El documento describe la historia de la circunferencia de los nueve puntos. Se atribuye su descubrimiento a Karl Wilhelm Feuerbach, aunque en realidad descubrió la circunferencia de los seis puntos. Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Más tarde, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció tres puntos adicionales.

1. MOTIVACION :
Circunferencia de las 9 puntas
Se conoce como circunferencia de los nueve
puntos a la circunferencia asociada a cada
triángulo. Su nombre deriva del hecho que la
circunferencia pasa por nueve puntos notables,
seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que
el triángulo sea obtusángulo). Estos son:
el punto medio de cada lado del triángulo,
los pies de las alturas, y
los puntos medios de los segmentos determinados
por el ortocentro y los vértices del triángulo.
Al círculo de los nueve puntos se le conoce
también entre otros como círculo de Feuerbach,
círculo de Euler, círculo de los seis puntos o
círculo medio inscrito

2. LECTURA :
Historia de la
circunferencia de los
nueve puntos
Generalmente,[1] se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el
descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin
embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia
de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran
los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de
las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E
G J).
Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet
habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de
Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del
círculo y reconoció además que los puntos medios de los
segmentos determinados por los vértices del triángulo y el
ortocentro, también están contenidos en la circunferencia
(en la figura, los puntos: D F H).

4. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

5. Elementos
Puntos y rectas en una circunferencia
Posiciones relativas a
dos circunferencias
El número PI
Longitud de la circunferencia

6. Elementos de la circunferencia
centro

7. ELEMENTOS DE
LA
CIRCUNFERENCIA
4:Recta
tangente.-, la
que toca a la
circunferencia en
un sólo punto
1:Centro.- el punto
interior equidistante
de todos los puntos
de la
circunferencia;
5.Punto de
tangencia, el de
contacto de la
recta tangente
con la
circunferencia;
2:Radio.- el
segmento que une
el centro con un
punto cualquiera de
la circunferencia;
6:Recta
secante.- la que
corta a la
circunferencia
en dos puntos;
3:Diámetro.-, el
mayor segmento
que une dos puntos
de la circunferencia
(necesariamente
pasa por el centro);
7:Cuerda.segmento que
une dos puntos
de la
circunferencia; (
cuerda máxima
el diámetro)
8:Fecha o sagita:
segmento
perpendicular
entre la cuerda y
su arco
9:Arco.-, el
segmento
curvilíneo de
puntos
pertenecientes a
la circunferencia
10:
Semicircunferencia
, cada uno de los
dos arcos
delimitados por los
extremos de un
diámetro

8. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
sagita
Q

Cuerda PQ
Recta
secante
P

Radio
A
B

Centro
Arco BQ
Diámetro
( AB )
T

Punto de tangencia
Recta
tangente

9. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia
perpendicular a la recta tangente.
R
L
es

10. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
R PQ
PM MQ

11. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A
B


C
D
Si : AB // CD
mAC
mBD

12. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
C
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
B
Las cuerdas
equidistan del
centro
Si : AB CD
D
mAB mCD

13. POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia

14. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
d>R+r

15. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
Punto de tangencia
R
Distancia entre
los centros (d)
d = R + r
r

16. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de
tangencia
r
R
d
d=R-r
d: Distancia entre los centros

17. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
Distancia entre
los centros (d)
(R–r)<d<(R+r)

18. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
Distancia entre
los centros (d)
d2 = R2 + r2

19. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d<R-r
d: Distancia entre los centros

20. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
A
R
P
R
B
AP = PB

21. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
A
B
R
r
r
R
AB = CD
P

22. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
D
M
B
C
AB = CD

23. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
Inradio
b
a
r
c
a + b = c + 2r

24. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
b
Cuadrilátero circunscrito
c
a
d
a + c = b + d

25. El Teorema de Steiner :
En todo cuadrilátero ex-inscrito la diferencia de dos lados opuestos
es igual a la diferencia de los otros dos.
a-c=b-d
r
b
c
d
a
a - c = b - d
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26. El círculo
Círculo
Semicírculo

28. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
r
C
r
B
= mAB

29. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
D
A
C
B
mAB mCD
2

30. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
A
B
C
mAB
2

31. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
C
B
mAB
2

32. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
A
C
B
mABC
2

33. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
A
C
mACB - mAB
2
O
B
+ mAB = 180°

34. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
C
O
D
A
mAB - mCD
2

35. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
B
O
C
A
mAB - mBC
2

37. Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x
m PQS
Se traza la cuerda SQ
Q
70º+x
50°
2X
P
mQRS
2
Reemplazando:
140º 2x
m PQS
2
70º x
En el triángulo PQS:
R
X
X + (X+70) + 50° = 180°
Resolviendo la ecuación:
S
140°
X = 30°

38. Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
RESOLUCIÓN
PSQ = x
En el triángulo rectángulo RHS
m
Por ángulo inscrito
Q
mQR
70º
2
S
70°
140°
20°
R
S = 70º
X
mQR = 140°
Es propiedad, que:
P
140° + X = 180°
Resolviendo:
X = 40°

39. Problema Nº 03
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
RESOLUCIÓN
Medida del ángulo interior
APD = x
A
130
B
130°
50°
D
C
mBC
90
2
mBC = 50°
Medida del ángulo exterior
x
X
P
130
50
2
Resolviendo:
X = 40°

40. Problema Nº 04
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.
RESOLUCIÓN
Se traza el radio OM:
APN = x
N
Dato: OM(radio) = PM
54°
A
Luego triángulo PMO es isósceles
M
o
x
x
B
Ángulo central igual al arco
x
P Medida del ángulo exterior
X
Resolviendo:
54
X
2
X = 18°

41. Problema Nº 05
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la m PRQ.
RESOLUCIÓN
B
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
70° + mPQ = 180°
70°
110°
Medida del ángulo inscrito:
Q
P
X
x
A
R
mPQ = 110°
C
110
2
Resolviendo:
X = 55°

42. Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo “X”.
A
70°
X
B
P
Resolución

43. RESOLUCIÓN
C
A
70°
140º
X
P
B
Medida del ángulo inscrito:
mAB
70º
2
mAB=140º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
140º + x = 180º
Resolviendo:
X = 40º

44. Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º
B
X
Resolución
P

45. A
260º
130º
RESOLUCIÓN
X
C
P
B
Medida del ángulo inscrito: 130º
mAB
2
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º
mAB = 260º
mACB = 100º
Por la propiedad del ángulo exterior
mACB + x = 100º
formado por dos tangentes:
X = 80º

46. Problema Nº 08
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR .
PLANTEAMIENTO
Q
a
80º
X
P
R
S
a
Resolución

47. RESOLUCIÓN
Q
a
80º
P
X
R
En la circunferencia:
S
2a + 80º = 360º
a = 140º
a
Medida del ángulo exterior:
a 80º
X
2
140º 80º
2
X = 30º

48. Problema Nº 09
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
B
2
A
C
5
5
Resolución

49. RESOLUCIÓN
B
a
2
b
A
5
5
C
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
a + b = 14
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
Reemplazando (1) en (2)
(2p) = 14 + 10
(1)
(2)
(2p) = 24

50. Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Q
PLANTEAMIENTO
3
R
P
2
Resolución
S

51. Q
RESOLUCIÓN
Dato:
a
b
3
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
d
Teorema de Poncelet:
PQR  a + b = PR+2(3)
PSR  c + d = PR+2(2)
c
S
+
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10
PR = 6cm