actividad geometría origami

2. Plano, recta y punto.

3. Línea que pasa por un punto

4. Línea que pasa por dos puntos

5. Línea perpendicular a una dada

6. Línea perpendicular que pasa por
un punto

7. Línea paralela a una dada

8. Angulos entre dos rectas paralelas
cortadas por una secante.

9. Bisectriz y punto medio de un
segmento

10. Mediatriz de un ángulo

11. CONSTRUCCIÓN DE UNA LÍNEA RECTA

12. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO
DOBLANDO PAPEL

14. ¿Qué ángulo forma BA con EF? ¿Por qué?
 Angulos Rectos ,debido a que forman 90º grados cada
uno

15. ¿Qué es BA en el triángulo EBF?

16. ¿Qué es A en el segmento EF ?
¿Por qué?.

17. ¿Qué es también BA en el
triángulo EBF?

18. EBF es ………….. con base EF

19. Por ello los ángulos EBA y FBA
son ……………………
ISOSCELES (IGUALES)

20. Pero el ángulo EBF por doblado
(vuelve al apartado 2.) es igual al AB...
C
Luego los tres ángulos son iguales y
suman …… 180º

21. Así EBF es un ángulo de ……. 60º
por ser isósceles el EBF sobre EF
tenemos que BEF y BFE
miden también 60º
Luego EBF es un triángulo
equilátero

22. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO
ISÓSCELES

23. Buscamos ahora triángulos isósceles inscritos en el
rectángulo, compartiendo dos vértices contiguos,
pero que no sean las anteriores, es decir que el
lado desigual no sea un lado del rectángulo.

24. Se trata de hallar dos puntos N y P en el lado CD
tales que AND y ABP sean triángulos isósceles. Son
dos problemas distintos. Supón el problema resuelto.

25. CONSTRUCCIÓN DE
CUADRILÁTEROS

27. CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO
REGULAR COMO NUDO.

28. A
Al doblar una tira rectangular el triángulo solapado ACB es
isósceles ya que los ángulos señalados en el primer dibujo son
iguales y por tanto (al desdoblar) los del segundo. Así: AC' =
BC, pero por doblez también AC' = AC.
B
C A C
M
C' B

29.  Si doblada ya una vez
la tira como antes, la
doblamos otra vez
como en la figura de la
izquierda obtenemos
que los triángulos
isósceles ACB y DAC
son iguales. Ello ocurre
porque comparten uno
de los lados iguales y
además las alturas
sobre ese lado AC son
en ambos casos el
ancho de la cinta.
A
B
C
D

30.  Al hacer el nudo y
ajustar provocamos la
igualdad de los cinco
triángulos solapados
ACB, BED, DAC,
CBE y EDA, y por
tanto la igualdad de
sus "bases" y la
regularidad.
 (Queremos observar
que esta construcción
no es de "regla y
compás", ya que el
término "ajustar“ no
responde a ese
esquema).
E
A C
B D

31. CONSTRUCCIÓN DE UN
PENTÁGONO REGULAR A
PARTIR DE UN CUADRADO

32. Sea E el punto medio de BC.
Tracemos la bisectriz de BEA.
Sea G en EA tal que EB = EG.

33. Tracemos la bisectriz de EAB y sea X en BA
tal que AG = AX. Sea M el punto medio de
BX y N su simétrico respecto a la mediatriz
de BA. MN es el lado del pentágono regular
que buscamos. Transportemos esa medida.

34. Hagamos un doblez que pasando por M lleve N al
lado BC y marquemos el punto P.
Sea Q el simétrico de P respecto a la mediatriz de
BA.
Un doblez que pase por P y lleve M a la mediatriz
anterior determina el quinto vértice.

35. COMPROBACIÓN DOBLANDO PAPEL DE LA
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO.
ÁREA DEL TRIÁNGULO.

36. Recorta un triángulo cualquiera. Apóyalo
sobre el lado más largo. Doblando traza una
altura sobre ese lado.

37. Doblando lleva B sobre T

38. Lleva también A y C sobre T .

39. - Los tres ángulos dibujados forman un ángulo
…………. llano, es decir suman ………180º. Pero
esos ángulos son los ángulos del triángulo de
partida. Los ángulos de un triángulo suman
….180º

40. El área del triángulo es el 1/3 de la del
rectángulo
El segmento MN mide la ……….. Mitad
de la base BC.
La altura del rectángulo final es la ………..
Mitad de la altura del triángulo ABC.

41. TRAZADO DEL INCENTRO DOBLANDO PAPEL.
IGUALDAD DE LA DISTANCIA DEL INCENTRO
A LOS LADOS.

42. Traza doblando sus bisectrices (une de dos
en dos los lados que forman los distintos
ángulos). Observa que las tres líneas se
cortan en un punto (tiene que salir bastante
bien ya que el trazado de bisectrices
doblando es fácil). Marca por las dos caras
del papel ese punto y nómbralo con la letra
I recibe el nombre de incentro del triángulo.

43. Ahora vamos a trazar segmentos perpendiculares desde
I a los lados. Hacemos resbalar un lado sobre él mismo
doblando el papel, aplastando sin marcar hasta que
vemos aparecer en el doblez el punto I. Sin perder la
guía del lado marcamos el doblez desde I hasta el lado.
Repetimos la operación en los otros lados.

44. Doblando los segmentos IA, IB e IC en forma de
colina (hacia fuera) y los segmentos IJ, IK e IL
en forma de valle (hacia dentro), conseguimos
juntar estos tres últimos segmentos, lo que
prueba que son iguales.

45. TRAZADO DEL CIRCUNCENTRO
DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA
DISTANCIA A LOS VÉRTICES.

46. Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus
mediatrices doblando papel (haz coincidir de dos en dos sus
vértices). Comprueba que las tres se cortan en un punto que
notaremos con la letra F y que llamamos circuncentro.

47. Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF.

48. Doblando en forma de valle por FM, FN y FP y
en forma de colina por AF, BF y FC obtendrás
una estrella de tres punta que es posible cerrar
juntando los tres brazos, comprobando que los
segmentos AF, BF Y CF son iguales. Por ello F es
el centro de una circunferencia que pasa por
……………………… Δ A B C, la circunferencia
circunscrita al triángulo.

49. La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que
son ………. Iguales Por tanto miran al lado común bajo
un ángulo de …..90º y así M, N y P en esa figura
plegada están en una circunferencia de centro
…………………… y radio ………………….
El plegado nos advierte también de la igualdad de
ángulos tanto en F como en los vértices. Localiza esos
ángulos iguales en el triángulo ABC.

50. POLÍGONOS REGULARES: OCTÁGONO-HEXÁGONO

51. Duplicación del número de lados de un polígono
regular
Veamos como obtener mediante plegado un
octógono regular a partir de un cuadrado.
Partimos de un cuadrado que podemos haber
obtenido a partir de una hoja rectangular

52. Doblando trazamos los ejes de simetría del cuadrado.
Una vez hecho esto, doblamos haciendo coincidir dos
ejes consecutivos:
Sin desdoblar la figura, doblamos las cuatro puntas no
solapadas y desdoblamos habiendo obtenido un
octógono regular:

53.  El hexágono regular a partir de
un triángulo equilátero se puede
hallar siguiendo el método
anterior de duplicación, o más
rápidamente localizando su
centro (¿cómo?) y después
doblando las puntas hacia él:
 La figura resultante está formada
por un hexágono regular y tres
triángulos equiláteros de igual
lado que el hexágono. Si cuatro
de vosotros juntáis cuatro piezas
de éstas, podréis formar el
tetraedro truncado, poliedro
formado por cuatro hexágonos
regulares y cuatro triángulos
equiláteros pudiendo usar el
exceso de triángulos para unir
con pegamento las piezas.

54. CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO INSCRITO  Cortar un círculo de papel
(recomendamos unos 9 cm.
de diámetro).
•Pliéguenlo y marquen lo
en forma "simétrica",
refleja, perfecta.

55.  Ahora, hagan un segundo
doblez "simétrico" con lo
obtenido
•Con los cuatro puntos (V, W, X
e Y) y el centro marcados,
sobrepongamos V con O.
Obtenemos Ay B.
•Usando A sobrepongamos
O con el arco de
circunferencia y
obtengamos C.

56.  Unamos con un doblez A y C. Tenemos el triángulo
ABC:

57. CONSTRUCCIÓN DE UN EXÁGONO REGULAR

58.  Cortar un círculo de papel
(recomendamos unos 9
cm. de diámetro)
•Pliéguenlo y marquen lo
en forma "simétrica",
refleja, perfecta.
•Ahora, hagan un segundo doblez "simétrico" con lo
obtenido (2), tal y como lo hicimos con el cuadrado.

59.  Con los cuatro puntos (A, W, D e Y) y
el centro marcados, sobrepongamos A
con O. Obtenemos B y F.
Luego, usando D, lo sobreponemos
a O, y marcamos el doblez, con los
extremos C y E (4) .
•Tenemos los puntos A , B, C, D, E y
F, que son los vértices. Si unimos los
puntos por doblez (no sobreponer)
obtenemos el hexágono regular.
También podemos unir con un
lapicero o plumón, o si lo deseas,
recortarlo.

60. hexágono y sus propiedades a
través de una orientación dirigida y
comparta sus experiencias con sus
compañeros.

61. CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO-OCTÓGONO

62. Construya un cuadrado inscrito a
una circunferencia.

63. CONSTRUCCIÓN DE UN
OCTÓGONO

64. Construye un octógono regular por
el método de duplicación  Partimos de nuestro
cuadrado, ABCD,
según la Sesión 1.
(Figura 1). Ahora,
sobreponemos A
con D, y B con C
(Figura 2).
Sin desdoblar, hacemos coincidir
simétricamente el punto donde
concurren D y A, y el punto B con
C.(figura 3). Al desdoblar
observamos la figura 4. Allí se
observan también los puntos
nuevos EFGH.

65.  Basta unir consecutivamente los puntos en la
circunferencia (A- E- B- F-C-G- D- H) para
determinar nuestro octágono (Figura 5).
Podemos unirlos con una doblez (sin
sobreponerlos) o con lápiz y regla. También
podemos colorearlo y remarcar sus diagonales
(Figura 6).

66.  Si unimos con regla y lápiz los 2 cuadrados formados,
ABCD y EFGH, (Figura 7) y coloreamos el área,
obtenemos un octágono estrellado (Fig 8).

67. CONSTRUYENDO UN TETRAEDRO REGULAR  Partiendo del triángulo,
construido a su vez con
dobleces, unamos ahora,
cada uno de los 3 vértices,
por ejemplo, empezando
con A, con el punto medio
del lado opuesto.
Formamos un nuevo
triángulo, más pequeño,
como vemos en la Figura 3

68.  Ahora, tratemos de unir
estos 4 triángulos por sus
lados de la forma mas
exacta, y lo mas
herméticamente que sea
posible (con los menores
vacíos entre ellos). De
hecho, varios lados están
ya unidos entre sí en
forma exacta y hermética
(los del triángulo
pequeño del centro),
pero faltan los lados
"externos".

69.  La única forma de unir los 4 triángulos por los lados es
saltando del plano ....Unamos, por ejemplo, el vértice A
con el B ...¡Esto no se puede hacer en el plano!. Salta
del plano en que está el triángulo base Ahora, unamos
también el vértice C. La única forma de hacerlo es esta
....(Figura 4).
 ¿Que hemos obtenido?. ¡Un tetraedro!. Un sólido,
POLIEDRO REGULAR (cuyas caras son también
polígonos regulares), formado de 4 caras triangulares.

70. TEOREMA DE PITÁGORAS
 Construya un tetraedro e identifique sus partes a través
de una orientación dirigida y comparta sus
experiencias con sus compañeros.

71. Comenzamos tomando un
cuadrado de papel y eligiendo un
punto A cualquiera del lado
superior.

72. Doblamos por las líneas de puntos y vamos
marcando los lugares en los que cae el
punto A
Obtendremos algo así:

73. Doblamos por las líneas azules
y tenemos el siguiente dibujo:

74. Demuestra el Teorema de Pitágoras
calculando de dos formas distintas
el área del cuadrado ABCD
2
 
.
2
A a

4


A  b c  b  b c 
c
2 2 2
2 2
2
2 . 2. .
a b c
b c
b c
A
 
  



75. GRACIAS