1. Distribución de probabilidad
binomial

2. COMBINACIONES
En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de
maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n
objetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos
tomados de entre n objetos.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados
de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:
n n!
Cr =
r !( n − r )!
El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir que se
multiplican los valores del 1 hasta n:
ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

3. .
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados
de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:
Ejemplo.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
¿Cuántas maneras de escoger tiene?
¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?

4. a) Las 8 preguntas pueden tener
10!
10
C8 = = 45
8!(10 − 8)!
45 combinaciones posibles
b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras
5 de las 7 últimas preguntas, por lo que
7!
7
C5 = = 21
5!(7 − 5)!
tiene 21 maneras posibles todavía

5. Distribución Binomial
En los temas anteriores, hemos considerado que la variable puede tomar
una infinidad de valores. Por ejemplo la talla de una población de
estudiantes puede tomar casi cualquier valor entre 1.5 y 2 metros.
Estos casos se tratan entonces de distribuciones de variables
continuas y un caso general es la distribución normal.
Sin embargo, en ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar
un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar
ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable
discreta.
Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que
cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la
probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma
siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso tiene igual
probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre
igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún
lado es 0.5.

6. Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de
total posibilidades (2) y considerando cada uno de los casos (1).
Entonces
F 1
P= =
N 2
donde
P es la probabilidad de que algo suceda
F es el número de casos favorables (o éxitos)
N es el número total de posibilidades.
La manera más común en que se presentan las probabilidades de una
variable discreta es la distribución conocida como binomial.
binomial

7. Para construir un proceso binomial se necesita lo siguiente:
1) En el experimento sólo hay dos posibles resultados
EXITO
FRACASO
Esto puede tomar la forma que queramos, por ejemplo que salga bien un
producto de una máquina (éxito) o que salga defectuoso (fracaso).
2) A la probabilidad de éxito le llamamos “p ”
3) A la de fracaso le llamamos “q ”
4) Se cumple que p + q = 1 (por lo tanto q = 1 – p )
5) La probabilidad de éxito permanece constante
6) Los eventos son independientes.
Por ejemplo: Al tirar una moneda 15 veces, cada vez que tire la moneda
no se va a ver afectada por lo que pasó en el evento anterior; cada vez
que tire un dado y espero que salga un número en particular la
probabilidad no va a depender del número que haya salido antes, etc.
7) El experimento se realiza “n ” veces
8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de “éxito” P(x), en los “n ”
intentos (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo significa que
ocurra el evento).

8. Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las posibles
combinaciones de la variable, y multiplicarlas por las probabilidades de
cada suceso:
n− x
P( x) = C p q n
x
x
Donde
P(x) = Probabilidad de éxito
n n!
Cx = es el total de posibles combinaciones
x! ( n − x )!
x número de éxitos que se busca
n número de total de eventos
p probabilidad de éxito
q probabilidad de fracaso

9. Ejemplos:
1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados?
Para este problema n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que:
6! 720
P ( 4) = ( 0 .5 ) ( 0 .5 ) =
4 2
0.015625 = 0.2343
4!⋅2! 24 ⋅ 2
Respuesta: 23.43%
2. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente
potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor
visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno de los clientes haga una compra, o sea de que P(x=0)
P ( 0 ) = C 0 ( 0 .2 ) 0 ( 0 .8 ) 6
6
6!
P(0 ) = ( 0 .8 ) 6
0 !⋅ 6 !
Respuesta: 26.21%
P ( 0 ) = ( 0 . 8 ) 6 = 0 . 262144

10. b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x=4)
P ( 4 ) = C 4 ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2
6
6!
P ( 4) = ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2
4!⋅2!
P (4) = 0.0154 Respuesta: 1.54%
c) A lo más, tres prospectos realicen una compra, esto es P(x≤3), o sea
que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas.
Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido:
P( x ) = P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 )
P ( x ) = C 0 ( 0.2 )0 ( 0.8 )6 + C1 ( 0.2 )1 ( 0.8 )5 + C 2 ( 0.2 )2 ( 0.8 )4 + C 3 ( 0.2 )3 ( 0.8 )3
6 6 6 6
P ( x ) = 0.983
Respuesta: 98.3%

11. El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de
computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el
período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es
la probabilidad de que?
a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba
en este caso P(x=1)
P (1) = C1 (0.02)1 (0.98)9
10
P (1) = 0.167 Respuesta: 16.7%
b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba. P( x≥2)
P( x ) = 1 − P( 0 ) − P( 1 )
P ( x ) = 1 − C 0 ( 0.02 )0 ( 0.98 )10 − C1 ( 0.02 )1 ( 0.98 )9
10 10
P ( x ) = 0.016
Respuesta: 1.6%

12. Actividad 1.
Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de
estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3
estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso?
en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2)
x ≠ 0 ,1 y 2 n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90
P( x) = 1 − P(0) − P(1) − P(2)
P( x) = 1 − C0 (0.1)0 (0.9)15 − C1 (0.1)1 (0.9)14 − C2 (0.1) 2 (0.9)13
15 15 15
P( x) =

13. Media y Varianza de una distribución discreta de probabilidades.
Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la
siguiente manera:
μ = E ( x ) = ∑ xi P( xi )
Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman
Por otro lado la varianza se calcula:
σ = E [( x − μ ) ] = ∑ ( x i − μ )2 P ( x i )
2 2
Siendo la desviación estándar como anteriormente:
σ = σ2

14. Ejemplo:
El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de
la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las
posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos
salgan águilas:
P( 0 ) = C0 (.5 )0 (.5 )2 = 0.25
2
P( 1 ) = C1 (.5 )1(.5 )1 = 0.5
2
P( 2 ) = C2 (.5 )2(.5 )0 = 0.25
2
sustituimos en las fórmulas:
μ = E ( x ) = ∑ xi P ( xi )
μ = 0( 0.25 ) + 1( 0.5 ) + 2( 0.25 ) = 1
σ 2 = ∑ ( x i − μ )P ( x i )
σ 2 = ( 0 − 1 )2 ( 0.25 ) + ( 1 − 1 )2 ( 0.5 ) + ( 2 − 1 )2 (.25 ) = 0.5
σ = σ 2 = 0.707