FUNCIONES

1. Funciones

2. Diagrama Conceptual
F u n c io n e s
 Pares Ordenados
 Producto Cartesiano P a r e ja s
 Relaciones O rd e n a d a s
 Funciones P ro d u c t o
C a rte sia n o
 Dominio, Codominio e Imagen
 Clasificación de Funciones R e la c io n e s D o m in io
 Algebraicas
F u n c io n e s C o d o m in io Im a g e n
 Trascendentes
 Suprayectivas
F u n c i o n e s A lg e b r a i c a s F u n c io n e s n o A l g e b r a i c a s
 Inyectivas
Fu n c ió n C o n s ta n te  Fu nc io n e s C ir c u la re s
 Biyectivas Fu n c ió n Id e n t id a d  Fu nc ió n E x p o n e n c ia l
Fu n c ió n V a lo r A b s o l u t o  Fu nc ió n L o g a r í tm i c a
 Crecientes Fu n c ió n Lin e a l  Fu nc io n e s H i p e rb ó lic a s
 Decrecientes Fu
Fu
n
n
c
c
ió
ió
n
n
C u a d r á t ic a
P o li n o m i a l
 Pares
 Impares
S u p r a y e c ti v a s In y e c ti v a s
 Composición de Funciones
 Función Inversa B iy e c t iv a s Á lg e b r a d e F u n c i o n e s
 Álgebra de Funciones C o m p o s ic ió n F u n c ió n


S u m a d e F u n c io n e s
D i fe re n c i a d e F u n c i o n e s
 Gráficas de Funciones d e F u n c io n e s In v e r s a 

P r o d u c to d e F u n c i o n e s
C o c ie n t e d e F u n c i o n e s

3. Producto Cartesiano
 Sean los conjuntos A y B, su producto
cartesiano A x B es el conjunto de
TODOS los pares ordenados cuyo
primer elemento pertenece al
conjunto A y su segundo elemento
pertenece al conjunto B.
A x B={(x,y)|x∈A, y∈B}

4. Representación Geométrica
B
Le c h e re f re s c o 3
C e re a l
S a n d w ic h c a fé 2
C a fé
Hue vo s le c h e 1
C a rn e R e fre s c o
1 2 3 4 P
c e re a l s a n d w ic h c a rn e hue vo s

5. Sistema Coordenado
e je d e l a s o r d e n a d a s
y
s e m ie j e p o s it iv o
3
c u a d r a n t e II c u a d ra n t e I
2
1
s e m ie je n e g a t i v o s e m i e je p o s i t i v o
-2 -1 0 1 2 3 4 x
se m ie je n e g a tiv o
-1
e j e d e la s a b s c i s a s
c u a d r a n t e III
c u a d ra n t e IV
-2

6. Relaciones y Funciones
 Se le llama relación del  Se le llama función del
conjunto A en el conjunto A en el
conjunto B a un conjunto B a un
subconjunto R de AxB. subconjunto f de AxB con
la propiedad de que cada
elemento de A es primer
R:A→B componente de un par
ordenado y para toda
 Al conjunto A se le llama a∈A se cumple que si
dominio de R, al (a,b) y (a,c) pertenencen
conjunto B se le llama a f, entonces b=c.
codominio de R y al
conjunto C de los
elementos de B que son
segundo componente de
los pares ordenados de R
se le llama imagen

7. Clasificación de funciones
 Función Suprayectiva. Si todo elemento
del codominio de una función f es imagen
de al menos un elemento de su dominio,
entonces f es una función suprayectiva.
 Función Inyectiva. Una función se llama
inyectiva si cualquier para de elementos
diferentes del dominio les corresponden
imágenes diferentes en el conjunto
dominio.
 Función Biyectiva. Una función es
biyectiva si es, al mismo tiempo,
suprayectiva e inyectiva.

8. Clasificación de Funciones
 Funciones  Funciones
Algebraicas Trascendentes
 Función Constante  Función
 Función Identidad exponencial
 Función Valor  Función Logarítmica
absoluto  Funciones
 Función Lineal Circulares
 Función cuadrática  Funciones
Hiperbólicas
 Función polinomial
 Función Racional

9. Función Constante
 Sea f: R→R, donde
f(x)=C donde c es y
cualquier constante 3 f( x )= 2
numérica en los reales. 2
La función constante
no es inyectiva, ni 1
suprayectiva, por lo
x
tanto tampoco es -2 -1 0 1 2 3 4
-1
biyectiva, no es
creciente ni -2
decreciente.

10. Función Identidad
 Sea f: R→R, donde
f(x)=x es decir que a y
cada número real le 3 f(x )= x
corresponde el mismo
2
número reales. La
función identidad es 1
inyectiva, suprayectiva
y, por lo tanto, es -2 -1 0 1 2 3 4 x
biyectiva, la función es -1
creciente. -2

11. Función Valor Absoluto
 Sea f: R→R, donde
y
f(x)=|x| donde |x| se
f(x )= |x |
define como el valor 3
absoluto de x. La 2
función no es
1
biyectiva, es decir, no
es inyectiva ni x
-2 -1 0 1 2 3 4
suprayectiva, la
-1
función tiene un rango
de decrecimiento y un -2
rango de crecimiento.

12. Función Lineal
 Sea f: R→R, donde
f(x)=Ax+B donde A y y
B son cualquier 3
constante numérica en
los reales. La función 2
es suprayectiva, 1 f(x )= 2 x -1
inyectiva y, por lo
tanto, biyectiva. La x
-2 -1 0 1 2 3 4
función es creciente o -1
decreciente
dependiendo de los -2
valores de A y B

13. Función Cuadrática
 Sea f: R→R, donde
f(x)=Ax2+Bx+C
donde A, B, y C son y
cualquier constante 3
numérica en los reales.
La función no es 2
suprayectiva, no es
inyectiva, y, por lo 1 f(x )= x 2
tanto, no es biyectiva.
Los rangos en donde la -2 -1 0 1 2 3 4 x
función es creciente o -1
decreciente depende
de los valores de las -2
constantes numéricas.

14. Función Polinomial
 La función constante, la lineal y la
cuadrática, son casos particulares de la
Función Polinomial de grado cero, uno y
dos, respectivamente. En general la función
polinomial de grado n se define como f:
R→R, donde la función se define como:
f(x)=a0xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x+ an
donde n es un entero no negativo y a0 ≠ 0.
 Al cociente de dos funciones polinomiales se
le denomina función racional.

15. Composición de Funciones
 Una función cuya variable independiente es
otra función, es decir, una función de una
función se conoce como composición de
funciones. Por ejemplo, si tenemos la
función f(u)=u2 pero u=g(x)=300+x y
sustituimos el valor de u en f(u)
obtenemos:
f(g(x))=(300+x)2
 A esta función se le llama función
composición de f y g, se simboliza como
f°g y se lee “g composición f”.

16. Función Inversa
 Sea f:A→ B, una función biyectiva, la
función f-1:B→ A, donde la regla de
correspondencia de esta función es:
f-1={(f(x),x)|x∈ A} , se llama
función inversa de f.

17. Álgebra de Funciones
 Suma. Sean f(x), g(x) dos  Multiplicación. Sean f(x),
funciones reales cuyo g(x) dos funciones reales
dominio es el conjunto Af y cuyo dominio es el conjunto
Ag respectivamente, Af y Ag respectivamente,
entonces (f+g)(x) es una entonces (f⋅ g)(x) es una
función cuyo dominio es el función cuyo dominio es el
conjunto Af ∩ Ag y regla de conjunto Af ∩ Ag y regla de
correspondencia: (f+g)(x)= correspondencia: (f⋅ g)(x)=
f(x)+g(x) f(x)⋅ g(x)
 Resta. Sean f(x), g(x) dos  División. Sean f(x), g(x) dos
funciones reales cuyo funciones reales cuyo
dominio es el conjunto Af y dominio es el conjunto Af y
Ag respectivamente, Ag respectivamente,
entonces (f-g)(x) es una entonces (f/g)(x) es una
función cuyo dominio es el función cuyo dominio es el
conjunto Af ∩ Ag y regla de conjunto Af ∩ Ag y regla de
correspondencia: (f-g)(x)= correspondencia: (f/g)(x)=
f(x)-g(x) f(x)/ g(x)

18. Igualdad de Funciones
 Sean f(x), g(x) dos funciones reales
cuyo dominio es el conjunto Af y Ag
respectivamente, entonces
f(x)=g(x) si y solo si Af = Ag y la
regla de correspondencia es la misma
para las dos funciones para todo x∈Af