(
σ
=
n
)
1 .2
= 0.19
40
⎡ 51 − 50 ⎤
P X ≥ 51 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ (5.26) = 1 − 1.000 = 0.0000
⎣ 0.19 ⎦
6. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espécimen seleccionado al azar, de cierta
región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar .85 (sugerida en
2

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“Modeling Sedimental anda Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”. Water
Research, 1984, pp. 1169-1174).
a) si se seleccionan una muestra aleatoria de 25 especimenes, ¿cuál es la probabilidad de
que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y
3.00?
σX =
(
σ
n
=
)
0.85
= 0.17
25
⎡ 3.00 − 2.65 ⎤
P X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 2.06) = 0.9802
⎣ 0.17 ⎦
⎡ 2.65 − 2.65 ⎤
⎡ 3.00 − 2.65 ⎤
P 2.65 ≤ X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ − Φ ⎢ 0.17 ⎥ = Φ (2.06) − Φ (0.00) =
⎦
⎣
⎣ 0.17 ⎦
P (2.65 ≤ X ≤ 3.00 ) = 0.9802 − 0.5000 = 0.4802
(
)
b) ¿Qué tan grande se requería un tamaño muestral para asegurar que la primera
probabilidad del inciso a) sea por lo menos .99?
⎡
⎤
⎢ 3.00 − 2.65 ⎥
P X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ = 0.99
0.85
⎢
n ⎥
⎣
⎦
(
)
Φ (Z ) = 0.99 ⇒ Z = 2.33
3.00 − 2.65
⎡ (2.33)(0.85) ⎤
Z=
⇒n=⎢
⎥ = 33
0.85
⎣ 3.00 − 2.65 ⎦
n
2
7. Se sabe que el tiempo de espera para ser atendido en una oficina es una variable aleatoria
exponencial con β = 17 minutos.
a) Encuentre la probabilidad de que una persona que se selecciona al azar haya tenido que
esperar más de 30 minutos.
30
30
⎡
− ⎤
−
17
17
P ( X > 30) = 1 − F (30) = 1 − ⎢1 − e ⎥ = e = 0.1712
⎢
⎥
⎣
⎦
b) Si se extrae una muestra de 64 personas, encuentre la probabilidad de que den un valor
medio en el tiempo de espera de menos de 12 minutos.
µ = β = 17 ; σ = β = 17
σX =
σ
n
=
17
= 2.125
64
⎡12 − 17 ⎤
P ( X < 12) ≈ Φ ⎢
⎥ = Φ[− 2.35] = 0.0094
⎣ 2.125 ⎦
3