aplicaciones circuitos y sistema masa resorte

1. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura.
Departamento de Matemática.
Matemática IV.
Sección 01.
Ciclo 01/2015.
Prof. Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de instructores: Jonathan Landaverde.
Aplicaciones de Ecuaciones diferenciales.
(CIRCUITOS)
1. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50
ohm, se le aplica una tensión de 30 V. Determine la corriente 𝑖(𝑡) si se sabe que
𝑖(0) = 0. ¿Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo, 𝑡 → ∞?
2. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 ohm y la capacitancia es de
10E-4 F, se le aplica una tensión de 100 V. Si 𝑞(0) = 0, calcule la carga 𝑞(𝑡) en el
capacitor y obtenga la corriente 𝑖(𝑡).
3. Un inductor de L henrys varia con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a
L = 0.05 + 0.001t. Se conecta en serie con un generador cuya fem es de 40 V y
una resistencia de 10 ohm. Si la corriente 𝑖(0) = 0, calcule 𝑖(𝑡) para todo t mayor
que cero. ¿Cuál es la corriente máxima teórica?
4. Una resistencia de 20 ohm y un inductor de 5 H se conectan en serie en un circuito
eléctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 A en el tiempo cero. Encuentre
la corriente para todo tiempo mayor o igual que cero, si la fem es cero para todo
tiempo mayor que cero.

2. 5. Un condensador de 5E-3 F está en serie con una resistencia de 25 ohm y una fem
de 50cos(6t) V, donde t es mayor o igual que cero. El interruptor se cierra en t=0.
Si la carga inicial en el condensador es cero, determine la carga y la corriente en
cualquier tiempo.
6. Una resistencia de 20 ohm se conecta en serie con un condensador de 0.01 F y una
fem en volts dada por 40𝑒−3𝑡
+ 20𝑒−6𝑡
. Si 𝑞(0) = 0, muestre que la carga
máxima en el condensador es de 0.25 coulombs.
7. Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohm en serie con una fem
constante de E voltios y una inductancia constante de L henrys. Si la corriente
inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor teórico
máximo en
𝐿𝑙𝑛(2)
𝑅
𝑠.
8. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 1000 ohm y la capacitancia es
de 5E-6 F, se le aplica una tensión de 200 V. Determine la carga 𝑞(𝑡) en el
capacitor si se sabe que 𝑖(0) = 0.4. ¿Cuál será el valor de la corriente y la carga
para t=0.005 s, y la carga después de un tiempo largo, 𝑡 → ∞?
9. Se aplica una fuerza electromotriz 𝐸(𝑡) = {
120, 0 ≤ 𝑡 ≤ 20
0, 𝑡 > 20
a un circuito en serie
LR, en donde la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohm.
Determine la corriente 𝑖(𝑡), si 𝑖(0) = 0.
10. Se tiene un circuito en serie, configurado como RLC. Se le pide encontrar la carga y
corriente para cualquier tiempo requerido, dadas las condiciones: 𝑖(0) =
1 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 y que el voltaje en el capacitor es 𝐸𝑐(0) = 20 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠; si se sabe que la
resistencia R tiene un valor de 40 Ω, el inductor L tiene una inductancia de 10
henrys, y el condensador C tiene una capacitancia de 0.01 Faradios y que además
dicho circuito está conectado a fuente que varía su voltaje con el tiempo, dicha
variación viene dada por: 𝐸(𝑡) = 25𝑠𝑒𝑛(5𝑡 + 30).

3. (SISTEMA MASA RESORTE)
1. Un resorte de 4 pies alcanza 8 pies al colgarle una pesa de 8 lb. El sistema se coloca
en un medio a través del cual se ofrece una resistencia numéricamente igual a √2
veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa
parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia abajo. Calcule
el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de
equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?
2. Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es de 5 lb/pie. Se suelta la
masa a 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 pies/s hacia
abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es
numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. Se le pide deducir la
ecuación del movimiento si una fuerza externa dada por:𝑓(𝑡) = 12 cos(2𝑡) +
3𝑠𝑒𝑛(2𝑡) actúa sobre la masa.
3. Después de unir una pesa de 10 lb a un resorte de 5 pies, este mide 7 pies. Se quita
y se reemplaza con otra pesa de 8 lb y el sistema se coloca en un medio que ofrece
una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
a) Deduzca la ecuación de movimiento, si la pesa parte 0.5 pie debajo de la posición
de equilibrio a una velocidad de 1 pie/s hacia abajo.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝜆𝑡
𝑠𝑒𝑛 ((√𝜔2 − 𝜆2)𝑡 + ∅).
4. Una pesa de 24 lb estira 4 pies un resorte. El movimiento que se produce se lleva a
cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a 𝛽 (𝛽 > 0)
veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de equilibrio con una
velocidad de 2 pie/s hacia arriba, demuestre que si 𝛽 > 3√2, la ecuación del
movimiento es: 𝑥(𝑡) =
−3
√𝛽2−18
𝑒
−2𝛽𝑡
3 𝑠𝑒𝑛ℎ (
2
3
√𝛽2 − 18𝑡).
5. El movimiento en un sistema masa-resorte amortiguado se describe con la siguiente
ecuación diferencial ordinaria: 𝑚
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0. Donde x = desplazamiento de la
posición de equilibrio (m), t =tiempo (s), m = 10 kg de masa, y c = el coeficiente de
amortiguamiento (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento toma tres valores: 5
(subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico) y 200 (sobreamortiguado). La
constante del resorte, k = 40 N/m. La velocidad inicial es cero y el desplazamiento
inicial es x = 1 m. Calcule para cada uno de los tres valores del coeficiente de
amortiguamiento, la ecuación de movimiento en función del tiempo.