Señales y Sistemas

1. Universidad Autonoma de Baja California
.
1
MODELOS MATEMATICOS PARA LA SOLUCION DE CIRCUITOS
Marcos Marcos Fernando
e-mail: fmarcos@uabc.edu.mx
RESUMEN: En la presente practica se realiza un
circuito muy simple,este fue hecho de un tipo elemento
pasivo, que es la resistencia en este caso y con un
elemento activo, que en este caso es una fuente de
tensión o también conocida como fuente de voltaje, el
circuito en cuestión fue realizado primero como un
circuito puramente teórico y de acuerdo a este se
obtuvieron datos, como lo son las corrientes que pasa
por cada rama del circuito, los voltaje que pasan por
estas ramas todo de manera teoría y bueno, de esta
manera fue posible obtener modelos matemáticos, que
posteriormente fueron traspasados a un software de
computadora (Microsoft Office Excel) y se comprobaron
los resultados con otro software diseñado para armar
circuitos de manera digital, lo ultimo fue recabar los
datos de cada una de las herramientas utilizadas y que
concordaran.
1 INTRODUCCIÓN
El ser humano hoy en día ha ideado y creado un
inmenso numero de tipos de herramientas para
solucionar problemas en particular que se les presentan
en la vida, las matemáticas sin duda son el lenguaje del
universo y con esto se puede hallar desde la explicación
mas sencilla a una explicación tan compleja de un
sistema,todo esto depende del tipo de problema con el
que se este tratando. En la creación de circuitos
electrónicos se presentan una gran cantidad de
problemas, básicamente el problema es el crearlos, al
momento de crearlos existen fallas con los elementos
que son utilizados y esto genera una gran cantidad de
costos monetarios, perdidas de material y algo tan
importante como lo es el tiempo. Pensando en esto, se
ha creado un circuito electrónico,el circuito es creado de
resistencias yuna fuente de voltaje. El circuito creado es
utilizado para realizar modelos matemáticos que
calculen corrientes de ramas y los voltajes y de esta
manera predecir el funcionamiento de la misma, esto
aun si se realizan cambios (ojo, no de la estructura del
circuito, solo cambios de valores en los elementos que la
componen, es este caso resistencias y la fuente de
voltaje). Los modelos matemáticos se realizaran
teóricamente analizando el circuito en cuestión, los
modelos obtenidos de el circuitos se pasaran a Microsoft
Excel©, tomando en cuenta que se tienen que ingresar
los valores de las resistencias y fuente de voltaje, y ya
obtenidos los datos se comprobara con otro software
diseñado para realizar circuitos electrónicos, en este
caso Multisim 11.0©.
2 TEORIA
División de voltaje: La división de voltaje o de
tensión se utiliza para expresar una tensión total en ya
sea una resistencia o en n resistencias en serie, como
por ejemplo en la figura 1.
Figura 1. Ilustración de la división de voltaje.
La forma de obtener el voltaje de R1 es aplicando la
ecuación (1):
𝑽 𝟏 = 𝑽(
𝑹 𝟏
𝑹 𝟏 + 𝑹 𝟐
) (𝟏)
y el voltaje de R2 con la ecuación (2):
𝑽 𝟐 = 𝑽 (
𝑹 𝟐
𝑹 𝟐 + 𝑹 𝟏
) (𝟐)
Y para obtener el voltaje en una resistencia en un
circuito con n cantidad de resistencias, el valor de la Rk
(una resistencia arbitraria) se obtiene con la siguiente
ecuación (3):
𝑽 𝒌 = 𝑽(
𝑹 𝒌
𝑹 𝟏 + 𝑹 𝟐 + 𝑹 𝟑 + ⋯+ 𝑹 𝒏
) (𝟑)
División de corriente: La división de corriente se
utiliza para expresar la corriente en una o varias
resistencias en paralelo,al igual como se muestra en la
figura 2:
Figura 2. Ilustración de la división de corriente.
La forma de obtener la corriente que pasa por R1
es con el siguiente cálculo matemático, ecuación (4):
𝒊 𝟏 = 𝒊 (
𝑹 𝟐
𝑹 𝟐 + 𝑹 𝟏
) (𝟒)
Ahora obtener la corriente i2, ecuación (5):
𝒊 𝟐 = 𝒊 (
𝑹 𝟏
𝑹 𝟏 + 𝑹 𝟐
) (𝟓)
El cálculo para realizar la división de corriente para
n cantidad de resistencias y encontrar la corriente de
una Rk (una resistencia arbitraria) es de la siguiente
manera, ecuación (6).

2. Universidad Autonoma de Baja California
.
2
𝒊 𝟑 = 𝒊 (
𝟏
𝑹 𝒌
𝟏
𝑹 𝟏
+
𝟏
𝑹 𝟐
+
𝟏
𝑹 𝟑
+ ⋯+
𝟏
𝑹 𝒏
) (𝟔)
Resistencia: La resistencias es un componente
electrónico, y este se opone al movimiento de la
corriente que pasa por ella. Las resistencias mas
comunes son:
- Resistencia fija:
Figura 2.1. Símbolo de una resistencia fija.
- Resistencia variable:
Figura 2.2. Símbolo de una resistencia variable.
Elementos pasivos: Son elemento que consumen
o almacenan la energía. Por ejemplo:
- Resistencias
- Capacitores o condensadores
- Bobinas
Elementos activos: Son elementos que
proporcionan o aportan energía eléctrica, y de esta
manera para poder producir una tensión.
- Fuentes de voltaje o tensión
- Fuentes de corriente
Resistencias equivalentes en serie: Cuando una
cantidad n de resistencias se encuentran en serie, se
puede realizar una suma de cada una ellas para obtener
una resistencia equivalente, como se muestra en la
figura 2.3.
Figura 2.3. Ilustración de un circuito con una fuente
de voltaje y resistencia en serie.
𝑹 𝒆𝒒 = 𝑹 𝟏 + 𝑹 𝟐 + 𝑹 𝟑 + ⋯+ 𝑹 𝒏 (𝟕)
Resistencia equivalente en paralelo: Para realizar
la suma de n cantidad resistencias que se encuentran en
paralelo una a la otra como lo muestra la figura 2.4, la
forma de calcular una resistencia equivalente es
desarrollando el siguiente calculo, ecuación 8:
Figura 2.4. Ilustración de un circuito con una fuente
de voltaje y n cantidad de resistencias en paralelo.
𝑹 𝒆𝒒 =
𝟏
𝟏
𝑹 𝟏
+
𝟏
𝑹 𝟐
+
𝟏
𝑹 𝟑
+ ⋯+
𝟏
𝑹 𝒏
(𝟖)
3 DESARROLLO
El desarrollo de la practica consiste en la creación
de un circuito que conste solo de resistencia y una
fuente de voltaje, de este circuito se obtendrá la
caracterización matemática y se utilizaran programas
para modelar el circuito y comprobar que la
caracterización matemática es correcta.
Para el desarrollo de la práctica es necesario
contar con el siguiente material:
- 9 Resistencias de 1009 Ω
- 9 Resistencias de 1779 Ω
- Fuente
- Multímetro
- Software Excel y Multisim
- Protoboard
- Un par de banana caimán
Procedimiento. Obteniendo la caracterización del
circuito.
Para iniciar, se analizo el circuito ilustrado en la
figura 3.1.
Figura 3.1. Ilustración de un circuito.
El análisis del circuito de la figura 3.1 es
básicamente obtener la caracterización del circuito La
caracterización del circuito consistió en obtener los
modelos matemáticos de las corrientes que pasan por
cada rama del circuito y los valores del voltaje o la
tensión en cada una de las resistencias de todo el
circuito.
Para obtener tanto corriente o voltajes fue
necesario simplificar el circuito para poder aplicar los
cálculos.
Lo primero consistió en reducir la cantidad de
resistencias, las resistencias 12, 15, 17 y 18 (figura 3.1)
fueron reducidas a una resistencia equivalente 1
(Req1)(Figura 3.2). Después las resistencias 13 y 16
(figura 3.1) son simplificadas y se obtiene una
resistencia equivalente 2 (Req2) (figura 3.3).

3. Universidad Autonoma de Baja California
.
3
Figura 3.2.
Figura 3.3.
Se obtuvo Req1 y Req2 (Se encuentran en
paralelo), ahora estas resistencias se simplifican y se
obtiene una resistencia equivalente 3 (Req3) (Figura
3.4). La Req3 se simplifica con la resistencia 14 y se
obtiene una Resistencia equivalente 4(Req4) (Figura
3.5).
Figura 3.4.
Lo que prosigue obtener una resistencia
equivalente 5(Req5)(3.6) de las resistencias 9 y 10
(Figura 3.5).
Figura 3.5.
Ahora ya obtenidas las resistencias Req4 y Req5
se prosigue a simplificar estas aplicando el respectivo
cálculo para obtener una resistencia equivalente 6
(Req6) (Figura 3.7).
Figura 3.6.
Las resistencias Req6 obtenida ylas resistencias 7,
8 y 11 se simplifican realizando un cálculo y obteniendo
en si su modelo,la resistencia obtenida es Req7 (Figura
3.8).
Figura 3.7.

4. Universidad Autonoma de Baja California
.
4
Lo siguiente consiste en sumar la resistencia 2, 3,
4, 5 y 6 obteniendo una resistencia equivalente
26(Req26) lo obtenido simplificar con Req7(Figura 3.8),
y así obtener una Resistencia equivalente
8(Req8)(Figura 3.9)
Figura 3.8.
Figura 3.9.
Ya obtenidas las resistencias Req26 y Req7
(Figura 3.9) se simplifican aplicando el calculo debido
para obtener la resistencia equivalente 8(Req8)(Figura
3.10) y la resistencia obtenida se simplifica con la
resistencia 1,obteniendo la resistencia equivalente total
(Rt) (Figura 3.11).
Figura 3.10.
Figura 3.11.
Después de simplificar el circuito, lo que prosiguió
fue obtener el modelo de la corriente total (it) del circuito.
Figura 3.12. Circuito con una fuente de voltaje y una
resistencia.
Después de haber obtenido el modelo la corriente
total it del circuito,lo que sigue es obtener las corrientes
que se dividen de esta en todo el circuito,para esto se
aplica división de corriente,aplicando esto se obtiene el
modelo de la corriente i1 e i2 (Figura 3.13).
Figura 3.13.
Después de haber obtenido los modelos de la
corriente i1 e i2, el mismo procedimiento anterior se
utilizar para calcular las divisiones de corriente de i2, así
de esta manera obtener las corrientes i3, i4 e i5 (Figura
3.14).
Figura 3.14.
Al haber calculado los modelos matemáticos de las
corrientes i4 e i5 (Figura 3.14) se puede obtener el valor
de la corriente i6 (Figura 3.15), tomando en cuenta en
este caso que las corrientes i4 e i5 entran al nodo
inferior derecho y de ahí sale la corriente i6.

5. Universidad Autonoma de Baja California
.
5
Figura 3.15.
Al obtener todos los modelos de las corrientes que
circulan por el circuito, lo que prosigue es obtener los
modelos de los voltajes de cada resistencia del mismo
circuito, el voltaje de cada componente es el producto de
la corriente y la resistencia, para esto, la corriente es la
que pasa por la resistencia.
Ya obtenidos todos los modelos matemáticos,
estos se traspasaran a Microsoft Excel, pero claro, las
resistencias tendrán valores, los valores serán
asignados arbitrariamente por el practicante, en este
caso las resistencias impares tendrán valores de 1004 Ω
y las resistencias pares serán de 1779Ω y la fuente de
voltaje proporcionara al circuito 5V, quedando el circuito
como lo muestra la figura 3.16.
Figura 3.16. Ilustración de un circuito con resistencias y
sus valores correspondiente.
Los modelos traspasados a Excel son la
caracterización del circuito (Figura 3.17), pero
primeramente se realizaron los cálculos (Las
resistencias y la fuente de voltaje con sus valores) para
saber cuales serian los resultados y así comprobarlos
con Excel. Después de haber hecho lo anterior, el
circuito será modelado en el Software Multisim 11.0
(Figura 4.1.1), y se compararan los datos obtenidos en
los dos programas.
Figura 3.17. Modelos matemáticos que
caracterizan el circuito (Figura 3.16) y que fueron
ingresados a Excel.
La última parte consiste en modelar el circuito de
manera real, esto quiere decir que el circuito será
armado en un Protoboard, con resistencias del mismo
valor.

6. Universidad Autonoma de Baja California
.
6
Figura 3.18. Circuito armado en Protoboard.
Después de haber realizado el circuito en el
Protoboard, lo que sigue es realizar las mediciones de
corrientes que pasa por cada rama y los voltajes de
cada componente utilizando el Multímetro.
Figura 3.19. Medición de corriente total del circuito
con un Multímetro.
Figura 3.20. Medición de corriente en una rama
determinada del circuito.
Figura 3.21. Medición de corriente en alguna rama
del circuito.
Terminadas las mediciones de corriente y voltaje y
claro, anotados los resultado, se comprueba que los
resultados obtenidos de Excel y del modelo del circuito
en Multisim concuerden.
4 DATOS EXPERIMENTALES Y DATOS
CALCULADOS
4.1 Datos obtenidos de los modelos
realizados en nuestra libreta.
Tabla 1.
Req Valor Ω
Req1 5566
Req2 2783
Req3 1855,333
Req4 3634,333
Req5 2783
Req6 1576,098
Req7 5363,098
Req8 3099,7522
Rt 4103,75
Req(26) 7345
Tabla 2.
Corrientes Valor (A)
it 0,0012184
i1 0,00051419
i2 0,00070421
i3 0,00039881
i4 0,00020359
i5 0,0001018
i6 0,00030539

7. Universidad Autonoma de Baja California
.
7
Tabla 3.
Voltajes de Valor (V)
Vt 5
V1 1,223
V2 0,91320144
V3 0,51624
V4 0,91320144
V5 0,51624
V6 0,91320144
V7 0,707022
V8 1,252782
V9 0,4004
V10 0,709489
V11 0,707022
V12 0,181097
V13 0,2044
V14 0,543293
V15 0,102204
V16 0,363974
V17 0,102204
V18 0,181097
Los calculados realizados de los cuales se
obtuvieron los resultados de la tabla 1,2 y 3 están
ubicados en el apéndice.
4.2 Datos obtenidos de los modelos en
Microsoft Excel.
Figura 4.1.1. Ilustración de circuito con la cual se elaboro
la practica
Los valores asignados a cada resistencia se
encuentran en la tabla 4.
Tabla 4.
Resistencia Valor Ω
R1 1004
R2 1779
R3 1004
R4 1779
R5 1004
R6 1779
R7 1004
R8 1779
R9 1004
R10 1779
R11 1004
R12 1779
R13 1004
R14 1779
R15 1004
R16 1779
R17 1004
R18 1779
Las resistencias equivalente obtenidas en la
simplificación del circuito se encuentran en la tabla 5.
Tabla 5.
Req Valor Ω
Req1 5566
Req2 2783
Req3 1855,333333
Req4 3634,333333
Req5 2783
Req6 1576,098535
Req7 5363,098535
Req8 3099,752385
Rt 4103,752385
Req26 7345
Las corrientes calculadas con los modelos
matemáticos en Excel están en la tabla 6.
Tabla 6.
Corrientes Valor (A)
it 0,001218397
i1 0,000514191

8. Universidad Autonoma de Baja California
.
8
i2 0,000704207
i3 0,000398814
i4 0,000203595
i5 0,000101798
i6 0,000305393
Después de haber obtenidos las corrientes,se
calcularon los voltajes de cada resistencia,resultados
contenidos en la tabla 7.
Tabla 7.
Voltaje Valor (V)
Vt 5
V1 1,223270687
V2 0,914744921
V3 0,516247274
V4 0,914744921
V5 0,516247274
V6 0,914744921
V7 0,707023413
V8 1,252783517
V9 0,400409114
V10 0,709489855
V11 0,707023413
V12 0,181097887
V13 0,204409532
V14 0,543293662
V15 0,102204766
V16 0,362195775
V17 0,102204766
V18 0,181097887
4.3 Datos obtenidos del modelo del circuito
en Multisim.
Las mediciones de corriente obtenidas del modelo
del circuito en Multisim.
Figura 4.2.1. Medición de corrientes en ramas de un
circuito modelado en Multisim.
4.4 Datos obtenidos del circuito montado
en Protoboard.
Realizando la medición de la resistencia total del
circuito.
Figura 4.3.1. Midiendo la resistencia equivalente total
(Rt) del circuito.
Mediciones de corriente de diferentes ramas del
circuito.
Figura 4.3.2. Medición de la corriente total (it) del
circuito.

9. Universidad Autonoma de Baja California
.
9
Figura 4.3.3. Medición de corriente i1 del circuito
(véase Figura 4.1.1).
Figura 4.3.4. Medición de corriente i2 del circuito (véase
Figura 4.1.1).
Figura 4.3.5. Medición de corriente i5 del circuito (véase
Figura 4.1.1).
Figura 4.3.6. Medición de corriente i6 del circuito (véase
Figura 4.1.1).
Mediciones de corrientes en tabla 5.
Tabla 5.
Corrientes Valor (A)
it 0,0012
i1 0,00052
i2 0,00071
i3 0,0004
i4 0,00021
i5 0,00011
i6 0,00031
Mediciones de voltaje en tabla 6.
Voltaje Valor (V)
Vt 5
V1 1,23
V2 0,92
V3 0,52
V4 0,92
V5 0,52
V6 0,92
V7 0,71
V8 1,26
V9 0,41
V10 0,72
V11 0,71
V12 0,19
V13 0,21
V14 0,55
V15 0,11
V16 0,37
V17 0,11
V18 0,19

10. Universidad Autonoma de Baja California
.
10
5 ANALISIS DE RESULTADOS
5.1 Discusión de la precisión y exactitud de
las mediciones.
La realización de la práctica consistía en realizar
un experimento de tres maneras distintas,la primera era
realizar modelos matemáticos de un circuito e ingresar
estos modelos a una programa para que calculara los
valores de los modelos al insertar valores a las variable
(Resistencias y voltaje), lo segundo consistía en realizar
el modelo del mismo circuito en una software diseñado
para realizar circuito electrónicos y obtener la
caracterización del circuito (Datos), y lo tercero consistía
en modelar físicamente el mismo circuito en un
Protoboard y realizar mediciones para obtener los
mismos tipos de datos. Los datos obtenidos de estas
tres maneras tenían que ser comparadas y verificar se
obtuvieran datos muy parecidos a los reales, y bueno es
lo que sucedió,los datos obtenidos en cada experimento
(Excepto los datos obtenidos de Excel y Multisim) fueron
distintos al compararlos, existen márgenes de error,
debido a que las resistencias en si no tienen valor
exacto por la tolerancia que tienen las resistencia y por
otros factores,lo cual dio como resultado valores o datos
semejante, mas no iguales.
5.2 Analisis de los posibles errores de
medición.
Los errores de medición siempre van a suceder, no
hay mediciones perfectas,ya sea por errores humanos o
errores del dispositivo que mida, en el caso de la
practica si surgieron errores de medición que cambiaban
todo, como por ejemplo cuando se midieron las
corrientes de las ramas, surgieron problemas con la
mala colocación de los pines de las resistencias al volver
a colocarlos al Protoboard después de la medición y
esto cambiaba radicalmente todos los valores del
circuito, pero estos problemas se solucionaron.Factores
por lo cuales también hayan existido errores son los
multímetros, estos dispositivos no son perfectos como
nada lo es, las mediciones que realizan estos
dispositivos también tiene márgenes de error, quizá
sean muy pequeñas o no, pero los tienen.
5.3 Descripción de cualquier resultado
anormal.
En el desarrollo de la practica surgieron problemas
en algunas mediciones, los errores fueron causados
generalmente a que no se midieron correctamente las
resistencias (Se midieron directamente del circuito
montado,cuando se deben medir de forma individual) y
los cual causo grandes diferencias en los datos
calculados y medidos, otro problema fue el conectar el
pin de las resistencias en otras ranuras del Protoboard
donde no deberían de ir, lo cual provoco que el circuito
cambiara así mismo los datos.
5.4 Interpretación de los resultados
Los resultados obtenidos no fueron exactamente
los que se esperaban, pero es algo normal, fueron
aproximados, gracias a que se utilizaron los valores
reales de las resistencias (Las resistencias fueron
medidas para ingresar su valor tal cual al programa
Excel y Multisim) y esto mejoro todos los resultados ylos
objetivos fueron cumplidos.
6 APENDICE
Modelos matemáticos aplicados en el circuito, de
esta manera se ingresan valores a cada resistencia y
fuente de voltaje para así obtener los valores de la
corriente en las ramas del circuito así como los voltajes
de cada resistencia.

11. Universidad Autonoma de Baja California
.
11
7 CONCLUSION
El desarrollo de esta practica nos dio una herramienta
muy útil, a pesar de que es algo que se puede hacer de
manera muy sencilla, claro si se cuentan con los
conocimientos necesarios para su elaboración, bueno a
pesar de ser fácil, a veces los alumnos los pasamos por
alto, esta practica nos dio la visión de que contamos con
los conocimientos,pero el problema es que no sabemos
plasmarlos o aplicarlos a la realidad. Los resultados
esperados fueron satisfactorios y bueno se esperaban
tales resultados,asíque los objetivos de comprobar que
se obtendrían resultados semejantes, se cumplieron,
aun a pesar de ser comprobado de tres maneras
distintas,lo que nos da seguridad en lo que se realizo y
los datos obtenidos.
8 BIBLIOGRAFIA
http://www.espaciodelconocimiento.com/05%20EB
%20CAPITULO%20III.pdf
http://mtosubaferias.wikispaces.com/file/view/DIVIS
OR+DE++VOLTAJE+Y++CORRIENTE.MARISOLMARTI
N.docx
https://p8.secure.hostingprod.com/@www.miuniver
so.org/ssl/gutierrezcasas/efren/uacj/clases/circ_elect_1/c
lase04/clase04.doc
http://www.espaciodelconocimiento.com/05%20EB
%20CAPITULO%20III.pdf
http://www.frrg.utn.edu.ar/frrg/apuntes/programacio
n/sist_proc_datos/fuentes_consumos.pdf (Fuentes)
http://www.uco.es/~el1bumad/docencia/oopp/tema
1.pdf
http://media.utp.edu.co/facultad-ciencias-
basicas/archivos/contenidos-departamento-de-fisica/exp-
23.pdf