Estadistica soluciones

1. MUESTREO
1. Supongamos que en un centro escolar los alumnos y docentes se distribuyen de acuerdo con la
tabla siguiente:
3 ESO 4 ESO 1º Bach 2º Bach Prof
Hombres 85 80 100 83 24
Mujeres 95 96 110 91 31
Si quieres realizar una encuesta entre ellos de tamaño n = 80 por el método de muestreo estratificado
por sexo y nivel de trabajo, ¿a cuantas personas de cada clase deberás preguntar?
Solución:
Se divide la población en subgrupos o estratos homogéneos en los cuales se toman muestras
aleatorias simples. La ventaja es que todas las partes en que la población se divide estarán representadas
adecuadamente.
Si N1,..., Nk es el nº de elementos en cada estrato (N1+... +Nk = N) se elige el tamaño de la muestra ni
(n1 +... + nk = n) de forma que
n
N
n
1 = = =
N
...
n
N
k
k
1
Con los datos de la tabla se calcula el número total de elementos
ΣNi = 795
A partir del número total de datos se hace un muestreo estratificado proporcional al número total de
datos:
3 ESO 4 ESO 1º Bach 2º Bach Prof
Hombres 8'55
85⋅ 80 = 8'05
795
80⋅ 80 = 10'06
795
100⋅ 80 = 8'35
795
83⋅ 80 = 2'42
795
24⋅ 80 =
795
Mujeres 9'56
95⋅ 80 = 9'66
795
96⋅ 80 = 11'07
795
110⋅ 80 = 9'16
795
91⋅ 80 = 3'12
795
31⋅ 80 =
795
Redondeando
3 ESO 4 ESO 1º Bach 2º Bach Prof
Hombres 9 8 10 8 2
Mujeres 10 10 11 9 3
2. En un instituto la estatura del alumnado sigue una distribución normal N(170,8).
a) Si elegimos un alumno al azar que probabilidad hay de que su estatura esté comprendida entre (168 −
164).
Solución:
Se pide calcular la probabilidad de que una variable que sigue una distribución normal, este
comprendida dentro de un intervalo, para lo cual habrá que tipificar la variable.
−μ
σ
Z = x

 164 170 168 −
p Z 170
= − < < − p(164<x<168)= p( 0'75 Z 0'25)
8
8


< <
−
Por simetría p(−0’75<Z<−0’25)=p(0’25<Z<0’75)=p(Z<0’75)−p(Z≤0’25)=Φ(0’75)−Φ0’25=
0’7734−0’5987=0’1747: p(164<x<168)=17’47%

2. b) Si elegimos al azar una muestra de 25 alumnos y obtenemos su estatura media ¿Qué probabilidad
hay de que no supere los 169cm?.
Solución:
En vez de trabajar con la variable, se trabaja con la variable media de una muestra de tamaño 25,
variable que seguirá una distribución del tipo: Nx (μ,σx ) siendo
σ
σ =
X n


Se pide calcular la ( ) 169 X p < , teniendo en cuenta que X sigue una distribución normal  
 
170, 8 y
25
que por tanto:

 −
( ) ( ) = > = − < =  
p X < 169 = p Z < 169 170
p Z 0'625 pZ 0'625

p(Z ≤ 0'625)= 1− p(Z ≤ 0'625) = 1−Φ(0’62)=1−0’7324=0’2676
p(X < 169cm)= 26'76% en muestras de 25 alumnos.
 

8 25
c) Si el instituto tiene 900 alumnos de los cuales 396 son chicos ¿Cómo elegiremos la muestra si
queremos especificarla por sexos?
Solución:
Se pide calcular la proporción de alumnos del sexo masculino que deberá tener cualquier muestra de
la población (Instituto). La proporción de chicos respecto al número de alumnos del centro debe ser
proporcional a 25
396 = 11
, por lo que la proporción de chicos y chicas de cualquier muestra especificada
900
11 .
por sexo del instituto debe ser proporcional a 14
3. A lo largo de las diferentes pruebas de selectividad se ha observado que la distribución de las
calificaciones sigue una ley normal de media 5’3 puntos y desviación típica 0’8.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 5´7?
Solución:
x, variable aleatoria continua que sigue una distribución Normal cuyos parámetros son:
x : N(μ, σ) = N(5'3, 0'8)
Se pide calcular:
p(x > 5'7)
tipificando la variable con los parámetros de la distribución se obtiene:
− μ
= → = o
σ
o o
x
x x z
0'5
x 5'7 z 5'7 −
5'3 =
0'8
= → =
Fila : 0'5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0'6915 0'3085
p x 5'7 p z 0'50 p z 0'50 1 p z 0'50 1 0'50 = − =
Columna : 0'00
  
  
> = > = ≤ = − ≤ = − φ =
p(x > 5’7) = 30’85 %
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 49 alumnos tenga una media superior a 5’7?
Solución:
Si se toman muestras aleatorias de tamaño 49 y de cada una se obtiene la media, se obtiene una
nueva distribución de medias muestrales que también sigue un comportamiento Normal, siendo sus
parámetros:
N (5'3, 0'11)

N 5'3, 0'8

 σ
μ

 x : N x , = n
x 49
x 
 
=  
 

3. Se pide calcular:
p(x > 5'7)
tipificando la variable con los nuevos parámetros de la distribución se obtiene:
3'5
x 5'7 z 5'7 −
5'3 =
0'11
= → =
Fila : 3'5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0'9998 0'0002
p x 5'7 p z 3'50 p z 3'50 1 p z 3'50 1 3'50 = − =
Columna : 0'00
  
  
> = > = ≤ = − ≤ = − φ =
p(x > 5'7)= 0'03%
4. Con los mismos datos del problema anterior, calcula el intervalo de probabilidad de las muestras
de tamaño 49 con una confianza de: .
a) 51’6%
Solución:


N 5'3, 0'8 x es:
 

 El intervalo de confianza para una variable que sigue una distribución Normal 49

 
 σ
 
, Z
n
μ + ⋅
σ
Z
μ − α ⋅ α 2 2
n
(0'758) 0'70
: Z 1 0'484

= φ  −


 α
Z = φ 1 − − 1 −
1
2
2


N.C. 1 0'516 : 0'484
2
1
2 = φ = 



= − α = α =
α
−
α
Sustituyendo en la expresión del intervalo:

5'3 0'70 0'8 = (5’22 , 5’38)
 

 
,5'3 0'70 0'8
− ⋅ + ⋅
49
49
b) 76’2%
Solución:
Igual que el anterior, lo único que cambia es el Z crítico, ya que se varia el nivel de confianza.
(0'881) 1'18
: Z 1 0'238


 α
Z = φ 1 − − 1 −
1
2
2


N.C. 1 0'762 : 0'328
2
1

= φ  −
2 = φ = 



= − α = α =
α
−
α
Sustituyendo en la expresión del intervalo:

5'3 1'18 0'8 = (5’17 , 5’43)
 

 
,5'3 1'18 0'8
− ⋅ + ⋅
49
49
c) 90’9%
Solución:
Igual que el anterior, lo único que cambia es el Z crítico, ya que se varia el nivel de confianza.
(0'9545) 1'69
: Z 1 0'091


 α
Z = φ 1 − − 1 −
1
2
2


N.C. 1 0'909 : 0'091
2
1

= φ  −
2 = φ = 



= − α = α =
α
−
α
Sustituyendo en la expresión del intervalo:

5'3 1'69 0'8 = (5’11 , 5’49)
 

 
,5'3 1'69 0'8
− ⋅ + ⋅
49
49
A medida que aumenta el nivel de confianza, también aumenta la amplitud del intervalo

4. 5 El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con una media 65 Kg
y desviación típica 12 Kg: Se elige una muestra de 30 individuos al azar. Calcula la probabilidad de que la
media de esa muestra sea:
a) Mayor de 60 Kg
Solución:
x ≡ Peso de los adultos de una población. Distribución Normal cuyos parámetros son:
x : N(μ, σ) = N(65, 12)
Si se toman muestras de tamaño 30 y de cada una su media, se obtiene una distribución de medias
maestrales que también sigue una distribución normal, cuyos parámetros son ahora:
N (65, 2'19)

N 65, 12

 σ
μ

x : N , x  = n
x 30
x 
 
=  
 
Se pide calcular: p(x > 60). Tipificando la variable con:
n
z x
σ
−μ
= se obtiene:
( ) 2'28 p(z 2'28) {Por simetria} p(z 2'28) (2'28)
p x 60 z 60 65 = > − = = < = φ
2'19
  
  
= −
−
> = =
El valor de φ, se obtiene en la tabla de la N(0, 1).
F : 2'2
  
  
( 2'28 ) =
0'9887
C: 0'08
φ =
por lo tanto: p(x > 60)= 98'87 %
b) Mayor de 68 Kg
Solución:
Se pide calcular: p(x > 68). Tipificando la variable con:
n
z x
σ
− μ
= se obtiene:
( ) 1'37 p(z 1'37) p(z 1'37) 1 p(z 1'37) 1 (1'37)
p x 68 z 68 65 = > = ≤ = − ≤ = − φ
2'19
  
  
=
−
> = =
El valor de φ, se obtiene en la tabla de la N(0, 1).
F :1'3
( 1'37 ) =
0'9147
C: 0'07
  
  
φ =
p(x > 68)= 1− φ(1'37) = 1− 0'9147 = 0'0853
por lo tanto: p(x > 68)= 8'53 %
c) Esté en el intervalo (60, 68)
Solución:
Se pide calcular: p(60 < x < 68). Para ello, se pueden aprovechar los resultados obtenidos en los dos
primeros apartados para resolver este último. p(60 < x < 68)= p(x > 60)− p(x > 68)= 98'87 −8'53 = 90'34
por lo tanto: p(60 < x < 68)= 90'34 %

5. 6. El perímetro torácico de los individuos adultos (hombres) en una población se distribuye según la
ley normal N(90’6) cm.
a) ¿Cómo se distribuye las medias de las muestras de tamaño 81 extraídas de esa población?
Solución:
x ≡ perímetro torácico medio de una muestra de 81 hombres adultos. Sigue una distribución Normal
cuyos parámetros son:
N (90, 0'67)

N 90, 6

 σ
μ

x : N , x  = n
x 81
x 
 
=  
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de esas medias sea menor de 87 cm? ¿ Y de que sea mayor de
91 cm?
Solución:

 

 
( ) 
p(z 3'83) {Por simetria} p(z 3'83) (3'83)
3'83
z 87 90
0'67
n
z x
p x 87 = > − = = < = φ
 


 

= −
−
=
σ
−μ
=
> =
F : 3'8
  
  
( ) : (3'83) 0'9999
N 0, 1 : φ =
C: 0'03
p(x > 87)= 99'99 %

 

 
( ) p(z 1'50) p(z 1'50) 1 p(z 1'50) 1 (1'50)
1'50
z 91 90
0'67
n
z x
p x 91 = > = ≤ = − ≤ = − φ

 


 

=
−
=
σ
− μ
=
> =
F :1'5
  
  
( ) ( )
p(z 1'50) 1 0'9332 0'0668
: 1'50 0'9332
C: 0'00
N 0, 1 :
φ =
> = − =
por lo tanto p(x > 91)= 6'68 %
7. La altura de los mozos de un llamamiento al Servicio Militar sigue una distribución normal media
174 y desviación típica 10 cm. Si se halla la media x de una muestra de tamaño 144, calcula p(173 < x < 175)
Solución:
x ≡ Altura media de una muestra de 144 mozos. Sigue una distribución Normal cuyos parámetros
son:
N (174, 0'83)

N 174, 10
 σ
μ

x : N , x  = n
x 144
x 
 
=   
 
Se pide calcular:
x 173 z 173 174
TIPIFICANDO
LA


( ) p( 1'20 z 1'20)
1'20
x 175 z 175 174
0'83
1'20
0'83
p 173 x 175
VARIABLE
= − < <




= +
−
= → =
= −
−
= → =
< < =
POR
p(−1'20 < z < 1'20) = p(z < 1'20)− p(z ≤ −1'20) = p(z < 1'20)− p(z ≥ 1'20) =
SIMETRIA
= p(z < 1'20)− p(z < 1'20)= p(z < 1'20)− (1− p(z < 1'20)) = 2⋅ p(z < 1'20)−1 =
POR
COMPLEMENTARIO

6. F :1'2
( ) ( ) ( ) 0'8849 2 0'8849 1 0'7698
2 1'20 1 N 0, 1 : 1'20 = ⋅ − =
C : 0'00

 

 
=
  
  
= ⋅φ − = φ =
por lo tanto: p(173 < x < 175)= 76'98 %
8. El tamaño de las parcelas de una determinada provincia se distribuye normalmente. Si su media es
3 Ha y su desviación típica es 0’6 Ha, ¿cual es la probabilidad de que elegidos al azar 225 propietarios,
tengan al menos un total de 652’5 Ha? (Sugerencia: determina antes la media de esas parcelas.)
Solución:
x ≡ Superficie de parcela. Sigue una distribución Normal cuyos parámetros son:
x : N(μ, σ) = N(3, 0'6)
Para que el total de la superficie de 225 parcelas sea mayor o igual que 652’5 Ha se deberá de

 = 2'9
225
cumplir que la media la superficie de esas 225 parcelas sea mayor o igual que 2’9 Ha 

652'5 .
Si x es una variable con comportamiento Normal, las medias maestrales de tamaño n de esta variable
también tendrán un comportamiento Normal cuyos parámetros son:
N (3, 0'04)

N 3, 0'6

 σ
μ

x : N , x  = n
x 225
x 
 
=  
 
Por lo tanto el problema se reduce a calcular p(x > 2'9)
Tipificando


( ) x 2'9 z 2'9 3
p(5) p(5) (5)
2'5 z 2'z 2'2'0'04
p x 2'9
POR
= ≥ − = ≤ = φ
SIMETRIA




= −
−
= → =
≥ =
F : 2'5
Utilizando la N(0, 1): ( 2'5 ) =
0'9938
C: 0'00
  
  
φ =
Por lo tanto: p(x > 2'9)= 99'38%
9. En las elecciones a decano de una facultad se representaron dos candidatos: A y B. El resultado de
la votación fue del 60% para A y 40% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 36 votantes, ¿cuál
habría sido la probabilidad de acertar el ganador?
Solución:
Se pide hacer una estimación de una proporción muestral (pˆ ) de votantes a un determinado
candidato conocida la proporción poblacional (resultado electoral). Puesto que el número de elementos de la
muestra es superior a 30, la distribución de las proporciones muestrales de tamaño n siguen una ley Normal
cuyos parámetros son:

 

 ⋅
N p, p q
 

n
donde:



p = proporción de votantes del candidato A =
0'60
q = 1 − p = 1 − 0'60 =
0'40
n = nº de elementos de la muestra =
36
Por lo tanto las proporciones de muestras de 36 elementos siguen una normal:
N(0'6, 0'08)

 ⋅
pˆ : N 0'6, 0'6 0'4 =  
36

 


7. Para que una encuesta realizada sobre 36 votantes hubiese acertado el ganador de las elecciones, la
proporción muestral de votantes debería haber sido superior al 50%, por lo que el problema se reduce a
calcular p(p > 0'50) )
Los valores de estas distribuciones se tipifican con la siguiente expresión
p 0'60
0'08
p −
p
p q
n
Z
−
=
⋅
=
) )
p p 0'50 p 0'50 z 0'50 0'60
( ) 1'25 p(z 1'25) p(z 1'25) (1'25)
0'08
POR
= > − = < = φ
SIMETRIA
  
  
= −
−
> = = → = ) )
F :1'2
  
  
( 1'25 ) =
0'8944
C: 0'05
φ =
La probabilidad de que una encuesta realizada sobre 36 votantes hubiese acertado el resultado
electoral habría sido del 89’44 %
10. Halla la probabilidad de que en los 200 próximos nacimientos se produzcan en tu ciudad:
a) Menos del 40% sean niños;
b) entre el 48% y el 52% sean niños.
Nota: La probabilidad (a posteriori) de que un recién nacido sea niña es p = 0’485.)
Solución:
a. Menos del 40% sean niños.
Se pide una estimación para la proporción muestral de recién nacidos, conocida la proporción
poblacional. Si se define p como la proporción poblacional de recién nacidos niños, y el número de elementos
de las muestras es superior a 30, las proporciones muetrales sigue una distribución Normal cuyos parámetros
son:

 

 ⋅
q p , p N : p )
 

n
siendo:



p = Proporción poblacional de niños =
0'515
q = Proporción poblacional de niñas =
0'485
n = número de elementos de la muestra =
200
N(0'515, 0'035)
)  ⋅
 p :  N 0'515, 0'515 0'485 = 200


 

El problema se transforma en calcular:
( ) = ( < − ) = ( > ) = ( ≤ )=
  
p p 0'40 p 0'40 z 0'40 0'515
  
= −
−
< = = → = 3'29 p z 3'29 p z 3'29 p z 3'29
0'035
POR
COMPL
POR
SIMETRIA
) )
F : 3'2
( ) ( ) ( ) ( ) 0'9995 1 0'9995 0'0005
1 p z 3'29 1 3'29 N 0, 1 : 3'29 = − =
C: 0'09

 

 
=
  
  
= − ≤ = − φ = φ =
La probabilidad de que en un muestra de 200 recién nacidos la proporción de niños sea inferior al
40%, es del 0’05 %
b. Entre el 48% y el 52% sean niños.
Con la misma distribución para la proporción del apartado a, esta vez piden:




 
p )
0'48 z 0'48 0'515
( ) = (− < < ) = ( < )− ( ≤ − ) =
=
−
p = 0'52 → z =
0'52 0'515
= −
−
= → =
< < = p 1'00 z 0'14 p z 0'14 p z 1'00
0'14
0'035
1'00
0'035
p 0'48 p 0'52
)
)

8. = p(z < 0'14)− p(z ≥ 1'00) = p(z < 0'14)− p(z < 1'00)= p(z < 0'14)− (1− p(z < 1'00)) =
SIMETR COMPL

( ) ( ( )) ( ) ( )
( )
( )
 

 

= − − =

 

 

=
  
  
φ =
=
  
  
φ =
F : 0'1
= φ − − φ = 0'5557 1 0'8413 0'3970
0'8413
F :1'0
C: 0'00
1'00
0'5557
C: 0'04
0'14
0'14 1 1'00
N 0,1
La probabilidad de que el porcentaje de niños en 200 nacimientos este comprendido entre el 48% y
52% es del 39’7 %
11. De 1000 muestras de 200 niños cada una, ¿en cuantas de ellas cabe esperar? :
a) Menos del 40% de niños;
b) ¿Entre el 48 y el 52% de niños?
Supónganse equiprobables los sucesos niño / niña
Solución:
a. Menos del 40% sean niños.
El número medio de muestras con una proporción determinada, también denominada esperanza
matemática para la proporción, se obtiene multiplicando el número de elementos por la probabilidad de que
se de esa proporción
μ = N⋅ p(p < 0'40) )
p )
≡ proporción de niños en una muestra 200 individuos. Sigue una distribución normal cuyos
parámetros son:

 

 ⋅
q p , p N : p )
 

n
siendo:



p = Proporción poblacional de niños =
0'50
q = Proporción poblacional de niñas =
0'50
n = número de elementos de la muestra =
200
N(0'50, 0'035)

)  ⋅
p : N 0'50, 0'50 0'50 =  
200

 

( ) ) N ( 050, 0'035 ) ) ( ) SIMETRIA
= < − = ( > ) =
  
p p 0'40 p 040 z 0'40 0'50
  
= −
−
< = = → = 2'86 p z 2'86 p z 2'86
0'035
( ) ( ) ( ) (
) ( ) F : 2'8
0'9979 1 0'9979 0'0021
C : 0'06
COMPLEMENTARIO N 0, 1
p z 2'86 1 p z 2'86 1 2'86 2'86
= − =

 

 
=
  
  
= ≤ = − ≤ = − φ = φ =
μ =1000⋅0'0021 = 2'1
En 1000 muestras de 200 nacimientos habrá 2 que tengan una proporción de niños menor del 40%
b. ¿Entre el 48 y el 52% de niños?
μ = N⋅ p(0'48 < p < 0'52) )


p )
0'48 z 0'48 0'50
( ) ( ) = (− < < ) =




=
−
p = 0'52 → z =
0'52 0'50
= −
−
= → =
< < = p 0'57 z 0'57
0'57
0'035
0'57
0'035
p 0'48 p 0'52
N 0'50, 0'035
)
)
SIMETRIA = p(z < 0'57)− p(z ≤ −0'57) = p(z < 0'57)− p(COMPL
z ≥ 0'57) = p(z < 0'57)− p(z < 0'57)=
F : 0'50
( ) ( ( )) ( ) ( ) 2 0'7157 1 0'4314
p z 0'57 1 p z 0'57 2 p z 0'57 1 2 0'57 1 = ⋅ − =
C: 0`07
  
  
< − − < = ⋅ < − = ⋅φ − =

9. De 1000 muestras de 200 recién nacidos, 431 de ellas tendrán una proporción de niños comprendida
entre el 48% y el 52%.
12. La cantidad de dinero que llevan (en sus bolsillos) las personas de una determinada ciudad se
distribuye normalmente, con media μ = 30 € y σ = 6 € ¿cuál es la probabilidad de que un grupo de 125
individuos lleve un total inferior a 3525 €.
Solución:
x ≡ Cantidad de dinero. Variable continua con distribución Normal
x : N(μ, σ) = N(30, 6)
Si se toman muestras de tamaño 125, las medias de estas siguen también una distribución Normal
N (30,0'54)

N 30, 6

 σ
μ

x : N , x  = n
x 125
x 
 
=  
 
Para la variable media muestral, se pide:
( ) ( ) = ( < − ) = ( > ) =
  
p x 28'2 x 28'2 z 28'2 30
  
p x 3525
 < = −
3'33 p z 3'33 p z 3'33
−

= → = = < = 

0'54
125
N 30,0'54 SIM
( ) ( ) ( ) F : 3'3
1 0'9996 0'0004
C: 0'03
p z 3'33 1 p z 3'33 1 3'33
COMPL
= − =
  
  
= ≤ = − ≤ = − φ =
La probabilidad que en un grupo de 125 personas la cantidad de dinero que llevan entre todos sea
menor de 3525 € es del 0’04 %
13. Supónganos que el 25% de los jóvenes carecen de sensibilidad ecológicas. Calcula el intervalo de
probabilidad al 99%, para la proporción de insensibles en muestras de tamaño 100.
Solución:
p )
≡ proporción de los jóvenes que carecen de sensibilidad ecológica. Se pide calcular un intervalo de
probabilidad para la proporción en muestras de tamaño 100, con una confianza del 99%.
Intervalo de probabilidad para la proporción:

 

 ⋅
 

p Z p q
⋅
, p + Z ⋅
p q
n
− α ⋅ α 2 2
n
) )
)
) )
)
donde:



=
0 p)
' 25 q =
0'75
n =
100
)
,
Zα se relaciona con el nivel de significación (α), y este a su vez con el de confianza
2
(1−α). Si el nivel de confianza es del 99%, el nivel de significación es:
α = 1 − 0’99 =0’01
Conocido α, se calcula
Zα mediante:
2
(0'9950) 2'58
1 0'01

= φ  − 
Z 1 1 1 1
2
2
2
= φ = 


 α
= φ− − − −
α
sustituyendo en el intervalo de confianza:
(0'138, 0'362)

 ⋅
0'25 2'58 0'25 0'75 , 0'25 2'58 0'25 0'75
 
= 100
100

 

+ ⋅
⋅
− ⋅
En muestras de 100 jóvenes, la proporción de los que carecen de sensibilidad ecológica con una
probabilidad del 99% estará comprendida entre 13’8% y el 36’2%.

10. 14. Al acto de presentación de unas oposiciones asistió el 65% de los candidatos. Si se hubiesen
tomado, elegidos al azar, 81 opositores, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 55?
Solución:
Se pide hacer una estimación de una proporción muestral (pˆ ) de asistentes a unas oposiciones
conocida la proporción poblacional. Puesto que el número de elementos de la muestra es superior a 30, la
distribución de las proporciones muestrales de tamaño n siguen una ley Normal cuyos parámetros son:

 

 ⋅
N p, p q
 

n
donde:



p = proporción de asistentes =
0'65
q = 1 − p = 1 − 0'65 =
0'35
n = nº de elementos de la muestra =
81
Por lo tanto las proporciones de muestras de 81 elementos siguen una normal:
N(0'65, 0'05)

 ⋅
pˆ : N 0'65, 0'65 0'35 =  
81

 

0'65
55


( ) ( ) F : 0'5
0'7190
C: 0'08
0'58 p z 0'58
81
0'05
z
p 55
81
p p 55
 < ) )
81
N 0'65, 0'05
=
  
  
= < =
 

 

=
−

= → = = 

La probabilidad de que asistan menos de 55 opositores de entre 81 es del 71’9 %
15. El 40% de los ciudadanos de una región se opone a la construcción de una presa. Si se pregunta a
60 personas de esa región, ¿qué probabilidad hay de que ganen los que se oponen?
Solución:
Se pide hacer una estimación de una proporción muestral conocido la proporción poblacional.
p ≡ Proporción de ciudadanos que se oponen a la construcción de una presa. p = 0’40.
Puesto que el número de elementos de la muestra es superior a 30, la distribución de las proporciones
muestrales de tamaño n siguen una ley Normal cuyos parámetros son:
N(0'40, 0'06)
 ⋅

)  ⋅
p : N p, p q N 0'40, 0'40 0'60
 = n
60
 

 

=  

 

Para que ganen los que se oponen, la proporción de la muestra tendrá que ser mayor del 50%.
( ) ) N ( 0'40, 0'06 ) ) = ( > ) COMPL
= ( ≤ )= − ( ≤ ) =
  
p p 0'50 p 0'50 z 0'50 0'40
  
=
−
> = = → = 1'67 p z 1'67 p z 1'67 1 p z 1'67
0'06
( ) ( ) ( ) F :1'6
0'9525 1 0'9525 0'0475
C: 0'07
N 0, 1
1 1'67 1'67
− =

 

  
    =

= − φ = φ =
Con la proporción poblacional del 40% para los que se oponen, la probabilidad de que en una
muestra de 60 individuos ganen los que se oponen es del 4’75%.

11. 16. ¿Cuantos unos deben de salir al lanzar un dado 200 veces para que con un nivel de confianza del
95% podamos asegurar que el dada no está trucado?
Solución:
Se pide calcular el intervalo de confianza para la proporción de unos al lanzar un dado 200 veces, y
una vez obtenido este que se transforme en valores medios.
1 , y en muestras de 200 lanzamientos la
Si el dado no está trucado la proporción de unos debe ser 6
proporción muestral seguirá una ley Normal cuyos parámetros son:
N(0'167, 0'026)
1
,
6
5
6
6



)  ⋅
p : N p, =
200
N 1
p q
n
    

    

⋅
=  

 

El intervalo de probabilidad para la proporción de unos en doscientos lanzamientos es:

 

 ⋅
 

, p + Z ⋅
p q
n
p Z p ⋅
q
− α ⋅ α 2 2
n
Para un nivel de confianza del 95%, el nivel de significación (α) es:
1 − α = 0’95 → α = 0’05
Conocido el nivel de significación se obtiene el valor de
Zα .
2
(0'9750) 1'96
1 0'05

= φ  − 
 α
Z = φ− 1 1 − − 1 −
1
2
2
2
= φ = 



α
Sustituyendo:
(0'115, 0'219)
1
5
6

1 6
=
200
1'96
, 1
6
1
5
6
6
200
1'96
6
    


    

⋅
+ ⋅
⋅
− ⋅
aplicando esta proporción a 200 lanzamientos, el número de unos que nos deben de aparece debe estar
comprendido entre (23, 43), ambos inclusive
17. Para una muestra, de tamaño 81, de alumnas de segundo de bachillerato se obtuvo una estatura
media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de
chicas de segundo de bachillerato es de 8 cm, construye los intervalos de confianza para la estatura media de
la población.
a) al 90%;
b) al 95%.
Solución:
Se pide calcular el intervalo de probabilidad para la altura media de muestras de 81 alumnas de 2º de
bachiller conocida una media muestral a dos niveles diferentes de confianza.
El intervalo de probabilidad a un nivel de confianza 1 − α a partir de una media muestral es:

 
 σ
 
, x Z
n
+ ⋅
σ
x Z
− α ⋅ α 2 2
n
donde: x = 167 , σ = 8, n = 81

 

 
167 Z 8
,167 Z 8
81
− α ⋅ + α ⋅ 2 2
81

12. Para un nivel de confianza del 90%:
1 0'1

= φ  − 
 α
1 − α = 0’90 → α = 0’1 : = φ− − − −
(0'9500) 1'65
Z 1 1 1 1
2
2
2
= φ = 



α
(165'5, 168'5)
, 167 1'65 8
81

167 1'65 8 = 81
 

 
− ⋅ + ⋅
Para un nivel de confianza del 95%:
1 0'05

= φ  − 
 α
1 − α = 0’95 → α = 0’05 : Z = φ− 1 1 − − 1 −
1
(0'9750) 1'96
2
2
2
= φ = 



α
(165'3, 168'7)
, 167 1'96 8
81

167 1'96 8 = 81
 

 
− ⋅ + ⋅
Al aumentar el nivel de confianza, aumenta la amplitud del intervalo.
18. Para la población de alumnas de segundo de bachillerato visto en el problema anterior:
a) ¿Qué error máximo se admite para la media poblacional en cada una de las estimaciones hechas?, al
90% y 95% de confianza.
Solución:
Se define el error máximo para una media muestral como:
εmax > μ − x
En función de los parámetros que caracterizan la distribución de las medias muestrales y del nivel de
confianza que se le quiera dar, el error máximo se define como:
n
Z
2
max
σ
ε > α ⋅
Sustituyendo la desviación y el número de datos
Z 8
81
εmax > α ⋅
2
• Para un nivel de confianza del 90%:
1 0'1


 α
1 − α = 0’90 → α = 0’1 : Z = φ− 1 1 − − 1 −
1
(0'9500) 1'65
2
2
2
= φ = 
= φ  − 

α
sustituyendo en el error máximo:
1'5
1'65 8 εmax > ⋅ =
81
• Para un nivel de confianza del 95%:
1 0'05

= φ  − 
 α
1 − α = 0’95 → α = 0’05 : Z = φ− 1 1 − − 1 −
1
(0'9750) 1'96
2
2
2
= φ = 



α
sustituyendo en el error máximo:
1'7
1'96 8 εmax > ⋅ =
81
Manteniendo el número de elementos de las muestras constantes, si se quiere aumentar el nivel de
confianza, se debe aumentar el error máximo admitido.

13. b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario en cada caso si se admite un error de 1cm?
Solución:
Partiendo de la definición de error máximo admitido, se puede despejar el número de elementos de la
muestra.
2

Z  
max n Z
n
2 2 max

 
ε
σ
→ > ⋅
σ
ε > α ⋅ α
Sustituyendo la desviación y el error máximo admitido
2

n >  Z ⋅ 8 
α
2 1

• Para un nivel de confianza del 90%:
Z 1'65
α =
2
sustituyendo en tamaño muestral:
174'25
n 1'65 8
1


2
= >  ⋅

n ≥ 175
• Para un nivel de confianza del 95%:
Z 1'96
α =
2
sustituyendo en tamaño muestral:
245'86
n 1'96 8
1


2
= >  ⋅

n ≥ 246
Si se quiere aumentar el nivel de confianza manteniendo el máximo error admitido constante, se debe
aumentar el tamaño de las muestras
19. Una investigación examina los gastos en consumo de una muestra de 64 familias españolas
elegidas al azar. La media muestral es de 10 000 € y la desviación típica s = 2 000 €. Construir el intervalo de
confianza 95% para todas las familias españolas.
Solución:
x ≡ gasto en consumo de las familias españolas. Variable continua que sigue una distribución normal,
de la que se conoce la desviación y se desconoce la media poblacional. Las medias de las muestras de tamaño
64 tamaño 64 también siguen una distribución Normal.
El intervalo de probabilidad a partir de una media muestral con un nivel de confianza 1 − α viene
representado por:

 
 σ
 
, x Z
n
+ ⋅
σ
x Z
− α ⋅ o
α 2
2
n
o
Para un nivel de confianza del 95%, el Z crítico se calcula de la siguiente forma:
1 0'05

= φ  − 
 α
1 − α = 0’95 → α = 0’05 : (0'9750) 1'96
Z = φ− 1 1 − − 1 −
1
2
2
2
= φ = 



α
Sustituyendo en el intervalo los datos del enunciado y el valor del Z crítico:
(9 510 , 10 490)
10 000 1'96 2 000 , 10 000 1'96 2 000
= 64
64

 
  
− ⋅ + ⋅
Con una probabilidad del 95%, el gasto medio en consumo de 64 familias Españolas estará
comprendido entre 9510 y 10490 €.

14. 20. En 1995, un informe de uno de los grandes bancos españoles afirmaba, a partir de una muestra de
tamaño n = 1200, que el 65 % de las familias españolas tenía dificultades económicas para llegar a fin de mes.
Construye el intervalo de confianza al 95% para la totalidad de las familias españolas.
Solución:
21. En un instituto, de los 250 alumnos de Bachillerato 180 de ellos eligen la religión católica como
optativa. En el supuesto de que esos alumnos sean representativos de su ciudad, determina el intervalo de
confianza para la proporción de los alumnos que eligen tal opción en toda la población, con una confianza del
99%.
Solución:
22. Un granjero quiere conocer el peso ganado por sus pollos tras un periodo de 15 días con una
nueva alimentación. Estima el número de pollos que habrá que pesar para conocer el peso medió ganado por
cada pollo, con un error máximo de 50g y una confianza del 90%, si por estudios sobre nutrición se sabe que
la desviación típica del aumento de pesos es de 150 gramos.
Solución:
36. septiembre 1999 (Puntuación máxima: 2 puntos) Una variable aleatoria tiene una distribución
normal de media μ y desviación típica σ. Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n,
a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ?
Solución:
La media de las medias muéstrales (x), es igual a la media real de la población (μ), mientras que la
desviación típica de las medias muéstrales viene dada por
σ
σ = . Esto significa que la distribución de las
x n
medias muéstrales de tamaño n, extraídas de una población normal N(μ,σ), se ajustan a una normal :

 
 σ
μ
 
n
Nx ,
b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12) calcúlese
p(X < 173'7) .

Solución:
Si tomamos  muestras, de tamaño 4, de una distribución N(165,12), las medias de estas muestras seguirán una

12 
distribución N 165, , es decir, x tendrá una distribución N(165,6). Para calcular la p(x > 173'7), habrá
 
4
que tipificar la variable con los parámetros de la distribución.
− μ
Z x 173'7 165
Sí x = 173'7 entonces 1'45
= , por lo tanto
6
x
=
−
=
σ
p(x > 173'7)= p(Z > 1'45) = p(Z ≤ 1'45)= 1− p(Z ≤ 1'45) = 1− φ(1'45) = 0'0735
0'0735
F →
1'4
(1'45) TABLA =
C .05

 

 
  
  
→
φ =

15. 38. (Puntuación máxima 2 puntos) Se está realizando una encuesta sobre el nivel de conocimientos
generales de los estudiantes de Bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de
éstos estudiantes, a los que se ha realizado un examen. Las calificaciones obtenidas han sido las siguientes:
7’8 6’5 5’4 7’1 5’0 8’3 5’6 6’6 6’2.
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de desviación típica
conocida e igual a 1. Se pide:
a) Un intervalo de confianza al 98% para la media de las calificaciones en el examen
b) El tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 0,5 puntos,
con un nivel de confianza del 95%.
Solución:
a) Se pide calcular un intervalo de confianza para la media (se supone poblacional) con un nivel de
confianza del 98%, a partir de una media obtenida de una muestra de tamaño 9. En estos casos la variable
N() σ
media de las muestras sigue una distribución del tipo x,σx , donde
σ = con lo que la distribución
n x

 σ
queda de la forma:  
 
Nx x, .
n
El intervalo de confianza para una variable con esta distribución viene dado por la expresión:

 
 σ
 
x Z 2 2
, x Z
n
+ ⋅
σ
− α ⋅ α n
Donde α representa el riesgo que se asume.
Nivel de confianza = 1 − α = 0’98; α = 0’02; α = 0'01; φ −
1 (Z ) 2 α 2 = 1 − α 2 = 0'99 ⇒ Z α
2 = 2'33
6'5
7'8 + 6'5 + x 5'4 + 7'1 + 5'0 + 8'3 + 5'6 + 6'6 +
6'2 =
9
=
(5'7 , 7'3)
, 6'5 2'33 1
9

6'5 2'33 1 = 9
 

 
− ⋅ + ⋅
b)
n
Emáx Z 2
σ
= α ⋅ despejando n:
2
 σ
> α ⋅
n Z 2 E
máx

 
 
1 − α = 0’95; Zα 2 = 1'96
15'4 n 16
n 1'96 1
0'5
2

≥ ⇒ = 
>  ⋅

39 (Puntuación máxima 2 puntos)
Dos variables aleatorias independientes X1 y X2 siguen una distribución normal con media μ y la
desviación típica σ.
a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria
X X
X 1 2 +
= ?
2
b) Si μ=15 y σ=√8, calcúlese p(X1+X2>28).
Solución.

16. a. La nueva distribución será la correspondiente a una variable media muestral con tamaño de muestra
n = 2, por lo que su distribución será:

 
 σ
μ
 
2
NX ,
28
X X

b. ( ) p(X 14)

1 2 2
 = < p X X 28 p 1 2
2

 
<
+
+ < =
siendo X la variable media muestral de tamaño 2, cuya distribución es:


N 15, 8 X X =  
N (15, 2)
2

 

  
p X 14 Z 14 15
  
( ) = −
= ( < − ) = ( > ) = ( ≤ )= − ( ≤ ) = − φ( ) =
−
< = = 0'5 p Z 0'5 p Z 0'50 p Z 0'50 1 p Z 0'50 1 0'50
2
Simetrica
= 1 − 0’6915 = 0’3085
p(X1+X2>28) = 30’85%