1. Las Matemáticas en las
ingenierías
Julio 2010
Universidad de Burgos
Cursos de Verano
Josep FERRER, Marta PEÑA
Universitat Politècnica de Catalunya

2. 2
Aplicaciones
Los números complejos:
Representación compleja de las corrientes alternas, cálculo de
caídas de potencial, anulación de la potencia reactiva
Matrices, Determinantes, Rango:
Controlabilidad y observabilidad de sistemas de control lineal,
índices de controlabilidad
Sistemas de ecuaciones lineales:
Red de flujos, Modelo económico de Leontief
Espacios vectoriales, Bases, Coordenadas:
Códigos de colores, Cristalografía
Subespacios vectoriales:
Estados alcanzables en un sistema de control, Análisis de
circuitos
Aplicaciones lineales:
Descomposición de Kalman
Diagonalización, Valores y vectores propios:
Direcciones principales de tensión y deformación, Matrices
circulantes
Matrices no diagonalizables:
Forma canónica de control, Modelo poblacional de Leslie
Sistemas discretos dinámicos:
Índices de accesibilidad de Gould, Modelo presa depredador

3. 3
Ingeniería eléctrica
(A) Análisis de circuitos
Ejercicio 1
(B) Representación compleja de las
magnitudes eléctricas para
corrientes alternas
Ejercicio 2
Ejercicio 3
(C) Matrices circulantes
Ejercicio 4

4. 4
(A.1) Análisis de circuitos
Consideramos una red con N nudos, B
ramas y M mallas.
Se trata de determinar la distribución de
corrientes y tensiones ,
, mediante:
LEY DE OHM: ,
en cada rama, donde ek es la
generación de tensión (si hay).
1ª LEY DE KIRCHOFF (KCL):
, en cada nudo.
2ª LEY DE KIRCHOFF (KVL):
, en cada malla.
( ),k ki u 1 k B≤ ≤
k k k ku R i e= +
0ki =∑
0ku =∑

5. 5
(A.2) Análisis de circuitos
Desde un punto de vista teórico, la
Ley de Ohm establece un
isomorfismo entre corrientes y
tensiones, de forma que nos
podemos remitir sólo a un grupo de
variables. Por ejemplo, a las
corrientes:
(KCL) , en cada
nudo.
(KVL) , en cada
malla.
0ki =∑
k k kR i e= −∑ ∑

6. 6
(A.3) Análisis de circuitos
Una de las ecuaciones de nudo es
redundante. Por tanto tenemos N+M-1=B
ecuaciones con B incógnitas. También
queda claro que el sistema es
compatible determinado ya que lo es su
homogéneo asociado (si ek=0, no hay
aportación de energía, y por tanto las
corrientes son nulas). Por tanto:
dim {soluciones KCL}=B-(N-1)=M
dim {soluciones KVL}=B-M=N-1
Se confirma fácilmente (también por un
razonamiento “práctico”) que las
corrientes de malla son l.i., y por tanto
son base del primer subespacio.

7. 7
subespacios def. como soluciones de un sistema
de ecuaciones
Considerar la red:
De entre el conjunto E de distribuciones arbitrarias
de corrientes, interesa el subconjunto de las que
verifican la ley de Kirchoff: en cada nudo la suma de
corrientes entrantes debe ser igual a la de las
salientes.
En la práctica no se usan las corrientes señaladas
sino las corrientes de malla:
Demostrar que son coordenadas del subconjunto de
soluciones.

8. 8
(B.1) Representación compleja de las
magnitudes eléctricas para corrientes alternas
El tratamiento de corrientes continuas se
generaliza a corrientes alternas simplemente
sustituyendo la representación real de las
magnitudes eléctricas por una representación
compleja. Concretamente, las magnitudes
eléctricas en corrientes alternas tienen la forma
cosenoidal
donde M es el valor eficaz, α la fase y ω la
frecuencia (constante).
A cada una se le asocia el fasor complejo
Como la correspondencia es lineal, las leyes de
Kirchoff resultan
(KCL) , en cada nudo.
(KVL) , en cada malla.
( ) ( )2 cosm t M tω α= +
i
M Meα
=
0kI =∑
0kU =∑

9. 9
(B.2) Representación compleja de las
magnitudes eléctricas para corrientes alternas
Como tiene estructura de cuerpo también
generaliza
(Ohm) , en cada
rama.
donde Zk es la impedancia, incluyendo no
sólo el caso de resistencias
,
sino también, gracias a que
el caso de condensadores y bobinas:
,
,
donde C y L son la capacidad y la
inductancia respectivamente.
k
k
k
U
Z
I
=
( ) ( )u t Ri t= U RI=
( ) ( )'m t j m tω=
( ) ( )'i t Cu t= I j CUω=
( ) ( )'u t Li t= U j LIω=

10. 10
(B.3) Ej.2: Los números
complejos
Apliquémoslo para calcular la
corriente resultante de
incrementar la con otras dos de
valores eficaces 75% y 50%,
desfasadas 120º y 90º
respectivamente, es decir
( )1 00'75 2 cos
3
i t I t
π
ω
 
= + ÷
 
( )2 00'50 2 cos
4
i t I t
π
ω
 
= + ÷
 

11. 11
(B.4) Ej.3: Los números
complejos
Deducir que para el circuito
la impedancia Z es un número real si, y
sólo si,
y que entonces
A esta situación se le llama de
resonancia paralela.
2L
L R
C
ω = −
.
L
Z
RC
=

12. 12
(C.1) Matrices circulantes
Entre los diversos tipos particulares de matrices que
aparecen en Electrotecnia (simétricas,...), destacamos
que las de acoplamientos magnéticos en diferentes
tipos de motores, máquinas de inducción, etc., dan un
operador de inductancias de la forma
caso particular de las llamadas matrices circulantes.
Todas tienen los mismos VEPs, que las caracterizan:
Prop. Son equivalentes:
Z es una matriz circulante.
Z diagonaliza por la transformación ortogonal
,
Desde un punto de vista técnico, los VAPs dan la
descomposición en monofásicos.
( )
1 2 3
3 1 2 3
2 3 1
c c c
Z c c c M
c c c
 
 ÷
= ∈ ÷
 ÷
 
£
2
2
1 1 1
1
1
3
1
F a a
a a
 
 ÷
=  ÷
 ÷
 
2
3
j
a e
π
=

13. 13
(C.2) Ej.4: Valores y vectores propios
complejos
Demostrar que toda matriz circulante de la
forma
,
diagonaliza con
donde α3
=1 , Calcular la forma
diagonal.
Demostrar que si A y B son circulantes,
también lo son A+B y AB, y que sus valores
propios son respectivamente la suma y el










=
αα
αα
2
2
1
1
111
S
.1≠α










=
acb
bac
cba
A , ,a b c ∉£